Slide nº 1
Festa
Estatística Básica
Jorge Festa
Slide nº 2
2
Festa
Análise Exploratória de
Dados

Slide nº 3
Capítulo 1 - Resumo de Dados
 Introdução
 Tipos de Variáveis
 Distribuição de Freqüências
 Representação Gráfica das
Variáveis Quantitativas
 Ramo-e-folhas
Festa
INTRODUÇÃO

O que é ESTATÍSTICA ?
– É fundamental na análise de dados provenientes
de quaisquer processos onde exista
VARIABILIDADE.
– Uso de informações na: coleção, apresentação,
análise e tomada de decisões, para solucionar
problemas.
Slide nº 4
Y  X  
Festa
Estatística

Uma estatística é uma quantidade que é
calculada dos dados amostrados. Ela é
usada para dar informações a respeito de
valores desconhecidos da correspondente
população. Por exemplo, a média dos dados
amostrados é utilizada para dar
informações sobre toda a média da
população da qual a amostra foi retirada.
Slide nº 5
Festa
GRANDES ÁREAS DA
ESTATÍSTICA



Slide nº 6
Amostragem e planejamento de experimentos
 coleção ou coleta de dados
Estatística descritiva
 organização, apresentação e
sintetização de dados
Estatística inferencial
 métodos para tomada de decisões, nas
situações onde existem incertezas e
VARIAÇÕES.
Festa
AMOSTRAGEM


É o processo de escolha da amostra. É a
parte inicial de qualquer estudo estatístico.
Consiste na escolha criteriosa dos elementos
a serem submetidos ao estudo.
– Ex. Pesquisas sobre tendências de votação.
escolha da amostra, redação do questionário,
a entrevista, a codificação dos dados, a
apuração dos resultados são ETAPAS
FUNDAMENTAIS deste tipo de pesquisa.
Slide nº 7
Festa
ESTATÍSTICA DESCRITIVA

É a parte mais conhecida. Quem vê o noticiário,
na televisão ou nos jornais, sabe quão freqüente é
o uso de média, índices e gráficos nas notícias.
– Exemplo:
 O INPC, Índice Nacional de Preços ao
Consumidor
– Aumento dos produtos da cesta básica.
 Anuário Estatístico Brasileiro
– educação, saúde, transporte, economia,
cultura etc.
Slide nº 8
Festa
Estatística Inferencial
A
estatística Inferencial faz
uso das informações
retiradas da amostra para
conclusões (inferências), a
respeito da população da
qual a amostra foi retirada.
Slide nº 9
Festa
POPULAÇÃO E AMOSTRA

O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural,
social, econômico ou biológico, exige a coleta e
análise de dados estatísticos.
– População é a coleção de todas as observações
sobre determinado fenômeno.
– Amostra é o conjunto de dados efetivamente
observados, ou extraídos da população.
 Exemplo: Determinação do consumo de óleo
diesel em ônibus, avaliação de um programa de
ensino, renda média per capita em diversas
regiões do país etc.
Slide nº 10
Festa
INFERÊNCIA


A tomada de decisões sobre a população, com base
nos dados da amostra, constitui o problema central
da INFERÊNCIA ESTATÍSTICA.
A tais decisões estão sempre associados um grau
de incerteza e, conseqüentemente, uma
probabilidade de erro.
– Exemplo: Teste sobre medicamentos,
experimentos agrícolas, análise financeira,
consumo de energia etc.
Slide nº 11
Festa
APRESENTAÇÃO DE
DADOS

Técnicas que permitem detectar e corrigir
erros e inconsistências ocorridos durante um
processo de coleta de dados e determinar
as principais características destes dados.
– Grupamento de dados;
– Construção de distribuições de freqüência;
– Gráficos.
Slide nº 12
Festa
Tipos de Variáveis


Qualitativa
– Nominal
 Região de Procedência
– Ordinal
 Educação, Classe Social
Quantitativa
– Discreta
 Número de Filhos
– Contínua
 Peso de Indivíduos, Salários em R$
Slide nº 13
Festa
GRUPAMENTO DE DADOS
Alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de um clube.
Slide nº 14
16 8
17 2
17 0
18 1
16 9
17 3
16 4
17 5
18 2
17 7
17 6
17 3
17 0
18 6
18 3
17 0
16 8
16 6
16 9
18 0
17 5
16 4
18 1
17 9
17 2
16 9
17 4
17 1
17 8
16 6
Festa
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES
DE FREQÜÊNCIA
Alturas em cm. de 30 atletas
Tabulação de Freqüências
-------------------------------------------------------------------------------Limite
Limite
Ponto
Freqüência Freqüência Freqüência
Classe Inferior Superior
Médio Freqüência
Relativa
Acumulada
Rel. Acum
-------------------------------------------------------------------------------1
162.000
167.000
164.500
4
0.133
4
0.133
2
167.000
172.000
169.500
9
0.300
13
0.433
3
172.000
177.000
174.500
8
0.267
21
0.700
4
177.000
182.000
179.500
6
0.200
27
0.900
5
182.000
187.000
184.500
3
0.100
30
1.000
-------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367
Desvio Padrão = 5.89847
Mediana = 172.5
Slide nº 15
Festa
GRÁFICOS
Histograma de Frequencia
10
9
8
Frequencia
7
6
5
4
3
2
1
0
157
162
167
172
177
182
187
192
Alturas
Slide nº 16
Festa
GRÁFICOS
Poligono de Frequencias
10
9
8
Frequencia
7
6
5
4
3
2
1
0
157
162
167
172
177
182
187
192
Alturas
Slide nº 17
Festa
GRÁFICOS
Frequencias Relativa Acumulada
Ogiva
100
90
80
Percentual
70
60
50
40
30
20
10
0
157
162
167
172
177
182
187
192
Alturas
Slide nº 18
Festa
GRUPAMENTO DE DADOS
Número de filhos em 25 famílias observadas
Slide nº 19
0
1
2
3
4
5
1
1
2
2
2
3
3
2
2
3
4
5
1
2
2
3
2
3
2
Festa
CONSTRUÇÃO DE
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA
Número de filhos em 25 famílias observadas
Tabulação de Freqüências
-------------------------------------------------------------------------------Limite
Limite
Ponto
Freqüência Freqüência Freqüência
Classe Inferior Superior
Médio Freqüência
Relativa
Acumulada
Rel. Acum
-------------------------------------------------------------------------------1
-0.5000
0.5000
0.000
1
0.0400
1
0.0400
2
0.5000
1.5000
1.000
4
0.1600
5
0.2000
3
1.5000
2.5000
2.000
10
0.4000
15
0.6000
4
2.5000
3.5000
3.000
6
0.2400
21
0.8400
5
3.5000
4.5000
4.000
2
0.0800
23
0.9200
6
4.5000
5.5000
5.000
2
0.0800
25
1.0000
-------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4
Desvio Padrão = 1.22474
Mediana = 2
Slide nº 20
Festa
GRÁFICOS
Histograma de Frequencias
10
9
8
Frequencia
7
6
5
4
3
2
1
0
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
Filhos
Slide nº 21
Festa
GRÁFICOS
Poligono de Frequencias
10
9
8
Frequencia
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
Filhos
Slide nº 22
Festa
Análise Exploratória de
Dados

Capítulo 2 - Algumas medidas associadas
a variáveis Quantitativas
 Medidas de Posição
 Medidas de Dispersão
 Outra Estratégia de Análise
 Desenho Esquemático
Slide nº 23
Festa
Estatísticas Descritivas










Slide nº 24
Tamanho da Amostra
Média
Mediana
Moda
Média Geométrica
Variância
Desvio-padrão
Erro-padrão
Mínimo
Máximo










Amplitude
Quartil Inferior
Quartil Superior
Intervalo Inter-quartil
Assimetria “Skewnwss”
Assimetria Padronizada
Curtose “Kurtosis”
Curtose Padronizada
Coeficiente de Variação
Somatório
Festa
Estatística Clássica
Suposições
Probabilísticas das Variáveis Envolvidas
Declarações sobre os Parâmetros ou Modelo
Utilizado
Noções Assintóticas de
– Consistência
– Variância “Grandes Amostras”
– Eficiência
“USE A ESTATÍSTICA COMO O BÊBADO USA OS
POSTES - MAIS PELO APOIO QUE PELA
ILUMINAÇÃO”
Slide nº 25
Festa
Andew Lang
Análise Exploratória de
Dados
 Tukey J. W. (1977)
– Técnicas Visuais
Dados = Modelo + Resíduos
Modelo = parte Suave
Resíduos = parte Grosseira
Y  X  
Slide nº 26
Festa
Análise Exploratória de
Dados
 Ferramentas
Principais
– Ramo-e-folhas - “Stem-andLeaf”
– Esquema de cinco números - “5number summary”
– Desenho Esquemático - “Box-Plot”
Slide nº 27
Festa
Ramo-e-folhas
Apresentação
RAMO - à esquerda da linha vertical
FOLHAS - à direita da linha vertical
 Vantagem sobre a Tabela de Freqüência:
– Não perdemos informação
– Número de linhas é equivalente ao
número de classes

Slide nº 28
Festa
CONSTRUÇÃO DE
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA
Alturas em cm. de 30 atletas
Tabulação de Freqüências
-------------------------------------------------------------------------------Limite
Limite
Ponto
Freqüência Freqüência Freqüência
Classe Inferior Superior
Médio Freqüência
Relativa
Acumulada
Rel. Acum
-------------------------------------------------------------------------------1
162.000
167.000
164.500
4
0.133
4
0.133
2
167.000
172.000
169.500
9
0.300
13
0.433
3
172.000
177.000
174.500
8
0.267
21
0.700
4
177.000
182.000
179.500
6
0.200
27
0.900
5
182.000
187.000
184.500
3
0.100
30
1.000
-------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367
Desvio Padrão = 5.89847
Mediana = 172.5
Slide nº 29
Festa
RAMO-E-FOLHAS
Dispositivo Ramo-e-folhas para ALTURAS: unidade = 1
2
4
9
13
(4)
13
10
8
6
3
1
1
Slide nº 30
1|2
representa 12
16F|44
16S|66
16o|88999
17*|0001
17T|2233
17F|455
17S|67
17o|89
18*|011
18T|23
18F|
18S|6
Festa
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES
DE FREQÜÊNCIA
Número de filhos em 25 famílias observadas
Tabulação de Freqüências
-------------------------------------------------------------------------------Limite
Limite
Ponto
Freqüência Freqüência Freqüência
Classe Inferior Superior
Médio Freqüência
Relativa
Acumulada
Rel. Acum
-------------------------------------------------------------------------------1
-0.5000
0.5000
0.000
1
0.0400
1
0.0400
2
0.5000
1.5000
1.000
4
0.1600
5
0.2000
3
1.5000
2.5000
2.000
10
0.4000
15
0.6000
4
2.5000
3.5000
3.000
6
0.2400
21
0.8400
5
3.5000
4.5000
4.000
2
0.0800
23
0.9200
6
4.5000
5.5000
5.000
2
0.0800
25
1.0000
-------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4
Desvio Padrão = 1.22474
Mediana = 2
Slide nº 31
Festa
RAMO-E-FOLHAS
Dispositivo Ramo-e-folhas para FILHOS: unidade = 0.1
1|2
representa 1.2
LO|0
5
(10)
10
4
1|0000
2|0000000000
3|000000
4|00
HI|50,50
Slide nº 32
Festa
Esquema ou Resumo de 5
Números
Sugestão (Tukey) - 1977
(i) a mediana
(ii) os extremos (mínimo e máximo)
(iii) os quartis ou juntas (inferior e superior)
a
A Mediana é uma Medida Resistente,
não é afetada por valores extremos.
Média amostral e o Desvio-padrão são afetados por
valores extremos
não temos idéia quanto a simetria da distribuição dos dados
Slide nº 33
Festa
Desenho Esquemático
“UM DESENHO ESQUEMÁTICO OU
GRÁFICO DO ESQUEMA DE 5
NÚMEROS VALE MAIS QUE 1000
PALAVRAS”
OUTLIERS
valores abaixo da J1 - 3/2 dJ
valores acima da J3 + 3/2 dJ, onde
J1 = 1º quartil, J3 = 3º quartil e dJ = J3 - J1
Slide nº 34
Festa
Exemplo
Histograma de Frequencias
e a Normal Ajustada
frequencia
6
5
4
3
2
1
0
150
Slide nº 35
155
160
165
170
175
180
185
altura de alunos em cm
190
195
200
Festa
Exemplo
Desenho Esquematico
150
Slide nº 36
155
160
165 170 175 180 185
altura de alunos em cm
190
195
200
Festa
Análise Exploratória de
Dados

Slide nº 37
Capítulo 3 - Análise Bidimensional
 Variáveis Multidimensionais
 Independência de Variáveis
 Medidas de Dependência entre
Duas Variáveis
 Diagrama de Dispersão
 Coeficiente de Correlação
Festa
Variáveis Multidimensionais
 Em
muitas situações observamos duas
ou mais características
simultaneamente, para analisar o seu
comportamento.
 A DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA das
freqüências será um poderoso
instrumento na compreensão dos dados.
Slide nº 38
Festa
Distribuição Conjunta
Distribuição Conjunta do Grau de Instrução e Região
Y|X
Capital
Interior
Outra
Total
Slide nº 39
1º Grau
4
3
5
12
2º Grau
5
7
6
18
Superior
2
2
2
6
Total
11
12
13
36
Festa
Independência de Variáveis

Um dos principais objetivos de uma
distribuição conjunta é descrever a
ASSOCIABILIDADE existente ENTRE
DUAS VARIÁVEIS, isto é, queremos
conhecer o GRAU DE DEPENDÊNCIA entre
elas, de modo que possamos prever melhor o
resultado de uma delas quando conhecemos
a realização da outra.
Slide nº 40
Festa
Independência de Variáveis
Distribuição conjunta das freqüências e porcentagens segundo sexo e curso
Y|X
Economia
Administração
Total
Slide nº 41
Masculino
85 (61%)
55 (39%)
140 (100%)
Feminino
Total
35 (58%) 120 (60%)
25 (42%)
80 (40%)
60 (100%) 200 (100%)
Festa
Medidas de Dependência
entre Duas Variáveis
 coeficientes
correlação
de associação ou
– coeficiente de contingência de Karl Pearson
n
 
2
o i  e i 
i1
2
C
e C* 
2
 n
Slide nº 42
2
ei
C
( t  1) 
t 

1
2
Festa
Diagramas de Dispersão
Diagrama de Dispersoes
Escores Padronizados
2.9
1.9
0.9
-0.1
-1.1
-2.1
150
160
170
180
190
200
Amostra Ordenada
Slide nº 43
Festa
Coeficiente de Correlação
y  A  Bx
B
n xy   x  y
n x 2  (  x ) 2
y  B x

A
n
r
Slide nº 44
n xy   x  y
n x 2 
 


 n y 2 
x
   
2



y
 
2
Festa
Origem do Termo “Regressão”
Media de alturas de filhos contra
alturas composta dos pais
184
Observado
estimado
valor y=x
180
176
172
168
164
160
160
Slide nº 45
164
168
172
176
altura dos pais
180
184
Festa
Probabilidades
 Capítulo
4 - Probabilidades
Introdução
Algumas Propriedades
Probabilidade Condicional e
Independência
Teorema de Bayes
Slide nº 46
Festa
Probabilidades
Uma das principais ferramentas da
estatística é a probabilidade, que
teve seu início formal com a escolha
de jogos no início do século XVII.
 Para seu entendimento necessitamos
de alguns conhecimentos BÁSICOS
que seguem:

Slide nº 47
Festa
Experimento
É
qualquer processo ou estudo de
coletar dados revelantes, os quais
exibem variações em seus resultados,
resultados estes desconhecidos de ante
mão.
– Ex. Lançamento de um dado honesto e
observar a cada arremesso a face
voltada para cima.
Slide nº 48
Festa
O
Espaço Amostral “W”
espaço amostral “W”, é o conjunto
de todos os resultados possíveis,
elementares e indivisíveis do
experimento, onde cada resultado é
um evento simples.
– Ex. Lançamento de um dado honesto
W = { f1, f2, f3, f4, f5, f6 }
Slide nº 49
Festa
Evento

Um evento, indicado pelas letras A, B, ..., é
qualquer subconjunto do espaço amostral “W”.
– Exemplo 1: A ocorrência de face impar, no
lançamento de um dado honesto.
evento A = { f1, f3, f5 }
– Exemplo 2: A ocorrência de face par, no
lançamento de um dado honesto.
evento B = { f2, f4, f6 }
Slide nº 50
Festa
 Uma
s-álgebra
s-álgebra é uma classe de
subconjuntos do espaço amostral, W,
satisfazendo os seguintes axiomas:
i) W 
ii ) Se A   , então A  
iii ) Se A e B   , então A  B  
Slide nº 51
Festa
Definição de Probabilidade
Definição
Clássica
Definição Freqüentista
Definição Geométrica
Definição Axiomática
Slide nº 52
Festa
Definição Axiomática
(i ) P( A)  0
(ii ) P(W)  1
(iii ) Se A1 , A2 , . . ., é uma sequencia de eventos mutuamente exclusivos em

 , (isto é, Ai  A j  , i  j; i , j  1, ,2, . . .) e se  Ai   , então
i 1


i 1
i 1
P[ Ai ]   P[ Ai ]
Slide nº 53
Festa
Algumas Propriedades
. P[]  0
. Se A1 , A2 , . . ., An são eventos mutuamente exclusivos em  , então
n
n
i 1
i 1
P[ Ai ]   P[ Ai ]
. Se A é um evento em  , então P[ A ]  1  P[ A]
. Se A1 e A2   então P[ A1 ]  P[ A1 A2 ]  P[ A1 A2 ] e
P[ A1  A2 ]  P[ A1 A2 ]  P[ A1 ]  P[ A1 A2 ]
. Se A1 e A2   então P[ A1  A2 ]  P[ A1 ]  P[ A2 ]  P[ A1  A2 ]
Se A1 e A2   e A1  A2 , então P[ A1 ]  P[ A2 ]
n
n
i 1
i 1
. Se A1 , A2 , . . ., An   , então P[ Ai ]   P[ Ai ]
Slide nº 54
Festa
Probabilidade Condicional
P[ AB]
P[ A| B] 
se P[ B]  0, desta forma
P[ B]
P[ AB]  P[ B]. P[ A| B]  P[ A]. P[ B| A].
Slide nº 55
Festa
Teorema da Probabilidade
Total
n
P[ A]   P[ A| B j ]. P[ B j ]
j 1
Slide nº 56
Festa
Teorema de Bayes
P[ Bk | A] 
P[ A| Bk ]. P[ Bk ]
n
 P[ A| B ]. P[ B ]
j 1
Slide nº 57
j
j
Festa
Regra da Multiplicação
P( A  B  C )  P( A)
P( B| A)
P ( C| A  B )
P[ A1. A2 ..... An ]  P[ A1 ]. P[ A2 | A1 ]. P[ A3 | A1 A2 ]. . . . . P[ An | A1. A2 ... An 1 ]
Slide nº 58
Festa
Independência
(i ) P[ AB]  P[ A]. P[ B]
(ii ) P[ A| B]  P[ A] se P[ B]  0
(iii ) P[ B| A]  P[ B] se P[ A]  0
Slide nº 59
Festa
Variável Aleatória
 Uma
variável aleatória, indicada
por X, é uma função com domínio
o espaço amostral e contradomínio
o conjunto dos números Reais, tal
que, o evento [ X  x ] pertence a
s-álgebra para todos os valores
de x que pertencem aos no.s
reais.
Slide nº 60
Festa
Função Distribuição
 Uma
Função Distribuição, indicada por
F(x), é uma função, com domínio os
Reais e contradomínio o intervalo [0,1],
satisfazendo as seguintes
propriedades:
– F(x) é não decrescente;
– F(x) é contínua à direita;
– F(-) = 0 e F() = 1
Slide nº 61
Festa
Função Distribuição
Acumulada
 Dada
a variável aleatória X,
chamaremos de função
distribuição acumulada a função
F ( x)  P( X  x), x 
Slide nº 62
Festa
O Conceito de Variável
Aleatória Discreta
 Uma
variável aleatória X, é dita
discreta, se ela assume um número
finito ou infinito enumerável.
 A função, indicada por p(x), nós
chamamos função de probabilidade
da variável aleatória discreta X.
Slide nº 63
Festa
Função de Probabilidade
i ) p( x)  0
ii)  p( x)  1
x
Slide nº 64
Festa
O Conceito de Variável
Aleatória Contínua
 Uma
variável aleatória, indicada
por X, é dita contínua, se existe
uma função f(x), chamada função
densidade de probabilidade, tal
que:
z
f ( x)dx  
Slide nº 65
Festa
Função Densidade de
Probabilidade
i ) f ( x)  0
z

ii) f ( x) dx  1

Slide nº 66
Festa
Valor Esperado de uma
Variável Aleatória

Dada uma variável aleatória X, chamamos
valor médio ou esperança matemática de X
ao valor

 x p( x ), discreta
E ( x)  
x
f
(
x
)
dx
,
continua



Slide nº 67
Festa
Valor Esperado de Uma
Função de uma Variável
Aleatória X “g(X)”
 Dada
a variável aleatória X,
chamamos esperança ou valor
esperado da função g(x) ao valor:
R
g ( x ) p( x )

|
E[ g ( x )]  S
g
(
x
)
f
(
x
)
dx
|Tz
Slide nº 68
Festa
Propriedades
 Se
g(x) = aX + b,
– E[g(x)] = E(aX + b) = a E(X) + b
 Se g(x) =[X - E(X)]2
– E[g(x)] = Var(X)
Slide nº 69
Festa
Alguns Modelos Discretos
 Distribuição
 Distribuição
 Distribuição
 Distribuição
 Distribuição
 Distribuição
 Distribuição
Slide nº 70
Uniforme Discreta
Bernoulli
Binomial
Hipergeométrica
Geométrica
Binomial Negativa
Poisson
Festa
Alguns Modelos Contínuos








Slide nº 71
Uniforme Contínua
Normal
Exponencial
Gama
Beta
Cauchy
Lognormal
Dupla-exponencial








Weibull
Logística
Pareto
Gumbel (Valor Extremo)
t-Student’s
F-Snedecor’s
Qui-quadrado
Normal Bivariada
Festa
Variáveis Aleatórias
Multidimensionais

Capítulo 7 - Variáveis Aleatórias
Multidimensionais
– Distribuição Conjunta
– Distribuições Marginais e Condicionais
– Funções de Variáveis Aleatórias
– Covarância de Duas Variáveis Aleatórias
– Variáveis Contínuas
Slide nº 72
Festa
Distribuição Conjunta

Em muitos experimentos, a um mesmo ponto
amostral w,atribuímos valores de duas ou mais
variáveis aleatórias.
– Ex. Suponha que queremos estudar a
composição de famílias com 3 crianças, quanto
ao sexo.
 X = número de meninos
 Y = 1 (se for homem) e 0 (se for mulher)
 Z = no. de vezes que houve variação do sexo
 W = número de meninas
Slide nº 73
Festa
Função Densidade Conjunta
i ) f ( x)  0
zz

ii)

f ( x, y)dx dy  1
 
Slide nº 74
Festa
Tabela de Probabilidades
Eventos
HHH
HHM
HMH
HMM
MHH
MHM
MMH
MMM
Slide nº 75
Probabilidade
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
X
3
2
2
1
2
1
1
0
Y
1
1
1
1
0
0
0
0
Z
0
1
2
1
1
2
1
0
W
0
1
1
2
1
2
2
3
Festa
Distribuições Marginais
 f ( x,y)
f( x)  
 f ( x,y) dy
Slide nº 76
Festa
Distribuições Condicionais
f ( x, y)
f ( x| y) 
f ( y)
Slide nº 77
Festa
Distribuições Independentes
f ( x,y)  f ( x )f (y)
Slide nº 78
Festa
Covariância de duas
variáveis aleatórias
Cov( XY)  E[( X  E( X)(Y  E(Y)]
s XY   XY   X  Y
Slide nº 79
Festa
Coeficiente de Correlação
de X e Y
( X, Y) 
1  XY
Slide nº 80
Cov( X, Y)
Var ( X) Var (Y)
s XY

1
s Xs y
Festa
Referências
Bibliográficas
Montgomery, Douglas C. & Runger, George C. Applied
statistics and probability for engineers. New York,
Wiley, 1994.
Montgomery, Douglas C., Introduction to statistical
quality control. New York, Wiley, 1991.
Bussab, Wilton O., Estatística Básica. 4.ed. São Paulo,
1987
Slide nº 81
Festa