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foi tão fácil!
EXAME DE RESUMOS.TK
Autor: Francisco Cubal
Prova Escrita de Matemática A
12.º Ano de Escolaridade
Prova MAT12/2.ª Fase
11 Páginas
Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2011
VERSÃO 1
Na folha de respostas, indique, de forma legível, a versão da prova.
A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I.
No Grupo I, esta prova inclui quatro múltiplas adaptadas de exames nacionais (época especial e militares).
No Grupo II, esta prova inclui dois exercícios adaptados de exames nacionais (militares).
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Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, excepto nas respostas que
impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser,
primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta.
Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica, sempre que for
necessário.
Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que
pretende que não seja classificado.
Escreva, de forma legível, a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respectivas respostas.
As respostas ilegíveis ou que não possam ser identificadas são classificadas com zero pontos.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo
item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
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Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas:


o número do item;
a letra que identifica a única opção correcta.
Não apresente cálculos, nem justificações.
A prova inclui, na página 4, um Formulário.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
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GRUPO I
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a única opção correcta.
Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção seleccionada.
Não apresente cálculos, nem justificações.
1.
O João tem seis bolas indistinguíveis e quatro caixas distintas.
O João quer colocar as bolas nas caixas, de forma a que cada caixa contenha pelo menos uma
bola.
De quantas maneiras diferentes podem as bolas ficar colocadas nas caixas?
(A) 4
(B) 8
(C) 10
(D) 12
2.
Seja
o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam
acontecimentos
e
dois
.
e
Sabe-se que:



Qual é o valor de
?
(A) 0,4
(B) 0,6
(C) 0,7
(D) 0,8
3.
Considere-se uma determinada linha
do triângulo de Pascal.
Sabe-se que:

A soma de todos os elementos da linha

O número
corresponde ao maior elemento da linha
.

O número
corresponde ao maior elemento da linha
.

é
.
– .
Qual é o valor, aproximado às unidades, de
?
(A) 415
(B) 505
(C) 625
(D) 275
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4. Das afirmações a seguir apresentadas escolha aquela que é a única opção correcta.
(A) Uma função de domínio
é sempre contínua.
(B) Uma função contínua nunca apresenta assimptotas.
(C) Uma função derivável é sempre contínua.
(D) Uma função contínua é sempre derivável.
5.
Para um certo valor de
e para um certo valor de , o gráfico da função, de domínio
por
, está parcialmente representado na figura.
Tal como a figura sugere,

A recta de equação

O gráfico de
intersecta o eixo
Quais são os valores de
6.
(A)
e
(B)
e
(C)
e
(D)
e
Seja
é assimptota do gráfico de
e de
.
no ponto de ordenada .
?
uma função de domínio
.
Na figura da esquerda está parte da
representação gráfica de
e, na
figura
da
direita,
parte
da
representação gráfica da função
,
respectivamente primeira e segunda
derivadas de
.
Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de
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?
definida
7. Na figura abaixo estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas A, B, C e D, de
cinco números complexos.
Qual é a imagem geométrica do número complexo que pode ser igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
8.
?
A
D
C
B
Na figura está representada, no plano complexo, uma
circunferência centrada na origem do referencial. Os
pontos A, B e C pertencem a essa circunferência.
Sabe-se que:




O ponto A é a imagem geométrica de
,
conjugado de z.
O ponto B pertence ao eixo imaginário.
Metade do perímetro da circunferência
corresponde a
arcos BC.
Qual dos seguintes números complexos pode representar a imagem geométrica do ponto C?
(A)
(B)
(C)
(D)
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GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as
justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.
1.
Em
, conjunto dos números complexos, considere os números complexos
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
1.1. Verifique que
.
1.2. Considere agora que, no plano complexo, a imagem geométrica de
imagem geométrica de
, conjugado de , é o ponto .
Represente o segmento de recta
2.
é o ponto
e que a
no plano complexo e determine o seu valor.
Uma caixa contém bolas brancas e bolas pretas, num total de doze bolas. Considere a experiência
aleatória que consiste na extracção sucessiva, com reposição, de duas bolas.
Seja
a variável que representa o número de bolas brancas extraídas.
Na tabela seguinte encontra-se representada a distribuição de probabilidades da variável
2.1. Seja a variável
“número de bolas pretas extraídas”.
Represente, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável
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.
.
2.2. Quantas bolas brancas e bolas pretas tem a caixa?
Justifique a sua resposta.
3.
Considere o seguinte problema:
“Utilizando os cinco algarismos do número
, quantos números podem ser formados?”
são duas respostas correctas.
Numa pequena composição explique o raciocínio que conduziu a cada uma dessas respostas.
4.
Considere as funções
Utilizando métodos exclusivamente analíticos resolva os três itens seguintes.
4.1. Estude a função
quanto à existência de assimptotas não verticais do seu gráfico.
4.2. Considere agora que
e são funções que correspondem, respectivamente, à equação
da recta tangente ao gráfico de , no ponto de abcissa e à recta tangente ao gráfico de
, no ponto de abcissa
.
Mostre que
e
4.2.1. Seja:



a intersecção das funções
e o ponto A.
a intersecção da função
com a recta de equação
a intersecção da função
com a recta de equação
Determine a área do triângulo
o ponto O.
o ponto B.
.
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5.
Considere a função
, de domínio , definida por
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos.
5.1. Estude a função
quanto à continuidade em
5.2. Considere a função , de domínio
Justifique que, no intervalo
pontos.
5.3. Dos
.
.
, definida por
, os gráficos de
pontos referidos na alínea anterior, seja
e
intersectam-se em
o que tem menor abcissa positiva.
Utilizando a sua calculadora, determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores
na forma de dízima, com aproximação às décimas).
FIM
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COTAÇÕES
GRUPO I ………………………………….. (8 x 5 pontos) ……………………………………
40 pontos
GRUPO II …………………………………………………………………………………………
160 pontos
1.
1.1. …………………………………………………………………
1.2. …………………………………………………………………
15 pontos
15 pontos
2.1. ………………………………………………………………...
2.2. …………………………………………………………………
15 pontos
10 pontos
3. ……………………………………………………………………..
15 pontos
2.
4.
4.1. ………………………………………………………………...
4.2. …………………………………………………………………
4.2.1. …………………………………………………………..
15 pontos
15 pontos
15 pontos
5.1. …………………………………………………………………
5.2. …………………………………………………………………
5.3. …………………………………………………………………
15 pontos
15 pontos
15 pontos
5.
TOTAL ……………………………………………………….. 200 pontos
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