CONHECENDO E EXPLORANDO O GEOGEBRA
Bárbara Cunha Fontes1
Cristiane Neves Mello2 Marli Regina dos Santos3
1
Universidade Federal de Viçosa / Departamento de Matemática, [email protected]
2
Universidade Federal de Viçosa / Departamento de Matemática, [email protected]
3
Universidade Federal de Viçosa / Departamento de Matemática, [email protected]
Resumo:
No minicurso serão realizadas atividades com o intuito de apresentar o software GeoGebra
e avançar em atividades mais elaboradas envolvendo conteúdos de geometria do Ensino
Fundamental. O público-alvo do minicurso serão professores e licenciandos em
Matemática, que não conhecem o GeoGebra e/ou que gostariam de aprimorar seus
conhecimentos sobre o software. Dentre os temas que serão abordados, destacamos:
segmentos, retas, simetria, polígonos, circunferência, ângulos, seno, cosseno, tangente,
dentre outros. O minicurso será dividido em três etapas. Na primeira etapa será feita uma
breve apresentação do software e de suas ferramentas. Nas etapas seguintes serão
realizadas algumas atividades, envolvendo conceitos relacionados ao triângulo retângulo,
para que os participantes apliquem o que foi abordado na etapa inicial. As atividades
presentes na segunda etapa do minicurso consistem em verificar as relações métricas do
triângulo retângulo e as atividades da terceira etapa buscam investigar as relações
trigonométricas do triângulo retângulo.
Palavras-chave: GeoGebra, Ensino Fundamental, Matemática, Triângulo Retângulo.
INTRODUÇÃO
O GeoGebra é um software de matemática dinâmico e gratuito que auxilia no
ensino de Matemática em todos os níveis, pois combina geometria, álgebra, tabelas,
gráficos, estatística e cálculo. Ele tem sido utilizado no mundo todo, seja por educadores
ou outros profissionais nas mais diversas áreas. Ele permite a criação e movimentação de
figuras e funções por meio de uma linguagem simples e de comandos com fácil acesso.
Como dito por Pintro, ao utilizar o GeoGebra em seu projeto nas escolas públicas
de Criciúma em Santa Catarina, “o principal impulso foi a descoberta do software gratuito
GeoGebra. Quando descobri esse software gratuito, tive a certeza de que teríamos o
material certo para qualificar as aulas de matemática.”(p. CCXLIII- 2012).
De acordo com as pesquisas realizadas, fica evidente o grande benefício que este
software pode trazer para o ensino e aprendizagem da matemática em sala de aula junto
aos alunos:
Pois é hora de [...] dar espaço a um trabalho que prioriza a
aprendizagem dos conteúdos, não deixando as construções geométricas
se encerrarem em si mesmas. A ferramenta para colocar isso em prática
é o Geogebra, um programa de geometria dinâmica com download livre,
que vem chamando a atenção de pesquisadores e têm tema de diversas
investigações didáticas. Embora conte com muitos recursos, ele é simples
de ser usado e possui um tutorial na opção "Ajuda" bastante útil e
explicativo.(VICHESSI, Revista Nova Escola n° 244, 2011)
O GeoGebra vem adquirindo uma importância cada vez maior no cenário
educacional, e por isso várias entidades vêm promovendo eventos e elaborando
publicações focando a matemática com o uso do software. Um notável acontecimento foi
a Primeira Conferência Latino-Americana de GeoGebra, que ocorreu em novembro de
2011 com objetivo de reunir pesquisadores, desenvolvedores e professores para discutirem
e compartilharem suas experiências, ideias e projetos.
Assim, optamos por trabalhar com o GeoGebra pela facilidade do seu uso e pelos
inúmeros recursos que este proporciona aos professores de matemática.
REFERENCIAL TEÓRICO
Como o Geogebra é um software caracterizado por sua linguagem computacional,
seu destaque no processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos se deve
também ao fato de que o uso das tecnologias no ensino está em constante discussão entre
os educadores. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998), “as
tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de
transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por
suas consequências no cotidiano das pessoas” (BRASIL, 1998, p. 43).
Como a sociedade vive um momento de grande avanço tecnológico, o termo
tecnologia acaba ganhando um sentido especial, voltado principalmente para a informática
e para recursos como computador, internet, etc. Outro termo recorrente, usado para
diferenciar alguns desses recursos, é o termo tecnologia digital (TD), que abrange qualquer
equipamento eletrônico que baseia seu funcionamento em uma lógica binária1.
Devido à familiaridade da maioria dos alunos com o uso das tecnologias digitais,
pois desde sua infância estão em constante contato com o mundo tecnológico, isto acaba
por dar a essa geração uma nova identidade, denominada por Barreto & Nascimento (2014,
p.245) de nativos digitais. Ao explorar esse aspecto dessa nova geração de alunos, o uso
das TD nas aulas pode tornar o ensino mais atrativo e os professores podem lançar mão
desses recursos em sua prática, considerando que o ensino deve evoluir acompanhando o
desenvolvimento tecnológico em que a sociedade se encontra.
Assim, a fim de contribuir com ações de capacitação docente para a inserção de
tecnologias no ensino de matemática, desenvolvemos este minicurso para colaborar com as
futuras aulas ministradas pelos participantes do minicurso.
OBJETIVOS
O objetivo desse minicurso é apresentar o software GeoGebra aos professores e
licenciandos em Matemática, que não conhecem o software e/ou que gostariam de
aprimorar seus conhecimentos através de atividades mais elaboradas envolvendo
conteúdos de geometria do Ensino Fundamental.
METODOLOGIA
As atividades foram elaboradas pensando nos professores do ensino fundamental e
licenciandos em Matemática que não conhecem e/ou não sabem utilizar o GeoGebra. O
minicurso será dividido em três etapas. Na primeira etapa do minicurso, será feita uma
breve apresentação do software e de suas ferramentas. Nas etapas seguintes serão
1
Disponível em: < http://www.ufvjm.edu.br/prograd/regulamento-dos-cursos/doc_download/787-tdics-napratica-docente-eduardo-henrique-m-lima.html >. Acesso em: 21 jun. 2015.
realizadas atividades com exercícios de geometria voltados para a exploração do softwere,
envolvendo conhecimentos de geometria relacionados ao triângulo retângulo, que fazem
parte da realidade deste professor, e que ele poderá utilizar na sala de aula. As atividades
presentes na segunda etapa do minicurso consistem em verificar as relações métricas do
triângulo retângulo e as atividades da terceira etapa buscam investigar as relações
trigonométricas do triângulo retângulo.
O minicurso ocorrerá de forma bem dinâmica, com resolução de exercícios em
conjunto, análise das várias maneiras que um único exercício pode ser resolvido, levando
em consideração o que o participante do minicurso pensa sobre o assunto.
Basicamente, o curso se voltará para auxiliar o professor e os licenciandos que tem
interesse em utilizar o programa com seus alunos em suas aulas de geometria.
Primeira Etapa
No início do minicurso será feita uma breve explicação aos professores sobre o
software Geogebra, sua utilidade no âmbito educacional, sobre sua interface e ferramentas.
Após isso, utilizaremos a tabela abaixo para que os participantes conheçam os comandos
básicos do GeoGebra e saibam utilizá-los.
Segunda Etapa
Verificando as relações métricas no triângulo retângulo
1) Abra o arquivo triângulo retângulo.ggb (pasta na área de trabalho).
Ao abrir o arquivo, aparecerá a seguinte imagem:
2) Mova o ponto B e verifique o que ocorre com ângulo reto. Por que isso ocorre?
3) Faça uma reta perpendicular com o lado BC passando pelo ponto A e marque o
ponto D de intercessão da reta com este lado.
4) Esconda a reta perpendicular, construa o seguimento de reta AD e nomeie este seguimento por
h (cuidado ao renomear!!). O que representa esse segmento?
5) Usando a ferramenta polígono, crie os triângulos ADC e BDA. Para melhor visualização,
diferencie os triângulos por cores.
6) Meça os lados de cada triângulo.
෡ B e C‫ܤ‬෠A. (professor, discuta com os alunos sobre o valor do
7) Marque os ângulos A‫ܥ‬መ B, A‫ܦ‬
terceiro ângulo em cada triângulo menor).É preciso medi-lo?
8) Podemos afirmar que os três triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.
Movimente o ponto C e verifique se a semelhança se mantém
9) Abra agora o arquivo relações métricas.ggb.
Ao abrir o arquivo, aparecerá a seguinte imagem:
a) Analise as razões do texto principal. O que podemos concluir?
b) Mova o ponto B ou o ponto A. O que ocorre com a figura? E com as razões?
c) Se movermos o ponto C o que se altera na figura? E o que acontece com as razões?
10) Como os triângulos são semelhantes entre si, analisando-os dois a dois, obtemos as seguintes
relações métricas:
Analisando triângulo ADB e triangulo ABC, temos a seguinte relação:
Analisando triângulo ADC e triangulo ABC, temos a seguinte relação:
Analisando triângulo ADB e triangulo ABC, temos a seguinte relação:
௖
௔
௕
௔
௛
௠
ൌ
௠
௖
ൌ
௡
ൌ
௡
௕
௛
 c2 = am
 b2 = na
 h2 = mn
11) Agora abra o arquivo relações métricas2.ggb, verifique as relações métricas e movimente um
vértice da figura para perceber algumas delas.
Ao abrir o arquivo, aparecerá a seguinte imagem:
12) Por meio das relações métricas demonstre o Teorema de Pitágoras, ou seja, a2= b2 +c2
Terceira Etapa - Investigando relações trigonométricas no triângulo retângulo 1) Abra o arquivo triângulo retângulo2 (pasta na área de trabalho).
Ao abrir o arquivo, aparecerá a seguinte imagem:
2) Marque o ângulo CBA.
3) Marque sobre a semirreta BA (e fora do triângulo) o ponto A'.
4) Construa a reta perpendicular a semirreta AB passando por A' e marque o ponto C' de
intersecção dessa reta com a semirreta BC.
5) Esconda a reta perpendicular e construa o seguimento A'C', BA', e BC' mudando a cor
de cada um deles.
6) Marque os ângulos ACB e A'C'B. O que você pode observar? Mova o ponto C e
verifique se a conclusão se mantém. Como podemos justificar esse fato?
7) O que você pode concluir sobre os triângulos determinados? Porque?
8) Identifique para cada lado dos triângulos o nome do segmento na janela algébrica
Triângulo
HIPOTENUSA
ABC
BC = a_1
CATETO OPOSTO A B
CATETO ADJACENTE A B
A'BC'
9) Clique em exibir e selecione planilha (aparece uma planilha de cálculo lateral a direita).
Calcule as razões abaixo usando o nome do segmento (na janela algébrica):
AC/BC
AB/BC
AC/AB
A'C'/BC'
A'B/BC'
A'C'/A'B
10) Verifique a correspondência entre os valores encontrados. Mova o ponto A e depois A'
e verifique o que ocorre. Como podemos explicar tais resultados?
11) Mova o ponto C. O que ocorre com as razoes da planilha? O que é possível concluir?
12) Mova o ponto A' de modo que BA = 2BA'. Observando os triângulos o que podemos
afirmar sobre seus lados correspondentes? O que ocorre com as razoes na planilha?
13) Calcule também o sen C, Cos C e Tang C. Verifique que senC = cosB e cosC = senB e
tente mostrar esse resultado é realmente válido.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARRETO, M. F. T.; NASCIMENTO, F. C. Jogos digitais na educação infantil. In:
BICUDO, M. A. V. Ciberespaço. São Paulo: Livraria da Física, 2014. 245 – 277.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da
Educação, p. 43. 1998.
LIMA, E. H. M. As Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs) na
prática docente. Disponível em: <http://www.ufvjm.edu.br/prograd/regulamento-doscursos/doc_download/787-tdics-na-pratica-docente-eduardo-henrique-m-lima.html>.
Acesso em: 21 set. 2014.
PINTRO, A. L. Uso do software GeoGebra nas aulas de matemática do ensino
fundamental II. Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo. 2012.
VICHESSI, B. Sete respostas sobre o software Geogebra. Revista Nova Escola p.2442011. Disponível em < http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/sete-respostassoftware-geogebra-639050.shtml> Acesso em: 20 mai. 2015.