Modelagem dinâmica e simulação de sistema não linear de circuito
elétrico passivo diodo, resistor, capacitor
Alexandre Colauto Neto
Alisson de Souza Castro
Virgilio Ferraz de Oliveira Junior
Flávio Luiz Rossini
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Departamento Acadêmico de Engenharia Eletrônica - DAELN, UTFPR,
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RESUMO EXPANDIDO
O artigo relata uma modelagem matemática do circuito retificador de meia onda através
da abordagem Lagrangiana. A partir do formalismo de Lagrange para sistemas dinâmicos,
obteve-se um sistema de equação não lineares o qual descreve o comportamento dinâmico do
circuito.
Quanto à constituição de um circuito retificador de meia onda, ilustrado na figura 1,
trata-se da topologia mais simples dos retificadores, o qual consiste na redução de um sinal de
corrente alternada (CA) para um sinal de corrente contínua (CC). Como o sinal de saída tem
ruído devido ao próprio sinal de entrada e a imprecisão dos materiais utilizados, o presente caso
consiste em um retificador de meia onda composto por um capacitor, sendo o responsável pelo
filtro no sinal de saída [1] [2].
O funcionamento do retificador consiste na polarização do diodo. Quando este é
polarizado diretamente, permite a passagem da corrente elétrica e assim terá um semiciclo
positivo resultante. Já quando polarizado reversamente, o diodo restringe o fluxo das cagas
elétricas, assim ceifa o semiciclo negativo do sinal de entrada. Logo, a tensão na carga tem
apenas o semiciclo positivo e uma corrente elétrica unidirecional e pulsante [2].
Para analisar um circuito, faz-se necessário conhecer duas grandezas dinâmicas: a
tensão elétrica e a corrente elétrica. A tensão é a energia necessária para movimentar uma
unidade de carga através de um elemento; já a corrente, é dada pela taxa de variação instantânea
da carga em relação ao tempo [1]. Na figura 1, é ilustrado o circuito elétrico retificador de meia
onda com seguintes elementos: fonte de tensão
Figura 1: Modelo do circuito elétrico [1].
, Resistor , Capacitor
e Diodo
[1].
A composição mínima de equações linearmente independentes é dada pelo grau de
liberdade
, número de ramos
facilmente obtém-se
e número de nós
, expressa por:
; e
, ou seja, o sistema é formado por duas equações [1].
Tem-se que a corrente dois será a corrente total menos a corrente três:
(1)
Integrando-se a e equação (1), obtém-se
(2)
sendo q2o valor inicial do capacitor.
O trabalho virtual é dado pela expressão:
Sendo as condições iniciais do sistema apresentadas por:
(3)
e
(4)
Como o sistema não possui indutor:
(5)
E a energia potencial é obtida por:
(6)
E a função de dissipação para o sistema em questão:
(7)
Assim, o equacionamento de Lagrange é expresso por (8) e (9):
(8)
(9)
Substituindo as informações nas equações (8) e (9) obtém-se
(10)
(11)
Por fim, o sistema de equações é dado por:
(12)
A corrente no diodo é descrita da forma [1]:
(13)
A qual isolou-se a tensão do diodo em (13):
(14)
E, substituindo-se (14) em (12), obtém-se o sistema de equações não lineares dado em
(15):
(15)
Quanto ao sistema (15), efetuou-se a simulação no software MATLAB® para uma
entrada senoidal
que foi representada graficamente na figura 2. Na figura 3 foi
representado o comportamento das mesmas variáveis simuladas da figura 2 no software de
simulação PSIM®. Logo, é possível perceber que as respostas são equivalentes, o que valida o
sistema não linear apresentado em (15).
Figura 2: Plotagem efetuado no software
MATLAB® das equações resultantes.
Figura 3: Simulação realizada no software
PSIM®.
Referências
[1] Fabien, Brian C. Analytical System Dynamics Modeling and Simulation, Volume Único.
Primeira Edição. Seattle, WA. Springer Science+Business Media, LLC, 2009.
[2] MALVINO, Albert Paul. Eletrônica - Vol. 1. 4.ed. São Paulo: Pearson, 1995.