2
ª
SÉRIE
EM
ORIENTAÇÕES FINAIS
Matemática 2
Prof. Heitor Achilles
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
CONTEÚDOS PARA A RECUPERAÇÃO FINAL
COMBINATÓRIA: PFC, Permutações simples, Combinações simples, Permutação com elementos nem todos
distintos, Combinações completas, números binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
PROBABILIDADE: Definição, Probabilidade com reunião e intersecção de eventos, probabilidade
condicional, Probabilidade de eventos independentes e Probabilidade binomial.
MATRIZES E DETERMINANTES: Operações com matrizes, matriz inversa, resolução de problemas
envolvendo matrizes, cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3, propriedades dos determinantes.
SISTEMAS LINEARES: Resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas.
Importante:
O foco dos estudos deve ser direcionado à resolução de problemas contextualizados, principal objetivo ao
longo deste ano nas aulas de Matemática II. Sendo assim, segue uma lista de exercícios que apresenta
ideias importantes relacionadas aos tópicos listados acima.
1. O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O
código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro
algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for
permitida a repetição de algarismos?
2. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas
substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura
explosiva?
3. De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4
mulheres e que a fila terá:
A)
os homens e as mulheres agrupados.
B)
homens e mulheres misturados
C)
homens e mulheres alternados
MAT2012-202. - EM – Heitor Achilles
4. (UERJ – Adaptado) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a
representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X
caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao
menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, determine a quanto equivale X.
5. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de
mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de
cinco cartas, um exemplo de quadra:
Qual é o número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma
quadra?
6. Um código para a leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum código tem
barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos:
Quantos desses códigos, distintos entre si, podem ser formados?
7. De quantas maneiras 3 casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal forma que as duas
das extremidades sejam ocupadas por homens?
8. Quantos anagramas da palavra PROBLEMA:
A) começam com R
B) começam com P e terminam por M
C) começam com P ou terminam por M
9. Numa classe de 10 estudantes universitários, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão.
De quantas maneiras o grupo poderá ser formado, se dentre os estudantes existe um casal que não
pode ser separado?
10. De um grupo com 7 mulheres e 5 homens deseja-se formar comissões de 5 pessoas onde cada uma
delas deve ter pelo menos 3 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas nessas condições?
11. De quantas maneiras distintas podemos sair do ponto A e chegar ao ponto B, sabendo que só
podemos “caminhar” a cada 1 unidade, sempre para a direita, horizontalmente, ou para cima,
verticalmente?
12. Seja o lançamento de um dado comum. Qual a probabilidade de sair:
A) Um número par?
B) Um múltiplo de 3?
C) Um número par ou múltiplo de 3?
13. Jogando-se dois dados, um branco e um vermelho, qual a probabilidade de sair dois números
primos?
14. Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam Física e 5 estudam
Matemática e Física. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também
estudar Física.
15. Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o resultado a seguir:
Fumantes
Não-fumantes
Homens
70
30
Mulheres
10
90
Sorteia-se um funcionário ao acaso.
A) Qual a probabilidade que seja homem?
B) Qual a probabilidade que seja mulher?
C) Sabendo que foi sorteado um funcionário não-fumante, qual a probabilidade de que seja
homem?
D) Sabendo que foi sorteado um funcionário não-fumante, qual a probabilidade de que seja
mulher?
16. Retirando-se duas cartas ao acaso, com reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade
de ser a primeira de ouros e a segunda de espadas?
17. Um grupo de 30 pessoas apresenta a composição: 20 italianos e 10 portugueses; 15 homens e 15
mulheres; 5 casados e 25 solteiros. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao
acaso seja um homem casado e português.
18. Um piloto de fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se
chover no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a
probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de
que o piloto venha a subir ao pódio.
19. Num certo país, 10 % das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma
análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2%
são fraudulentas. Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita
e fraudulenta?
20. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em grau Celsius, três vezes ao dia, durante
cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i
do dia j.
[
]
Determine:
A) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura.
B) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
21. Considere as matrizes:
A = (aij)2 x 2 tal que aij = 3i + j,  i,j
B = (bij)2 x 2 tal que bij = i – 3 j,  i,j
A) Determinar A-1  BT.
B) Qual o valor de det (4A-1  B-1)?
22. Sabendo que |
A) |
|
|=
B) |
|=
C) |
|=
D) |
|=
, calcule o valor numérico de cada determinante abaixo:
E) |
|=
23. Uma fábrica produz dois tipos de peça P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P 1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é de R$ 2,00. A
matriz abaixo fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas, E1 e E2, no
mês de outubro.
P1
E1
E2
[
P2
]
Determinar a matriz [ ], em que x e y representam os lucros, em real, obtidos pela fábrica, no
referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente.
24. Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo
os passos:
 Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C;
 O destinatário recebe do remetente a matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz
mensagem a ser decifrada;
 Considere o alfabeto com 23 letras, excluindo k, y e w;
 Cada número da matriz corresponde a uma letra do alfabeto 1 = a, 2 = b, 3 = c, …, 23 = z;
 O número 0 corresponde ao ponto de exclamação;
 A mensagem é lida encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e
ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:
m11m12m13m21m22m23m31m32m33
Considere as matrizes:
[
]
e
[
]
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, escreva a mensagem que foi enviada por
meio da matriz M.
25. Resolva, se possível, os seguintes sistemas de equações lineares:
A) {
B) {
C) {