Estatística II
TESTE DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS
TESTE DE IGUALDADE DE MÉDIAS POPULACIONAIS
Outra forma de apresentação de testes de hipóteses pode envolver duas diferentes amostras. Nestas situações, se deseja
decidir se um grupo é diferente de outro. Por exemplo, um professor poderia comparar a média de amostras de alunos de sexo
feminino e masculino, tentando verificar se as amostras são originárias de populações com médias diferentes. Em outra situação,
um candidato a governador poderia comparar sua preferência em amostras de eleitores obtidas na capital e no interior. Poderia
desejar saber se as preferências populacionais seriam iguais ou diferentes.
Se n1 + n2 ≥ 30 e se os desvios populacionais forem conhecidos
_
_
x1 - x 2
z=
1
2
n1
+
2
2
n2
Se n1 + n2 ≥ 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos
_
_
x1 - x 2
z=
s12 s22
+
n1
n2
Se n1 + n2 < 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos e n1 = n2
_
_
x1 - x 2
t=
s12 s22
+
n1
n2
Se n1 + n2 < 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos e n1 ≠ n2
_
_
x1 - x 2
t=
[
(n1 - 1)s12 + (n2 - 1)s22 1
1
].( + )
n1 + n2 - 2
n1 n2
Concluir pela aceitação (se o valor amostral cair na RA) ou rejeição de HO (se o valor amostral cair na RR) pela comparação com o
valor obtido no passo anterior com RA e RC.
EXEMPLOS
01. A indústria de chocolates Delícia afirmava que seus chocolates eram os mais vendidos, em média, no canal de distribuição de
supermercados, quando comparados com as vendas do rival, chocolates Saboroso. Duas amostras com 14 observações cada
obtidas em 14 lojas revelaram os dados apresentados no quadro. É possível aceitar a hipótese que ambas vendem a mesma
quantidade média de chocolate com nível de confiança de 95%.
02. Duas amostras de notas finais de alunos de diferentes escolas constituídas por 20 e 30 alunos foram examinadas. Na
primeira, o grau médio foi 54, com desvio padrão 7. Na segunda, a média foi 58, com desvio padrão 6. Deseja-se testar se há uma
diferença significativa entre as médias populacionais das duas escolas, ao nível de significância de 0,05.
03. Um professor de cálculo desconfiava que os alunos do turno vespertino estudavam com intensidade maior do que os alunos do
turno da noite, que seria refletido na média das notas de ambos os grupos. Assim, o professor desejava testar a hipótese
alternativa da média das notas da tarde ser maior que as médias das notas da noite. Uma amostra aleatória por 37 alunos da
tarde revelou uma média em cálculo igual a 7,2, com um desvio padrão amostral igual a 1,4. Outra amostra, formada por 33 alunos
da noite, revelou uma média igual a 6,7, com desvio padrão amostral igual a 0,8. Considerando um nível de confiança igual a 95%,
pede-se testar a desconfiança do professor de cálculo.
TESTE DE IGUALDADE DE PROPORÇÕES POPULACIONAIS
z=
p1 - p2
_
_
p .(1 - p).(
1 1
+ )
n1 n2
p1 =
_
x1
x
x + x2
, p2 = 2 e p = 1
n1
n2
n1 + n2
EXEMPLO
A fábrica de TV Tela Grande constatou que a proporção de TV fabricados com defeito era 35 em cada amostra de 10000
televisores fabricados. Sua concorrente, a fábrica Tela Pequena, constatou 50 unidades com defeito em uma amostra de 12000
televisores produzidos. Pede-se testar a afirmação da qualidade de produção da Tela Grande ser inferior a da Tela Pequena,
assumindo um nível de significância, alfa, igual a 5%.
Exercícios
TESTE DE IGUALDADE DE MÉDIAS POPULACIONAIS
01. Dois fabricantes de automóveis possuíam o intuito de verificar qual dos dois veículos seria o mais econômico. Após analisar
uma amostra de 22 automóveis das duas marcas, obteve-se o resultado apresentado a seguir. Seria possível afirmar que o carro
Andaluz é menos econômico, isto é, que apresenta uma média populacional inferior que o do Reluzente? Assuma alfa igual a 3% e
populações normalmente distribuídas.
Automóvel
Andaluz
Reluzente
Tamanho da amostra
12 unidades
10 unidades
Média de consumo
14 km/l
15 km/l
Desvio padrão
2 km/l
4 km/l
02. Uma empresa fabricante de telefones celulares afirma que a duração média em horas (em stand by) da sua bateria é superior
à duração da concorrente. Duas amostras formadas por 40 baterias do fabricante e 40 do concorrente apresentaram médias
iguais a 65 e 60 horas, com desvio padrão de 2 e 3 horas, respectivamente. Seria possível supor que a bateria da empresa do
fabricante tenha maior duração? Suponha um nível de confiança igual a 98%.
03. Um fabricante de pneus produz dois tipos principais: A e B. Para o tipo A, estima que o desvio padrão populacional seja igual a
2.300 km, e para o tipo B, 2.500 km. Uma empresa de táxis testou 35 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 2.200 km e 2.400
km de duração média dos respectivos tipos. Adotando-se um nível de significância de 4%, teste a hipótese de que a vida média
dos dois tipos seja a mesma.
04. Ao verificar a eficiência dos funcionários de uma fábrica de sapatos, uma amostra de 6 funcionários da Ala C apresentou uma
produtividade média de 5,4 unidades/dia, com desvio padrão de 0,8 unidade/dia. Verificando outra amostra com 5 funcionários
da Ala B, observou-se uma produtividade média igual a 5,2 unidades/ dia, com s igual a 0,6 unidade/ dia. Pode-se dizer que os
funcionários da Ala C são mais eficientes?
05. Assuma um nível de confiança igual a 97% e suponha populações normalmente distribuídas. Numa comparação de aprovação no
vestibular de uma importante universidade, seis alunos de colégios particulares (amostra a) preencheram o gabarito no tempo
médio de 6,4 min, (desvio padrão igual a 60 segundos). Outra amostra foi formada por cinco alunos selecionados aleatoriamente
do mesmo universo (amostra b). Após realizarem treinamento para preenchimento de gabaritos, constatou-se que estes cinco
alunos realizaram a tarefa em um tempo médio de 5,9 minutos, com desvio padrão de 60 segundos. Pede-se:
a) no estudo da eficácia do treinamento, quais hipóteses poderiam ser formuladas?
b) caberia um teste bilateral ou unilateral?
c) assumindo alfa igual a 2% e populações normalmente distribuídas, o que poderia ser dito sobre a eficácia do teste?
06. Em um teste recente sobre a eficácia de Treinamentos Baseado em Computador, TBCs, no aprendizagem de Matemática
Financeira, foram estudados os resultados de dois grupos distintos, formados por alunos escolhidos aleatoriamente de uma
instituição de ensino:
a) Grupo Ensino em Micro: recebeu treinamento exclusivamente em microcomputadores, com software apropriado e sem auxílio
de professores ou monitores;
b) Grupo Ensino em Sala: realizou curso convencional em sala de aula.
As notas obtidas pelos dois grupos estão apresentadas na tabela seguinte. A um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que
o treinamento em computador é eficaz? Assumem-se populações normalmente distribuídas.
Grupo
Em micro
Em sala
N
9
15
Média de consumo
7,32
6,28
Desvio padrão
1,78
2,25
TESTE DE IGUALDADE DE PROPORÇÕES POPULACIONAIS
01. A Distribuidora de Doces Divinos Ltda., em recente pesquisa realizada na faculdade com 400 alunos do curso de
Administração dos turnos vespertino e noturno (200 alunos de cada turno), afirmou que mais alunos do turno noturno consumiam
seus produtos em relação aos do turno vespertino. E possível aceitar essa alegação? Sabe-se que 45% dos alunos do turno
matutino consumiam regularmente os doces, contra 52% do noturno. Assuma 91% como nível de confiança.
02. Dois grupos, T e S, são formados, cada um, por 180 pessoas que têm uma determinada enfermidade. O grupo T, denominado
grupo de controle, recebeu a medicação tradicional, enquanto o grupo S recebeu um novo soro, recentemente desenvolvido.
Verificou-se que 80 e 60 pessoas do grupo T e S, respectivamente, curaram-se da enfermidade. Testar a hipótese de o soro
auxiliar a cura da enfermidade, adotando-se o nível de significância igual a 0,01.
03. Uma empresa de pesquisa de opinião pública selecionou, aleatoriamente, 500 eleitores da Bahia e 600 de Pernambuco, e
perguntou a cada um se votaria ou não no candidato Honesto Certo nas próximas eleições presidenciais. 80 eleitores da Bahia e
150 de Pernambuco responderam afirmativamente. Existe alguma diferença significativa entre as proporções de eleitores a
favor do candidato nos dois Estados? Use o nível de significância igual a 6%.
04. Estão em testes dois processos para a fabricação de chuveiros. Numa sequência de 2.000 chuveiros, o processo 1 gera 70
rejeições, enquanto o processo 2 acusa apenas 100 rejeições. Pode-se, considerando alfa igual a 5%, concluir que a qualidade de
fabricação dos dois processos seja diferente?
05. Numa pesquisa sobre o fornecimento de água tratada, encontraram-se 130 das 200 casas pesquisadas do bairro A e 250 das
400 residências do bairro B. Há diferença significativa entre a proporção de possuidores de água tratada nos dois bairros?
Sabe-se que o nível de significância é igual a 10%.
06. Uma pesquisa realizada com 100 fumantes e 80 não fumantes tinha por objetivo verificar se estes acreditavam no fato de o
fumo causar câncer no pulmão e outras enfermidades sérias. Os dados obtidos estão apresentados na tabela seguinte. Pode-se
dizer que a opinião dos dois grupos é a mesma? Assuma um nível de confiança igual a 95%.
Grupo
Fumantes
Não fumantes
Acreditavam
22
30
Não acreditavam
78
50
RESPOSTAS
01
02
03
04
05
06
tcalc = -0,7618
zcalc = 8,77
zcalc = -0,3607
tcalc = 0,46
tcalc = 0,8257
tcalc = 1,1794
ttabelado = -1,9937
ztabelado = 2,05
ztabelado = +-2,05
ttabelado = 2,1504
ttabelado = 2,3984
ttabelado = 1,7247
Aceito H0
Aceito H1
Aceito H0
Aceito H0
Aceito H0
Aceito H0
01
02
03
04
05
06
zcalc = 1,4006
zcalc = 2,1222
zcalc = -3,6549
zcalc = -2,3514
zcalc = 0,5990
zcalc = -2,2799
ztabelado = 1,34
ztabelado = 2,33
ztabelado = +-1,88
ztabelado = +-1,96
ztabelado = +-1,65
ztabelado = +-1,96
Rejeito H0
Aceito H0
Rejeito H0
Rejeito H0
Aceito H0
Rejeito H0