PEDRO NORBERTO
PORCENTAGEM
Porcentagem é a razão entre uma quantidade qualquer e 100. O símbolo % (por cento) indica a taxa percentual.
5
13
= 5%;
= 13%
100
100
Observamos que a taxa pode ser escrita de forma percentual, indicada com o símbolo %, que é a referência para 100,
ou, de forma unitária, quando dividimos por 100 sendo a referência para um.
3% (forma percentual) = 0,03 (forma unitária);
15% (forma percentual) = 0,15 (forma unitária).
Da nossa prática diária sabemos operar com porcentagem calculando a todo momento o valor de um produto quando
sofre um aumento ou diminuição percentual no seu preço.
Por exemplo: Para um produto que custa R$ 80,00 e sofre um aumento de 20%. Na prática, pegamos uma calculadora
e multiplicamos R$ 80 por 1,2 obtendo R$ 96,00.
Se multiplicarmos R$ 80 por 0,2 obteremos o valor correspondente a 20% de R$ 80, ou seja, R$ 16,00, que somado a
R$ 80,00 nos dá R$ 96,00.
Por que 1,2? 100% é a taxa correspondente ao valor inicial do produto, ou seja, R$ 80. Pretende-se calcular seu valor
acrescido de 20%, então: 100% + 20% = 120% = 1,2
Da mesma forma, se no lugar de acréscimo fosse desconto de 20%, faríamos 100% - 20% = 80 % = 0,8.
Calculando o valor do produto com desconto de 20%, temos: R$ 80 x 0,8 = R$ 64,00.
Podemos realizar cálculos percentuais com uma regra de três simples e direta:
100 %
outro %
valor correspondente a 100%
valor correspondente a outro %
No exemplo dos R$ 80,00 acrescidos de 20%, temos a regra de três:
100%
R$ 80
20%
x
Resolvendo temos x = R$ 16 ⇒ R$ 80 + R$ 16 = R$ 96
ou
100%
R$ 80
120%
x
Resolvendo temos x = R$ 96
EXEMPLOS RESOLVIDOS:
1) Calculando 15% do preço de um produto, encontramos R$ 45,00. Qual o preço desse produto?
Resolução:
Colocando os dados na regra de três:
100%
x
15%
45
⇒ x = R$ 300,00
2) Uma mercadoria custava R$ 200,00 e após um desconto passou a custar R$ 176,00. De quantos por cento foi o
desconto?
Resolução:
Valor do desconto : R$ 200 - R$ 176 = R$ 24
Colocando os dados na regra de três:
100%
200
x
24
⇒ x = 12%
São bastante comuns nos concursos, questões semelhantes a esse último caso. Dados os valores inicial e final da
mercadoria, pergunta-se qual o percentual de aumento ou de desconto. Como nosso tempo é muito curto, vamos
sempre procurar abreviar a resolução das questões.
Vejamos os exemplos:
1)
Custo inicial do produto: R$ 120,00
Custo final do produto: R$ 150,00
Qual o percentual do acréscimo? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair 1.
150 ÷ 120 = 1,25 - 1 = 0,25 = 25%
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2)
Custo inicial do produto: R$ 230,00
Custo final do produto: R$ 202,40
Qual o percentual do desconto? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair 1.
202,4 ÷ 230 = 0,88 - 1 = - 0,12 ou seja, 12% de desconto.
CÁLCULO COM INFLAÇÃO
Para verificarmos a inflação acumulada ao longo de um período, aplicamos sobre um valor 100, sucessivamente, as
taxas de inflação a considerar. Subtraindo o valor inicial 100 do valor final obtido, teremos a inflação acumulada no
período.
Exemplo: Consideremos que as taxas de inflação de três meses consecutivos foram 2%, 3% e 4%. Qual a inflação do
trimestre?
Resolução:
100 ⋅ 1,02 = 102 ⋅ 1,03 = 105,6 ⋅ 1,04 = 109,26 - 100 = 9,26%
TAXA DE INFLAÇÃO, TAXA REAL E TAXA APARENTE
Passamos a considerar três tipos de taxas: a taxa oferecida pelo mercado financeiro, que remunera as aplicações, a qual
chamaremos de taxa aparente; a taxa de inflação que corrige monetariamente os preços de produtos e serviços; e a
taxa real, que representa o efetivo ganho do aplicador extraídas as corrosões inflacionárias.
Seja uma aplicação financeira que remunera seus aplicadores à taxa de 8% ao mês. Se no mesmo mês for verificada
uma inflação de 5%, então não é correto considerar um ganho real de 8% nessa aplicação mas apenas, um ganho
aparente, já que, todos os preços foram reajustados em 5%. Nessa situação, podemos calcular o efetivo rendimento,
relacionando as taxas real (iR), de inflação (iI) e aparente (iA), da seguinte forma:
(1 + iR)(1 + iI) = 1 + iA
Com os dados da situação anterior, temos:
iR = ?
iI = 5%
iA = 8%
(1 + iR)(1 + 0,05) = 1 +0,08⇒ (1 + iR)(1,05) = 1,08 ⇒
1,08
1 + iR =
⇒ 1 + iR = 1,0286 ⇒
1,05
iR = 1,0286 - 1 = 0,0286 = 2,86%
Portanto, o ganho real do aplicador foi de 2,86%.
Cuidado!
Não fazer nessa situação a diferença 8% - 5% = 3%, que não reflete a taxa real. Esta será portanto, menor que
aquela diferença.
EXEMPLO RESOLVIDO:
1) Um aplicador obteve o ganho real em uma aplicação financeira igual a 3,6%. Qual a inflação do período, sabendo
que naquela ocasião, foi oferecida a taxa de aplicação de 7,5%?
Resolução:
iR = 3,6%
iI = ?
iA = 7,5%
(1 + 0,036 )(1 + iI) = 1 +0,075 ⇒ (1,036) (1 + iI) = 1,075 ⇒
1,075
1 + iI =
⇒ iI = 1,038 - 1 ⇒
1,036
iI = 3,8%
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EXERCÍCIOS
01. Complete os dados da tabela abaixo:
VALOR PRINCIPAL
PERCENTUAL DO
EM R$
PRINCIPAL
R$
100,00
10,00% = R$ 10,00
R$
500,00
5,00% =
R$
800,00
4,00% =
R$
850,00
3,50% =
R$
1.200,00
8,50% =
R$
700,00
12,00% =
R$
1.800,00
2,45% =
R$
1.550,00
12,51% =
R$
2.500,00
8,25% =
R$
1.300,00
6,50% =
02. Complete os dados da tabela abaixo:
VALOR PRINCIPAL
EM R$
R$
100,00
R$
R$
R$
R$
R$
R$
1.200,00
R$
800,00
R$
2.100,00
R$
350,00
R$
850,00
R$
400,00
AUMENTO DO
PERCENTUAL
R$
110,00
DESCONTO DO
PERCENTUAL
R$
90,00
PERCENTUAL
DO PRINCIPAL
10,00% = R$ 10,00
4,00% = R$
8,00
5,00% = R$ 20,00
6,00% = R$ 36,00
4,50% = R$ 22,50
8,00% = R$ 80,00
= R$ 36,00
= R$ 64,00
= R$ 131,25
= R$ 24,50
= R$ 89,25
= R$
8,00
03. Complete os dados da tabela abaixo:
TAXA
TAXA DE
TAXA
APARENTE INFLAÇÃO
REAL
10,00%
4,00%
5,77%
4,00%
2,00%
7,00%
3,00%
9,00%
4,00%
12,00%
5,00%
15,00%
3,50%
3,00%
1,45%
2,50%
2,50%
2,00%
3,45%
1,45%
4,00%
8,00%
4,50%
9,00%
3,50%
7,50%
2,45%
10,00%
4,50%
04. Um equipamento pode ser adquirido por R$ 500,00. Na compra à vista, e concedido um desconto de 5%. O preço
à vista é:
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05. Uma mercadoria custava R$ 600,00 e após um aumento passou a custar R$ 702,00. De quantos por cento foi o
aumento?
06. O preço de um bem passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o percentual de aumento?
07. Uma mercadoria custava R$ 500,00 e após um desconto passou a custar R$ 385,00. De quantos por cento foi o
desconto?
08. Ao pagar uma conta no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de multa. De quantos por cento foi a
multa?
09. 15% do preço de um objeto é R$ 2.100,00. Qual é o preço desse objeto?
10. Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada mês. Quanto receberá num mês em
que vendeu R$ 25.000,00?
11. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às
aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que
compareceu às aulas nesse dia?
12. O preço de venda de um equipamento, com lucro de 10%, é R$ 275,00. Qual o preço de aquisição do
equipamento?
a) R$ 247,50
b) R$ 250,00
c) R$ 200,00
d) R$ 274,50
e) R$ 210,00
13. (ESAF) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00 com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$
20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de
a) 38%
b) 40%
c) 28%
d) 51,8%
e) 25,45 %
14. (CESPE/UnB) O cotidiano dos brasileiros é permeado de índices, reajustes, diferentes taxas de juros, tabelas etc.
A todo momento, vêem-se resultados de pesquisas eleitorais, taxas de reajustes de preços de produtos, de mensalidade
escolares e de rendimento de aplicações financeiras, sendo todas essas informações dadas em forma de porcentagens.
Em relação a percentuais, assinale a opção incorreta.
a) Calcular 25% de certa quantia é equivalente a encontrar a quarta parte dessa quantia.
b) Dois reajustes consecutivos de 10% correspondem a um reajuste final de 21%.
c) Dois descontos consecutivos de 10% correspondem a um desconto final de 19%.
d) Se um salário recebe um reajuste de 200%, então esse salário dobra de valor.
e) Um desconto de 10% e, em seguida, um aumento de 20% correspondem a um aumento de 8%.
15. Três acréscimos sucessivos de 8%, 12% e 15%, correspondem a um acréscimo final de :
a) 35%
b) 37,5%
c) 39,1%
d) 40%
16. Três descontos sucessivos de 10%, 8% e 9%, correspondem a um desconto final de:
a) 24,65%
b) 75,35%
c) 27%
d) 29,49%
e) 69%
e) 9%
17. Uma fábrica, que tem preços tabelados para suas mercadorias, remarcou com 30% de abatimento as unidades que
apresentavam defeitos de fabricação. As pessoas que comprassem dez ou mais unidades teriam ainda 20% de
abatimento sobre o preço remarcado. Uma pessoa comprou 12 dessas unidades. Pergunta-se:
a) Qual a taxa de desconto que lhe foi feita?
b) Quanto pagou, se o total sem desconto era de R$ 1.852,00
18. Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000 unidades, em 5%. Um mês depois, resolve
diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?
19. As ações de certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada
um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, qual a
situação do preço final dessas ações comparado com o preço inicial?
20. Sabendo que determinada aplicação financeira pagou em um mês 8% de juros aos seus aplicadores e que neste
mesmo mês a inflação foi de 3%, qual a taxa real de juros dessa aplicação?
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21. (CESPE/UnB) O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00
no dia 1º de agosto de 1999. Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a
taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi
a) inferior a 1,5%
b) igual a 1,5%
c) superior a 1,5% e inferior a 2,0%
d) igual a 2,0%
e) superior a 2,0%
22. Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário decide
trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado
dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, qual a quantia que deverá ser desembolsada pelo
proprietário?
23.
IPCA e INPC têm nova fórmula
A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice
Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estrutura e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento
Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e estabeleceu
nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens
pesquisados no orçamento das famílias brasileiras.
Veja, nos gráficos abaixo, a evolução e participação percentual de cada item na apuração do IPCA.
Jornal do Brasil, 11/8/99 (com adaptações)
Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem como verdadeiros ou falsos, relativos ao cálculo do
IPCA.
I. A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados pessoais” passou a ter maior participação do que tinha até julho de
1999.
II. A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de 1999.
III. Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens “Transporte”, “Alimentação e bebidas”, “Comunicação” e
“Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de 1999.
IV. A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação à que tinha até julho
de 1999.
24. (ENADE 2004) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o
acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de
hosts, ou seja, número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a
evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América Latina.
Brasil
México
Argentina
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Número de hosts
2000
2001
2002
2003
446444
876596
1644575
2237527
404873
559165
918288
1107795
142470
270275
465359
495920
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004
5
2004
3163349
1333406
742358
PEDRO NORBERTO
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004
Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts
no período 2000-2004 foram:
a) Brasil e México
b) Brasil e Argentina
c) Argentina e México
d) Argentina e Brasil
e) México e Argentina
25. (ENADE 2007) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o
acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de
hosts, isto é, o número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a
evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América do Sul.
Brasil
Argentina
Colômbia
2003
2.237.527
495.920
55.626
2004
3.163.349
742.358
115.158
2005
3.934.577
1.050.639
324.889
2006
5.094.730
1.464.719
440.585
2007
7.422.440
1.837.050
721.114
Fonte: IBGE (Network Wizards, 2007)
Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts,
no período 20032007, foram
a) Brasil e Colômbia
b) Brasil e Argentina
c) Argentina e Brasil
d) Colômbia e Brasil
e) Colômbia e Argentina
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