MOVIMENTO EM II
DIMENSÕES
Prof. Hebert Monteiro
Introdução
Até hoje definimos as três quantidades cinemáticas: posição,
velocidade vetorial e aceleração e com elas descrevemos o
movimento ao longo de uma reta. Agora utilizaremos tais definições
a objeto que se movem em duas dimensões, ou seja, sobre um
plano.
O vetor velocidade e o vetor aceleração tem direções diferentes
quando a trajetória de um objeto não é reta.
Como exemplo desse tipo de movimento temos um objeto lançado
ao ar como duas pessoas jogando uma bola, ou um objeto que se
move em círculos como um planeta na órbita do sol.
Posição, Vetor Velocidade e Aceleração

Posição: O vetor posição r localiza o objeto em relação à origem de
um sistema de referência, conforme a figura.
y (j)
Trajetória do objeto
y
r
x

x (I)
Em duas dimensões:
r = x.i + y.j
Onde x e y são
coordenadas que demarcam a localização do objeto no plano.
Para entendermos melhor vamos fazer um exemplo de um objeto
localizado em x = 3m e y = 4m que tem vetor posição
r = (3,0m)i +(4,0m)j. O deslocamento Δr = rf – ri é dirigido na posição inicial
de um objeto para sua posição final conforme gráfico.

Em formas de componentes:
Δr = rf – ri
Δr = (xf + yf) – (xi +yi)
Δr = (xf – xi) + (yf – yi)
Simplificando:
Δr = Δx.i + Δy.j
Velocidade Vetorial

A velocidade vetorial média de um objeto em um intervalo de tempo
Δt é o seu deslocamento dividido pelo intervalo de tempo.
V= r=
t
x.i + y.j = vx.i + vy.j
t
t

A direção da velocidade vetorial é sempre a mesma de Δr.

O vetor velocidade é tangente a trajetória quando Δt tende a 0.

As projeções do vetor velocidade nos dizem qual o valor absoluto da
velocidade vetorial em x e em y:

Sendo Vx = v.cosӨ e Vy = v. senӨ
A velocidade geral do objeto em II dimensões é
v=
2
2
(vx) + (vy)
Exercícios
1) Um barco a motor navega na direção 52º sudeste a uma velocidade de 12
m/s. Estabeleça um sistema de coordenadas e determine as componentes
do vetor velocidade do Barco.
Vx
V
Vy
Aceleração

Também para um objeto se movimentando em duas dimensões
temos:
a = ax.i + ay.j
Quando a velocidade de um objeto é crescente, a aceleração do
objeto tem sempre uma componente na direção do seu vetor
velocidade. Quando a velocidade de um objeto é decrescente, a
aceleração do objeto tem sempre uma componente na direção
oposta à do seu vetor velocidade.
Exercício
1) Suponha um carro virando a direita enquanto sua velocidade está
decrescendo. Determine aproximadamente a direção da aceleração
do carro no instante em que seu vetor velocidade está dirigido para
o sul.
Exercícios
1)
Um esquilo possui coordenadas x e y (1,1 m e 3,4 m) para t1 = 0
e coordenadas (5,3 m e -0,5 m) para t2 = 3,0s. Para esse
intervalo de tempo, calcule: a) os componentes da velocidade
média. b) o módulo e a velocidade da velocidade média.
2) Um rinoceronte está na origem do sistema de coordenadas para t1 =
0. Para o intervalo de tempo entre t1 = 0 e t2 = 12s, sua velocidade
média possui componente x = -3,8 m/s e componente y = 4,9 m/s.
Para t2 = 12s, (a) quais são as coordenadas x e y do rinoceronte?
(b) qual a distância entre a origem e o rinoceronte?
3) Um avião a jato está voando a uma altura constante. No instante t1
= 0, os componentes da velocidade são Vx = 90 m/s, Vy = 110 m/s.
No instante t2 = 30,0s, os componentes são Vx = -170 m/s, Vy = 40
m/s. Para esse intervalo de tempo calcule: a) Os componentes da
aceleração média; b) o módulo, a direção e o sentido da aceleração
média.
4) A velocidade de um cachorro correndo em um campo aberto possui
componentes Vx = 2,6 m/s, Vy = -1,8 m/s para t1 = 10,0s. Para o
intervalo de tempo de t1 = 10,0s e t2 = 20,0 s, a aceleração média do
cachorro possui módulo igual a 0,45 m/s2, formando um ângulo de
31º, medido, considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo
+Oy. Para t2 = 20,0 s, a) quais são os componentes x e y da
velocidade do cachorro? b) Encontre o módulo, a direção e o
sentido da velocidade do cachorro.
fazer o gráfico e o exercício.
Movimento de um Projétil

O que é um projétil?
Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e
que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela
aceleração da gravidade e pela resistência do ar.
Ex: Uma bola de futebol chutada, um pacote largado de um avião
ou uma bala atirada por uma arma de fogo. A curva descrita pelo
projétil é a sua trajetória.

Para analisarmos o movimento de um projétil teremos que tratar as
coordenadas x e y separadamente.

O componente x da aceleração é igual a 0 (zero) e o componente y
da aceleração é igual a –g.

Dessa forma podemos definir o movimento de um projétil como um
movimento onde há a combinação de um movimento horizontal com
velocidade constante e um movimento vertical com aceleração
constante.

Sendo assim a aceleração em x de um projétil é igual a 0 (zero).
Análise vetorial do movimento
Análise matemática do projétil


Uma vez que os componente da aceleração são sempre
constantes, independente do eixo, podemos utilizar as equações do
movimento acelerado uniforme para dar início à nossa análise.
Considerando inicialmente o movimento no eixo x:
Vx = Vox + a.t (se em x, a = 0) então:
Vx = Vox
(ou seja, sempre constante)
X(t) = Xo + Vo.t + 1 a.t2 (se em x, a = 0) então:
2
X = Xo + Vox.t

Considerando o movimento no eixo y:
Sabendo que a aceleração em y é –g, logo concluímos que a
velocidade em y não é constante, ou seja, varia conforme o realizar
do movimento. Assim:
Vy = Voy – g.t
Y = Yo + Voy.t – 1 g.t2
2
Projétil Ideal

Tomando como objeto de estudos o modelo de projétil ideal, temos
o objeto sendo lançado sempre de um tempo t = 0 s, da origem do
plano cartesiano, sendo assim as grandezas Xo = Yo = 0 (zero). É
necessário e fundamental considerar em nosso estudo o ângulo de
lançamento do projétil, representando pelo ângulo formado entre o
vetor Vo e o eixo X. A letra grega utilizada na representação gráfica
deste ângulo é αo.

Podemos então, analisar separadamente as grandezas posição e
velocidade para o nosso modelo de projétil ideal, onde, Xo = Yo = 0.
As componentes das velocidades em X e Y, de acordo com a
projeção dos vetores são então representadas:
(velocidade inicial em x)
Vox = Vo.cos αo
(velocidade inicial em x)
e
Voy = Vo.sen αo
Usando esse resultado nas outras equações chegamos a:
(posição em x)
X = Xo + Vox.t
X = 0 + (Vo.cos αo).t
X = (Vo.cos αo).t
(posição em y)
Y = Yo + Voy.t – 1 g.t2
2
Y = 0 + (Vo.sen αo).t – 1 g.t2
2
Y = (Vo.sen αo).t – 1 g.t2
2
(Velocidade em x)
(Velocidade em y)
Vx = Vox
Vx = Vo.cos αo
Vy = Voy – g.t
Vy = Vo.sen αo – g.t
e
As equações até agora vistas, descrevem a posição e a velocidade
de um projétil em qualquer instante t.
Podemos ainda extrair dessas equações:
A distância do projétil à origem em qualquer instante.
r=
2
2
x +y
A velocidade do projétil em qualquer instante.
V=
2
2
Vx + Vy
Podemos também deduzir a equação da forma da trajetória em
termos de x e y eliminando t, fazendo:
X = (Vo.cos αo).t  t =
X
(Vo.cos αo)
e substituindo em:
Y = (Vo.sen αo).t – 1 g.t2 
2
Y = (Vo.sen
o
).
X
X
- 1 g.
(Vo.cos o) 2
(Vo.cos o)
g
y = (tg o ).x 2vo2 cos2
2
2
.x
o
Trata-se da equação da parábola, que é a trajetória do movimento
de um projétil no nosso modelo ideal.
Exercícios
1) Lança-se uma pedra com velocidade inicial de 17 m/s e ângulo de
projeção 58º. Determine o tempo necessário para que a pedra atinja
a sua altura máxima.
2) Um motociclista maluco se projeto para fora da borda de um
penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e
possui módulo igual a 9,0 m/s. Ache a posição do motociclista, a
distância da borda do penhasco e a velocidade depois de 0,5 s.
Altura máxima e alcance máximo de um projétil
Assim como para o movimento de queda livre, temos equações que
tratam situações especiais no movimento de um projétil, tais como:
Altura máxima de um projétil:
2
2
h = Vo sen αo
2g
Alcance horizontal do projétil:
2
R = Vo sen2 α o
g
Exercícios
1)
Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma
velocidade inicial de Vo = 37 m/s com um ângulo inicial de αo =
53,1º em um local onde g = 9,8 m/s2. a) Ache a posição da bola e
o módulo de sua velocidade para t = 2,0 s. Calcule o tempo que a
bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a
altura h desse ponto. c) Ache o alcance horizontal R, ou seja, a
distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.
2) Você lança uma bola de sua janela a 8,0 m acima do solo. Quando a
bola deixa sua mão, ela se move a 10,0 m/s formando um ângulo
de 20º abaixo da horizontal. A que distância horizontal de sua janela
a bola atinge o solo? Despreze a resistência do ar.
3) Um projétil tem velocidade inicial de 26 m/s e um ângulo de projeção
de 48º no ponto de lançamento. Em t = 2,1 s, após o lançamento.
(a) Qual a distância do projétil ao ponto de lançamento?
(b) Qual a sua velocidade?
(c) Qual a direção que ele tem em relação à horizontal?
4) Lança-se uma pedra para o ar com velocidade inicial de 36 m/s a
um ângulo de projeção de 62º. Tomando o ponto de lançamento
como origem e fazendo t = 0 s corresponder ao instante de
lançamento, dê expressões de Vx, Vy, x e y como funções do
tempo.
5) Um taco de beisebol atinge uma bola de modo que a velocidade
inicial dela é de 35 m/s e o ângulo de projeção é de 42º em relação
a horizontal. A cerca do campo está a 115 m do ponto onde se situa
o jogador e tem 4m de altura. Desprezando a resistência do ar,
determine se a bola ultrapassará a cerca. Admita que a bola tenha
sido lançada de uma altura de 1m acima do nível do chão.
6)
Um helicóptero militar em missão de treinamento voa
horizontalmente com velocidade de 60,0 m/s e acidentalmente
deixa cair uma bomba (felizmente não ativa) de uma altura de 300
m. Despreze a resistência do ar: a) Quanto tempo a bomba leva
para atingir o solo? b) Qual a distância horizontal percorrida pela
bomba até a queda? c) Encontre os componentes da velocidade na
direção horizontal e na vertical imediatamente antes da bomba
atingir o solo.
Movimento Circular Uniforme


Um objeto executa um movimento circular uniforme quando
percorre um circulo a velocidade constante.
Imaginem um toca discos antigos ligado e sobre o disco de vinil um
objeto sobre sua borda. Mesmo a velocidade do objeto sendo
constante, seu vetor velocidade não é constante, pois, é tangente à
trajetória em cada ponto. Assim, o vetor velocidade muda de
direção continuamente quando o objeto percorre o círculo. O
movimento circular uniforme é um movimento acelerado.
Velocidade Vetorial


Como a velocidade de um objeto em movimento circular uniforme é
constante, esta velocidade nada mais é que a distancia percorrida
ao longo do circulo, dividida pelo tempo necessária para que o
objeto percorra tal revolução.
Se R é o raio do circulo e T é o tempo de uma revolução, então ao
longo do circulo a distância é 2πR e:
V = 2πR
T
Sendo T o período do movimento.
Exercício
1) Imagine que um objeto esteja a 0,12 m do centro de um disco de
vinil e que este esteja girando a 33,3 revoluções por minuto (rpm).
Qual o período da rotação? Qual a velocidade do objeto?
Aceleração

Já vimos que a aceleração de um objeto que segue em trajetória
curvilínea tem um componente dirigida para o lado côncavo da
trajetória, e, se a velocidade do objeto é constante, a aceleração é
perpendicular a V.

Como a aceleração é dirigida para o centro do círculo é chamada
de aceleração centrípeta e é dada por:
ac = V2
R
Como V e R são constantes, o módulo da aceleração centrípeta é
também.
Podemos também escrever a aceleração centrípeta em função
apenas do Raio e do Período, ficando:
ac = (2πR / T)2 = 4π2R
R
T2
Exercício
1) Encontre a aceleração para o exemplo do disco de vinil passado
anteriormente.
2) O carro esportivo Aston Martin V8, possui aceleração de 0,96g, o
que equivale a 9,4 m/s2. Isso representa a aceleração centrípeta
máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular.
Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s. Qual
é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar? (Suponha que a
curva não possua inclinação lateral.
3) Um modelo de rotor de helicóptero possui quatro lâminas, cada qual
com 3,40m de comprimento desde o eixo central até sua
extremidade. O modelo gira em um túnel de vento com 550 ver/min.
a) Qual é a velocidade linear da extremidade da lâmina em m/s? b)
Qual é a aceleração radial da extremidade da lâmina expressa com
múltiplo da aceleração da gravidade, g?