Olá pessoal!
Resolverei neste ponto a prova de Raciocínio Lógico Quantitativo da
SUSEP 2010/ESAF.
Três questões devem ser anuladas: 34, 36 e 37.
Sem mais delongas, vamos às questões.
31. (SUSEP 2010/ESAF) A inequação dada por
conjunto dos números reais,
representado por:
a)
0
3
b)
0
3
c)
0
3
d)
0
3
e)
0
3
√
2 é definida no
, tem como solução o conjunto S
Resolução
Mais uma questão COPIADA da coleção Fundamentos de Matemática
Elementar (Atual Editora – Autores: Gelson Iezzi e Carlos Murakami). Essa
questão está resolvida no volume 1, 8ª edição, página 268, questão 560.
Fui aluno do professor Carlos Murakami de 1996 a 2002 em seu curso
particular situado no Recife. Seus ensinamentos em Matemática e sobre
a vida foram fundamentais para eu me tornar o professor e a pessoa
que sou hoje. Trabalhei durante 1 ano e meio ao seu lado e aproveito a
oportunidade para agradecer publicamente tudo que ele e sua família
(seus filhos Fabiana e Rodrigo) fizeram por mim. Hoje os papéis se
inverteram e sou professor dos seus netos.
Da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar já foram copiadas
duas questões na prova de AFRFB 2009 e mais uma na prova para a
SUSEP. Esse fato pode ter ocorrido em outras situações que não tive a
oportunidade de procurar.
Vamos à resolução que se encontra na íntegra no referido livro:
Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos os
membros por x, não esquecendo que, dependendo do sinal de x, o
sentido da desigualdade será mantido ou invertido.
1ª possibilidade: x > 0 (I)
√3
2
2
√3
0
3
3
4
0
3
3
3
0
4
3
4
0
3
4
1
3
4
3
2ª possibilidade: x < 0 (IV)
√3
Observação: √3
2x < 0.
2
√3
2
3
2
3
0
3
0 : essa implicação é válida porque
|
0
A solução da inequação proposta é dada por:
0
Letra D
3
4
3
32. (SUSEP 2010/ESAF) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam
A
B, A
B e A \ B, respectivamente, as operações de interseção,
união e diferença entre eles. Seja
o conjunto vazio, U o conjunto
universo e seja Ac = U \ A. A opção correta é:
a) (A
b) (A
c) (A
d) (A
e) (A
B)
B)
B)
B)
B)
(Ac
(Ac
(Ac
(Ac
(Ac
Bc)c = U.
Bc)c = .
Bc ) = .
Bc) = A B.
Bc)c = U.
Resolução
Lembremos as Leis de De Morgan:
(A B)c = Ac
Bc
(A B)c = Ac
Bc
Sabemos também que (Ac)c = A.
Analisemos cada alternativa de per si.
a) (A B)
.
Como (A
B) U, então a alternativa A é falsa.
b) (A
(Ac
Bc)c =(A
B)
, então a alternativa B é falsa.
B)
Como (A
(Ac
Bc)c =(A
B)
B)
((Ac)c
((Ac)c
(Bc)c)= (A
(Bc)c)= (A
B)
(A
B)=(A
B).
B)
(A
B)=(A
B)
c) (A B) (Ac Bc) =(A B) (A B)c = , pois a interseção entre um
conjunto X e o seu complementar é igual ao conjunto vazio. No caso, a
interseção entre A B e o seu complementar (A B)c é igual ao conjunto
vazio.
A alternativa C é verdadeira.
d) (A B) (Ac Bc) = ) (A B) (A B)c =U , pois a união de um
conjunto X com o seu complementar é igual ao conjunto universo.
Logo, a alternativa D é falsa.
e) (A B) (Ac Bc)c =(A B)
Logo, a alternativa E é falsa.
Letra C
((Ac)c
(Bc)c)= (A
B)
(A
B)=(A
B).
33. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500
alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos
que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a
renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que
a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além
disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o
filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do
meio?
a) 80
b) 100
c) 120
d) 160
e) 180
Resolução
Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda
do filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a
3.
Temos a seguinte proporção:
O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos
desenvolver a proporção da seguinte maneira: dividimos pelo
denominador e multiplicamos pelo numerador (com as frações que se
encontram no denominador). Por exemplo, olhe para a primeira fração:
3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e multiplicamos por 3. Obtemos o número
9. A segunda fração: 6 dividido por 3, vezes 2: obtemos o número 4.
Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, vezes 2: obtemos o número
12. A proporção ficará:
Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12.
Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires.
Letra A
34. (SUSEP 2010/ESAF) Um estudo indica que, nas comunidades que
vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de
gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo
masculino é igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter
dois meninos e três meninas é igual a:
a) 37/64
b) 45/216
c) 1/64
d) 45/512
e) 9/16
Resolução
Chamemos de “sucesso” ter um filho do sexo masculino: probabilidade
igual a 1/4.
Chamemos de “fracasso” ter um filho do sexo feminino: probabilidade
igual a 3/4.
A probabilidade de, em cinco experimentos (n = 5), obtermos 2
sucessos (k=2), pelo teorema binomial é:
P k
2
1
5
·
2
4
·
3
4
5 · 4 1 27
·
·
2 · 1 16 64
135
512
Sem resposta, portanto, deve ser anulada.
35. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis,
amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de
bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de
bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de
bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao
acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de
exatamente duas bolas serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.
e) 25/81.
Resolução
Suponha que temos apenas uma bola vermelha.
O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas
vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas.
O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas,
logo temos 10 bolas azuis.
O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo
temos 20 bolas pretas.
Total de bolas: 1 + 5 + 10 + 20 = 36 bolas.
20 bolas pretas e 16 não-pretas.
Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a
probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?
Seja X uma bola de cor não-preta.
XPP, PXP, PPX
3·
16 20 20
·
·
36 36 36
100
243
Letra B
36. (SUSEP 2010/ESAF) Um aquário em forma de cubo possui
capacidade para abrigar 20 peixinhos coloridos por metro cúbico.
Sabendo-se que uma diagonal de face desse aquário mede 10 metros,
então o volume do aquário, em metros cúbicos (m3), e o número
aproximado de peixinhos que podem ser abrigados neste aquário são,
respectivamente, iguais a:
a) 250 · √2
b) 250 · √2
c) 50 · √2
d) 50 · √20
e) 50 · √20
;
;
250 · √800
500 · √2
; 250 · √800
; 250 · √800
; 250 · √400
Resolução
As faces de um cubo são quadradas. E sabemos que se um quadrado
possui lado , sua diagonal medirá · √2.
Logo, · √2
10
10
√2
O volume do cubo é igual a
5 · √2
10 √2
·
√2 √2
5 · √2
, portanto:
5 · √2 · 5 · √2 · 5 · √2
125 · 2 · √2
250 · √2
E como o aquário tem capacidade para abrigar 20 peixinhos coloridos
por metro cúbico, o número de peixes será:
20 · 250 · √2
250 · 20 · 2
250 · √800
.
A resposta “seria” a letra A. Porém, o enunciado pede o número de
peixes. O número de peixes não pode ser expresso em quilogramas.
A questão não tem resposta e, portanto, deve ser anulada.
37. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de
lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados,
respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos
os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número
de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 são,
respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
Resolução
3
180 ·
2 · 180
2 · 180
3
5 · 180
2 · 180
1 · 180
900
180 ·
360
180 ·
540 ·
1.080
3.240
540 ·
1.080
3.240
540 ·
2 · 180
180
3.240
3.240
3.240
4.320
8
Portanto, o número de lados de P2 é 8.
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um
polígono de n lados é dado por
·
3
2
Assim, o número de diagonais de P3 é
11 · 11
2
3
44
A questão não tem resposta e deve ser anulada.
38. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles
de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
Resolução
Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles
medem 5.
A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Assim,
6·4
2
·
2
12
A área do triângulo pode ser expressa como o produto do
semiperímetro (p) pelo raio da circunferência inscrita ao triângulo.
Assim,
·
5
5
2
12
6
·
12
8·
12
1,50
Letra A
39. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece
uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização
trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a
mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente
à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias
junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua
vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem
pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário
honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados,
então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram,
respectivamente, iguais a:
a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.
Resolução
Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo,
a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t.
O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de
(1+20%)4 – 1 = 1,204 – 1 = 1,0736 = 107,36%.
Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a
taxa equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao semestre.
Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo
percentual foi de 44%.
Letra E
40. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto
dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado
que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do
valor nominal do título?
a) R$ 100 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 102 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 110 000,00.
Resolução
A operação de desconto racional composto equivale a uma operação
de juros compostos.
N
N
A· 1
i
A· 1
N
0,05
1,1025 · A
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
10.000
1,1025 · A
0,1025 · A
A
N
97.560,98
10.000
10.000
97.560,98
10.000
107.560,98
107.561,00
Letra B
Temos, portanto, três questões para serem anuladas nesta prova: as
questões 34,36 e 37.
Bibliografia para os recursos:
Questão 34 Æ Análise Combinatória e Probabilidade (A. C. Morgado,
João Bosco de Carvalho, Paulo Cezar Carvalho, e Pedro Fernandez –
Sociedade Brasileira de Matemática).
Questão 36 Æ Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 9 Atual Editora.
Questão 37 Æ Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 9 Atual Editora.
Um abraço e até o próximo ponto.
Prof. Guilherme Neves
[email protected]