Eliminação de Gauss e
Decomposição LU
Profa. Dra. Marli de Freitas Gomes Hernandez
CESET-UNICAMP
Histórico
• Uma versão preliminar da eliminação de Gauss apareceu pela
primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”,
em torno de 200 a.C. Até então o poder do método não tinha sido
reconhecido.
• No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular
a órbita do asteróide Ceres com pouquíssimas informações
(anotações do astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi quem batizou o
asteróide com o nome ao observar-lo pela primeira vez).
• O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu
na constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos.
• Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan
(engenheiro alemão) em 1888 publicou no seu livro de geodésica
intitulado “Handbuch der Vermessungskund”.
• Embora as idéias tenham sido conhecidas antes, muitos vezes o
credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao
lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do
computador), pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto.
• Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o
Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento
de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver
sistemas de equações lineares. Aquele pesquisa levou a um
conjunto de programas Fortran chamada LINPAC que são uma
referencia para muitos algoritmos computacionais de hoje. Inclusive
o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em
torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a
decomposição LU. C.B. Moler, J.J. Dongarra, G.W. Stewart e J.R.
Brunch, os principais programadores do LINPAC, basearam muitas
de suas idéias no trabalho de Jemes Boyle e Kenneth Dritz, do
Laboratório Argonne (nos EUA).
Informações retiradas de [1]
Objetivo
• Resolver um Sistema de equações lineares do tipo:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
(1.1)
• onde aij ,i = 1,2,...,m e j=1,2,...,n coeficientes,
bi, i = 1,2,...,m constantes,
xj, j=1,2,...,n incógnitas.
• O sistema (1.1) pode ter:
– Mais equações do que incógnitas (m > n);
– Mais incógnitas do que equações (m < n);
– O mesmo número de incógnitas e equações
(m = n).
• A solução de (1.1) podem ser:
– Única;
– Infinitas;
– Não existente.
Operações elementares entre
equações sem alterar o resultado
As operações elementares entre equações de um
sistema linear do tipo (1.1) são:
1. Trocar as equações de posição
2. Multiplicar uma ou mais equações por constantes
(chamamos múltiplos de equações):
3. Somar o múltiplo de uma equação por outra
Se aplicarmos qualquer operação elementar entre
equações, em um sistema linear o resultado
(x1,x2,...,xn) sempre será o mesmo como veremos a
seguir sem demonstração.
Trocar as equações de posição:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1



 a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  b p



 a x  a x  ...  a x  b
qn n
q
 q1 1 q 2 2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1



 aq1 x1  aq 2 x2  ...  aqn xn  bq



 a x  a x  ...  a x  b
p2 2
pn n
p
 p1 1



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
Exemplo: Dado o seguinte sistema:
2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
4 x  y  z  18

Sistema 1
4 x  y  z  18

x  y  z  9
2 x  3 y  2 z  20

Sistema 2
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2, x=3 y=2 e z=4.
Multiplicar uma ou mais equações por constantes
(chamamos múltiplos de equações):
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1



a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  b p 



 a x  a x  ...  a x  b 
qn n
q
 q1 1 q 2 2



 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1



a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  b p



 a x  a x  ...  a x  b
q2 2
qn n
q
 q1 1



 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
Exemplo: Dado o Sistema 1:
2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
4 x  y  z  18

Sistema 1
(4 x  y  z  18)2
2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
8 x  2 y  2 z  36

Sistema 3
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3, x=3 y=2 e z=4.
Somar o múltiplo de uma equação por outra:
+
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1



a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  b p 



 a x  a x  ...  a x  b
qn n
q
 q1 1 q 2 2



 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1





aq1 x1  aq 2 x2  ...  aqn xn  bq



(a  a ) x  (a  a ) x  ...  (a  a ) x  (b  b )
p1
q1 1
p2
q2
2
pn
qn
n
p
q




am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

Exemplo: Dado o
Sistema 1:
2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
4 x  y  z  18

Sistema 1
(2 x  3 y  2 z  20)2

x yz 9
2 x  3 y  2 z  20

5 x  7 y  5 z  49
4 x  y  z  18

Sistema 4
Solução do Sistema 1 =
Solução do Sistema 4,
x=3 y=2 e z=4.
Colocar o sistema de equações lineares (1.1) na forma matricial
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
AX  b
Sistema na forma de equações lineares
 a11 a12 ... a1n   x1   b1 
a
 x  b 
a
...
a
22
2n   2 
2
 21


 


     

   
am1 am 2 ... amn   xn  bm 

  
Matrix A
vetor X
Sistema na forma Matricial
vetor b
(1.3)
(1.2)
Podemos abreviar (1.3) escrevendo-o em forma de arranjo retangular de
números denominado Matriz Aumentada do sistema.
Esse termo Matriz Aumentada foi introduzida pelo matemático norte
americano Bôcher no seu livro “Introduction to Higher Algebra” em 1907. [1]
 a11 a12 ... a1n   x1   b1 
a
 x  b 
a
...
a
22
2n   2 
 21
  2
 


    

   
am1 am 2 ... amn   xn  bm 

  
Matrix A
vetor X
Sistema na forma Matricial
AXb  A b


Forma
Matricial
Matriz
Aumentada
vetor b
 a11 a12 ... a1n b1 
a

a
...
a
b
22
2n 2 
 21
(1.4)
 


 


am1 am 2 ... amn bm 



Matriz Aumentada
Matriz Aumentada do sistema
O primeiro exemplo conhecido do uso de uma matriz aumentada para
descrever sistemas lineares aparece no livro chinês “Nove Capítulos
de Arte Matemática” publicado entre 200 a.C. e 100 a.C.durante a
dinastia de Han.
•
•
Problema proposto pelo manuscrito: Existem três tipos de milho, dos
quais três montes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro
totalizam 39 medidas. Dois montes do primeiro, três do segundo e um
do terceiro totalizam 34 medidas. Finalmente, um monte do primeiro,
dois do segundo e três do terceiro totalizam 26 medidas. Quantas
medidas de milho estão contidas em um monte de cada um dos tipos?
O Problema leva a um sistema linear de três equações e três
incógnitas, que o autor escreve como:
1
2
3
2
3
3
1
2
1
(1.5)
O arranjo do autor é colocado
em colunas e e não em linhas
com colchetes, como
mostrado em (1.4).
26 34 39
Informações retiradas de [1]
Aproveitando o sistema proposto em (1.5), vamos usá-lo como
exemplo e colocá-lo em forma de sistema de equações (1.1),
forma matricial (1.3), e na forma de matriz aumentada (1.4)
1x1

2 x1
3 x
 1
 2 x2
 3 x3
 26
 3 x2
 2 x2
 1x3
 1x3
 34
 39
(1.6)
Forma de sistema de equações lineares
1 2 3  x1  26
2 3 1  x   34

 2   
3 2 1  x3  39
Forma matricial do sistema (1.6)
1 2 3 26
2 3 1 34


3 2 1 39
Matriz aumentada do sistema (1.6)
Resolução de sistemas triangulares superiores da forma:
Supondo que a matriz Anxn(quadrada) do sistema seja não singular, que
implica que os elementos da diagonal são não zero.
a11 x1





 a12 x2
 ...  a1n xn
 b1
a22 x2
 ...  a2 n xn

 b2
ann xn
(1.7.a)
 bn
Forma de sistema de equações lineares
AX  B
a11 a12 ... a1n   x1   b1 
0 a
  x  b 
...
a
22
2n   2 

  2

     

   
0
0
...
a
bn 
nn   xn 





Matrix A
vetor X
(1.7.b)
vetor b
Forma matricial do sistema (1.7.a)
a11 a12 ... a1n b1 
0 a

...
a
b
22
2n 2 

(1.7.c)

   


... a bn 
00
nn


Matriz Aumentada
Matriz aumentada do sistema (1.7.a)
Solução de (1.7.a)
a11 x1


a22 x2



a
x
 ( n 1)( n 1) ( n 1)

ann xn
 b1
 a12 x3  ...  a1( n 1) x( n 1)
 b2
 a23 x3  ...
 b( n 1)
 a( n 1) n xn
 a1n xn
 a 2 n xn

 bn
Passo 1 - Explicitar aiixi i=1,2,....,n.
 x1
 x
 2
 
x
 ( n 1)
 xn
 (b1
 a12 x3  ...
 a1( n 1) x( n 1)
 (b2
 a23 x3  ...
 a2 n xn ) / a22

 (b( n 1)
 a( n 1) n xn ) / a( n 1)( n 1)
 a1n xn ) / a11
 bn / ann
Passo 2 – Dividir a equação i por aii para obter xi, i=1,2,....,n.
Inversa de uma matriz M triangular superior com diagonal principal
com elementos unitários, M-1.
Seja
1 a12 ... a1n 
0 1 ... a 
2n 
M 
    


0 0 ... 1 
(1.18.a)
E considerando
1 c12 ... c1n 
0 1 ... c 
2n 
C
    


0
0
...
1


(1.18.b)
veremos que a seguinte igualdade é satisfeita
Sabendo que MM-1=I , se M-1 = C a seguinte igualdade é satisfeita
1 a12 ... a1n  1 c12 ... c1n  1 0 ... 0
0 1 ... a  0 1 ... c  0 1 ... 0
2n  
2n 



             


 

0 0 ... 1  0 0 ... 1  0 0 ... 1



 

 
M
C
I
(1.18.b) e a inversa de (1.18.a).
Mais tarde será mostrado como calcular a inversa de (1.18.a), é mais
fácil do que a inversa de A em (1.17.b) e em (1.3) sendo A
quadrada(m=n) e não singular.
Veremos como resolver o sistema (1.7.a) na forma matricial.
Aplicando a operação elementar, multiplicando em cada linha i a constante
1/aii, i = 1, 2,..,n, em (1.7.a) , as soluções dos dois sistemas serão a mesma.

(a11 x1







 a12 x2
 ...  a1n xn
(a22 x2
 ...  a2 n xn

(ann xn
1
a11
1
 b2 )
a22
 b1 )
 bn )
1
ann
 b1 
a1n 
a12

a 

1 a

x


11
1
a11


11

 
b
2
0 1  a 2 n   x2    
 

a22      a22 

     
xn   bn 

 
 
0 0  1  X

 ann 



E
b*

 x1








a12
x2
a11
x2
a1n
xn
a11
a
 ...  2 n xn
a22

 ... 
xn
b1
a11
b
 2
a22 2


Colocand
o na
forma
matricial
bn
ann
Como E = D-1A é da forma (1.18.a)
sendo
a11
0
A


0
a12
a22

0
 a1n 
 b1 
b 
 a2 n 
e b   2

  

 
 ann 
bn 
1
a
a11 0  0 
 11
0 a

0

0
22
1


D
D 

   
 



0  ann 
0

0

diagonal de A
0
1
a22

0





0 

0 

 
1 

ann 
1

a1n 
a12

0

0
a
 a
1


a11
a11 
 11
  11 a12  a1n  

0 a

1


 a2 n  
a2 n 
0
 0 
22
1
0
1

D A


a22
a22 

    
 

   

 





0  ann  
1 0




 0 0  1 
0 
0



A
ann 











E  D 1 A
D 1
1

 b1 
0  0 
a
a 
b


11
1


 11 
b   b2 
1


0
 0  2
D 1b  
  a22 .

a22

 
       

bn   bn 
1  
0 
0

 
b
a

 ann 
nn 



D 1
b*
e
1
a1n 
a12


1 a

1 e11  e1n 
a
11
11


0 1  e 
a
2n 
0 1  2 n   

a22 
    



   
0 0  1






0 0  1 
1
1
E  ( D 1 A )


Para resolver 1.17.b,
basta calcular:
D 1 , E , E 1 , e b* ,
X  E 1b* 
X  A1b
E  D 1 A
Pova X  E 1b*  X  A1b
AX  b  D 1 AX  D 1b  EX  b*
 X  E 1b* ou X  ( D 1 A) 1 D 1b
1
1
 X  A1 ( D 1 ) 1 D 1b  X  A1 
DD
b

X

A
b

I
Exemplo: Resolver o seguinte sistema
linear:
2 x1  2 x2  3 x3  6

 3 x2  1x3  4


4 x3  9

Forma de sistema de equações lineares
2 2 3  x1  6
0 3 1   x    4

 2   
0 0 4  x3  9 


A
Forma matricial do sistema acima
2 2 3 6
0 3 1 4


0 0 4 9 
b
Matriz aumentada do sistema
AX  b  EX  b*
2 2 3
6 
2 0 0
A  0 3 1 , b  4, D  0 3 0
0 0 4
9 
0 0 4
1
2

1
D  0

0

0
1
3
0

1 1

E  0 1

0 0


2
0
2


1
0 , 
D
A  0

 C

1
0

4 
2
2
3
3
0
3 
1 1
2 
1 
  0 1
3 
4 
0 0


4 
 X  E 1b*
 23
 24 
3
6  
 7 
3




2
2

X 


1
4 4
, D
b      
 12 
3
3 3
 9 
9  9 
1 
 4   4 
 4 


1
b*
7
3

 
1

1

3




6
2
1  1 
1 * 4
 , E  0 1   , b   
3
3

3
0 0

9 
1 
1


 4 

X
7     23

1  1  6   3   24

1  4   7 
0 1      

3   3   12 

9  9 
0 0


1 

 4   4 




*
E 1
b
X
• Como E é uma matriz 3x3, considerada
pequena, ela será determinada algebricamente
da forma rudimentar:
3
3

1 1 2  1 e
1 e11 e12 
2
e12  1 0 0
11





 
1
1 

, E 1  0 1 e23   EE 1  0 1
 0 1 e23   0 1 0
3
3 



 0 0 1 

0 0 1  0 0 1  
0 0 1 
1 



Inversão de E

1 1

E  0 1

0 0


1 1

1
EE  0 1

0 0

3
2  1 e12
1 
 0 1
3 
0 0
1  

e13  1 0 0
 

e23   0 1 0

1  0 0 1
3

1
e

1
e

e

12
13
23

2  1 0 0 

1  

 0
1
e13  e23   0 1 0
3 

0 0 1
0

0
1


1
3
e13  e23  0 e13  e23   0 e12  1  0
3
2



1
3
 9  1  3
e13       
 4  3  4
3
 e13 
4
1
3
e23  e23  
3
2
2
3
 e23  
3
2
9
 e23  
4
e13   e23
e12 1
Eliminação de Gauss
• Como visto, é muito mais fácil resolver
sistemas lineares triangulares superiores
em forma de sistemas de equações.
• E extremamente fácil na forma
AX=B(matricial), A triangular superior.
• As mesmas operações elementares entre
equações, são válidas para linhas da
matriz aumentada (1.4).
Eliminação de Gauss visa:
• Usando operações elementares entre linhas na
matriz aumentada ou equações no sistema de
equações lineares, transformar um sistema
linear qualquer em sistema linear triangular
superior.
• Como visto anteriormente, usando as operações
elementares entre equações no sistema de
equações lineares ou entre linhas na matriz
aumentada a solução do sistema permanece a
mesma.
Eliminação de Gauss visa transformar
usando operações elementares:
Vamos representar elementos não nulos por ”*”
* x1  *x2  ...  *xn  *
Operações
* x  *x  ...  *x  *
elementares
entre equações
 1
2
n



* x1  *x2  ...  *xn  *  * x1  *x2  ...  *xn  *
* x  ...  *x  *
Sistem a original




2
n

* xn  *
Sistem a transform ado
* * ... *
* * ... *


    


* * ... *




Matrix A
Sistema
original
 x1 
*
x 
*
 2   

 
 
 
xn 
*


vetor X
vetorb
Operações
elementares
Sistema transformado
* * ... *
0 * ... *



 


0 0 ... *



Matrix A*
 x1 
*
x 
*
 2   

 
 
 
xn 
*


vetor X
vetorb*
*
*



*
Matriz aumentada
do sistema
original
* ... * *

* ... * *
   

* ... * *
* * ... * *
0 * ... * *



  


0 0 ... * *
Operações
elementares
entre linhas
Matriz aumentada
do sistema
Transformado
Como aplicar a eliminação de Gauss no sistema forma matriz
aumentada - usando operações elementares entre linhas.
Aqui será adotado o seguinte:
•
Operar o sistema na forma matriz aumentada, no meu ponto de vista, é
mais claro, fácil e menos trabalhoso.
•
Desejando, pode operar também na forma de sistemas de equações, ou
até mesmo na forma matricial.
•
Supor que a matriz A seja quadrada m=n e não singular.
•
Pode aplicar eliminação de Gauss em matrizes singulares( se quadrada)
ou com m ≠ n também. Esses casos serão tratados mais tarde .
•
Adotado as seguintes notações; aij(k) e b i(k), i = 1,2,...,m( i-ésima linhas)
e j=1,2,...,n (j-ésima colunas) e k=1,...(k-ésima etapa da eliminação).
A eliminação (ou pivoteamento) se procede da esquerda
para a direita, de cima para baixo, abaixo da diagonal
principal.
Pivôs das fazes
anteriores a k
a 11( k ) a 12( k )  a 1(kk )  a 1(nk ) b ( k ) 
1


(k )
(k )
(k )
(
k
)
 0 a 22  a 2 k  a 2 n b2 
 
 Pivô 
 



(k )
(k )
(k )
0  akk  a kn bk 
 0
 


 


(k ) 
(k )
(k )
0  ank  a nn bn 
 0


Matriz Aumentada
Elementos
a serem
eliminados na faze k
Na fase k , escolhe-se o elemento pivô akk(k) (elemento
referência) situado na posição da diagonal principal da
coluna k e linha k.
O pivô akk (k) não será eliminado(zerado), somente os
elementos abaixo dele.
Pivôs das fazes
anteriores a k
a 11( k ) a 12( k )  a 1(kk )  a 1(nk ) b ( k ) 
1


(k )
(k )
(k )
(
k
)
 0 a 22  a 2 k  a 2 n b2 
 
 pivô 
 



(k )
(k )
(k )
0  akk  a kn bk 
 0
 


 


(k ) 
(k )
(k )
0  ank  a nn bn 
 0


Matriz Aumentada
Elementos
a serem
eliminados na faze k
• Caso o elemento akk(k) for zero ou próximo de zero,
escolher outro elemento abaixo da diagonal principal, na
mesma coluna, apk(k) ,não zero e p>k.
• O pivô dessa coluna será apk(k)
Pivô da faze 1
Posição do pivô,
mas, a22(2) = 0
a 11( 2 ) a 12( 2 )  a 1(k2 )  a 1(n2 ) b ( 2 ) 
1


( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
0
a

a

a
b2 

22
2k
2n
 



 

( 2)
( 2)
( 2)
( 2) 
 0 a p 2  a pk  a pn b p 
 

 




( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
 0 a n 2  ank  a nn bn 


ap2(2) ≠ 0 MatrizAumentada
• Colocar a linha p na posição da linha k e vice versa e
eliminar os elementos abaixo da posição do pivô.
• Exemplo: k=2.
Pivô da faze 1
pivô da fase 2
a 11( 2 ) a 12( 2 )  a 1(k2 )  a 1(n2 ) b ( 2 ) 
1


( 2)
( 2)
( 2)
(
2
)
 0 a p 2  a pk  a pn b p 
 



 


( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
 0 a 22  a2 k  a 2 n b2 
 

 




( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
 0 a n 2  ank  a nn bn 


Matriz Aumentada
Elementos a serem
eliminados na faze 2
• Continuar a eliminação (ou pivoteamento) até que
k=n ou a posição do pivô seja ann(n) e todo triangulo
inferior à diagonal principal seja 0 (zero).
a 11 a 12  a 1k  a 1n b ( n ) 
1


(n)
(n)
(n)
n
)
 0 a 22  a 2 k  a 2 n b2 
 


 



(n)
(n)
(n)
0  akk  a kn bk 
 0
 


 


(n) 
(n)
0
 0  a nn bn 
 0


(n)
(n)
(n)
MatrizAumentada
(n)
ultimo pivô
Eliminação de
Gauss Terminada
Agora, é só
terminar de
resolver o
sistema, basta
usar o método
já mostrado
aqui, para
sistemas
triangulares
superiores.
Como fazer as operações elementares na eliminação (ou
pivotamento) de Gauss.
Para cada fase k = 1,2,..,n, da eliminação (ou pivoteamento):
Determinar o pivô akk(k)
≠0 (ou não muito pequeno).
Aplicando operações elementares entre linhas.
Para cada elemento aik(k) que deverá ser eliminado (zerado), na i-ésima linha, i
= k+1,...,n, a abaixo da k-ésima da linha do pivô na mesma k-ésima coluna,
determinar uma constante mik, de modo que, ao multiplicá-la pela k-ésima linha
do pivô e somar com a i-ésima linha, esse elemento deverá ser zerado.
mik a  a
k
kk
(k )
kk
 0  mik a
(k )
ik
(k )
kk
a
 mik  
a
(k )
kk
 a
(1)
ik
Valor do elemento aik(k)
na fase k
Valor do pivô akk(k) na
fase k
Exemplo: seja a11(1) o pivô. O objetivo, é zerar todos os elementos ai1(1) i = 2,...,n,
(1)
(1)
na coluna 1, abaixo da linha 1. Isso é:
(1)
Pivô da fase 1
a11(1)
 (1)
a21
a31(1)

 
a (1)
 n1
a
(1)
11
mi1a11  ai1  0 
Fase 1
mi1a11(1)   ai(11) 
a12(1) a13(1)  a1(1n) b1(1) 
(1)
(1)
(1) (1) 
a22 a23  a2 n b2 
a32(1) a33(1)  a3(1n) b3(1) 



  
an(12) an(13)  ann(1) bn(1) 
a12(1)

a13(1)  a1(1n) b1(1) 
(1)
 a 21


 a (1)
11





(1)
 a31


 a (1)
11





 a n(11)

  a (1)
11

a11( 2)

 0
 0

 
 0

a
a




ai1
mi1   (1)
a11
(1)
11
a12(1)
a13(1)  a1(1n) b1(1)
(1)
11
a12(1)
a13(1)  a1(1n) b1(1)


a12(1)
a13(1)  a1(1n) b1(1)

a
(1)
11
a12( 2) a13( 2)  a1(n2) b1( 2) 
( 2)
( 2)
( 2) ( 2) 
a22 a23  a2 n b2 
a32( 2) a33( 2)  a3( 2n) b3( 2) 



  
an( 22) an( 23)  ann( 2) bn( 2) 
( 2)
mi 2 a22
 ai(22 )  0 
Fase 2
( 2)
mi 2 a22
  ai(22 ) 
pivô da
fase 2
a11( 2)

 0
 0

 
 0

a
(1)
11
0
a12( 2) a13( 2)  a1(n2) b1( 2) 
( 2)
( 2)
( 2) ( 2) 
a22 a23  a2 n b2 
a32( 2) a33( 2)  a3( 2n) b3( 2)     aa



  
an( 22) an( 23)  ann( 2) bn( 2)     aa
( 2)
32
( 2)
22
(1)
12
a
( 2)
a22
(1)
13
a
(1)
1n
 a

b 
(1)
1

( 2)
a23
 a2( 2n) b2(2) 




( 2)
n2
( 2)
22




ai(22)
mi 2   ( 2)
a22
0
( 2)
a22
( 2)
a23
 a2(2n) b2(2)
0
( 2)
a22
( 2)
a23
 a2(2n) b2(2)
a11(3) a12(3)

( 3)
0
a
22

 0
0


 
 0
0

a13(3)  a1(n3) b1(3) 
( 3)
( 3) ( 3) 
a23  a2 n b2 
a33(3)  a3(3n) b3(3) 


  
an(33)  ann(3) bn(3) 


Fase 3
( 3)
i 3 33
m a
a
(1)
11
0
0
a12(1)
( 2)
a22
a13(3)  a1(n3) b1(3) 
( 3)
( 3) ( 3) 
a23  a2 n b2 
a33(3)  a3(3n) b3( 2) 


  
an(33)  ann(3) bn(3) 

(3)
0 a33
 a3(3n)
 a n( 33)

  a ( 3)
33





0
ai(33)
mi 3   (3)
a33
(3)
0 a33
 a3(3n)
a11( 4) a12( 4) a13( 4)

( 4)
( 4)
( 2)
b2  
0
a
a
22
23

b3(3)    0
0 a33( 4)



 
 0
0
0

a13(1)  a1(1n) b1(1) 
( 2)
a23
 a2( 2n)
0
( 3)
mi 3a33
 ai(33) 
pivô da
fase 3
a11(3) a12(3)

( 3)
0
a
22

 0
0


 
 0
0

a
( 3)
i3
b3(3)
 a1(n4) b1( 4) 
( 4) ( 4) 
 a2 n b2 
 a3( 4n) b3( 4) 

  
 ann( 4) bn( 4) 

Fase n
Parar
a
(1)
11
0
0
a12(1)
( 2)
a22
0

a11( n ) a12( n ) a13( n )

(n)
(n)
b2(2)  
0
a
a
22
23

b3(3)    0
0 a33( 2)



 
 0
0
0

a13(1)  a1(1n) b1(1) 
( 2)
a23
 a2( 2n)
( 3)
a33
 a3(3n)

Agora, basta terminar de
resolver o sistema.
 a1(nn ) b1( n ) 
(n) (n) 
 a2 n b2 
 a3( nn) b3( n ) 

  
 ann( n ) bn( n ) 
pivô da
fase n
(ultima)
O sistema proposto em (1.5), no livro chinês, será usado como
exemplo de eliminação de Gauss.
(1)
(1)
a
a
2
3
Fase
1
31
21
Pivô da fase 1
m21   (1)    2, m31   (1)    3
a11
1
a11
1
1 2 3 26
2 3 1 34    2  1

  1
3 2 1 39    13  1
3
26 
1 2
0  1  5  18


0  4  8  39
2 3 26
2 3 26
(2) 1  2
(2)  2  3 (2)  3  1 (2)  26  34
(3) 1  3
(3)  2  2 (3)  3  1 (3)  26  39
Fase 2
( 2)
a32
(4)
m32   ( 2)  
 4
a22
(1)
Pivô da fase 2
3
26 
1 2
0  1  5  18


0  4  8  39
26 
1 2 3
0  1  5  18


0 0 12 33 
 (4) 

  
(

1
)


0
0
 1  5  18
(4)  (1)  4 (4)  (5)  8 (4)  (18)  39
Agora é só terminar de resolver o sistema equivalente triangular superior.
Esse sistema é muito mais fácil de resolver, do que o original, tanto pelo método
rudimentar como pelo de eliminação de Gauss.
Como já foi visto eliminação de Gauss, será usado eliminação de Gauss para terminá-lo,
mas antes vamos colocá-lo em uma outra forma equivalente triangular inferior com
diagonal principal unitária para facilitar ainda mais a resolução.
1x1

2 x1
3 x
 1
 2 x2
 3 x3
 26
 3 x2
 2 x2
 1x3
 1x3
 34
 39
Aplicando
eliminação
de Gauss
33
Sistema equivalente forma matriz
aumentada triangular inferior
diagonal principal unitária.
 3x3
 5 x3
(12x3
1
1
1
 18)
(1)
1
 33)
12
 26)
Sistema equivalente
Sistema original
33

1
0
0
 x3 

12 
5 1 0 18 , X   x 
 2


 x1 
3 2 1 26



(1x1  2 x2


(1x2




Dividir cada linha pelo
respectivo elemento da
diagonal
Colocar na forma de
matriz aumentada com
equações e icóginitas
em ordem invertidas

 x1





 2 x2
x2
 3x3
5 x3
x3
 26
 18
33

12
Sistema equivalente triangular
superior diagonal principal
unitária.
De agora em diante, para mostrar as operações, será colocado à frente da
linha pivô i valor mij que irá multiplicar-la, na forma “(mij)” e uma seta
desde esse valor até a linha a qual será somado.
33

1 0 0 12  (5) (3)
5 1 0 18  +


+
3 2 1 26


33 
11


1 0 0 12 
 x3  4 


51 
17 
0 1 0
 , X   x2  
12 
4


0 0 1 111
 x  37 
1



12 
4

soluçãodosistema

1 0 0

0 1 0

0 2 1

33 
12 
51 
 (2)
12 
213 +
12 
Sistemas lineares com n≠m ou
matriz A singular (determinante de A)=0.
Exemplo 1 Forma matriz elementar
• A eliminação de
Gauss para esses
pivô


(

2
)
(
4
)
(

1
)
(

3
)
tipos de sistema,
3
3
2

continua sendo
+
6
9
9
+
como já foi visto.


+
6
5
Mas pode-se
2
  8  6  8
+
acontecer de:


• Caso obtenha
9 10 
 4
equações(linhas)
toda de zeros
 2 3 3  2 3 3
 2 3 3
pivô
1 
 
0 0 0 

Basta colocá-las
0
6
4
(

)
0
4


6
 



no final das
2 
~
~
~
equações (linhas).  0 3 2  + 0 3 2  0 0 0
+


0
6
4


0 3 4

0
0

3
0

4
0


0
0
2


0 0 0
0=2 significa (não existe) solução
(obviamente 0≠2)
• Caso obtenha colunas de zeros desde a linha do
pivô(inclusive), busque outro pivô na primeira
coluna à direita na mesma linha.
 
 pivô
(1) (2)  1x
1

+  2 x1
  1x
1
+


1x1
1 
( ) 0 x1
2 
+ 0 x1
 2 x2
 4 x2
 2 x2
 2 x2
 3x3
2x3 
pivô
 0 x2
 0 x2

 3x3
 8 x3
 2 x3
 1x3
6
6
1x1
~ 0 x
 16 
 1
 4 0 x1
1x1
~ 0 x
4
 1
 2 0 x1
 2 x2
 0 x2
 0 x2
 2 x2
 0 x2
 0 x2
 3x3
2 x3
 0 x3
 3x3  6
~
 2 x3   4 
 1x3  2
 6  x1  2 
~  x    
4
 2  
 0  x3   2 
Sistema fica com duas equações e três incógnitas.
Significa que existe infinitas soluções.
Para cada α (constante) existe uma solução
Decomposição LU
Uma decomposição LU ou uma fatoração LU de uma matriz quadrada
A e uma fatoração A=LU na qual L é triangular inferior e U triangular
superior.
seja : A  Matriz quadrada n  n não  sin gular
Com o Re solver
1
AX  b  L 
L1 A X  b  LUX

b

LY

b

Y

L
b

U
Y
 UX  Y  UX  X  U 1Y ( solução de X )
seja : A  LU  Matriz quadrada n  n não  sin gular
inverter A  A1  LU   U 1 L1
1
Decomposição LU é feita usando eliminação de Gauss, registrando em uma
matriz diagonal unitária, os valores multiplicados pela linha pivô ii com o
objetivo de somar às linhas (k=i,i+1,...n) para eliminar(zerar) os elemento ki,
mn 1




(1)
 an1 
  (1)  
 a11 
m31




(1)
 a31 
  (1) 
 a11 
+
+
m21




(1)
 a21  a11(1) a12(1) a13(1)  a1(1n)  a11( 2) a12( 2) a13( 2)  a1(n2) 
  (1)   (1)

(1)
(1)
(1) 
( 2)
( 2)
( 2) 
+
a
a
a
a

a
0
a
a

a
 11   21
22
13
2n 
22
13
2n 

~
(1)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
a31
a32
a33
 a3(1n)    0 a32
a33
 a3( 2n) 

 










 

a (1) a (1) a (1)  a (1)   0 a ( 2) a ( 2)  a ( 2) 
1
n2
n2
n

n 3nn 

n 3nn


A
A( 2 )
0 0  0
 1
(1)
 a21
 (1)
(1)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)




a
a
a

a
a
a
a

a

1
0

0
11
12
13
1
n
11
12
13
1
n
 a (1)


(1)
(1)
(1)
(1) 
( 2)
( 2)
( 2) 
 11(1)
 a21
a
a

a
0
a
a

a
22
13
2n 
22
13
2n 

 a31
  (1)
(1)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
( 2)
 a (1) 0 1  0 a31 a32 a33  a3n    0 a32 a33  a3n 
 

 11
 


   


 
 
  (1)  
(1) 
 0 a ( 2) a ( 2)  a ( 2) 
an(11) an(12) an(13)  ann
 an1
 
n2
n3
nn 






















0
0

1
(
1
)
 a

(2)
A
A
11


M (1 )
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 3)
( 3)
( 3)
( 3)




a
a
a

a
a
a
a

a





 11
12
13
1n
11
12
13
1n
 an(11) 
 a32( 2)   0 a22( 2) a13( 2)  a2( 2n)   0 a22(3) a13(3)  a2(3n) 
 

  (1)     ( 2)  
~
( 2)
( 2)
( 2)
0 a33(3)  a3(3n) 
 a11 
 a22   0 a32 a33  a3n    0
 

+ 



   


 
 
+
 0 a ( 2) a ( 2)  a ( 2)   0
0 an(33)  ann(3) 
n2
n3
nn 




 


mn 1
m21
A( 2 )
A( 3 )
0
0  0
1
a11( 2) a12( 2) a13( 2)  a1(n2)  a11(3) a12(3) a13(3)  a1(n3) 
0

1
0  0 


( 2)
( 2)
( 2) 
( 3)
( 3)
( 3) 
( 2)
0  a32 0 1  0  0 a22 a13  a2 n   0 a22 a13  a2 n 

  0 a32( 2) a33( 2)  a3( 2n)    0
a22( 2)
0 a33(3)  a3(3n) 
 




  


   


 


( 2)
( 3)
( 3) 
0  an 2 0  1  0 an( 22) an( 23)  ann( 2)   0
0
a

a
nn 

 
n 3


 
a22( 2)
(2)
( 3)

A
A
M ( 2)


O mesmo que
0
0
1 0 
0 1 

0
0


 
0
0


0
0

1
0


( n 1)
0 0   an ( n1 1
( n 1)


a
1)( n 1)
( n


M ( n1)

0
0  0  1 0 0  0
1
1
 (1) (1) (1)

  a21(1)
(1)


a
a
a

a
0
0

0

1
0

0
11
12
13
1
n


  a (1)
 (1) (1) (1)
(1) 
11




a
a
a

a
( 2)
(1)
2n 
 21 22 13
a
a


32
0  0 1  0  31 0 1  0  (1) (1) (1)
(1) 
a
a
a

a
(
2
)
(
1
)
3n
 31 32 33

 a
a22


11




 


  
  





 (1)
( 2)
 (1) a (1) a (1)  a (1) 
a
0  n 2 0  1  an1 0 0  1 an
1
n2
n3
nn 









( 2)
(1)




A
a
a

22 11


M (2)
M (1)
a11( n ) a12( n ) a13( n )  a1(nn ) 
u11 u12 u13  u1n 



(n)
(n)
(n) 
0
a
a

a
0
u
u

u
22
13
2n 
22
13
2n 


( n 1) ( n  2 )
( 2 ) (1)
(
n
)
(
n
)
  0 0 a33  a3n   M
M...
MM
 A  U   0 0 u33  u3n 




L1












 0 0 0  a (n) 
0 0 0  u 
nn

nn

A( n ) U
U
0  0
0
 1
(1)

 a21
0

0
1


 a (1)
11


(1)
a


31
0

1
0


 a (1)
11








(1)

 an1
1

0
0


 a (1)
11





M
1
(1)
0  0
0
 1
(1)

 a21
0

0
1

 a (1)

 11
(1)
a


0

1
0
  31
(1)

a11







 (1)

 an1
1

0
0

 a (1)
11



M
( 1 ) 1
1
0  0
0
0  0
0
1
1
1
1




0

0
0
0

0
0








( 2)
( 2)
a32
a
0

0
1  0
0
0

1
0
 32

)
2
(
)
2
(




a22
a22












( 2)
( 2)
a
a

0
0
n2
1

0
0  1
 n( 22)
( 2)




a22
a22








M
(2)
M

( 2 ) 1

0
0
1 0 
0 1 

0
0


 
0
0


1
0
0 0 
( n 1)
0 0   an ( n 1

1
( n 1)


a
(
n

1
)(
n

1
)



M ( n 1)
1
0
0
1 0 
0 1 

0
0


 
0
0


1
0
0 0 
( n 1)
an ( n 1
0 0 

1
( n 1)


a
(
n

1
)(
n

1
)

M ( n1)
1
 1 0 0  0  1 0 0  0 
1
 a21(1)


0
0

0
1
0

0
 a (1)


11
 (1)


( 2)
a
 a31
 0 32 0 1  0
0
1

0
 a (1)
  a ( 2)

22
11

  






 (1)


( 2)
a
 an1
 0 n 2 0  1 
0
0

1
 a (1)
  a ( 2)

11 22

M (1 )
1
M (2)
1

0
0 ( n ) ( n ) ( n )
1 0 
(n)


a
a
a

a
11
12
13
1n
0 1 

0
0 
(n)
(n)
(n) 

0
a
a

a
22
13
2n 
 
0
0 
(n)
(n)

 0 0 a33  a3n 

1
0 
0 0 
( n 1)



 
0 0  an( n1 1 
 0 0 0  a (n) 
( n 1)


nn

( n 1)( n 1)
a


A( n ) U
M ( n1)
a11(1) a12(1) a13(1)  a1(1n) 
 (1) (1) (1)
(1) 
a
a
a

a
2n 
 21 22 13
(1) 1 ( 2 ) 1
( n  2 ) 1 ( n 1) 1
 a31(1) a32(1) a33(1)  a3(1n)   M
M
...
M
MU  A


L






a (1) a (1) a (1)  a (1) 
1
n2
n

n3nn
A
1
0 0  0
 1
0
0  0
(1)
 a21
 1

 a (1) 1 0  0 0
1
0

0

( 2)
 11

a
(1)
32
0 1  0
 a31
 0
(
2
)

a22
 a (1) 0 1  0 



 11

 

( 2)
 (1)  
a
n2
0  1
 an1
 0
(
2
)

a22
 a (1) 0 0  1 



11

( 2 ) 1
M
M (1 )
1

0
0
1 0 
0 1 

0
0


 
0
0


1
0
0 0 
( n 1)
an ( n 1
0 0 

1


a((nn11)() n 1)


M ( n1)
1
0

0
0
 1
(1)
 a21

0

0
0
1

0
0
 a (1)
  1

 11
   m21
1

0
0


0
0 
 


0
0 
 a((1n)1)1 a((n2) 1) 2



1
0   m
 (1)
( 2)

m

1
0
( n 1)1
( n 1) 2
a22

 a11
 
 mn 2
  mn ( n 1) 1
 an(11)
   mn1
an( n( n1)1
an( 22)


1 
 (1)
( 2)
( n 1)
1
1
1
1
(
1
)
(
2
)
(
n

2
)
(
n

1
)
a22
a( n 1)( n 1)
M
M
...M
M
L
 a11


1
1
1
1
M (1) M ( 2 ) ...M ( n2 ) M ( n1)  L
0

0
0
 1
 l

1

0
0
 21

 

0
0


l
l

1
0
( n 1) 2
 ( n 1)1

 ln1
 ln ( n 1) 1 
n2
l

L
Como se percebe, a matriz U é toda de zeros abaixo
da diagonal principal e a matriz L é toda de zeros
acima da unitária diagonal principal .
Computacionalmente, para economizar memória, a
matriz L e U são armazenadas em uma só matriz e
um vetor K com registro das trocas de linhas feitas
durante a decomposição LU.
0

0
0
u11 u12 u13  u1n 
 1


 l

1

0
0
0
u
u

u
22
13
2n 

 21

 

0
0 e  0
0 u33  u3n 




l
l

1
0


 

 ( n 1)1 ( n 1) 2

0
 ln1
 ln ( n 1) 1
0
0  unn 
n2
l



U
L


u11 u12 u13  u1n 
 k1 


k 
l
u
u

u
22
13
2n 
 21
 2
 l31 l32 u33  u3n  e  k3 


 


 


l

k n 
l
l

u
1
n2
n3
nn 
n


Armazename nto das  matrizes  LeU
K
Ki é o índice
da k-ésima
linha original
A.
Para exemplificar voltaremos ao exemplo do livro chinês (1.6).
Para que o exemplo seja completo usaremos a técnica do pivô sendo
o maior elemento da coluna, desde a linha do pivô para baixo.
1 
 2
 
3

K (0)
 1 2 3
 3
 2 3 1


  2


3 2 1 
1

 maior
A( 0 )
pivô
K (1)
m21


 2
3 2 1   3 
2 3 1
+


1 2 3

A( 0 )
m31


 1
 
 3
+

 3
 2
 
1

K ( 2)


 m23 
3 2 1 
   3


 4 5  
5
1


0
   /   2
 
3
3
  3  3  maior
pivô   
1

4
4 8

 
 5 
0

K ( 3)
3 
3



+


0
0  1 0 0
 1
2

 m

1
0  
1 0
 21
3


 m31  m32 1


  1 4 1
L
 3 5


L
Armazenamento de L e U
A( 2 )


3 2 1 
 5 1
0

 3 3
0 0 12


5

A( 3 ) U


3  3 2 1 
2 ,  2 5 1 
  3 3 3 
1   1 4 12 

 
K
 3 5 5 

 

L e U
3
2
 
1

K
1




1
 3 2 1  1 0 0  3

 5 1 
3

0
 0 1 0    0

 3 3  0 0 1  5
0
0 0 12   5

I


5
12

2 1 1
3 33
1 
0
1
5
0 1 
  0
0
3
5
0

0
 +
0
 1
5  
12  5 
U

1
0

0

2
3
1
0
1

0  3

0  0

1 
  0

0
3
5
0
5 +
2
3
1
 

 

36
5
36
1 0 0   3

1  2 
3
1

      0 1 0   0
 
12   3 
5
12 

0 0 1 
5 
5 
 0 0


I
12 
12

U 1
+

 1
 
 3


 2  1
 1 0 0 1 0 0      
 3  3
2


+ +
1 0  0 1 0 


3
 0 0 1 
 1 4 1 
I
 3 5


L

1
0

0





  1 0 0
0 0
0 0
1 0 0  1
 2
 4 
 2


1 0  
1 0      0 1 0   
1 0
 3
4
  5  0 0 1   3

1  1
4
  1
+

5
0 1

1
 
I
 3

 5

5

L1
2
1 
1
1
1
 7


 
 3  5  12   1


0 0
12
3
12

  5
3
1  2
2
1
0
  
1 0  
 
5
12   3
12 

  12 3
5  1
4
1
1
5 
0 0



1 




 5
  12
12
5
3
12

  

U 1
 3
 2
 
1 

K
L1
1
1
 7

 

3
12 39
 x1   12

5
2
1
 x   
34 


 2   12 3
12   
 x3   1


26
1
5





X
 12  3 12  b


U 1 L1
U 1 L1
 37 
4
 17 
 
4
 11 
 4 

X
soluçãodosistema
Bibliografia
[1] ANTON, H. & BUSBY, R. Algebra Linear Contemporânea. Editora
Bookman. Porto Alegre. 2006.
[2] RUGGIERO, M.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico – Aspectos
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