Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ
Teoria e Questões comentadas
Prof. Ricardo Soncim - Aula 00
Aula 00
Curso: Matemática Financeira
Professor: Custódio Nascimento
Curso: Matemática Financeira p/ ISS Cuiabá
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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00
APRESENTAÇÃO
Caros alunos e alunas,
Bem vindos ao curso online preparatório para o cargo de Auditor Fiscal
Tributário da Receita Municipal de Cuiabá.
Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio
Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto Militar
de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma
escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver
estudar para um concurso público no meio civil.
No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento
foram:
•
Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito
da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3
meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso,
das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;
•
Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para
Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes
Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de
estudo;
•
Fui aprovado, ainda, nos concursos para Analista do Ministério
Público da União, na área de Perícia/Engenharia Civil, e para
Engenheiro Civil do Ministério da Saúde.
Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo
tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos)
e o lazer sempre necessário.
Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do
Exponencial Concursos.
No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você
trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras
de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva,
baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão
sonhado concurso público.
Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio
dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu
tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de
conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar,
ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.
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E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está
aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus
objetivos.
Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira,
com base no edital do último concurso (2014), mas garantimos a atualização e
inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer, quando da
divulgação do novo edital.
A carreira de Auditor Fiscal Tributário da Receita Municipal de Cuiabá é
uma excelente oportunidade de ingresso na carreira fiscal, com uma
remuneração inicial de R$ 11.905,49, segundo as informações do último edital.
O cargo exige diploma de nível superior em qualquer área, com jornada de
trabalho de 40 horas semanais.
O último certame foi conduzido pela FGV, uma banca muito tradicional,
que já conduziu vários concursos na área fiscal, em diversos órgãos. O nosso
objetivo será abordar todo o conteúdo do edital.
Por ser um curso de Teoria e Exercícios, procuraremos fazer um paralelo
entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma
objetiva, concisa e esquematizada. O conteúdo não estará voltado ao ensino da
disciplina, nos moldes acadêmicos tradicionais, mas sim, trará objetivamente
os conceitos necessários e suficientes à resolução das questões.
Os assuntos de Matemática Financeira foram cobrados no último
certame na Prova I, com 10 questões, representando 14,3% da Prova I e 7,1%
das provas objetivas! É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser
atingida é de 50% em cada disciplina. Portanto, você não pode deixar de estudar
nenhuma disciplina.
O nosso curso terá mais de 150 questões comentadas, com
prioridade para as questões da FGV cobradas em provas recentes. Sempre que
for necessário complementar o entendimento do assunto tratado, serão
utilizadas questões de outras bancas, tais como CESPE, ESAF e FCC.
Daremos prioridade, também, para as questões de provas de concursos
de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos
nos preparando.
Antes de começarmos efetivamente a nossa primeira aula, vamos fazer
uma breve análise da nossa disciplina na última prova ocorrida para o
AFTRM/Cuiabá.
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Análise da prova de Matemática Financeira
do concurso de 2014
O último concurso para AFTRM/Cuiabá ocorreu em 2014, e foi
organizado pela FGV.
A prova de Matemática Financeira trouxe 10 questões e cobrou
praticamente todos os tópicos do edital. Na nossa opinião, foi uma prova
elegante, com diversas questões que podiam ser resolvidas com aplicação de
conhecimento teórico, sem necessidade de desenvolvimento de longos cálculos.
Houve, também, algumas questões de nível mais elevado, que exigiram
bastante dos candidatos. Enfim, foi uma boa prova, que soube separar os que
realmente se prepararam para a disciplina daqueles que a deixaram de lado.
Apresentaremos a resolução de todas as questões da prova em nossa
última aula do curso.
O quadro abaixo mostra a distribuição das questões da prova em
assuntos:
Prova AFTRM/Cuiabá (2014)
Assunto
Quant.
Juros simples
1
Juros compostos. Capitalização. Taxas de juros: nominal, efetiva,
equivalentes, real e aparente.
1
Operações de desconto.
1
Equivalência de capitais. Rendas uniformes e variáveis. Atualização
monetária. Valor atual e valor futuro.
1
Planos de amortização de empréstimos e de financiamentos. Cálculo
financeiro do custo real efetivo de operações de financiamento,
empréstimo e investimento
2
Métodos de análise de investimentos: Valor anual uniforme
equivalente; Taxa interna de retorno; Valor presente líquido;
Métodos não exatos. Taxa mínima de atratividade. Comparação de
alternativas de investimento e financiamento
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Aula Assunto
Data
00
Porcentagem
Disponível
01
Juros simples
07/03/2015
02
Juros compostos
14/03/2015
03
Descontos
21/03/2015
04
Equivalência de capitais. Anuidades
28/03/2015
05
Sistemas de amortização
04/04/2015
06
Métodos de análise de investimentos
11/04/2015
07
Questões complementares. Resolução da prova de 2014
14/04/2015
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Aula 00: Porcentagem
Assunto
Página
1. Preciso estudar esta aula?
6
2. Porcentagem
7
3. Questões comentadas
14
4. Resumo da aula
36
5. Questões apresentadas na aula
38
6. Gabarito
47
E para facilitar sua referência, abaixo as esquematizações disponíveis nesta
aula:
Esquema 1 – Fatores de multiplicação .............................................................................. 11
Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação ............................................................ 11
Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas ................................................................... 12
Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante ..................................................... 13
Nesse primeiro encontro, abordaremos um assunto bem básico, mas que
causa alguns problemas a alguns alunos: Porcentagem! Preste bastante
atenção, pois o entendimento desse conceito será fundamental no decorrer da
nossa disciplina.
Então, ajeite-se na cadeira, esqueça seu celular e concentre-se, para que
seu rendimento seja o mais favorável possível.
Ah, e lembre-se, você já está na frente, pois já está se preparando!
1. Preciso estudar esta aula?
Você precisará estudar essa aula se você não souber responder
mentalmente as duas perguntas que colocaremos a seguir ou se você
souber, porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma
delas.
1ª pergunta
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Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um aumento
de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto
ele passará a receber após esses dois meses?
(A) R$ 100,00
(B) R$ 110,00
(C) R$ 99,00
(D) R$ 101,00
2ª Pergunta
Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um desconto
de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto
ele passará a receber após esses dois meses?
(A) R$ 100,00
(B) R$ 110,00
(C) R$ 99,00
(D) R$ 101,00
A resposta para as duas perguntas é a alternativa C, ou seja, ele passará
a receber R$ 99,00.
Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma
rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta
aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para cada
questão, você pode passar para a Aula 01, sobre juros simples.
2. Porcentagem
2.1 – Conceito
A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada
20
pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a
. Há
100
três maneiras de se representar esse número:
Forma
percentual
Forma
fracionária
Forma unitária
(ou decimal)
20%
20
100
0,2
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1%
1
100
0,01
0,5%
0,5
100
0,005
Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em
relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um
banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome
de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem
que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis:
=
∙
Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres.
Quantas mulheres existem na sala?
Solução
C = 120
i = 30%
Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte fórmula:
=
∙
onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas maneiras
de realizar o cálculo:
1ª maneira: utilizando a forma centesimal:
= 120 ∙
=
:
30
= 36
100
2ª maneira: utilizando a forma unitária:
= 0,30:
= 120 ∙ 0,30 = 36
Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que
temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a
segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para
utilizá-la também.
Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso:
(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual –
Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste,
passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de,
aproximadamente:
(A) 28%
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(B) 25%
(C) 22%
(D) 20%
(E)
18%
Resolução:
Primeiramente, vamos determinar a magnitude
passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$:
do
aumento
da
= 1,40 − 1,15 = 0,25
Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do
preço inicial da passagem:
=
=
∙ ⇒ =
0,25
≈ 0,22 = 22%
1,15
Logo, a alternativa C é a resposta.
Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma
forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de
multiplicação.
2.2 – Fator de Multiplicação
O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de
matemática financeira e é o item mais importante desta aula.
Vamos explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa
que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela
receberá após o aumento?
Solução
Vamos calcular o valor do aumento:
=
∙ = 800 ∙
20
= 160
100
Depois, calculamos o salário final (CF) somando o aumento (P) com o
salário anterior (C):
=
+
= 800 + 160 = 960
Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida,
multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por
definição, vale:
=
+
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Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor
final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de
multiplicação f, logo:
=
∙
+
Assim,
=
∙ 1+
= 800 ∙ 1 + 0,2 = 800 ∙ 1,2 = 960
E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do exemplo
acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do
seu novo salário após a redução?
Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na primeira
maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado especificamente
para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue:
! =1−
Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em
outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou
negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a:
! = 1 − = 1 − 0,2 = 0,8
A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma
fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor
positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto
de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a
seguinte fórmula:
! =1+
Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%), como
se segue:
! = 1 + = 1 + −0,2 = 1 − 0,2 = 0,8
Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir
qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus
estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que,
quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maior é a chance de
um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos positivas as
taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou
desconto, prejuízo).
Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já
tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo
salário anterior (C), logo:
=
∙ ! = 800 ∙ 0,8 = 640
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Desta forma, temos os seguintes esquemas:
Fator de
multiplicação
de aumento
i positivo
de redução
i negativo
1+i
Esquema 1 – Fatores de multiplicação
Valor final da
grandeza
CF = C . (1 + i)
para aumento
i positivo
para redução
i negativo
Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação
Vejamos como isso já foi cobrado em prova:
(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual –
Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste,
passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de,
aproximadamente:
(A) 28%
(B) 25%
(C) 22%
(D) 20%
(E)
18%
Resolução:
Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator
de multiplicação que acabamos de aprender.
Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte:
=
∙ 1
Substituindo os valores, temos:
1,40
1,15 ∙ 1
⇒1
1,40
⇒1
1,15
1,22 ⇒
0,22
22%
A alternativa C é a resposta correta.
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2.3 – Aumentos e/ou descontos sucessivos
Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico para
resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis novamente
as perguntas:
1ª pergunta
Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um
aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%.
Quanto ele passará a receber após esses dois meses?
2ª Pergunta
Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um
desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%.
Quanto ele passará a receber após esses dois meses?
Taxas sucessivas
Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta
multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação
obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:
=
∙ 1
∙ 1
"
∙ 1
…
Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento
e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.
Valor final
em taxas
sucessivas
CF = C . (1 + i1) . (1 + i2)...
aumento
i positivo
redução
i negativo
Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas
Solução da 1ª pergunta
O aumento de 10% será aplicado com um fator de aumento
(1+0,10), enquanto que o desconto de 10% será aplicado com um fator de
desconto (1-0,10). Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando
o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a equação
mostrada anteriormente:
100 ∙ 1
0,10 ∙ 1
0,10
100 ∙ 1,1 ∙ 0,9
99
Logo, o salário final será de R$ 99,00
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Solução da 2ª pergunta
Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará
diferença? Vejamos:
= 100 ∙ 1
0,10 ∙ 1
0,10
100 ∙ 0,9 ∙ 1,1
99
Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por
1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim, não
faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de salário!
Aumento (ou desconto) resultante:
Em uma situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos,
podemos calcular o aumento (ou desconto) resultante (iR), da seguinte
forma:
1
$
1%
∙ 1%
"
∙ 1%
…
Se o resultado de iR for positivo, teremos um aumento. Por outro lado, se
o resultado der um número negativo, trata-se de um desconto.
Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente:
∙ 1%
∙ 1%
∙ 1
∙ 1%
"
…
$
Desta forma, temos o seguinte esquema:
Aumento
ou redução
resultante
(1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...
aumento
i positivo
redução
i negativo
Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante
Vejamos uma cobrança feita em concurso:
(FGV / Auditor do Estado – Área Controlador –
Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município
exerceu seu mandato nos anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de 2010,
2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal aumentaram
em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram
as de 2009 em, aproximadamente,
A) 60%.
B) 68%.
C) 73%.
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D) 80%.
E) 107%.
Resolução:
Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012),
sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto,
de um caso de aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o
aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao
ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
∙ 1+
em que i1 = i2 = i3 = 0,2. Logo:
1+
$
= 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2
Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três
números decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de
calculadora, você terá que fazer isso “na mão”. Sendo assim, comece a treinar
desde já. Se for preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como
se resolve uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo
a multiplicação, ficamos com:
1+
$
= 1,728 ≈ 1,73 ⟹
$
= 0,73 = 73%
A alternativa C é a resposta correta.
3. Questões comentadas
Múltipla escolha
01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia
– Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de
determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P
e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo
preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela
loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de
A) 56%.
B) 15%.
C) 50%.
D) 30%.
E) 44%.
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Resolução:
1ª solução: utilizando a forma literal
Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final
praticados nas lojas A e B:
()
= preço inicial da loja A
*)
= preço final da loja A
(+
= preço inicial da loja B
*+
= preço final da loja B
Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado:
A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo:
*)
= 1 − 0,20 ∙
()
= 0,8 ∙
()
(I)
A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar
o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10%
a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A.
(+
,-.
=
= 1 − 0,1 ∙
*+
(II)
"
*)
= 0,9 ∙
(III)
*)
Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o
valor de
*+
−
(+
=?
(+
Substituindo I em III, temos:
*+
= 0,9 ∙ 0,8 ∙
()
= 0,72 ∙
()
(IV)
Substituindo II em IV, temos:
*+
= 0,72 ∙ 2 ∙
(+
⟹
*+
= 1,44
(+
Logo, o valor do aumento é:
*+
−
(+
(+
=
*+
− 1 = 1,44 − 1 = 0,44 = 44%
(+
2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e rápida)
Loja A
(
=
= 100
Loja B
(
= ⁄2 = 50
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*
= 1 − 0,2 ∙ 100 = 0,8 ∙ 100 = 80
*
= 1 − 0,1 ∙ 80 = 0,9 ∙ 80 = 72
Aumento = 72-50 = 22
22
= 44%
50
A alternativa E é a resposta correta.
02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de
Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo
o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em
10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem.
Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram
abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os
compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do
preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,
A) 3%.
B) 10%.
C) 15%.
D) 1%.
E) 5%.
Resolução:
Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é
supormos que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos:
Loja Q:
Preço inicial = 100
Preço após o reajuste de 10% = 1 + 0,1 ∙ 100 = 1,1 ∙ 100 = 110
Preço após o desconto de 10% = 1 − 0,1 ∙ 110 = 0,9 ∙ 110 = 99
Loja R:
Preço inicial = 100
Preço após o reajuste de 20% = 1 + 0,2 ∙ 100 = 1,2 ∙ 100 = 120
Preço após o desconto de 20% = 1 − 0,2 ∙ 120 = 0,8 ∙ 120 = 96
Logo, a diferença de preços entre as lojas é de 99 - 96 = 3.
Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de
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3
≈ 3%
99
É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta
acima ( ), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta
DD
aproximada.
A alternativa A é a resposta correta.
03. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /
2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J
resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na
loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa
mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de
20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em
A) 20%.
B) 50%.
C) 10%.
D) 15%.
E) 60%.
Resolução:
Como os valores são simples, a maneira mais fácil de resolver a questão
é calculando o preço final da mercadoria na loja J (Pf,J). Como o reajuste é para
aumento, consideraremos uma taxa positivas (+20%):
*,E
= 50 ∙ 1 + 0,20 = 50 ∙ 1,2 = 60
Agora, basta calcularmos qual a taxa de aumento suficiente para fazer o
preço na loja K sair do valor inicial (40) para o mesmo valor da loja J (60):
*
=
(
∙ 1+
⟹ 60 = 40 ∙ 1 +
⟹ 1+
=
60
= 1,5 ⟹ = 0,5 = 50%
40
A alternativa B é a resposta correta.
04. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /
2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que
incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais
constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento,
aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?
A) 67%.
B) 61%.
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C) 65%.
D) 63%.
E) 69%.
Resolução:
Vamos montar um esquema, para facilitar a compreensão do enunciado.
No entanto, temos que perceber que o imposto incide sobre o preço de venda,
enquanto que o lucro líquido é em relação ao preço de compra, logo temos:
-16%
•Preço de compra
(PC)
•Preço de venda
(com impostos)
(PV)
•Preço de venda
(sem impostos)
(PM)
+ 40%
Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços de
compra (PC), sem impostos (PM) e com impostos (PV):
F
=
F
G
∙ 1
0,40
H
∙ 1
0,16
A questão quer o aumento total entre o preço de venda (com impostos)
e o preço de compra, logo basta igualar as duas equações listadas acima:
H
H
∙ 0,84
G
∙ 1,4 ⟹
∙ 1
H
0,16
G
∙
G
1,4
⟹
0,84
∙ 1
H
0,40
G
∙
1,4
⟹
0,84
Comparando com a fórmula padrão do aumento
H
≅
G
∙ 1
∙ 1,67
, temos
que:
1
1,67 ⟹
0,67
67%
A alternativa A é a resposta correta.
05. (FCC / Assistente Administrativo Júnior - Companhia do
Metropolitano de São Paulo / 2014) Um comerciante comprou certa
mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% de lucro sobre o preço final
de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos sobre o preço final de
venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o produto por
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A) R$ 190,00.
B) R$ 189,90.
C) R$ 172,80.
D) R$ 205,20.
E) R$ 185,00.
Resolução:
Vamos começar montando um esquema com cada preço e seus
descontos. Atentar que, como o lucro que o comerciante deseja é de 20% sobre
o preço final de venda, isso equivale a um desconto de 20% sobre tal valor.
Você deve perceber que esta questão não trata de descontos sucessivos,
pois o enunciado afirma que tanto o lucro como os impostos incidem sobre o
preço final de venda, conforme o diagrama a seguir:
Preço de
compra
(133,00)
- 10 % (impostos)
- 20 % (lucro)
Preço de
venda
Sendo assim, temos um caso em que os descontos devem ser somados,
conforme figura a seguir:
Preço de
compra
(133,00)
- 30 %
Preço de
venda
Logo, o cálculo é dado a seguir:
133
H
H
∙ 1
133
0,70
J, KJ
190
A alternativa A é a resposta correta.
06. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)
O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse
preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado
mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo
comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite
permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de
aproximadamente
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A) 15%.
B) 12%.
C) 19%.
D) 13%.
E) 14%.
Resolução:
Mostraremos duas formas de solução:
1ª Solução: estipulando valores
Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7%
o preço passa a ser igual a 100 ∙ 1 + 0,07 = 100 ∙ 1,07 = 107.
O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o
preço máximo final é igual a 100 ∙ 1 + 0,22 = 100 ∙ 1,22 = 122
Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve
ser:
=
∙ 1+
⟹ 122 = 107 ∙ 1 +
⟹1+ =
122
= 1,14 ⟹ = 0,14 = 14%
107
Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento:
Aumento de 7%
Aumento de i%
Preço inicial
Preço final
100
122
107
Aumento de 22%
2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos
Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos
os fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim:
1+
1 + 0,22 = 1 + 0,07 ∙ 1 +
$
"
= 1+
⟹ 1+
∙ 1+
"
=
"
1,22
= 1,14 ⟹
1,07
"
= 0,14 = 14%
Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com
fórmulas matemáticas.
A alternativa E é a resposta correta.
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07. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)
O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês
seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo
produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de
aumento do preço nesses dois intervalos foi de:
A) mais 15%.
B) menos 10%.
C) menos 20%.
D) mais 25%.
E) mais 20%.
Resolução:
A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento
dos preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação:
Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu
um aumento percentual i1 – que calcularemos daqui a pouco.
Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um
aumento percentual i2 – que calcularemos daqui a pouco.
Etapa 3: o percentual i1 mudou para i2, ou seja, sofreu uma variação percentual
i3. Esse valor i3 que é a resposta do problema!
Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa
e encontraremos os valores de i1, i2 e, finalmente, i3.
Etapa 1:
=
∙ 1+
⟹ 18,75 = 15 ∙ 1 +
⟹1+
⟹ 22,5 = 18,75 ∙ 1 +
"
=
18,75
= 1,25 ⟹
15
= 0,25
Etapa 2:
=
∙ 1+
"
⟹1+
"
=
22,5
= 1,2 ⟹
18,75
"
= 0,2
Etapa 3:
=
∙ 1+
⟹ 0,2 = 0,25 ∙ 1 +
⟹1+
=
0,2
= 0,8
0,25
= −0,2 = −20%
Ou seja, a taxa foi de menos 20%.
A alternativa C é a resposta correta.
08. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:
Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto
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indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três
dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta.
Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,
A) 5.
B) 5.
C) 19.
D) 500.
E) 600.
Resolução:
A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço.
Logo, temos que perceber que o máximo preço “errado” da etiqueta seria R$
960. Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960.
=
∙ 1+
⟹ 960 = 160 ∙ 1 +
⟹1+ =
960
= 6 ⟹ = 5 = 500%
160
A alternativa D é a resposta correta.
09. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:
Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou
um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa
transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e
revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado.
Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi
vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o
lucro obtido na venda do apartamento X foi de
A) 10%.
B) 12%.
C) 15%.
D) 18%.
E) 21%.
Resolução:
Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do
problema:
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Lucro de 40%
Lucro de x%
Apto X
Preço final
Apto Y
Lucro de 61%
Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não
facilita a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver
a questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda ( " = 40%),
bem como do lucro resultante ( $ = 61%), e pede o valor do lucro da primeira
venda (i1).
1 + 0,61 = 1 +
∙ 1 + 0,4 ⟹ 1,61 = 1 +
∙ 1,4 ⟹ 1 +
=
1,61
= 1,15
1,4
= 0,15 = 15%
A alternativa C é a resposta correta.
10. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de
Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante
comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda
desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser
suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim
garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que
o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a
A) R$ 620,00.
B) R$ 580,00.
C) R$ 600,00.
D) R$ 590,00.
E) R$ 610,00.
Resolução:
Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante
quer estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa
anunciar um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim,
garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço
intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos usar
o seguinte diagrama para nos auxiliar:
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Desconto de 30%
Lucro de 20%
Preço de
compra
Preço de
venda
350
PV
Preço intermediário (PM)
Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço
de venda:
I. O preço intermediário (PM) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350):
=
∙ 1+
⟹
F
= 350 ∙ 1 + 0,2 ⟹
F
= 350 ∙ 1,2 = 420
II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (PV) nos leva ao preço
intermediário (420):
=
∙ 1+
⟹ 420 =
H
∙ 1 − 0,3 =
H
∙ 0,7 ⟹
H
=
420
= 600
0,7
A alternativa C é a resposta correta.
11. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria
profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da
categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o
percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi
de
A) 2,4%
B) 3,6%
C) 4,5%
D) 5,4%
E) 6,0%
Resolução:
O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo:
=
∙ 1+
⟹
= 3 ∙ 1 + 0,8 = 3 ∙ 1,8 = 5,4 ⟹
= 5,4%
A alternativa D é a resposta correta.
12. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal
Regional do Trabalho - 15ª Região / 2013) Uma livraria entrou em
liquidação com o proprietário pedindo para que seus funcionários multiplicassem
o preço de todos os livros por 0,75. Com isso, as vendas cresceram e o estoque
de livros diminuiu muito, fazendo com que o proprietário da livraria
determinasse que os funcionários multiplicassem os novos preços dos livros por
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1,25. Comparando os preços dos livros antes da liquidação e depois da última
modificação de preços na livraria, conclui-se que
A) houve redução de 6,25%.
B) houve aumento de 6,25%.
C) houve redução de 0,475%.
D) não houve aumento nem redução.
E) houve redução de 4,75%.
Resolução:
Basta aplicarmos as multiplicações informadas no enunciado, para termos
a relação entre os preços inicial e final:
*
=
(
∙ 0,75 ∙ 1,25 ⟹
*
=
(
∙ 0,9375
Comparando o resultado acima com a fórmula
1+
*
=
(
∙ 1 + , temos que:
= 0,9375 ⟹ = −0,0625 = −6,25%
Logo, houve redução de 6,25%.
A alternativa A é a resposta correta.
13. (FCC / Assistente Técnico Administrativo - Área Recursos
Humanos – Sergipe Gás S.A / 2013) Três lojas cobram preços distintos por
certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor
preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço,
o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em
A) 60.
B) 65.
C) 35.
D) 80.
E) 50.
Resolução:
Colocando os preços em um esquema, temos:
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+ 35%
•Menor preço (P1)
•Maior preço (P3)
•Preço
intermediário (P2)
- 25%
Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços menor
(P1), intermediário (P2) e maior (P3):
=
"
∙ 1
0,35
"
∙ 1
0,25
A questão quer a relação entre o preço menor e o maior, ou seja, a taxa
de aumento que faz o valor menor atingir o valor maio.
Para tanto, isolamos o valor de P2 na segunda equação e substituímos tal
valor na primeira:
"
0,75
0,75
∙ 1,35
∙ 1,8
Comparando o resultado acima com a fórmula
∙ 1
, temos
que:
1
1,8 ⟹
0,8
80%
Logo, precisamos aumentar o preço menor em 80%, para que ele fique
igual ao maior preço.
A alternativa D é a resposta correta.
14. (FCC / Técnico Judiciário - Área Apoio Especializado Especialidade: Tecnologia da Informação – Tribunal Regional do
Trabalho - 12ª Região / 2013) Sabe-se que se o preço de um produto for
multiplicado por 1,42 esse preço aumenta em 42%. A porcentagem que
aumenta um preço que for multiplicado sucessivamente por 1,25 e por 1,30 é
igual a
A) 28,5.
B) 55.
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C) 62,5.
D) 55,5.
E) 12,5.
Resolução:
Basta aplicarmos as multiplicações sucessivas apontadas no enunciado,
para chegarmos à resposta:
*
=
(
∙ 1,25 ∙ 1,30 ⟹
*
(
∙ 1,625
Comparando o resultado acima com a fórmula
1
1,625 ⟹
0,625
*
(
∙ 1
, temos que:
62,5%
A alternativa C é a resposta correta.
15. (FCC / Técnico do Seguro Social – INSS / 2012) Em dezembro, uma
loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%,
o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse
mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o
preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro,
superasse o de A em
(A) 11,5%.
(B) 12%.
(C) 12,5%.
(D) 13%.
(E) 13,5%.
Resolução:
Vamos começar traduzindo os dados da questão no seguinte esquema:
-20%
•Veículo A
+ 10%
•Dezembro
•Janeiro
Mesmo preço
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-10%
•Veículo B
•Janeiro
•Dezembro
+ 15%
Aqui, é importante percebermos que, para resolvermos a questão, não
há necessidade de sabermos o preço inicial dos veículos (antes do mês de
dezembro). Basta partirmos do mesmo valor (em dezembro) e calcularmos os
descontos em janeiro.
Neste caso, a maneira mais fácil é adotarmos um valor para os carros no
mês de dezembro. Adotaremos que cada veículo custa 100. Assim, basta
calcularmos os preços dos veículos em janeiro:
Veículo A:
L
= 100 ∙ 1
0,20
100 ∙ 0,8
80
M
100 ∙ 1
0,10
100 ∙ 0,9
90
Veículo B:
A questão quer saber em quanto o preço do veículo B supera o do veículo
A. Ora, temos que a diferença entre os preços dos veículos é de 10. Basta
calcularmos quanto isso significa em relação ao preço de A:
N!
O
P
P
10
80
0,125
12,5%
A alternativa C é a resposta correta.
16. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal
Regional do Trabalho - 6ª Região / 2012) Três lojas concorrem vendendo
a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço
oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25%
de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada
em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta
com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto
de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta
camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três
clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três
lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que
o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse
segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente
A) 50.
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B) 33,3.
C) 25.
D) 22,5.
E) 12.
Resolução:
Para resolvermos esta questão, vamos calcular quanto cada cliente pagou
em cada loja pela compra de 4 camisetas, seguindo as regras de cada
promoção. Para tanto, vamos supor que o preço sem desconto da camiseta seja
100.
Loja
Promoção
Cálculos
Total
Q-Preço
4 camisetas pelo
preço de 3
3 ∙ 100
Melhor Compra
Você Sempre Volta
Primeira: preço
Primeira: preço
Segunda: preço
Segunda: 10%
Terceira: 25%
Terceira: 20%
Quarta: 25%
Quarta: 30%
Primeira: 100
Primeira: 100
Segunda: 100
Segunda: 90
Terceira: 75
Terceira: 80
Quarta: 75
Quarta: 70
300
350
340
Queremos saber quanto o cliente que pagou menos (300) gastou em
relação ao segundo que pagou menos (340). Para tanto, fazemos o seguinte
cálculo:
Q=
340 − 300
40
=
≅ 0,12 = 12%
340
340
A alternativa E é a resposta correta.
17. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007,
um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00.
Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de
20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor
no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em
2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o
rendimento percentual do investimento foi de:
A) 20%
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B) 18,4%
C) 18%
D) 15,2%
E) 15%
Resolução:
A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber:
Valorização de 20% em 2008 => i1 = 20% = 0,2
Desvalorização de 20% em 2009 => i2 = – 20% = – 0,2
Valorização de 20% em 2010 => i3 = 20% = 0,2
A taxa percentual resultante será:
1+
1+
$
$
= 1+
∙ 1+
"
∙ 1+
= 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 0,8 ∙ 1,2 = 1,152
$
= 0,152 = 15,2%
A alternativa D é a resposta correta.
18. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante
a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos
os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do
dia anterior é de:
A) 10%
B) 12%
C) 14%
D) 16%
E) 18%
Resolução:
Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das
variações sucessivas:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
Pelos dados da questão, i1=20%=0,20 e i2=-30%=-0,3. Atentar que,
como se trata de um desconto, o percentual entra na fórmula como um valor
negativo.
Logo:
1+
$
= 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,3 = 1,2 ∙ 0,7 = 0,84 ⟹
$
= −0,16 = −16%
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Isso significa que o desconto real foi de 16%.
A alternativa D é a resposta correta.
19. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise
desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total
nesses três meses foi de:
A) 60%
B) 56,6%
C) 53,4%
D) 51,2%
E) 48,8%
Resolução:
Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto
podemos utilizar a seguinte fórmula:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
∙ 1+
Neste caso, i1= i2=i3=-20%=-0,2
1+
$
= 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512
$
= −0,488 = −48,8%
A alternativa E é a resposta correta.
20. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas
economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou
que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou:
"Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que,
no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:
A) 60%
B) 66%
C) 70%
D) 75%
E) 100%
Resolução:
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A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o
investimento dobrou de valor – e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de
25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
1+
"
⟹ 1 + 1 = 1 + 0,25 ∙ 1 +
=
2
= 1,6 ⟹
1,25
"
"
⟹ 2 = 1,25 ∙ 1 +
"
= 0,6 = 60%
A alternativa A é a resposta correta.
21. (VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário - Tribunal de Justiça –SP
/ 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram
eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em
Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram,
do total de candidatos inscritos,
a) 84%
b) 80%
c) 64%
d) 46%
e) 36%
Resolução:
A maneira mais simples de resolvermos esta questão é supondo uma
quantidade inicial de candidatos igual a 100. Assim, a primeira prova eliminou
40% deles, o que dá 40 candidatos. Logo, sobraram 60. A segunda prova
eliminou 40% dos restantes, ou seja, 0,4 ∙ 60 = 24. Assim, houve um total de 64
candidatos eliminados, o que corresponde a 64% do total de candidatos.
A alternativa C é a resposta correta.
22. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um
ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se
dizer que a evolução do PIB per capita foi:
A) inferior a 2,0%.
B) igual a 2,0%.
C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.
D) igual a 3,0%.
E) superior a 3,0%,
Resolução:
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Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor
do PIB e o número de habitantes (N) de uma população, logo:
PIB per capita =
PIB
N
Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão:
1ª Solução – usando fator de multiplicação
Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é
obtido pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja,
=
∙ 1+
O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06
e o novo valor do PIB vale PIBF = 1,06.PIB.
A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale
1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale NF = 1,02.N.
O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº
de habitantes, assim:
RO STU VWS XW =
RO
1,06 ∙ RO 1,06 RO
=
=
∙
= 1,039 ∙ RO STU VWS XW(Z([()\
Y
1,02 ∙ Y
1,02 Y
A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039,
logo:
! = 1 + = 1,039 ⟹ = 0,039 = 3,9%
A alternativa E é a resposta correta.
2ª Solução – utilizando valores
Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de
habitantes também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale
=
1.
O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06.
A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02.
O novo valor do PIB per capita vale:
RO STU VWS XW =
1,06
= 1,039
1,02
Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou
3,9%.
A alternativa E é a resposta correta.
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23. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da
União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um
aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços
no biênio considerado?
A) 8%
B) 8,8%
C) 10,8%
D) 18%
E) 18,8%
Resolução:
Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do
aumento resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula:
1+
$
= 1+
∙ 1+
"
Pelos dados da questão,
i1=10%=0,10
i2=8%=0,08
Logo:
1+
$
= 1 + 0,1 ∙ 1 + 0,08 = 1,1 ∙ 1,08 = 1,188 ⟹
$
= 0,188 = 18,8%
A alternativa E é a resposta correta.
Certo ou errado
(CESPE / Agente Administrativo – Ministério do Meio Ambiente / 2009)
Em determinada fábrica de parafusos, para a produção de parafusos ao custo
de R$ 1,00 a unidade, a máquina X tem um custo fixo de R$ 300,00 por dia, e
a máquina Y fabrica os parafusos ao custo fixo diário 25% maior que o da
máquina X, mas a um custo unitário de cada parafuso produzido 25% menor
que o da máquina X. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.
24. Com a máquina X, para se produzir 100 parafusos em um dia, o custo é
de R$ 400,00.
Resolução:
Com a máquina X, o custo fixo é de 300,00 e o variável é de 1,00 por
unidade. Logo, para se produzir 100 unidades, o custo é dado por:
300,00 + 1,00 ∙ 100 = 300,00 + 100,00 = 400,00
Item certo.
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25. Com a máquina Y, o custo total de produção diária de 100 parafusos é de
R$ 450,00.
Resolução:
Com a máquina Y, o custo fixo é 25% maior que o da máquina X, ou
seja, de (1+0,25) x 300,00 = 375,00. Já o custo variável é 25% menor do que
o da máquina X, ou seja, de (1-0,25) x 1,00 = 0,75 por unidade. Logo, para se
produzir 100 unidades, o custo é dado por:
375,00 + 0,75 ∙ 100 = 375,00 + 75,00 = 450,00
Item certo.
26. Considerando que, em determinado dia, as duas máquinas produzam a
mesma quantidade de parafusos e que essa quantidade seja superior a 200
parafusos, o custo total de fabricação desses parafusos na máquina Y será
inferior ao da máquina X.
Resolução:
Para produzir 201 parafusos em um dia, o custo de cada máquina é de:
]á^. Q: 300,00 + 1,00 ∙ 201 = 300,00 + 201,00 = 501,00
]á^. a: 375,00 + 0,75 ∙ 201 = 375,00 + 150,75 = 525,75
Logo, para quantidades superiores a 200 unidades, o custo da máquina Y
será superior ao da máquina X.
Item errado.
27. Se, em determinado dia, a máquina X produzir o dobro de parafusos
produzidos pela máquina Y, de forma que os custos totais de produção sejam
iguais, então, nesse caso, a máquina Y produzirá menos de 50 parafusos.
Resolução:
Sendo QX e QY as quantidades produzidas pelas máquinas X e Y,
respectivamente, temos que os custos de produção de cada máquina serão:
]á^. Q: 300,00 + 1,00 ∙ bc
]á^. a: 375,00 + 0,75 ∙ bd
Como tais custos são iguais, temos:
300 + bc = 375 + 0,75 ∙ bd
Mas o item afirma que a máquina X produziu o dobro da máquina Y:
bc = 2 ∙ bd
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Substituindo na equação anterior, teremos:
300
2 ∙ bd
375
0,75 ∙ bd ⟹ 1.25 ∙ bd
75 ⟹ bd
60
Item errado.
4. Resumo da aula
A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada
pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem.
A taxa percentual (i), quando aplicada em relação a alguma quantidade
principal (C), é calculada conforme a fórmula:
∙
O fator de multiplicação (f) é dado por:
Para sabermos o valor final de uma grandeza que aumenta de uma taxa
i, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo:
∙
Consideraremos positivas as taxas para aumento (ou lucro) e
negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo), conforme os
esquemas:
Fator de
multiplicação
Valor final da
grandeza
de aumento
i positivo
de redução
i negativo
1+i
CF = C . (1 + i)
para aumento
i positivo
para redução
i negativo
Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta
multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação
obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:
∙
∙
e
∙
K
…
Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento
e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.
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Valor final
em taxas
sucessivas
CF = C . (1 + i1) . (1 + i2)...
aumento
i positivo
redução
i negativo
O aumento (ou desconto) resultante (iR) pode ser calculado por:
+
Aumento
ou redução
resultante
f
=
+
∙
e
(1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...
∙
K
…
aumento
i positivo
redução
i negativo
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5. Questões apresentadas na aula
Múltipla escolha
01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia
– Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de
determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P
e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo
preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela
loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de
A) 56%.
B) 15%.
C) 50%.
D) 30%.
E) 44%.
02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de
Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo
o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em
10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem.
Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram
abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os
compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do
preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,
A) 3%.
B) 10%.
C) 15%.
D) 1%.
E) 5%.
03. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /
2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J
resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na
loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa
mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de
20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em
A) 20%.
B) 50%.
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C) 10%.
D) 15%.
E) 60%.
04. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /
2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que
incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais
constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento,
aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?
A) 67%.
B) 61%.
C) 65%.
D) 63%.
E) 69%.
05. (FCC / Assistente Administrativo Júnior - Companhia do
Metropolitano de São Paulo / 2014) Um comerciante comprou certa
mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% de lucro sobre o preço final
de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos sobre o preço final de
venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o produto por
A) R$ 190,00.
B) R$ 189,90.
C) R$ 172,80.
D) R$ 205,20.
E) R$ 185,00.
06. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)
O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse
preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado
mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo
comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite
permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de
aproximadamente
A) 15%.
B) 12%.
C) 19%.
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D) 13%.
E) 14%.
07. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)
O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês
seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo
produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de
aumento do preço nesses dois intervalos foi de:
A) mais 15%.
B) menos 10%.
C) menos 20%.
D) mais 25%.
E) mais 20%.
08. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:
Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto
indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três
dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta.
Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,
A) 5.
B) 5.
C) 19.
D) 500.
E) 600.
09. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:
Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou
um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa
transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e
revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado.
Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi
vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o
lucro obtido na venda do apartamento X foi de
A) 10%.
B) 12%.
C) 15%.
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D) 18%.
E) 21%.
10. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de
Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante
comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda
desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser
suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim
garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que
o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a
A) R$ 620,00.
B) R$ 580,00.
C) R$ 600,00.
D) R$ 590,00.
E) R$ 610,00.
11. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria
profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da
categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o
percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi
de
A) 2,4%
B) 3,6%
C) 4,5%
D) 5,4%
E) 6,0%
12. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal
Regional do Trabalho - 15ª Região / 2013) Uma livraria entrou em
liquidação com o proprietário pedindo para que seus funcionários multiplicassem
o preço de todos os livros por 0,75. Com isso, as vendas cresceram e o estoque
de livros diminuiu muito, fazendo com que o proprietário da livraria
determinasse que os funcionários multiplicassem os novos preços dos livros por
1,25. Comparando os preços dos livros antes da liquidação e depois da última
modificação de preços na livraria, conclui-se que
A) houve redução de 6,25%.
B) houve aumento de 6,25%.
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C) houve redução de 0,475%.
D) não houve aumento nem redução.
E) houve redução de 4,75%.
13. (FCC / Assistente Técnico Administrativo - Área Recursos
Humanos – Sergipe Gás S.A / 2013) Três lojas cobram preços distintos por
certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor
preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço,
o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em
A) 60.
B) 65.
C) 35.
D) 80.
E) 50.
14. (FCC / Técnico Judiciário - Área Apoio Especializado Especialidade: Tecnologia da Informação – Tribunal Regional do
Trabalho - 12ª Região / 2013) Sabe-se que se o preço de um produto for
multiplicado por 1,42 esse preço aumenta em 42%. A porcentagem que
aumenta um preço que for multiplicado sucessivamente por 1,25 e por 1,30 é
igual a
A) 28,5.
B) 55.
C) 62,5.
D) 55,5.
E) 12,5.
15. (FCC / Técnico do Seguro Social – INSS / 2012) Em dezembro, uma
loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%,
o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse
mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o
preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro,
superasse o de A em
(A) 11,5%.
(B) 12%.
(C) 12,5%.
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(D) 13%.
(E) 13,5%.
16. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal
Regional do Trabalho - 6ª Região / 2012) Três lojas concorrem vendendo
a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço
oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25%
de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada
em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta
com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto
de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta
camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três
clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três
lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que
o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse
segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente
A) 50.
B) 33,3.
C) 25.
D) 22,5.
E) 12.
17. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007,
um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00.
Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de
20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor
no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em
2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o
rendimento percentual do investimento foi de:
A) 20%
B) 18,4%
C) 18%
D) 15,2%
E) 15%
18. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante
a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos
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os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do
dia anterior é de:
A) 10%
B) 12%
C) 14%
D) 16%
E) 18%
19. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise
desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total
nesses três meses foi de:
A) 60%
B) 56,6%
C) 53,4%
D) 51,2%
E) 48,8%
20. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas
economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou
que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou:
"Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que,
no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:
A) 60%
B) 66%
C) 70%
D) 75%
E) 100%
21. (VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário - Tribunal de Justiça –SP
/ 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram
eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em
Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram,
do total de candidatos inscritos,
a) 84%
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b) 80%
c) 64%
d) 46%
e) 36%
22. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um
ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se
dizer que a evolução do PIB per capita foi:
A) inferior a 2,0%.
B) igual a 2,0%.
C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.
D) igual a 3,0%.
E) superior a 3,0%,
23. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da
União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um
aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços
no biênio considerado?
A) 8%
B) 8,8%
C) 10,8%
D) 18%
E) 18,8%
Certo ou errado
(CESPE / Agente Administrativo – Ministério do Meio Ambiente / 2009)
Em determinada fábrica de parafusos, para a produção de parafusos ao custo
de R$ 1,00 a unidade, a máquina X tem um custo fixo de R$ 300,00 por dia, e
a máquina Y fabrica os parafusos ao custo fixo diário 25% maior que o da
máquina X, mas a um custo unitário de cada parafuso produzido 25% menor
que o da máquina X. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.
24. Com a máquina X, para se produzir 100 parafusos em um dia, o custo é
de R$ 400,00.
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25. Com a máquina Y, o custo total de produção diária de 100 parafusos é de
R$ 450,00.
26. Considerando que, em determinado dia, as duas máquinas produzam a
mesma quantidade de parafusos e que essa quantidade seja superior a 200
parafusos, o custo total de fabricação desses parafusos na máquina Y será
inferior ao da máquina X.
27. Se, em determinado dia, a máquina X produzir o dobro de parafusos
produzidos pela máquina Y, de forma que os custos totais de produção sejam
iguais, então, nesse caso, a máquina Y produzirá menos de 50 parafusos.
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6. Gabarito
01.
E
08.
D
15.
C
22.
E
02.
A
09.
C
16.
E
23.
E
03.
B
10.
C
17.
D
24.
C
04.
A
11.
D
18.
D
25.
C
05.
A
12.
A
19.
E
26.
E
06.
E
13.
D
20.
A
27.
E
07.
C
14.
C
21.
C
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