AULA 5 – PORCENTAGEM
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1
2.
DEFINIÇÃO.......................................................................................................................................... 2
3.
REPRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 3
4.
CALCULO DE PORCENTAGEM .......................................................................................................... 5
4.1.Aumento Percentual ....................................................................................................................... 6
4.2.Desconto Percentual ....................................................................................................................... 7
4.3.Aumentos E Descontos Sucessivos ............................................................................................... 8
5.
QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSO .................................................................................. 10
6.
QUESTÕES PROPOSTAS .................................................................................................................. 25
7.
GABARITO ........................................................................................................................................ 30
8.
FIQUE POR DENTRO ........................................................................................................................ 31
1. INTRODUÇÃO
Caro concursando, esta é nossa penúltima aula de raciocínio lógico.
Esgotamos todo o conteúdo do último edital 2011/2012, do concurso do INSS,
organizado pela Fundação Carlos Chagas – FCC.
Hoje 21/06/2014, faremos uma abordagem para você aprender o assunto de
verdade, não só par passar em concurso, para tanto preparei um material que servirá
de base ou referência para qualquer concurso em que será cobrado este assunto.
Portanto aproveite bem esta aula e estude com afinco.
A porcentagem é o estudo
matemática financeira mais aplicado
nosso dia-a-dia. É freqüente o uso
expressões que refletem acréscimos
reduções em preços, números
da
ao
de
ou
ou
1
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15% - Significa que em cada R$100 houve um
acréscimo de R$15,00.

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em
cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. - Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
A ideia de porcentagem foi utilizada em épocas tão remotas como a do antigo
Império Romano.
O imperador Augusto cobrava um imposto de 1/100 sobre o preço da venda de
todos os bens. No século XV manuscritos italianos utilizavam expressões como ―20
p100‖ e ―XX p cento‖ para indicar vinte por cento.
Em 1650, o sinal ―per ¸‖ era utilizado para indicar porcentagem. Posteriormente
esse sinal se perdeu no tempo, e ficou o sinal que se utiliza atualmente: ―%‖ .
2. DEFINIÇÃO
PORCENTAGEM A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por
cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de
expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o
inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número
por 100 (cem).
Alguns exemplos:
Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de
lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com
defeitos.
2
3. REPRESENTAÇÃO
Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: ―por cento‖.
Deste modo,
a fração é uma porcentagem que podemos representar por 20%.
É muito importante observar que quando escrevemos ―25 por cento‖ podemos
fazê-lo de três maneiras:
25%
É a forma percentual, clássica, é mais indicada na textualização, na
comunicação entre as pessoas, em qualquer forma não matemática.
Pode ser representada assim:
,
ou
0,25
É a forma fracionaria, e é indicada nos cálculos e equacionamento de
problemas.
0,25
Esta é a forma decimal ou unitaria, a mais indicada nos cálculos e
equacionamento de problemas.
Para obtermos a forma decimal de 25% nós simplesmente deslocamos ―a vírgula‖ duas
casas à esquerda de 25% , que resulta em 0,25 .
PARA ILUSTRAR MELHOR!!!
Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 são meninas, é o
mesmo que dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda, 60 são
meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim:
240 120 60


400 200 100
(observe que os denominadores referem-se ao todo)
Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente através da
última fração.
Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), receberam uma
notação especial: %. Assim, por exemplo:
3
a) 60% =
60
4
123
= 0,6 b) 4% =
= 0,04 c) 123% =
= 1,23
100
100
100
Obs.1: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser escrita na forma
decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou uma fração (mesmo sem
denominador 100) na forma de porcentagem.
a)
14
7
= 0,14 =
= 14%
100
50
c)
3
37,5
= 0,375 =
= 37,5%
8
100
b)
2
8
= 0,08 =
= 8%
25
100
d)
188,8...
17
= 1,888... =
 189%
100
9
Obs.2: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 (1, 2, 4, 5, 10,
20, 25, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 100 a ela equivalente. No
item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com aproximação.
a)
3 75
= 75%

4 100
d) 4 =
b)
1,3 26
= 26%

5 100
c)
0,2 0,8
= 0,8%

25 100
3
43
400
= 400% e)
= 0,428571...  0,43 =
= 43%
7
100
100
É MUITO IMPORTANTE SABER! (NÚMEROS DECIMAIS)
Multiplicação e divisão por 10, 100, 1000,...
Na multiplicação de um número decimal por 10, cada algarismo se desloca uma posição para a
esquerda; multiplicando um número decimal por 100, cada algarismo se desloca duas posições para a
esquerda e assim por diante.
(a) 7,4 x 10 = 74
(b) 7,4 x 100 = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
Na divisão de um número decimal por 10, cada algarismo se desloca uma posição para a direita;
dividindo um número decimal por 100, cada algarismo se desloca duas posições para a direita e assim
por diante.
(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475
4
Outro ponto importante é o estudo básico das operações com fração, pois o estudo da porcentagem
está intimamente relacionado com números fracionários ou racionais.
4. CALCULO DE PORCENTAGEM
EXEMPLOS RESOLVIDOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse
jogador fez?
SOLUÇÃO:
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta
um lucro de 17%?
SOLUÇÃO:
VAMOS USAR UMA REGRA DE TRÊS:
100%
17
: 555
X
X = 555x17 /100 = 9435/100
X = 94,35
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 x 1,17 =
R$ 649,35
3) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de
faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a
30% (por cento) das aulas ?
5
Solução:
100%
--------: 30
30%
------- : X
X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9
X=9
Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas.
4) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada
pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$
15.250,00, receberá líquido quanto?
SOLUÇÃO:
100% ------- : 15.250
0,7% ------- : X
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital
principal que é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 x 0,98 = R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo
que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Obs. Os quadros dos cálculos foram colocados em cada operação repetidamente, de
propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer ―decoradamente‖ estas
posições.
4.1. AUMENTO PERCENTUAL
Fator Multiplicante
6
Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se
houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação
simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.
Veja:
Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao
prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o
mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante
é 1,20.
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 x
1,17 = R$ 23,40
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a
um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de
multiplicação.
4.2. DESCONTO PERCENTUAL
Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)
Veja:
7
Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta
multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30%
tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80.
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 x 0,93 = R$
53,94
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
4.3. AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS
01) Comprou-se um objeto por R$ 800,00 para revendê-lo com os descontos
sucessivos de 10% e 5%. desejando-se ganhar 20% sobre o custo, qual o preço de
venda?
SOLUÇÃO:
No problema, o preço líquido do objeto deve ser do custo mais 20% de lucro: 100% + 20%
= 120% = 1,2
Portanto : 1,2 x 800 = R$ 960,00
10% = 0,1
L = P (1 - i ).(1 - i )
960 = P ( 1 - 0,1 ) . ( 1- 0,05)
8
960 = P ( 0,9 x 0,95)
960 = 0,855 P
P = 960 ÷ 0,855
P = R$ 1.122,80
02) Uma mercadoria custa R$ 5.000,00 e foi vendida com os aumentos sucessivos de 15%, 12% e
10%. Qual foi o último preço de venda?
SOLUÇÃO:
15% = 0,15
12% = 0,12
10% = 0,1
V = 5.000 ( 1 + 0,15) . ( 1 + 0,12 ) . ( 1 + 0,1 )
V = 5.000 x 1,15 x 1,12 x 1,1
V = 5.000 x 1,4168
V = R$ 7.084,00
NOTA DE RECOMENDAÇÃO
A resolução de problemas de porcentagem, na realidade, para se dominar bem este
assunto, é altamente recomendado que o concursando estude o assunto que envolvem
grandezas proporcionais e em particular, dá ênfase prática à "regra de três".
Pois, se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três
simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três
simples inversa".
Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta".
Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente
proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais.
9
5. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSO
(TRF 1ª REGIÃO FCC 2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20%
de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006,
ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em
35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a
porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é:
a) 22,5%
b) 25%
c) 27,5%
d) 30%
e) 32,5%
Resolução:
Suponhamos que o salário inicial de Josué era de 100 reais. Em questões de porcentagem como essa
não há o menor problema em fazermos isso. Isso facilita em muito as nossas contas…
Vejamos, como Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel da casa, isso significa
que ele gastava 20% de 100 = 0,20 x 100 = 20 reais.
Como reajuste, o salário que era de 100 teve um aumento de 8%,ou seja, ele passou a ser de
1,08 x 100 = 108 reais.
Como encontramos este valor?
Cheguei a tal valor usando a idéia de fator multiplicativo.
Tal fator é formado multiplicando o valor inicial por um número, e este tal número é justamente o
fator. Ele é calculado fazendo 1 + porcentagem, ou seja, 1 + 8% = 1 + 0,08 =1,08.
Tal raciocínio acelera e muito as contas em alguns casos, mas caso você não goste de fazer isso,
tudo bem, podemos fazer uma simples regra de três:
10
100 ——– 100 %
X ——— 8%
100% . X = 100 . 8%
Como esse ―%‖ é comum a ambos os lados, podemos eliminar o mesmo, ficando com:
X = 8.
ATENÇÃO, pois da maneira que eu montei a regra de três eu estou calculando apenas o aumento do
meu salário e não o salário final. O salário final será a soma 100 + 8 = 108 reais.
O aluguel da casa era de 20 reais e teve um reajuste de 35 %. Isso fez com que ele passasse a ser de
20 .1,35 = 27 reais.
O que a questão quer saber é que porcentagem que o novo valor do aluguel representa em relação
ao novo salário.
Podemos fazer uma regra de três:
108 ——— 100 %
27 ——— P
Multiplicando ―cruzado‖ temos:
108.P = 2700
P = 2700/ 108 = 25 %
Poderíamos simplesmente ter dividido o aluguel pelo salário, obtendo:
27/ 108 = 0,25 = 25 %
Gabarito: B
11
02)
Um operário reduziu de 2/5 a sua produção no serviço. Calcule de quanto por
cento foi essa redução.
Solução:
2 ÷ 5 = 0,4 → 0,4 x 100 = 40%
Também → 100 x 2 = 40%
5
Também:
20
│100
5│ x = 100 x 2 = 20 x 2 = 40
│ x
2│
51
Resposta.: 40%
O3) Vendi um objeto por 9/8 de compra. Calcule a porcentagem do lucro.
Solução:
100 ÷ 8 x 9 = 12,5 x 9 = 112,5% → 112,5 – 100 = 12,5%
Também;
100 x 9 = 12,5%
8
Também:
│100
8│ x = 100 x 9 = 900 = 12,5
│X
9│
8
8
Resposta.: 12,5%
04) Dê o resultado de 30% x 40% x 20% com apenas um sinal de porcentagem.
Solução:
30 x 40 x 20 % % % = 24000% = 2, 4%
10.000
Resposta.: 2, 4%
05) Em um colégio, 45% dos alunos são rapazes e 20% dos rapazes cursam o ensino
médio. Calcule a porcentagem dos rapazes que cursam o ensino médio.
Solução.:
Fazendo a multiplicação de taxas, temos:
45% x 20% = 2080%% = 20,8%
12
Resposta.: 20,8%
06) Em uma cidade, 58% dos habitantes são homens e 30% dos homens são rapazes.
Encontre a porcentagem dos rapazes dessa cidade.
Solução:
58% x 30% = .1740%% = 17,4%
Resposta. 17,4%
07) Ao efetuar dois negócios de mesma quantia, uma pessoa obteve com o primeiro,
um lucro de 10% e no outro, prejuízo de 4%. Houve prejuízo ou lucro?
Solução:
10% (lucro) – 4% ( prejuízo) = 10% - 4% = 6%
Resposta: Lucro de 6%
08) (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um técnico em informática resolveu reajustar o
valor de seus serviços em 30%, mas, para os clientes antigos, manteve o preço sem
reajuste. Em relação ao novo preço, os clientes antigos terão, aproximadamente, um
desconto de:
(A) 17%
(B) 23%
(C) 27%
(D) 30%
(E) 33%
Resolução:
Vamos supor que o preço do serviço do técnico, inicialmente, fosse de R$ 100,00. Quando
ele resolve reajustar o valor dos seus serviços em 30%, ele passa a cobrar R$ 130,00.
O preço agora é de R$ 130,00 e ele fará o serviço por R$ 100,00 para seus clientes antigos.
Para calcular a taxa de desconto, devemos utilizar a fórmula:
I = (100 – 130)/130
Logo: -30/130
Portanto: i = -23%
13
Alternativa: B


09) Um rapaz emprestou uma mesma quantia a três outros rapazes. Com o primeiro
ganhou 20% e com os outros rapazes perde 15% para cada um. Houve prejuízo ou
lucro?
Solução:
20% (lucro) - 2x 15% ( prejuízo) = 20% - 30% = - 10%
Resposta.: Prejuízo de 10%
10) (FCC) Sobre uma mercadoria comprada e vendida sucessivamente, por 4
comerciantes, os dois primeiros tiveram, cada um lucro de 10% e os outros dois 10%
de prejuízo. Calcule por quanto foi vendida a mercadoria pelo primeiro comerciante,
se o quarto vendeu por R$ 2.450,25.
Solução:
R$
A=X+
B=X+
C=X+
D=X+
│2.450
│ X
110%
121%
108,9%
98,01%
%
98,01│ X = 2.450 x 100
100│ ↓
98,01
X = 2.500
Quantidade: R$ 2.500,00
A = 2.500 + 110% = 2.500 + 250 = R$ 2.750,00
Resposta. Por R$2.750,00
11) De uma estrada preparam os 2/5 e mais 30% do restante e ainda faltam 1260
metros. Encontre a medida da estrada.
Solução
100 x 2 = 40% → 100 – 40 = 60% → 30% x 60% = 1.800%% = 180% = 0,18%
5
40% = 0,4 →
1.260 ÷ { 1 - ( 0,4 + 0,18 )} = 1.260 ÷ {1 - 0,58} =
1.260 ÷ 0,42 = 3.000m = 3Km
Também;
14
0,4x + 0,18x + 1.260 = x → 0,58x + 1.260 = x → 0,58x – x = - 1.260
- 0,42x = - 1.260 (-1) → x = 1.260 = 3000
0,42
Resposta.: 3km
12) Uma pessoa andou ½ de uma estrada, em seguida, 20% do resto e há ainda 320
km a serem percorridos. Qual a medida da estrada.
Solução:
½ = 50% = 0,5
20% = 0,2
→
→
50 x 20%% = 1.000%%= 10% = 0,1
320 ÷ { 1 – ( 0,5 + 0,1) } → 320 ÷ { 1 – 0,6}
320 ÷ 0,4 = 800km
Também:
0,5x + 0,1x + 320 = x → 0,6x – x = - 320 → - 0,4x = -320 (-!)
x = 320 → x = 800
0,4
Resposta.: 800km
13) Numa escola com 800 alunos, 36% são rapazes. Qual o número de rapazes?
Solução:
800 ÷ 100 = 8 → 8 x 36 = 288 rapazes
Também:
Alunos %
│800
100│ R = 800 x 36 = 288
│ R
36│
100
Resposta.: 288 rapazes
14) Uma escola tem 40% dos alunos externos e 480 internos. Encontre o total
de alunos da escola.
Solução:
15
100% - 40% = 60% ( internos)
480 ÷ 60 = 8 → 8 x 100 = 800 alunos
Também:
Alunos
│ 480
│X
%
60│ X = 480 x 100 = 800
100│
60
Resposta.: 800 alunos
15) (BNB) Com 20% de abatimento paguei R$ 640,00 por uma mercadoria. Qual o
valor da mercadoria sem o abatimento?
Solução
Mercadoria = 100%
100 – 20 = 80% → 640 ÷ 80 = 8 → 8 x 100 = R$ 800,00
Também:
R$
%
│640
80│
│M
100│
M = 100 x 640 = 800
80
Resposta.: R$ 800,00
16) ( FGV) Um objeto foi comprado por R$ 1.500, 00 e vendido por R$ 1.350,00.
Calcule de quanto por cento foi o prejuízo.
Solução:
Objeto = 100%
1.500 – 1.350 = R$ 150,00
150 ÷ 1.500 = 0,1 → 0,1 x 100 = 10%
Também:
R$
%
P = 100 x 150 = 10
16
│1.500
│ 150
100│
P│
1.500
Resposta. : 10%
17) ( FCC ) Num quartel, 20% dos militares são oficiais, 70% são soldados. Sabendo-se
que há 200 sargentos, encontre o número de soldados.
Solução:
Militares = 100%
100% - (20% + 70%) = 100% - 90% = 10% sargentos (10% = 0,1)
200 ÷ 10 x 70 = 20 x 70 = 1.400 soldados , outro modo:
200 x 0,1 x 70 = 1.400 soldados
Também:
Militares
│200
│S
%
10│
70 │
S = 200 x 70 = 1.400
10
Resposta: 1.400 soldados
18) (FCC – BB) Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20%
nos abatimentos sucessivos sobre uma fatura.
Solução:
Vamos fazer a conversão em taxa unitária:
8% = 0,08
10% = 0,1
20% = 0,2
Aplicamos a fórmula:
I = 100 - { (1 – i1) (1 – i2) (1 – i3 ) } x 100
I = 100 – { (1 – 0,08) (1 – 0,1) (1 – 0,2) } x 100
I = 100 - { 0,92 x 0,9 x 0,8 }x 100 → I = 100 – (0,6624) x 100
I= 100 – 66,24 → I = 33,76%
17
Resposta.: 33,76%
19) Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a R$
720,00. Encontre o valor nominal da duplicata.
Solução:
Aplicando a fórmula:
Vl = Vn (1 – i1) (1 – i2)
720 = Vn (1 – 0,2) (1 – 0,1) → 720 = Vn x 0,9 x 0,8 → 720 = 0,72 Vn
Vn = 720 → Vn = R$ 1.000,00
0,72
Também:
100% - 20% = 80% = 0,8
100% - 10%= 90% = x 0,9
0,72 → 720 ÷ 0,72 = R$ 1.000,00
Resposta.: R$ 1.000,00
20) (FCC) Sobre uma compra de uma mercadoria no valor de R$ 5.000,00 foi
concedido um abatimento de 20% e, em seguida, um desconto de 10%. Quanto foi
pago a mercadoria?
Solução:
Vn = Vl (1- i1) (1 – 12) → Vn = 5.000 (1- 0,2) (1- 0,1)
Vn = 5.000 x 0,8 x 0,9 → Vn = R$ 36.000,00
Também:
100% - 20% = 80% = 0,8
100% - 10% = 90% = x 0,9
0,72
5.000 ÷ 0,72 = R$ 36.000,00
Resposta.: R$ 36.000,00
21) (FCC) Do meu salário líquido dedico:


25% ao aluguel,
30% à alimentação,
18


5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu
salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
e) R$ 650,00
SOLUÇÃO:
Esta questão envolve porcentagem e regra de três e para resolvê-la devemos somar as
porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X
-------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.
22) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado
tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a
porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de:
a) 19,5 %
19
b) 20%
c) 20,5%
d) 21%
e) 21,5%
SOLUÇÃO:
Esta questão também envolve Regra de três e noção de porcentagem.
Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior.
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
20
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
23) (Banco do Brasil / Escriturário) – Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de
ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães em 75%, o consumo mensal, em Kg,
considerando o mês de 30 dias, será de:
a) 350
b) 400
c) 450
d) 500
e) 550
SOLUÇÃO:
Montando o problema:
- Sobre a ração:
04 cães --------- 60 kgs -----> por semana
Por mês, então --------------> 240 kgs (considerando 04 semanas no mês)
- Sobre os cães:
Devemos aumentar a quantidade de cães em 75%.
04 cães x 75 % = 3
Total de cães com aumento de 75% = 7
O grande segredo da questão é o final do problema, onde o enunciado comenta sobre o mês
de 30 dias.
Ora, se fizemos os cálculos da quantidade de ração consumida a partir da questão central
temos:
240 kgs x 75 % = 180
240 kgs + 180 kgs = 420 kgs (Não existe resposta nas opções do problema).
21
Porém 04 semanas x 7 dias = 28 dias. O enunciado fala sobre o mês de 30 dias.
Assim, temos que achar a quantidade diária consumida inicialmente de ração e depois acrescer o
percentual pedido.
Observe:
--> 60 kgs / 7 = 8,58 (arredondamento)
--> 8,58 x 75 % = 6,43
--> 8,58 + 6,43 = 15,00 (arredondamento)
--> 15 kgs de ração diária x 30 dias = 450 kgs/mês
A resposta correta é a letra “c”.
24) (Técnico do Seguro Social 2012 - FCC) Em dezembro, uma loja de
carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%, o que fez
com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse mês. Em janeiro
houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o preço de B, ambos de
dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro, superasse o de A em
(A) 11,5%.
(B) 12%.
(C) 12,5%.
(D) 13%.
(E) 13,5%.
SOLUÇÃO:
Veículo A + 10% = 1,1A
Veículo B + 20 = 1,15B
22
Depois desse aumento ficaram com os preços iguais.
Então: 1,1A = 1,15B
Em janeiro houve uma redução de: 20% de A = 0,80x1,1A
E de 10% na redução do preço de B, que ficou: 10% de B = 0,90x1,15B
Com essa redução o preço do veículo B superou o de A em:
Relacionamos B com A, conforme pede o problema, fica assim:
0,90x1,15B - 0,80x1,1A
0,20x1,1A
O problema diz que 1,1A = 1,15B
Então podemos substituir na EXPRESSÃO:
0,90x1,1A - 0,80x1,1A ,
0,80x1,1A
simplificando
fica:
= 0,10 = 1/8 = 12,5%
0,80
GABARITO: C
NOTA:
Pode ser simplificado assim também:
Em dezembro os carros valiam o mesmo valor, portanto considerei que valessem R$100,00 no mês
seguinte com os descontos de 20% em A e 10% em B, cada um passou a valer 80 e 90
respectivamente, aí a resolução foi a mesma 10/80 igual a 0,125 x 100= 12,5%.
25. O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse
objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do custo? Que porcentagem
representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda?
23
SOLUÇÃO:
L = 40% de C = 40% . C = 0,40.200 = 80,00
Portanto, o preço de venda é de R$ 280,00
L/V = 80/280
= 0,2857 X100 = 28,57%
Resposta: O preço de venda é de R$ 280,00 e o lucro é de 28,57% em relação ao preço de
venda.
25. O custo total de um objeto é de R$200,00. Por quanto deve ser vendido esse
objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda? Que
porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de custo?
24
6. QUESTÕES PROPOSTAS
01. Em uma cerveja há 4% de álcool. Se uma pessoa toma 5 cervejas, com 600 ml cada,
quanto ingeriu de álcool?
02. O salário de Pedro é igual a 90% do salário de Antônio e a diferença entre eles é de R$
5.000,00. Qual é o salário de Pedro?
03. Num concurso de ingresso à Caixa Econômica Federal, inscreveram-se 150.000 pessoas,
das quais 60.000 são mulheres.
a) Qual a porcentagem de mulheres, com relação ao número de homens?
b) Qual a porcentagem de homens, com relação ao número de mulheres?
04.
Um número A é dividido em 4 partes: a primeira é a quarta parte de A; a segunda é a
décima parte de A; e a terceira é a metade de A . Determine a porcentagem de cada
parte.
05.
O custo total de um certo produto é de R$ 12.000. 30% desse custo referem-se à
mão-de-obra, 47% desse custo são gastos com matéria-prima e o restante
corresponde aos impostos devidos. Ache o valor desses impostos.
06. A produção de uma indústria de calçados passou, em um certo ano, de 600 mil para
720 mil pares.
a) Qual foi o aumento percentual de produção?
b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão
da produção nesse ano?
07. Num certo ano, o aumento das mensalidades escolares foi de 54,7%.
a) Qual foi o índice ou fator de atualização das mensalidades?
b) Se em uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 618,80, qual era o valor
anterior?
08. Por quanto se deve vender um automóvel que custou R$ 80.000,00, para se obter um
lucro de 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro, se relacionado com
o preço de custo?
25
09. Por quanto se deve vender um automóvel que custou R$80.000,00, para se obter um
lucro equivalente a 40% do preço de custo? Que porcentagem representa o lucro, se
relacionado com o preço de venda?
10. Qual o preço de custo de um automóvel que foi vendido por R$60.000,00, com um
lucro equivalente a 50% do preço de custo? Que porcentagem representa o lucro, se
relacionado com o preço de venda?
11. Um objeto foi comprado por R$4.250,00 e vendido com um prejuízo equivalente a 25%
do preço de venda. Qual foi esse preço de venda? Que porcentagem relaciona o prejuízo
com o valor de compra?
12. Um objeto foi comprado por R$4.250,00 e vendido com um prejuízo equivalente a 25%
do preço de custo. Qual foi esse preço de venda? Que porcentagem relaciona o prejuízo
com o preço de venda?
13. Na venda de um artigo escolar, um comerciante teve um prejuízo de 10% do custo. Se
o preço de venda foi de R$450,00, qual foi o preço de custo? Que porcentagem relaciona o
prejuízo com o preço de venda?
14. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 60% do preço de
venda. Qual é o seu lucro em relação ao preço de custo?
15. O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule que porcentagem se deve reduzir do
seu preço atual para retornar ao seu custo anterior ao aumento.
16. João ganhava R$ 8.000,00 mensais. Seu salário sofreu reajustes de 44% no primeiro
semestre e de 61% no segundo semestre. Quanto João passou a ganhar mensalmente após
esse dois aumentos sucessivos? Qual a porcentagem total de aumento em relação ao
salário inicial?
17. Uma mercadoria teve aumentos sucessivos de 17% e 24%. Qual o valor de um único
aumento equivalente?
18. Um funcionário público tem um reajuste salarial de 47% num certo ano; no ano
seguinte, tem um novo reajuste de 74%. Se está ganhando R$ 30.693,60, quanto ganhava
antes dos dois reajustes?
26
19. Da população total de um país, 60% vivem no campo. Além disso, da população que
vive no campo, 60% são mulheres. Qual a porcentagem das mulheres que vivem no campo,
em relação ao total da população?
20. Uma fatura de R$ 100.000,00 sofreu dois descontos sucessivos de 3,5% e 5%. Qual foi o
valor líquido dessa fatura? Qual a porcentagem equivalente a esses dois descontos?
21. A cada ano que passa, o valor de um carro diminui 10% em relação ao seu valor no ano
anterior. Se um carro é comprado por R$ 80.000,00, qual será o seu valor após 3 anos de
uso? Qual a porcentagem equivalente a essas três desvalorizações?
22. (FCC – TRT 6 - Técnico Judiciário – Área Administrativa/2012) Três lojas concorrem
vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço
oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de
desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma
mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço
anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira
camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de
30%. Ordenam do os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas,
cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou
X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor
pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente
a) 12.
b) 22,5.
c) 25.
d) 33,3.
e) 50.
23. (FCC – TRT 6 - Analista Judiciário/2012) Na câmara dos deputados de um país, 37%
dos deputados compõem a base de sustentação do governo, sendo o restante da oposição.
Se 2 em cada 9 deputados da oposição passarem para o bloco governista, os deputados
oposicionistas ficarão reduzidos a 294. Dessa forma, a base de sustentação do governo é
atualmente composta por
a) 296 deputados.
b) 259 deputados.
c) 252 deputados.
d) 240 deputados.
e) 222 deputados.
27
OBSERVAÇÃO:
As questões de porcentagem misturadas com regra de três são muito comuns nos
concursos, pois são abordados dois itens do conteúdo em uma única questão.
(CESPE) Considere que uma equipe de digitadores tenha sido destacada para a digitação
de certo material. Sabendo que 3/5 da equipe, em 4 h de trabalho, digitariam 30% do
material e considerando que os elementos da equipe trabalham com a mesma efi ciência,
julgue os itens seguintes.
24. (
) em 8 h de trabalho, 3/4 da equipe digitariam mais de 80% do material.
25. (
) metade do material seria digitado por 2/3 da equipe em menos de 7 h.
26. (
) em 10 h de trabalho, para digitar todo o material, seria necessário utilizar 80% da
equipe.
27. (FCC – Técnico Judiciário – TRT 12/ 2010) Um comerciante comprou de um agricultor
um lote de 15 sacas de arroz, cada qual com 60 kg, e, por pagar à vista, obteve um
desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao
preço de R$ 8,50 o quilograma, ele obteve um lucro de 20% sobre a quantia paga ao
agricultor, então o preço de oferta era
a) R$ 6 375,00.
b) R$ 7 650,25.
c) R$ 7 968,75.
d) R$ 8 450,50.
e) R$ 8 675,00.
28. (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos
de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o
comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os
preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em
a) 18,5%.
b) 20%.
c) 22,5%.
d) 25%.
e) 27,5%.
28
29. (BB – 2010 – Escriturário - CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de
10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês apos a
compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser,
aproximadamente,
a) 0,5%.
b) 3,8%.
c) 4,6%.
d) 5,0%.
e) 5,6%.
30.(TRT 15 região - FCC) Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os
totais de processos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram,
respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso equivale a
dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três
anos foi de
a) 25%
b) 25,25%
c) 26,15%
d) 26,45%
e) 27,05%
29
7. GABARITO
01 120 ml
02 R$ 45.000,00
03 a) 66,67%
b) 150%
04 25%; 10%; 50%; 15%
05 R$ 2.760,00
06 20% e 864.000
07 a) 1,547 b) R$ 400,00
08 R$ 133.333,33; 66,67%
09 R$ 112.000,00 e 28,57%
10 R$ 40.000,00 e 33,33%
11 R$ 3.400,00 e 20%
12 R$ 3.187,50 e 33,33%
13 R$ 500,00 e 11,11%
14 150%
15 20%
16 R$ 18.547,00 e 131,84%
17 45,08%
18 R$ 12.000,00
19 36%
20 R$ 91.675,00 e 8,325%
21 R$ 58.320,00 e 27,1%
22 A
23 E
24 E
25 C
26 E
27 C
28 D
29 E
30 C
Um grande abraço!
Adeilson de Melo
CONTATO: [email protected]
30
8. FIQUE POR DENTRO
ATITUDES E CARACTERÍSTICAS PARA SE TORNAR CRAQUE
NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Nesta seção, recomendo que leia com muita atenção e comece a praticar todas estas orientações,
pois isso fará diferença em toda sua vida de estudante em situações de dificuldade no estudo ao encarar os
problemas. Procure desenvolver características que têm sido estudadas pelos pesquisadores do assunto. Farei
um resumo em cinco itens. Portanto, pratique-as sempre!!
a) Atitude positiva – Tenha forte crença em que os problemas de raciocínio podem ser resolvidos por meio
de analise persistente. Resolvedores mais fracos, ao contrario, expressam frequentemente a opinião: ou você
sabe a resposta a um problema ou não sabe. Se você não sabe, procure adivinhar ou então abandone.
Eles não aprenderam que um problema pode inicialmente parecer confuso – e a maneira de
trabalhar sobre ele pode não ser obvia – mas que, decompondo cuidadosamente o problema, destacando
primeiro uma parte da informação e depois outra, a dificuldade inicial pode ser gradualmente analisada.
Os resolvedores fracos não tem confiança nem experiência em tratar os problemas, às vezes longos, por meio
da analise gradual.
b) Cuidar da precisão – Os bons resolvedores tomam muito cuidado para entender precisamente os fatos e
suas relações em um problema. Eles são quase compulsivos em verificar se entenderam o problema de forma
completa e correta. Mas os resolvedores mais fracos não tem grande ênfase no entendimento.
Por exemplo, os bons relêem varias vezes um problema, em muitas ocasiões, ate estarem certos de que o
tenham entendido. Os mais fracos, por outro lado, erram frequentemente um problema porque não sabem
exatamente o que ele propõe. Possivelmente eles poderiam saber se fossem mais cuidadosos, se reexaminassem e pensassem analiticamente sobre o problema. Mas os resolvedores fracos não aprenderam
como e importante tentar entender completamente as ideias do problema.
c) Dividir o problema em partes - Bons solucionadores aprenderam que analisar problemas e ideias
complexas consiste em dividi-los em pequenas partes. Aprenderam atacar os problemas a partir de um ponto
que faz algum sentido e, então, prosseguir desse ponto. Em contraste, os fracos não aprenderam a
abordagem de dividir problema complexo em subproblemas, trabalhando um de cada vez.
d) Evitar adivinhação – O resolvedores mais fracos tendem a pular para as conclusões e adivinhar respostas
sem passar por todos os passos necessários para garantir que as respostas sejam precisas. Algumas vezes,
eles fazem julgamentos intuitivos no meio de um problema, sem verificar se o julgamento e correto. Outras
vezes, trabalham uma parte do problema, mas abandonam o raciocínio e vão direto para a resposta.
13
Os bons resolvedores costumam trabalhar os problemas do começo ao fim, cuidadosamente, em
pequenos passos. A tendência dos fracos fazerem mais erros – trabalhando apressadamente e, algumas vezes
pulando os passos – pode ser descrita por três características.
• Primeira, não acreditam que a analise persistente seja uma forma efetiva (e de fato e a única) para trabalhar
com os problemas de raciocínio. Assim, sua motivação e fraca para persistir trabalhando o problema com
precisão e profundidade ate que esteja resolvido.
• Segunda característica, os resolvedores fracos tendem a ser descuidados em seu raciocínio. Eles não
desenvolveram o habito de manter o foco e conferir continuamente a precisão de suas conclusões.
• E, como terceira característica, eles não aprenderam a dividir o problema em partes e trabalhar um de cada
vez.
Como consequência dessas três características, os resolvedores mais fracos têm uma forte tendência
de apresentar respostas rápidas que contem erros, tanto de calculo como de lógica.
e) Atuar na solução de problemas - A característica final do bom solucionador de problemas e a tendência
em ser mais ativo que os outros, quando trabalhando com problemas de raciocínio. Eles fazem mais coisas
enquanto tentam entender e responder questões difíceis. Por exemplo, se uma descrição escrita e difícil de
entender, eles tentam criar uma figura mental das ideias de modo a ―ver‖ melhor a situação. Se uma
apresentação e longa, confusa ou vaga, um bom solucionador tenta destacar e simplificar, em termos de
31
experiências vividas e exemplos concretos.