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2ª Lista de revisão – Geometria Plana 1- Fundamentos, Triângulos e Circunferência
1. (UERJ 2014)
Uma máquina possui duas
engrenagens circulares, sendo a distância entre
seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o
esquema:
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas
no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e
que os comprimentos dos dentes de ambas têm
valores desprezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem
menor equivale a:
a) 2,5
b) 3,0
c) 3,5
d) 4,0
2. (ITA 2013)
Uma reta r tangencia uma
circunferência num ponto B e intercepta uma reta
s num ponto A exterior à circunferência. A reta s
passa pelo centro desta circunferência e a
ˆ
intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC
ˆ é igual a
seja obtuso. Então o ângulo CAB
1 ˆ
ABC.
2
3
ˆ
b) π  2 ABC.
2
2 ˆ
c) ABC.
3
ˆ  π.
d) 2 ABC
a)
ˆ  π.
e) ABC
2
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3. (UTFPR 2013) Um triângulo isósceles tem dois
lados congruentes (de medidas iguais) e o outro
lado é chamado de base. Se em um triângulo
isósceles o ângulo externo relativo ao vértice
oposto da base mede 130°, então os ângulos
internos deste triângulo medem:
a) 10°, 40° e 130°.
b) 25°, 25° e 130°.
c) 50°, 60° e 70°.
d) 60°, 60° e 60°.
e) 50°, 65° e 65°.
4. (CFTMG 2013) Considere três circunferências
de raio unitário e de centros A, B e C, conforme a
figura.
Dessa forma, o perímetro da região sombreada,
em unidades de comprimento, é
π
.
3
π
b) .
2
c) π.
d) 2 π.
a)
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5. (INSPER 2013) Ao projetar um teatro, um
arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que
seria responsável pela filmagem dos eventos que
lá aconteceriam:
“É necessário que seja construído um trilho no teto
ao qual acoplaremos uma câmera de controle
remoto. Para que a câmera não precise ficar
mudando a calibragem do foco a cada
movimentação, o ângulo de abertura com que a
câmera captura as imagens do palco deve ser
sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo.
Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a câmera deve
ter o mesmo ângulo de abertura α para o palco.”
Das propostas de trilho a seguir, aquela que
atende a essa necessidade é
a)
b)
c)
d)
e)
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6. (IFPE 2012)
Júlia começou a estudar
Geometria na sua escola. Com dúvida em um
exercício passado pelo professor de matemática,
ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As
retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas
transversais. Encontre o valor do ângulo x na
figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:
a) 120º
b) 125º
c) 130º
d) 135º
e) 140º
7. (CFTMG 2012) Uma folha retangular de papel
ofício de medidas 287 x 210 mm foi dobrada
conforme a figura.
^
^
Os ângulos X e Y resultantes da dobradura
medem, respectivamente, em graus
a) 40 e 90.
b) 40 e 140.
c) 45 e 45.
d) 45 e 135.
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8. (IFCE 2012) Na figura abaixo, R, S e T são
pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é
o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 42° são as
medidas
dos
ângulos
RTS
e
ROS,
respectivamente, pode-se dizer que
a) a = 30° e b = 60°.
b) a = 80° e b = 40°.
c) a = 60° e b = 30°.
d) a = 40° e b = 80°.
e) a = 30° e b = 80°.
9. (UESPI 2012) Uma circunferência de raio R é
tangente externamente a duas circunferências de
raio r, com r < R. As três circunferências são
tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a
seguir. Qual a distância entre os centros das
circunferências de raio r?
a) 4 Rr
b) 3 Rr
c) 2 Rr
d) Rr
e) Rr /2
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10. (MACK 2012) Na figura, se a circunferência
tem centro O e BC = OA, então a razão entre as
medidas dos ângulos AÔD e CÔB é
5
2
3
b)
2
c) 2
4
d)
3
e) 3
a)
11. (IFSP 2011) Na figura, a reta t é tangente, no
ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco
é 100º e a do arco
é 194º. O valor de x,
em graus, é
a) 53.
b) 57.
c) 61.
d) 64.
e) 66.
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12. (CFTSC 2010)
Na figura abaixo, OP é
bissetriz do ângulo AÔB. Determine o valor de x e
y.
a) x = 13 e y = 49
b) x = 15 e y = 35
c) x = 12 e y = 48
d) x = 17 e y = 42
e) x = 10 e y = 50
13. (FUVEST 2010) Na figura, os pontos A, B,C
pertencem à circunferência de centro 0 e BC = α .
A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o
ângulo A Ô B mede
π
radianos. Então, a área do
3
triângulo ABC vale:
a)
α2
8
b)
α2
4
c)
α2
2
3α 2
4
2
e) α
d)
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14. (ENEM 2009) Rotas aéreas são como pontes
que ligam cidades, estados ou países. O mapa a
seguir mostra os estados brasileiros e a
localização de algumas capitais identificadas pelos
números. Considere que a direção seguida por um
avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas,
para Belém, no Pará, seja um segmento de reta
com extremidades em DF e em 4.
Suponha que um passageiro de nome Carlos
pegou um avião AII, que seguiu a direção que
forma um ângulo de 135o graus no sentido horário
com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma
das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos
fez uma conexão e embarcou em um avião AIII,
que seguiu a direção que forma um ângulo reto,
no sentido anti-horário, com a direção seguida
pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião
é sempre dada pela semirreta com origem na
cidade de partida e que passa pela cidade destino
do avião, pela descrição dada, o passageiro
Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto
Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de
Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
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15. (FUVEST 2009) Na figura, B, C e D são
pontos distintos da circunferência de centro O, e o
ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de A B̂ O, em
radianos, é igual a:
a) - (α/4)
b)  - (α/2)
c)  - (2α/3)
d)  - (3α/4)
e)  - (3α/2)
16. (UNIFESP 2007) Se um arco de 60° num
círculo I tem o mesmo comprimento de um arco de
40° num círculo II, então, a razão da área do
círculo I pela área do círculo II é
a) 2/9.
b) 4/9.
c) 2/3.
d) 3/2.
e) 9/4.
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17. (CFTPR 2006) Numa gincana, a equipe "Já
Ganhou" recebeu o seguinte desafio:
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção
localizada na rua Marechal Hermes no número
igual à nove vezes o valor do ângulo  da figura a
seguir:
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá
fotografar a construção localizada no número:
a) 990.
b) 261.
c) 999.
d) 1026.
e) 1260.
18. (PUCPR 2005) Dois ângulos complementares
A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13
para 17. Consequentemente, a razão da medida
do suplemento do ângulo A para o suplemento do
ângulo B vale:
a) 43/47
b) 17/13
c) 13/17
d) 119/48
e) 47/43
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19. (UFRRJ 2005) Um arquiteto vai construir um
obelisco de base circular. Serão elevadas sobre
essa base duas hastes triangulares, conforme
figura a seguir, onde o ponto O é o centro do
círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são
iguais.
O comprimento do segmento AB é
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 3 2 m.
d) 2 5 m.
e) 2 3 m.
20. (CFTMG 2005) Na figura, os segmentos PB e
PD são secantes à circunferência, as cordas AD e
BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do
ângulo BPD é
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
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21. (CFTMG 2005) Na figura, o triângulo ABC
está inscrito em uma circunferência de centro O,
cujo comprimento é 10  cm. Se o lado AB mede 6
cm, a medida do lado BC, em cm, é
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
22. (CFTMG 2005) Na figura, os triângulos ABC e
BCD estão inscritos na circunferência. A soma das
medidas m + n, em graus, é
a) 70
b) 90
c) 110
d) 130
23. (FUVEST 2005) A soma das distâncias de um
ponto interior de um triângulo equilátero aos seus
lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é
a) 5 3
b) 6 3
c) 7 3
d) 8 3
e) 9 3
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24. (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e
DP são tangentes à circunferência, o arco ABC
mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus.
A medida, em graus, do ângulo APD é
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
25. (UNIFESP) Um inseto vai se deslocar sobre
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um
ponto A até um ponto B, diametralmente opostos,
conforme a figura.
O menor trajeto possível que o inseto pode
percorrer tem comprimento igual a:
a)
π
.
2m
b)  m.
c)
3π
.
2m
d) 2 m.
e) 3 m.
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26. (FUVEST) Na figura a seguir, tem-se que
AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede
80°, então o ângulo ABC mede:
a) 20°
b) 30°
c) 50°
d) 60°
e) 90°
27. (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num
terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma
bola de raio 8 o mais próximo possível de uma
bola menor, de raio 4. Num lançamento, um
jogador conseguiu fazer com que as duas bolas
ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a
seguir. A distância entre os pontos A e B, em que
as bolas tocam o chão, é:
a) 8
b) 6 2
c) 8 2
d) 4 3
e) 6 3
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28. (FUVEST) Um lenhador empilhou 3 troncos
de madeira num caminhão de largura 2,5 m,
conforme a figura a seguir. Cada tronco é um
cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo,
a altura h, em metros, é:
(1  7 )
2
 7
d) 1  
 3 


a)
(1  7 )
(1  7 )
c)
3
4
 7
e) 1+ 
 4 


b)
29. (FUVEST)
Numa circunferência, c1 é o
comprimento do arco de
π
radianos e c2 é o
6
comprimento da secante determinada por este
arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a
razão
c1
π
é igual a
multiplicado por:
6
c2
a) 2
b)
(1  2 3)
c)
( 2  3)
d)
(2  2 3)
e)
(3  3)
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30. (FUVEST) Na figura adiante, ABCDE é um
pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo
á é:
a) 32°
b) 34°
°
c) 36
d) 38°
e) 40°
31. (FUVEST) No paralelepípedo reto retângulo
da figura a seguir sabe-se que AB = AD = a, AE =
b e que M é a intersecção das diagonais da face
ABFE. Se a medida da MC também é igual a b, o
valor de b será:
a)
2a
b)
3
2 a
 
c)
7
5 a
 
d)
3a
e)
5
3 a
 
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32. (FUVEST)
Uma reta passa pelo ponto
P=(3,1) e é tangente à circunferência de centro
C=(1,1) e raio 1 num ponto T. Então a medida do
segmento PT é:
a) 3
b) 2
c) 5
d)
6
e)
7
33. (FUVEST)
Num triângulo retângulo ABC,
seja D um ponto da hipotenusa AC tal que os
ângulos DÂB e A B D tenham a mesma medida.
Então o valor de AD/DC é:
a) 2
b) 1 2
c) 2
1
d)
2
e) 1
34. (FUVEST) As retas t e s são paralelas. A
medida do ângulo x, em graus, é
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
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35. (UFMG) Observe a figura.
Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR,
SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°,
respectivamente. A medida do ângulo PQS, em
graus, é:
a) 38
b) 63
c) 79
d) 87
36. (UEL) Na figura a seguir, tem-se os ângulos
XYW, XZW e XTW,
circunferência de centro O.
inscritos
em
uma
Se med do ângulo XOW=80°, então med do
ângulo XYW + med do ângulo XTW é igual a
a) 160°
°
b) 150
°
c) 140
d) 120°
e) 100°
37. (UFF) O triângulo MNP é tal que ângulo M =
80° e ângulo P = 60°. A medida do ângulo formado
pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz
do ângulo externo P é:
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 50°
e) 60°
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38. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em
graus, de α + β é
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
39. (ETF - RJ) Sejam A, B e C respectivamente
as medidas do complemento, suplemento e
replemento do ângulo de 40°, têm-se
a) A = 30°; B = 60°; C = 90°
b) A = 30°; B = 45°; C = 60°
c) A = 320°; B= 50°; C = 140°
d) A = 50°; B = 140°; C = 320°
e) A = 140°; B = 50°; C = 320°
40. (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s
são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2
mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
e) 100
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41. ETF - RJ) Duas retas paralelas cortadas por
uma transversal formam ângulos alternos-externos
expressos em graus por 13x-8° e 6x+13°. A medida
desses ângulos vale:
a) 31°
b) 3° ou 177°
c) 30° e 150°
d) 62°
e) 93°
42. As retas r, s e t são duas a duas paralelas e o
triângulo EFG é equilátero.
Se AB é congruente a BC e a medida do
segmento DE é 5 cm então a medida de FG é:
a) 7 cm
b) 3 cm
c) 5 cm
d) 2,5 cm
e) 10 cm
43. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z
são diretamente proporcionais aos números 5, 20
e 25, respectivamente.
O suplemento do ângulo de medida x tem medida
igual a
a) 144°
b) 128°
c) 116°
d) 82°
e) 54°
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44. (UNAERP) As retas r e s são interceptadas
pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x
para que r e s seja, paralelas é:
a) 20°
b) 26°
c) 28°
d) 30°
e) 35°
45. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O
valor do ângulo α, apresentado na figura a seguir,
é:
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 65°
e) 130°
46. (UEL) A medida α de um ângulo é igual ao
triplo da medida do seu suplemento. Nestas
condições, tgα é igual a
a) 1
b) 2
c) 0
d) – 2
e) - 1
47. (FUVEST) Os pontos A, B e C pertencem a
uma circunferência λ e AC é lado de um polígono
regular inscrito em λ. Sabendo-se que o ângulo
A B̂ C mede 18° podemos concluir que o número
de lados do polígono é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
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48. (CESGRANRIO) As retas r e s da figura são
paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo
B é o triplo de A, então B - A vale:
a) 90°
b) 85°
c) 80°
d) 75°
°
e) 60
49. (FUVEST) Na figura adiante, AB = AC, BX =
BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o
ângulo XYZ mede:
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
e) 90°
50. (CESGRANRIO) Duas retas paralelas são
cortadas por uma transversal, de modo que a
soma de dois dos ângulos agudos formados vale
72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos
formados mede:
a) 142°.
b) 144°.
c) 148°.
d) 150°.
e) 152°.
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Gabarito/Resoluções
Q.1: [B]
Sejam nA e nB , respectivamente, o número de voltas da engrenagem maior e o número de voltas da
engrenagem menor. Desse modo, se rA e rB são os raios dessas engrenagens, então
n A  2 π  rA  nB  2 π  rB  375  rA  1000  rB
 rA 
8
 rB .
3
Portanto,
8
 rB  rB  11
3
 rB  3 cm.
rA  rB  11 
Q.2: [B]
Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e CÂB = x, temos:
ˆ y
ˆ  OCB
OBC é isósceles, logo OBC
AÔC=2y (ângulo externo do OBC)
No ABO: x  2y  90  x  90  2y (1)
ˆ  90  y  2.ABC
ˆ  180  2y (2)
ABC
Fazendo (1) + (2), temos:
ˆ  270°
x  2.ABC
ˆ ou seja
x  270  2.ABC,
x
3π
ˆ (em radianos)
 2.ABC
2
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Q.3: [E]
Na figura y = 180° – 130° = 50°
130 = 2x  x = 65°
Portanto os ângulos internos do triângulo medem 50°, 65° e 65°.
Q. 4: [C]
Comprimento do arco cuja medida é x:
2  π 1 π
x
 .
6
3
Portanto, o perímetro da figura será:
3
π
π
3
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Q.5: [E]
ˆ situado na semicircunferência (mostrada na figura) será reto.
Para qualquer ponto P, o ângulo APB
ˆ = 180  90
APB
2
Q.6: [E]
Traça-se u // r // s
y = 20° (correspondentes)
x = 120° + y (alternos internos)
x = 120° + 20° = 140º
Q.7: [D]
A única maneira possível para a dobradura é:
ˆ  BEA
ˆ  45
ΔABC é isósceles  BAE
Portanto, x = 45° e y =90° + 45° = 135°.
Q.8: [A]
De acordo com as propriedades do ângulo inscrito, pode-se escrever que:
b = 2.a
3x + 42° = 2.5x
7x = 42°
x= 6°
Logo,
a = 5.6° = 30°
b = 3.6° + 42° = 60°.
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Q.9: [A]
Considere a figura.
Sabendo que AC  R  r e BC  R  r, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
2
AC  AB  BC  (R  r)2  AB  (R  r)2
2
 AB  4Rr
 AB  2 Rr.
Portanto, como AD  2  AB, segue que o resultado pedido é 2  2 Rr  4 Rr.
Q.10: [E]
Considere a figura.
Sejam AOD   e COB  .
Sabendo que BC  OA  OC, vem OBC  . Daí, como AD   e CE  , encontramos
OBC 
AD  CE
 

2
2

  3.

Q.11: [D]
Como x é excêntrico exterior, segue que:
x
BCP  AP
.
2
Mas AP  360  (AB  BCP).
Portanto, x 
194  360  100  194 128

 64.
2
2
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Q.12: [E]
y -10o = x + 30o  y = x + 40o (OP é bissetriz)
2y + y – 10º + x + 30o = 180o  3y + x = 160º
Resolvendo o sistema
 y  x  40 o
temos:

3 y  x  160 o
x = 10º e y = 50º
Q.13: [B]

3
rad  60 o
OC  AB  ABC é isósceles.
ACˆ B 
A=
60 o o
30 ( ângulo inscrito)
2
1
2
     sen30 o 
2
4
Q.14: [B]
De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador.
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Q.15: [C]
ˆ x
ABD
ˆ =π-x
ˆ
ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB
ˆ = π-x
ˆ
ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA
2
No triângulo AOB:
απ-x +
π-x
(ângulo externo)
2
2α = 2π  2x  π  x
3x  3π  2α
x
3 π  2α
3
x  π
ˆ  π   2α /3 
Portanto, ABO
2α
3
Q.16: [B]
Q.17: [C]
Q.18: [E]
Q.19: [E]
Q.20: [A]
Q.21: [C]
Q.22: [A]
Q.23: [B]
Q.24: [B]
Q 25: [A]
Q.26: [A]
Q.27: [C]
Q.28: [E]
Q.29: [C]
Q.30: [C]
Q.31: [E]
Q.32: [A]
Q.33: [E]
Q.34: [E]
Q.35: [C]
Q.36: [D]
Q.37: [C]
Q.38: [D]
Q.39: [D]
Q.40: [E]
Q.41: [A]
Q 42: [C]
Q.43: [A]
Q 44: [B]
Q.45: [A]
Q.46: [E]
Q 47: [D]
Q 48: [A]
Q 49: [D]
Q.50: [B]
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