UPE – Caruaru – Sistemas de Informação
Disciplina: Estrutura de Dados e Arquivo
Prof.: Paulemir G. Campos
Árvores Binárias:
Construção e Percursos
11/5/2015
EDA - Prof. Paulemir Campos
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Árvores Binárias: Definições



São estruturas de dados onde existe
uma relação hierárquica entre seus
elementos constituíntes, chamados nós;
Há um nó principal, chamado raiz da
árvore;
A partir da raiz da árvore, cada nó pode
ter no máximo dois nós, chamados
filhos esquerdo e direito.
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Árvores Binárias: Definições


Por sua vez, os nós à esquerda do nó
raiz constituem a Sub-Árvore Esquerda
e os nós à direita do nó raiz formam a
Sub-Árvore Direita;
Contudo, a raiz de uma árvore binária e
suas respectivas sub-árvores esquerda
e direita devem formar sub-conjuntos
finitos e disjuntos de nós.
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Árvores Binárias: Exemplos
Raiz da Árvore T
Sub-Árvore
Esquerda
A
B
D
E
G
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Sub-Árvore
Direita
C
H
F
I
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Árvores Binárias: Exemplos
Raiz da Árvore T2
Raiz da Árvore T1
A
B
Filho Esquerdo ou
Sub-Árvore
Esquerda de T1
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A
T1
 T2
B
Note que as árvores binárias T1
e T2 são diferentes, pois, apesar
de terem o mesmo conteúdo na
raiz, o conteúdo de seus
respectivos nós filhos direito e
esquerdo são diferentes.
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Filho Direito ou
Sub-Árvore
Direita de T2
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Árvores Binárias: Contra exemplos
Exemplos de estruturas que não são árvores binárias.
Sub-Árvore
Esquerda
B
D
G
Sub-Árvore
Direita
A
H
Sub-Árvore
Esquerda
C
E
A
F
I
B
D
G
C
E
F
Sub-Árvore
Direita
I
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Árvores Binárias: Características




Possuem um ponteiro para o nó raiz da
árvore (alocação dinâmica);
Cada nó pode ter até dois filhos;
Raiz e Sub-Árvores Direita e Esquerda
devem constituir conjuntos disjuntos;
Em informática, crescem de cima para
baixo, já que a raiz fica no topo (nível
zero).
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Árvores Binárias: Nós

O grau de um nó representa o seu
número de filhos;


Ex.: Um nó de grau 2 indica que ele tem
dois filhos.
Tipos de nós:


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Folhas ou Externos – Não tem filhos.
Não-Folhas ou Internos – Tem ao menos
um filho.
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Árvores Binárias: Profundidade

A profundidade
ou altura de
uma árvore
binária é
determinada
pelo seu maior
nível.
Nível 0
A
B
D
G
E
H
Nível 1
C
F
I
Nível 2
Nível 3
A profundidade ou altura (h) da árvore binária
acima é 3 (h=3).
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Árvores Binárias: Tipos

Árvore Estritamente
Binária:

Todo nó não-folha
deve ter sub-árvores
esquerda e direita
não vazias.
A
B
D
F
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C
E
G
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Árvores Binárias: Tipos

Árvore Binária
Completa:

A
É uma árvore
estritamente binária
em que todas as
folhas estão no nível
máximo da árvore.
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B
D
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C
E
F
G
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Árvores Binárias: Tipos

Árvore Binária Quase
Completa:


1 – Todas as folhas
estão no último ou
penúltimo níveis;
2 – E, para cada nó
com descendente
direito no último nível,
todos os
descendentes
esquerdos folhas
também estiverem no
último nível.
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A
B
D
H
C
E
F
G
I
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Árvores Binárias Completas

Cálculo do Número de
Nós:

O número de nós (n)
é obtido com a
fórmula abaixo, sendo
fornecida a altura (h)
da mesma.
n2
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h 1
1
A
B
D
C
E
F
G
Ex.: Na árvore acima de altura h=2,
obtemos facilmente com a fórmula ao lado
que o número de nós desta árvore binária
completa é n=7.
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Árvores Binárias Completas

Cálculo da Altura:

Sabendo-se o número de
nós (n), pode-se com a
fórmula abaixo obter-se a
sua altura (h).
A
B
D
h  log
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n 1
2
1
C
E
F
G
Ex.: Na árvore binária completa acima, cujo
número de nós é n=7, obtemos com a
fórmula ao lado que sua altura é h=2.
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Árvores Binárias: Criação

Definindo o tipo da estrutura:
defina estrutura no {
caracter
ponteiro estrutura no
} tArvore
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dado
esquerdo, direito
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Árvores Binárias: Criação

Alocando memória dinamicamente
ponteiro tArvore
raiz
raiz = aloque(tArvore)
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Árvores Binárias: Criação

Criando uma árvore binária:
ponteiro tArvore CriaArvore(caracter novo){
ponteiro tArvore no
no = aloque(tArvore)
no->dado = novo
no->esquerdo = NULL
no->direito = NULL
retorne no
}
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Árvores Binárias: Insere à Esquerda
Insere_Esquerda(ponteiro tArvore raiz, caracter atual, caracter novo){
ponteiro tArvore folha
se (raiz!=NULL){
se (raiz->dado==atual){ /* Encontrou o nó procurado */
se (raiz->esquerdo==NULL){
folha = CriaArvore(novo)
raiz->esquerdo = folha
} senão escreva(“Inserção inválida”)
} senão { Insere_Esquerda(raiz->esquerdo, atual, novo)
Insere_Esquerda(raiz->direito, atual, novo) }
}
}
OBS.: Insere à direita é análogo a este procedimento.
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Árvores Binárias: Percursos

Principais formas de se percorrer uma
árvore binária não vazia:



Passeio Pré-Fixo
Passeio Central
Passeio Pós-Fixo
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Árvores Binárias:
Passeio Pré-Fixo (r-e-d)

Efetua-se o procedimento recursivo,
enquanto possível:



Visita-se a raiz;
Percorre-se a sub-árvore esquerda em ordem
pré-fixa;
Percorre-se a sub-árvore direita em ordem préfixa.
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Árvores Binárias:
Passeio Central (e-r-d)

Efetua-se o procedimento recursivo,
enquanto possível:



Percorre-se a sub-árvore esquerda em ordem
central;
Visita-se a raiz;
Percorre-se a sub-árvore direita em ordem
central.
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Árvores Binárias:
Passeio Pós-Fixo (e-d-r)

Efetua-se o procedimento recursivo,
enquanto possível:



Percorre-se a sub-árvore esquerda em ordem
pós-fixa;
Percorre-se a sub-árvore direita em ordem
pós-fixa;
Visita-se a raiz.
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Árvores Binárias:
Exemplos de Passeios
A
Pré-Fixo (r-e-d): ABDGCEHIF
B
C
Central (e-r-d): DGBAHEICF
D
E
F
Pós-Fixo (e-d-r): GDBHIEFCA
G
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H
I
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Referências


Szwarcfiter, J. L.; Markenzon, L.
Estruturas de Dados e seus
Algoritmos. Rio de Janeiro: LTC, 2a.
ed., 1994.
Veloso, P. et al. Estrutura de Dados.
Rio de Janeiro: Editora Campus, 1996.
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