UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA
CONSTRUÇÕES RURAIS E AMBIÊNCIA
VIÇOSA - MG - BRASIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS PARA
CONSTRUÇÕES RURAIS
ENG 350
Prof. Fernando da Costa Baêta
Prof. Valmir Sartor
Versão 2009
1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS PARA CONSTRUÇÕES
RURAIS 1
1. Tensão, Resistência e Coeficiente de Segurança. 3
1.1. Tensão e Tensão de Ruptura. 3
1.2. Resistência. 3
1.3. Coeficiente de Segurança e Tensão Admissível 5
1.4. Aplicações 6
2. Deformação e Leis da Deformação 7
2.1. Elasticidade e Plasticidade 7
2.2. Deformação Transversal para Tração e Compressão 8
2.3. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade 8
2.4. Deformação no Cisalhamento 9
2.5. Materiais Dúcteis e Quebradiços 9
2.6. Comportamento do Aço de Construção no Ensaio de Tração. 10
2.7. Variação de Comprimento devido a Variações de Temperatura. 11
2.8. Aplicações 11
3. Dimensionamento de Elementos Tracionados e Comprimidos 12
3.1. Dimensionamento de Elementos Tracionados 12
3.1.1.
Aplicações 12
3.2. Dimensionamento de Elementos Comprimidos 12
3.2.1. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Alvenaria 13
3.2.1.1. Aplicação 14
3.2.2. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Madeira ou de Aço 14
3.2.2.1. Aplicações 16
3.2.3. Dimensionamento de Pilares de Concreto Armado 16
3.2.4. Tensões Admissíveis do Solo à Compressão e Cálculo de Fundações Diretas 17
3.2.4.1. Aplicação 18
4. Dimensionamento de Elementos Solicitados ao Esforço Cortante ou Cisalhamento () 18
4.1. Aplicações 19
5.
Dimensionamento de Elementos Flexionados ou vigas 19
5.1. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Madeira 20
5. 2. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Perfis Metálicos 24
5.2.1. Aplicação 25
7. Problemas Propostos 35
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DIMENSIONAMENTOS
DE ESTRUTURAS PARA CONSTRUÇÕES RURAIS
O projeto da estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento qualquer é um
estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes são dimensionadas de
forma que tenham resistência suficiente para suportar os esforços para as condições de uso a
que serão submetidas.
Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da estrutura e
considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A análise de tensões,
esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os principais aspectos da resistência
dos materiais.
A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as mesmas são
solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos de seus apoios, etc.)
são os principais aspectos da análise estrutural.
Finalmente, com base em um coeficiente de segurança desejável e na análise estrutural
chega-se às dimensões dos elementos estruturais.
1. Tensão, Resistência e Coeficiente de Segurança.
1.1. Tensão e Tensão de Ruptura.
As parcelas de forças interiores de um corpo, que atuam na unidade de superfície de
uma seção qualquer desse corpo (1mm2, 1cm2, 1m2), denominam-se TENSÕES, podendo ser
também chamadas SOLICITAÇÕES.
As unidades de tensão são as seguintes: tf/cm2, kgf/cm2, kgf/mm2 e Pa = N/m2.
Distinguem-se dois tipos de tensões:
a) Tensões Normais, que atuam na direção perpendicular à seção transversal da peça, e
podem ser: tensão de compressão, c (-), ou tensão de tração, t (+), e.
b) Tensões Cisalhantes ou de Corte (), que atuam tangencialmente à seção transversal.
Então:

P
A
ou
 
P
A
Aumentando-se gradativamente a força externa que atua em um determinado corpo,
ocorrerá, finalmente, a destruição ou ruptura do mesmo. A razão entre a tensão calculada com
a carga máxima que o corpo suporta (Pmax) e a seção transversal original (Ao) do mesmo
denomina-se TENSÃO DE RUPTURA ou TENSÃO ESTÁTICA. Ou seja:
 rup  
Pmax
Ao
1.2. Resistência.
Um elemento estrutural pode ser levado à ruptura de diversas maneiras, de modo que se
pode distinguir diversas espécies de RESISTÊNCIAS a serem oferecidas por estes elementos,
quais sejam:
a) Resistência à tração.
3
Verificam-se em tirantes, hastes de treliças, pendurais, armaduras de concreto armado,
etc.
P
P
b) Resistência à compressão.
Verificam-se em paredes, pilares, apoios, fundações, etc.
P
P
c) Resistência ao cisalhamento ou corte.
Verificam-se no corte de chapas, nos rebites, pinos, parafusos, nós de tesoura de
telhados, etc.
P/2
P
P/2
d) Resistência à flexão.
Verificam-se em vigas, lajes, terças, ripas, caibros, etc.
P1
P2
P3
e) Resistência à flambagem.
Verifica-se nos elementos estruturais solicitados à compressão e que apresentem seção
transversal com dimensões reduzidas quando comparadas com o comprimento. Por exemplo:
colunas, escoras, pilares, hastes e outros elementos estruturais com cargas de compressão
atuando paralelamente ao eixo longitudinal da peça.
P
P
f) Resistência à torção.
Ocorre com menor freqüência em elementos de construção. A torção produz um
deslocamento angular de uma seção transversal em relação a outra. A resistência à torção
está relacionada à resistência ao cisalhamento. Verifica-se em vigas com cargas excêntricas,
vigas curvas, eixos, parafusos, etc.
g) Resistência composta.
Verifica-se em elementos estruturais que são submetidos simultaneamente por diversos
tipos de solicitações, flexo-compressão por exemplo.
P1
P2
4
As resistências dos materiais de construção são determinadas em “Máquinas Universais
de Ensaios”, obedecendo-se procedimentos rotineiros, que são padronizados pela ABNT
(Associação Brasileira de Normas Técnicas).
Os valores obtidos variam de acordo com o material, de material para material, e de
acordo com o tipo de carga aplicada.
Em algumas estruturas, pontes pôr exemplo, deve-se considerar além da resistência
estática a resistência do material à fadiga, aplicando-se cargas variáveis, alternadas e
oscilantes.
1.3. Coeficiente de Segurança e Tensão Admissível
Nas aplicações práticas só pode ser admitido a TENSÃO ADMISSÍVEL, que consiste
numa fração das resistências máximas ou de ruptura (TENSÃO DE RUPTURA) apresentadas
pelos diversos materiais. Isto, para prevenir o aparecimento de deformações excessivamente
grandes ou, até mesmo, o rompimento do elemento estrutural. Assim:
 adm 
r

 adm 
P
A
O COEFICIENTE DE SEGURANÇA depende dos seguintes fatores:
 consistência da qualidade do material;
 durabilidade do material;
 comportamento elástico do material;
 espécie de carga e de solicitação;
 tipo de estrutura e importância dos elementos estruturais;
 precisão na avaliação dos esforços e seus modos de atuarem sobre os elementos
construtivos;
 qualidade da mão de obra e controle de qualidade dos serviços.
Os progressos constantes na teoria da estática das construções, melhorias na qualidade
dos materiais, e o controle de execução de obras mais efetivo, têm permitindo a redução
constante dos coeficientes de segurança:
Aço..................
Ferro fundido...
madeira...........
Alvenaria.........
 = 1,15 a 2 (com relação ao escoamento)
=4 a 8
 = 2,5 a 7,5
 = 5 a 20
Na escolha do coeficiente de segurança, com conseqüente determinação da tensão
admissível, o calculista deve freqüentemente consultar prescrições, regulamentos e resultados
de ensaios que são continuamente atualizados e publicados por órgãos oficiais.
Na falta de valores de tensão admissível determinados especificamente para o material
utilizado, as tabelas a seguir fornecem os valores médios para diversos materiais de
construção.
5
TENSÕES ADMISSÍVEIS (de trabalho) e PESOS ESPECÍFICOS para Diferentes Materiais
de Construção.
Materiais
FERRO
Laminado
Fundido
ALVENARIA
Pedra
Tijolos comuns
Tijolos furados
Tijolos prensados
CONCRETOS
Simples 1:3:6
Armado 1:2:4
Ciclópico 1:3:6
P. Espec.
(kgf/m3)
Tração
(kgf/cm2)
Compressão Cisalhamento Flexão
(kgf/cm2)
(kgf/cm2)
(kgf/cm2)
7650
7200
1250
300
1100
800
1000
240
1250
300
2200
1600
1200
1800
-
17
7
6
11
-
-
2200
2400
2200
-
18
45
18
-
-
TENSÕES ADMISSÍVEIS (de trabalho) e propriedades mecânicas de algumas madeiras
brasileiras.
Madeiras
Maçaranduba
Ipê
Eucalipto citriodora
Angelim rosa
Jatobá
Angico branco
Cedro
Andiroba
Peroba de Campos
Pinho do Paraná
Peso
Módulo de
específico Elasticidade
(15 % de
Em
umidade)
(flexão)
kgf/m3
kgf/cm2
1200
183 000
1030
153 800
1000
136 000
800
144 300
960
151 300
700
106 800
530
85 000
720
116 000
720
119 600
540
105 225
Tensões admissíveis
a
2
(Peças de 2 categ.) kgf/cm
Compressão
Flexão
Cisalhamento
e tração
Viga
 c
 c
f = t Ligação
130
39
220
25
17
124
37
219
20
13
100
30
170
22
15
101
30
180
19
13
136
41
201
43
29
69
21
129
19
13
57
17
96
11
7
75
22
120
15
10
93
28
148
18
12
51
15
87
9
6
1.4. Aplicações
a) A carga de ruptura por tração de uma barra redonda de aço, com diâmetro de 20 mm, é de
12.500 kgf. Qual é a resistência à tração desse aço e qual é o coeficiente de segurança
existente quando adm = 1.400 kgf/cm2 ?
12.500 kgf
20mm
12.500kgf
6
b) Um prisma de madeira de pinho com seção 6x6 cm é comprimido paralelamente às fibras.
Verifica-se a ruptura quando a carga atinge 11,8 tf. Qual a resistência à compressão dessa
madeira e a adm quando  = 4?
11,8 tf
11,8 tf
c) Um pilar está carregado com 35 tf. Com que carga dever-se-á registrar a ruptura se o
mesmo foi calculado com coeficiente de segurança igual a 8 ?
2. Deformação e Leis da Deformação
2.1. Elasticidade e Plasticidade
Todo corpo sujeito a forças externas sofre deformação. As deformações lineares, que
ocorrem na tração e na compressão, são expressas em função da VARIAÇÃO DE
COMPRIMENTO (L) e do COMPRIMENTO ORIGINAL (L), resultando assim, na expressão
DEFORMAÇÃO RELATIVA (), ou seja:

L
L
As deformações a que corresponde cada tipo de esforços são:
- tração: alongamento
- compressão: encurtamento
P
P
L1
a1
L
L1
a2
L2
a1
a2
L2
b2
b1
a1 < a2 ; b1 > b2;
L
b1
P
L = L1 + L2
a1 > a2 ; b1 < b2
7
b2
;
L = L1 + L2
-cisalhamento: escorregamento
y

a1
a2
b1
x
a1 = a2 ; b1 = b2
b2
No cisalhamento, as deformações são angulares.
Se cessada a aplicação da força, o corpo retoma seu estado inicial, diz-se que o corpo é
ELÁSTICO, a exemplo do aço, borracha, madeira (até certo limite), etc.
Se cessada a força, o corpo permanece em sua forma atual, o material é PLÁSTICO, a
exemplo do chumbo, argila, etc.
A maioria dos materiais apresenta as duas características, dependendo da intensidade
dos esforços a que estão submetidos. Até certo limite de carga atuam como elásticos e a partir
desse ponto como plásticos.
Não existe material perfeitamente elástico. Permanece sempre uma deformação residual,
praticamente nula, chamada DEFORMAÇÃO PERMANENTE OU RESIDUAL.
2.2. Deformação Transversal para Tração e Compressão
Foi mostrado anteriormente que qualquer corpo sob a ação de forças externas (tração e
compressão) apresenta deformação longitudinal (). Simultaneamente ocorre também
deformação transversal (q).
Na tração ocorre contração transversal e na compressão ocorre alongamento
transversal.
q 
d
d
Obs: Nos desenhos da página anterior, d = b2 – b1.
Os ensaios mostram que a relação entre a deformação longitudinal e a transversal é
aproximadamente constante. Esta relação é denominada COEFICIENTE DE POISSON (m),
matematicamente representada por:
m

q
Para os metais “m” varia de 3 a 4 e para o concreto de 4 a 8.
2.3. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade
No intervalo em que o diagrama tensão-deformação se desenvolve retilineamente, as
tensões são proporcionais às deformações. Matematicamente pode ser traduzida:

  . 
8

Onde  é o COEFICIENTE DE ELASTICIDADE, número que expressa a deformação da
peça () por unidade de tensão ().
Como  é muito pequeno, normalmente trabalha-se com o seu inverso, ou seja: E 
1

Onde E é denominado MÓDULO DE ELASTICIDADE, que substituído na equação
anterior obtêm-se a expressão clássica de HOOKE:


E
O módulo de Elasticidade (E) é definido como sendo a tensão imaginária (ideal, e medida
em kgf/cm2) que na tração seria capaz de duplicar o comprimento original da peça.
Valores aproximados de Módulo de Elasticidade (em kgf/cm2) para alguns materiais são os
seguintes:
Aço .......................................
2.100.000
Ferro fundido..........................
1.000.000
Concreto ................................
20.000 à 400.000
Alvenaria de Tijolo..................
20.000 à 200.000
Madeira de Pinho (II à fibra)....
100.000
( à fibra)...
30.000
2.4. Deformação no Cisalhamento
Sua grandeza é definida como deformação angular (), conforme desenho do item 2.1.

y
x
Nas tensões normais, =/E. Identicamente, pode-se expressar o ESCORREGAMENTO
RELATIVO () empregando-se o MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL. (G) e a
TENSÃO CISALHANTE (), ou seja:


G
Entre o Módulo de Elasticidade (E) e o Módulo de Elasticidade Transversal (G), existe
uma relação devido à dependência de alongamentos transversais e longitudinais, que pode ser
expressa com o auxílio do Coeficiente de Poisson (m), ou seja:
G
m
E
2( m  1)
2.5. Materiais Dúcteis e Quebradiços
Dá-se o nome de DUCTIBILIDADE à propriedade apresentada pelos materiais que têm
grandes alongamentos de ruptura, ou seja, apresentam grandes deformações antes de
romperem (caso do aço e do alumínio). Se a ruptura ocorre de súbito, já com pequenos
alongamentos, diz-se que o material é QUEBRADIÇO ou frágil, sendo sensível a pancadas e
solicitações do tipo vibratório (caso do ferro fundido e do concreto).
9
2.6. Comportamento do Aço de Construção no Ensaio de Tração.
Em laboratório são realizados testes para obter o comportamento dos diversos materiais.
Nas “Máquinas Universais de Ensaios” pode-se medir as deformações correspondentes aos
diversos tipos de esforços externos até à ruptura. Os dados obtidos possibilitam traçar o
diagrama tensão-deformação para cada material. O diagrama característico do aço de baixa
resistência para construção está apresentado abaixo:
Onde:
APEFBZ = Diagrama Tensão-Deformação de Tração,
P = Limite de proporcionalidade,
Limite de elasticidade,
F = Tensão de escoamento,
B = Ponto de força máxima, e
Z = Ruptura.
A partir do ponto F as deformações do corpo continuam a aumentar até certo limite, para
um mesmo valor de tensão aplicada, ocorrendo escoamento no interior do corpo e provocando
deformação quase sempre visual, com posterior rearranjo de sua estrutura, normalmente
capaz de suportar maiores cargas.
Desta forma, para efeitos práticos, a tensão admissível é assim calculada:
A resistência máxima é dada por:  max 
Pmax
Ao
O alongamento total até a ruptura é dado por:  
10
L max
Lo
 adm 
F

2.7. Variação de Comprimento devido a Variações de Temperatura.
O aquecimento das estruturas causa DILATAÇÃO das mesmas, enquanto o
arrefecimento causa CONTRAÇÃO. Estas deformações podem causar tensões internas nos
materiais dos elementos estruturais, semelhantes àquelas devido à esforços externos.
Para evitar tensões adicionais nas estruturas, deve-se:
- empregar apoios móveis e/ou
- juntas de dilatação.
A dilatação ou compressão das peças estruturais pode ser calculada pela equação:
L   t . t. L
Onde, L = comprimento do elemento estrutural
t = variação de temperatura do elemento estrutural,
e
t = coeficiente de dilatação térmica
O coeficiente de dilatação térmica (t) indica a variação de comprimento do elemento
estrutural para cada 1C de mudança de temperatura do mesmo.
Alguns valores aproximados de t, são
Aço
0,000 012 C-1
Ferro fundido e concreto
0,000 010 C-1
Alvenaria de tijolo
0,000 005 C-1
-1
Madeira
0,000 003 C
Para estruturas de concreto considera-se, em geral, uma variação de temperatura de 
20C, e para as estruturas metálicas, de  35C.
A retração de argamassas e concretos pela evaporação da água tem ação semelhante à
variação de comprimento provocada pela diminuição de temperatura. Nas estruturas em
concreto simples e concreto armado, a retração deve ser considerada correspondente à uma
queda adicional da temperatura de aproximadamente 20C.
2.8. Aplicações
a) Uma barra de aço circular com 50 cm de comprimento e 22,6 mm de diâmetro, solicitada
por uma força de tração de 8.000 kgf, apresenta num comprimento de 20 cm um
alongamento de 0,19 mm. Calcular a tensão atuante (), o alongamento relativo (), o
módulo de elasticidade (E). Finalmente, determinar a resistência de ruptura e o
alongamento percentual, tendo a peça rompido sob a carga de 16.600 kgf e sendo, então,
a distância entre as referências de 24,6 cm.
b) Um tirante de aço de um telhado tem 18 m de comprimento e 2,8 cm de diâmetro, deve
resistir a uma força de tração de 9.600 kgf. Calcular sua variação de comprimento total,
devido à força aplicada e devido à uma variação de temperatura de + 35 C.
c) Calcular a espessura das juntas de dilatação para um terreiro de café de 100 x 100m, que
será construído em concreto. As juntas serão colocadas nas duas direções a cada 10m.
Considerando que o terreiro foi feito no inverno, é possível um t de aproximadamente
40C. E, como existem juntas nas duas direções, pode-se considerar dilatação linear.
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100m
3. Dimensionamento de Elementos Tracionados e Comprimidos
3.1.
Dimensionamento de Elementos Tracionados
Nos cálculos de resistência à tração, devem ser considerados todos os enfraquecimentos
na seção transversal, provocados por orifícios de rebites, parafusos e pinos, enchimento,
encaixes de qualquer espécie, recortes e roscas.
3.1.1. Aplicações
1) Um tirante de telhado tem 10m de comprimento e deve resistir a uma força de tração
de 8.600 kgf. Calcular o diâmetro do tirante a ser executado em aço redondo de forma
que o mesmo tenha um enfraquecimento nas extremidades devido a uma rosca de 1,5
2
mm de profundidade. Considerando: adm.tr. aço = 1.600 kgf/cm .
2)
Substituir o tirante de aço acima por um tirante de madeira (Eucalipto citriodora),
considere um enfraquecimento de 3,0 cm, conforme desenho abaixo. Dimensionar o
referido tirante (valores de “b” e “h”). Considerando: adm. tr. = 170 kgf/cm2
b
h
3cm
hmin
P
3.2. Dimensionamento de Elementos Comprimidos
Nas peças comprimidas somente considera-se os enfraquecimentos da seção
transversal quando a parte retirada não tiver sido substituída ou for preenchida com material de
menor resistência.
No dimensionamento de dois materiais diferentes em contato, considera-se apenas a
tensão admissível do material de menor resistência. Assim, o dimensionamento de uma
fundação é conduzido de acordo com a tensão admissível do solo e não com o material que a
constitui.
No dimensionamento de elementos estruturais de madeira tem-se que considerar o
ângulo entre a força aplicada e a direção das fibras. A tabela a seguir exemplifica a relação
existente entre ângulo da força e tensão admissível, para uma madeira que possui tensão
12
admissível à compressão paralela c = 85 kgf/cm e tensão adm a compressão perpendicular
2
n = 20 kgf/cm .
2
n
 = 90o
 = 0o
 = 45o
c
Angulo  entre direção da
força e direção da fibra.

0


85
Tensão Admissível de
2
Compressão em kgf/cm
 


47
30



25
60

90

20
 c . n
 c sen 2   ncos 2
3.2.1. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Alvenaria
Na compressão é importante a relação entre a menor dimensão da seção transversal (d)
e a altura (L) da peça.
Para efetuar o dimensionamento de um pilar de alvenaria deve-se considerar a redução
da tensão admissível, a ser considerada nos cálculos, à medida que o GRAU DE ESBELTEZ
(L/d) aumenta, assim como o peso próprio do mesmo.
A TENSÃO ADMISSÍVEL CORRIGIDA (adm) em função do grau de esbeltez é dada por:
 ' adm 
 adm
S
L
Onde:
S  0,9  0,11
L
d
d’
d
para 1< L/d< 10
Desta forma, a carga a ser suportada por um pilar de alvenaria pode ser estimada com
base na seguinte equação:


 

adm

P  d .d '
 0,0018L 
 0,9  0,11 L



d


Onde P é dado em kgf , quando d, d’ e L forem em cm.
Observação: normalmente não se trabalha com L/d >10, somente em casos especiais.
13
3.2.1.1. Aplicação
a) Que carga pode suportar um pilar de alvenaria de tijolo maciço comum, adm=10 kgf/cm2,
com seção de 20 x 25cm e 2 m de altura?
3.2.2. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Madeira ou de Aço
As colunas ou qualquer outro elemento comprimido que seja de madeira ou de aço
podem ser dimensionados verificando:
a) A carga máxima que o corpo suporta levando-se em conta a flambagem, empregando-se a
equação de Euler, ou seja:
Pcrit 
 2 .E.I
 .L2e
Onde: P crít = carga crítica admissível, kgf;
E = módulo de elasticidade do material, kgf/cm2;
 = momento de inércia da seção, cm4;
Le = comprimento efetivo de flambagem, cm; e
v = coeficiente de segurança, admensional.
b) A tensão à compressão atuante no material, ou seja:
 at 
P
  adm do material.
A
Se as duas condições anteriores são satisfeitas, tudo bem, a coluna é estável.
O Momento de Inércia da seção depende da forma, das dimensões e da orientação da
mesma. Para o cálculo de elementos comprimidos simples, emprega-se o menor valor entre as
direções “x” e “y”. A tabela a seguir apresenta as fórmulas para algumas seções usuais.
14
4
Momentos de Inércia para algumas seções usuais (cm ).
Seções
Momento de Inércia
y
Retangular
h
h
x
bh 3
;
Ix 
12
b3h
Iy 
12
b
Circular Cheia
x
Circular Oca
d d2
d1
Ix  Iy 
x
Ix  Iy 
 .r 4
4

 .d 4
64
d 14  d 42 
64
A/2
Perfil 
H
h
b/2
|
x
3
Ix 
B.H 3  b.h
;
12
Iy 
A.B 3  h.b'3
12
| b’|
B
O comprimento efetivo de flambagem depende do comprimento de suas extremidades.
São quatro os casos a serem considerados:
P
P
P
P
L
Le = 2L
Le = L
Le = 0,7L
15
Le = 0,5L
3.2.2.1. Aplicações
a) Uma coluna de 2 m de comprimento tem seção quadrada e é de pinho. Assumindo E =
2
2
105.000 kgf/cm , adm = 50 kgf/cm para compressão paralela às fibras, e usando um fator
de segurança de 4 para calcular a carga crítica de flambagem usando a equação de
“Euler”. Determine as dimensões da seção transversal para as cargas de 5.000 kgf e de
10.000 kgf. Sabe-se que a coluna é articulada nas duas extremidades.
b) Determinar o diâmetro de um pilar ou coluna de um galpão com 3m de pé-direito, para
suportar uma carga de 15 toneladas força. Considerar: E = 140.000 kgf/cm2,
adm=135kgf/cm2 para compressão paralela às fibras e coeficiente de segurança 4. Dados:
2
Pcrít = 15.000 kgf; E = 140.000 kgf/cm ;  = 4; Le = 2.L = 600 cm
3.2.3. Dimensionamento de Pilares de Concreto Armado
Para concreto armado, quando a carga normal que atua sobre o pilar não se situa no seu
centro de gravidade, diz-se que o mesmo está sendo solicitado por uma “flexão composta
normal”. Esta solicitação corresponde à combinação da força normal com o momento fletor
devido à excentricidade. Praticamente, não há pilar que não esteja sobre flexão composta, e
por isto, as normas determinam que assim sejam calculados.
Segundo as normas brasileiras, a menor largura permitida para os pilares é de 15 cm,
embora, na prática dimensões menores são usuais.
A tabela a seguir apresenta a ferragem necessária, a carga admissível em toneladas e o
comprimento máximo de pilares engastados, de acordo com a seção, tendo como base a
Norma Brasileira, NB-1-78, empregado a teoria do Estado Limite Último.
Carga Admissível (toneladas força), número de ferros com diâmetro em mm e
comprimento máximo (L) para pilares retangulares sujeitos à compressão axial, para um
2
concreto com fck (tensão admissível à compressão)  180 kgf/cm , e para o Aço C A-50.
Espessura
15 cm
L = 2,25 m
20 cm
L = 3,00 m
25 cm
L = 3,75m
30 cm
L = 4,50 m
35 cm
L = 5,25 m
40 cm
L = 6,00 m
15 cm
10 t
48
20 cm
20 t
4  10
24 t
4  10
34 t
4  12,5
-
Largura
30 cm
30 t
6  10
36 t
6  10
51 t
6  12,5
60 t
6  12,5
-
40 cm
40 t
8  10
48 t
8  10
68 t
8  12,5
80 t
8  12,5
97 t
10  12,5
115 t
12  12,5
OBS: Considerar somente metade da carga admissível quando o pilar tive um extremo
engastado e o outro extremo livre.
16
Ferragem principal
Estribos d = 5mm
P/ cada 20 cm
1,5 cm de cobertura
3.2.4. Tensões Admissíveis do Solo à Compressão e Cálculo de Fundações Diretas
As fundações têm como objetivo compatibilizar a carga transmitida pela obra e a
resistência do solo.
As fundações diretas são assim chamadas por transmitirem a carga diretamente sobre o
solo, e a área de contato é então função da carga e da tensão admissível do solo.
Geralmente as fundações diretas são executadas com 20 a 50 cm de profundidade,
dependendo da carga a ser transmitida e do tipo de solo, procurando sempre apoia-las em
terrenos firmes.
A tensão admissível ao solo pode ser estimada pelo processo de percurção e
empregando a seguinte equação:
 adm 
P  N .H N  1 



S .C  E
2 
roldana
tripé
P
H
Onde:
 adm = Tensão Admissível do Solo (kgf/cm2)
P = Peso (kgf)
S = seção do peso (cm2)
C = coeficiente de segurança (5-10)
N = número de quedas (5-10)
H = altura de queda (cm)
E = aprofundamento no solo (cm)
vala de fundação
E
Cada amostragem do método consiste em deixar cair, de uma determinada altura, um
peso cilíndrico de valor conhecido, por um determinado número de vezes, e verificar o
aprofundamento total causado no solo pelas quedas do mesmo.
A determinação deve ser feita na profundidade em que se vai apoiar a sapata, e deve-se
fazer no mínimo 3 amostragens em locais diferentes.
Na maioria dos casos de dimensionamento de fundações diretas para pequenas
construções (dois pavimentos) não se determina a tensão admissível do solo, a estimativa da
mesma é feita analisando-se a constituição do solo.
De uma forma geral são encontradas as seguintes tensões admissíveis para os solos:
1 - Aterros ou entulhos suficientemente tecalcados e consolidados.......... 0,5 kgf/cm2
2 - Aterros de areias sem possibilidade de fuga......................................
1,0 kgf/cm2
3 - Terrenos comuns, bons, como os argilo-arenosos, embora úmido..... 2,0 kgf/cm2
4 - Terrenos de excepcional qualidade como os argilo-arenosos secos... 3,5 kgf/cm2
5 - Rocha viva.......................................................................................
20,0 kgf/cm2
17
Para o calculo das cargas da obra pode-se utilizar a tabela apresentada a seguir:
Cargas por Unidade de Área e Peso Específico de Alguns Elementos Construtivos
Material
Cargas
Peso
Sobrecarga
(kgf/m2)
(kgf/m3)
(kgf/m2)
Telhado colonial
140
60
Telhado T. Francesa
125
60
Telhado C. Amianto
90
60
Laje Maciça ou pré-fabricada de forro
120
100
Laje Maciça ou pré-fabricada de piso
160
200 a 600*
Alvenaria Tijolo Maciço
1.600
Alvenaria Tijolo Furado
1.200
Concreto Armado
2.400 a 2.500
Concreto Simples ou Ciclópico
1.800 a 2.200
Revestimento de parede
25 a 50
Revestimento de forro
50
Revestimento de piso
50 a 80
2
 Para depósito vai até 600 kgf/m , dependendo do material a ser estocado, enquanto para
residências e escritório fica em torno de 200 kgf/m2.
3.2.4.1. Aplicação
a) Dimensionar as sapatas isoladas (fundação direta descontínua) de um galpão com
cobertura de telhas de cimento-amianto, vão de 11 m, beiral de 0,5 m e pé direito de 3 m.
Os pilares são de 0,20m x.0,20m, em concreto armado, espaçados de 4 m entre si.
Considere a tensão admissível do solo igual a 12.000 kgf/m2 a 1 metro de profundidade. O
galpão é totalmente aberto (sem paredes ou divisórias. Considerações: peso próprio do
2
2
telhado de 90 kgf/m e carga acidental de 60 kgf/m , já em projeção horizontal; a sapata
será confeccionada em concreto simples; desprezar a carga do solo atuante sobre a
sapata.
b) Dimensionar a fundação direta contínua (sapata corrida) de um galpão com cobertura de
telha cerâmica francesa, vão de 11 m, beiral de 0,5 m, pé-direito de 3 m e laje de forro até
o beiral com espessura de 6 cm. A construção não possui pilares, sendo o peso do telhado
apoiado em paredes de alvenaria com 0,20m de espessura. Considere a tensão admissível
do solo igual a 1,0 kgf/cm2 a 0,5 m de profundidade.
Obs: No caso de instalações onde as sapatas são contínuas, fixa-se 1 m de comprimento da
mesma, calcula-se a carga de telhado, da laje, da parede e peso próprio da fundação
neste comprimento, e acha-se a largura necessária.
4. Dimensionamento de Elementos Solicitados ao Esforço Cortante ou Cisalhamento ()
A tensão de cisalhamento ou corte atua paralelamente à superfície considerada,
produzindo unicamente um escorregamento das seções adjacentes, sem alterar o seu
afastamento mútuo.
Em geral, as tensões não se distribuem uniformemente na seção transversal, mas para
simplificar os cálculos, a distribuição uniforme da tensão de cisalhamento é normalmente
considerada.
Onde:

P
A
ou
A nec 
P
 adm
18
A resistência ao corte tem especial importância nas peças em balanço, ligações de
madeira, rebites, parafusos, pinos, etc.
A madeira, devido as suas características estruturais, apresenta resistência ao
cisalhamento diferenciada com relação à direção das fibras. Nas tabelas normalmente
encontram-se adm paralela e perpendicular às fibras, ao contrário dos outros materiais.
4.1. Aplicações
a) Calcular o esforço de tração admissível na emenda abaixo considerando os esforços de
compressão e cisalhamento, sabendo que a peça tem 16 cm de espessura Dados: adm.
2
2
comp. = 85 kgf/cm ; adm. = 9 kgf /cm
Calcular o diâmetro do pino de aço da figura, para que a emenda resista 10.000 kgf à tração.
Dados: adm. = 1.200 kgf/cm2; Seção resistindo ao cisalhamento = 2 A.
b) Calcular a distância “X” no nó da tesoura abaixo, para que a linha resista ao esforço
cortante causado pela força transmitida pela perna da tesoura.  adm. par. (peroba rosa) =
18,1 kgf/cm2
5. Dimensionamento de Elementos Flexionados ou vigas
Uma peça solicitada à flexão, normalmente chamada de viga, resiste a esforços
primeiramente perpendiculares ao seu comprimento. A resistência à flexão é dada pela
combinação simultânea da resistência à compressão e à tração.
Existe um plano horizontal separando estes dois tipos de resistência que é chamado de
SUPERFÍCIE NEUTRA. Nesta superfície não existe nem tensão de tração, nem de
compressão.
x
P
R1
R2
x
x
Tensão de compressão
C’
A
Cdefe
y
y
Eixo ou linha neutra
T’
Tensão de tração
X
Seção
x
R1
Considere “C’” a resultante de todas as tensões de compressão atuando na parte
superior da seção transversal, e considere “T’” a resultante de todas as tensões de tração
atuando na parte inferior da mesma seção. A soma dos momentos destas tensões é chamada
de MOMENTO RESISTENTE. Para que a viga esteja em equilíbrio, o momento resistente deve
ser igual ao MOMENTO FLETOR que atua na mesma.
No ponto A:
R1 . x = momento fletor
C’ . y + T’. y = momento resistente, e
19
Para qualquer viga o MOMENTO FLETOR MÁXIMO pode ser determinado em função
dos esforços externos que atuam na mesma. Para dimensionar uma viga, capaz de suportar
estes esforços, precisa-se selecionar um elemento estrutural com uma seção transversal de
FORMA, ÁREA e MATERIAL, que seja capaz de desenvolver um momento resistente igual ou
maior que o momento fletor máximo, e pode ser equacionado utilizando-se a FÓRMULA
FLETORA, em que:
M=f.S
Onde: M = momento fletor máximo;
f = tensão admissível à flexão do material; e
S = módulo da seção. Sendo que:
S
I
c
Onde:  = momento de inércia da seção; e
c = distância do eixo neutro à extremidade superior ou inferior.
Os momentos fletores máximos são tabelados e são função do vão da viga, localização e
tipo da carga (concentrada ou uniformemente distribuída) e condição de apoio nos extremos
(contínua, engastada ou articulada).
A nomenclatura e representação das cargas são:
a) cargas concentradas
b) cargas uniformemente distribuídas
P1
L1
P2
P3
L2
L3
w ou W
L
onde: w = carga uniformente distribuída unitária (ex: 100 kgf/m),
W = carga uniformente distribuída total ao longo da viga (kgf).
5.1. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Madeira
O dimensionamento de Vigas, de uma forma geral, pode ser efetuado na seguinte
sequência:
a) Calcular as cargas que atuam na viga, incluindo o peso próprio, e fazer um esboço
mostrando as forças e suas localizações. Determinar as reações.
b) Determinar o MOMENTO FLETOR MÁXIMO e calcular o MÓDULO DE SEÇÃO (S = M/f).
Determinar a seção necessária à flexão (recomenda-se para seção retangular que a
largura da seção transversal deve ser estar entre 1/3 a 1/2 da altura).
No caso de madeira, verificar se a seção encontrada atende à TENSÃO CISALHANTE
HORIZONTAL (v), ou seja:
20

Onde:
V .Q
I .b
 = momento de inércia da seção
b = largura da viga no local calculado,
V = força vertical cisalhante total na seção considerada
Q = MOMENTO ESTÁTICO com relação ao eixo neutro (é a área acima ou abaixo
do eixo neutro multiplicada pela distância do seu centróide até o eixo).
Para uma seção retangular:
2
 h  h b.h
Q   b. . 
8
 2 4
3
b.h
I
,
então
12
3 V
 .
2 b.h
centróide da seção comprimida
h
eixo neutro
b
A tensão cisalhante horizontal (τ) deverá ser menor que a tensão admissível cisalhante
do material na direção considerada.
c) Verificar a flecha máxima causada na viga pela ação das cargas. Normalmente, uma flecha
de “vão/200” é considerada como limite para construções rurais.
d) Quando a seção que satisfaz todos os requisitos anteriores é encontrada, o comprimento
de apoio da viga deve ser determinado em função da tensão de compressão perpendicular
ao comprimento da viga.
21
Diagramas e Fórmulas para Algumas Vigas Usuais.
W = Carga uniformemente distribuída total.
P = Carga concentrada.
L = Vão.
V = Esforço cortante.
M = Momento fletor.
D = Flexão máxima.
L/2
L/2
L
w

P
R1
R2
R1
R2
V
M
R1 = R2 = P/2
M máx
Vmax = P/2
R1 = R2 = W/2
P.L3
D
48E.I
P.L

4
L/3
M máx 
L/3
P
L/3
Vmax = W/2
w.L2 W .L

8
8
L/4
P
D
L/4
5 W .L3
x
384 E.I
L/4
P
R1
W = w.L
P
P
R1
R2
R2
V
M
R1 = R2 = P
Vmax = P
R1 = R2 =3P/2
M máx 
P.L
3
D
23 P.L3
x
648 E.I
M máx 
22
P.L
2
Vmax = 3P/2
D
19 P.L3
x
384 E.I
L/4
P
L
w
L

R
V
R
M
R=P
Vmax = P
M máx  P.L
P.L3
D
3E.I
L
R=W
M máx
R1
W .L3
D
8.E.I
W .L

2
L

Vmax = W
L/2
L/2
L/2
P
w
R2
L/2
R1
R3
P
R2
V
M
R1 = R3 = (3/8)W; R2 = (10/8)W; Vmax = (5/8)W
R1 = R3 = (5/16)P;
M máx 
W .L
8
D
W .L3
185.E.I
a
M máx 
b
6 P.L
32
R1 = V1 = Pb/L;
R2 = (22/16)P;
Vmax = (11/16)P
R2 = V2 = Pa/L
P
R1
R2
M máx 
L
V
V1
P.a.b
L
D
P.a 2 b 2
3.E.I .L
(no local de aplicação da força)
V2
M
23
R3
Aplicações
a) Uma viga de madeira tem vão de 4,5 m com cargas concentradas de 1.500 kgf aplicadas a
cada 1/3 do vão . Existe ainda uma carga uniformemente distribuída de 300 kgf/m
(incluindo o peso próprio da viga) sobre todo o vão. A flecha é limitada a 1/360 do vão.
Dados: f = 98 kgf/cm2; τadm.vigas = 8 kgf/cm2,E = 108.000 kgf/cm2, adm.  = 20 kgf/cm2.
b) Dimensionar as vigas de seção circular de uma ponte de madeira, cujo assoalho é
constituído de madeira roliça e terra e possui 3 m de largura. As vigas (duas de cada lado)
deverão ser espaçadas de forma que as rodas passarão sobre as mesmas. O peso máximo
permitido aos veículos será de 10.000 kgf, vão de 8 m e a flecha não é problema.
5. 2. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Perfis Metálicos
Para a solução de problemas deste tipo, segue-se o procedimento do item 5.1, porém,
dois aspectos devem ser observados:
- a tensão cisalhante crítica, a ser verificada, é a transversal à peça; e
- normalmente trabalha-se com tabelas onde as propriedades das seções comerciais são précalculadas, o que simplifica nossos cálculos. Uma destas tabelas é apresentada a seguir:
Tabela de Propriedade para Cálculos do Perfil Metálico H. t
Ex: W 310 x 143
W = simbologia para perfil de aba larga;
310 = altura da viga em mm; e
143 = massa em kgf/m.
h
t’
b
24
Designação
W310 x 143.0
107.0
74.0
60.0
44.5
38.7
32.7
23.8
W250 x 167.0
101.0
80.0
67.0
58.0
44.8
32.7
28.4
22.3
W200 x 86.0
71.0
59.0
52.0
46.1
41.7
35.9
31.3
26.6
22.5
19.3
W150 x 37.1
29.8
24.0
18.0
3.5
W130 x 28.1
23.8
W100 x 19.3
Área
h
b
t
t’
Plano Neutro (x – x)
Plano Neutro (y – y)
(mm2)
(mm) (mm) (mm) (mm) I
(106mm4)
S (103mm3)
r
(mm)
I
(106 mm4)
S (103mm3)
r
(mm)
18200
13600
9480
7610
5670
4940
4180
3040
21200
12900
10200
8580
7420
5700
4190
3630
2850
11000
9100
7550
6650
5890
5320
4570
3970
3390
2860
2480
4740
3790
3060
2290
1730
3590
3040
2470
323
311
310
303
313
310
313
305
289
264
256
257
252
266
258
260
254
222
216
210
206
203
205
201
210
207
206
203
162
157
160
153
150
131
127
106
2150
1595
1058
851
633
548
415
281
2060
1242
985
803
690
532
381
308
226
855
709
579
514
451
398
343
298
249
194
162
274
219
67
120
91
67
140
89
138.2
134.9
131.6
130.3
132.3
131.3
124.7
118.6
118.4
112.8
111.0
110.0
108.5
111.3
108.5
105.2
100.3
92.7
91.7
89.7
89.2
88.1
87.6
86.9
88.6
87.1
83.6
81.5
68.6
67.6
66.0
63.2
62.7
55.1
54.1
43.7
112.40
81.20
23.40
18.36
8.45
7.20
1.94
1.17
98.20
55.80
42.80
22.20
18.73
6.95
4.75
1.80
1.20
31.30
25.30
20.40
17.73
15.44
9.03
7.62
4.07
3.32
1.49
1.14
7.12
5.54
1.84
1.25
0.92
3.80
3.13
1.61
728.0
531.0
228.0
180.9
101.8
87.3
38.0
23.2
741.0
434.0
336.0
218.0
184.5
93.9
65.1
35.2
23.6
300.0
240.0
199.0
173.8
152.1
108.8
92.4
60.7
49.9
27.8
22.3
92.5
72.4
36.2
24.4
18.3
59.4
49.3
31.2
78.5
77.2
49.2
49.0
38.6
38.4
21.5
19.6
68.1
65.8
65.0
51.1
50.3
34.8
33.8
22.2
20.6
53.3
52.8
51.8
51.6
51.3
41.1
40.9
32.0
31.2
22.3
21.4
38.6
38.1
24.6
23.3
23.0
32.5
32.3
25.4
309
306
205
203
166
165
102
101
265
257
255
204
203
148
146
102
102
209
206
205
204
203
166
165
134
133
102
102
154
153
102
102
100
128
127
103
22.9
17.0
16.3
13.1
11.2
9.7
10.8
6.7
31.8
19.6
15.6
15.7
13.5
13.0
9.1
10.0
6.9
20.6
17.4
14.2
12.6
11.0
11.8
10.2
10.2
8.4
8.0
6.5
11.6
9.3
10.3
7.1
5.1
10.9
9.1
8.8
14.0
10.9
9.4
7.5
6.6
5.8
6.6
5.6
19.2
11.9
9.4
8.9
8.0
7.6
6.1
6.4
5.8
13.0
10.2
9.1
7.9
7.2
7.2
6.2
6.4
5.8
6.2
5.8
8.1
6.6
6.6
5.8
4.3
6.9
6.1
7.1
347.0
248.0
164.0
129.0
99.1
84.9
64.9
42.9
298.0
164.0
126.1
103.2
87.0
70.8
49.1
40.1
28.7
94.9
76.6
60.8
52.9
45.8
40.8
34.5
31.3
25.8
20.0
16.5
22.2
17.2
13.4
9.2
6.8
10.9
8.9
4.7
5.2.1. Aplicação
a) Se as vigas do problema anterior fossem de perfil metálico H, quais seriam suas
especificações?
2
2
Considerando: faço = 12,50 kgf/mm e vadm = 7,60 kgf/mm
25
Estrutura de Telhado
Os telhados são constituídos de cobertura e de estrutura de sustentação. As coberturas,
em geral podem ser de barro (cerâmica), de cimento-amianto, de alumínio, de compensado
tipo madeirite e de ferro galvanizado. As estruturas de sustentação do telhado normalmente
são de madeira, de concreto armado ou de estrutura metálica.
Os telhados são constituídos por uma ou mais superfícies que podem ser plantas, curvas
ou mistas. As superfícies planas são as mais comuns. Essas superfícies são denominadas
“águas” e conforme o seu número, tem-se telhado de uma, duas, três, quatro ou mais águas.
Abaixo, observa-se um telhado com seis águas.
As inclinações dos telhados são função do tipo de telha, do comprimento do canal e da
espessura de sobreposição das mesmas. As inclinações dos telhados podem ser expressas
em ângulo, percentagem e ponto. Um telhado com ponto 1:5, tem a altura do pendural
correspondente a um quinto do vão, uma inclinação que corresponde a 40% e possui ângulo
aproximado de 21o30’.
40%
1/5 do vão
21o30’
As inclinações mínimas e máximas para cada tipo de cobertura e a correspondência
entre ponto, percentagem e ângulo são apresentadas a seguir:
Inclinação mínima e máxima para as coberturas mais comuns
Tipos de telha
Inclinação
Mínima
Cerâmica francesa
26o – 50%
Cerâmica colonial
15o – 28%
o
Ferro galvanizado
10 – 18%
o
Cimento-amianto
10 – 18%
Alumínio
10o – 18%
o
Compensado – madeirite
10 – 18%
Tipo calha
3o – 6%
26
Máxima
60o
45o
o
90
o
90
90o
o
90
90o
Relação entre inclinação em percentagem e ângulo
As telhas de barro apoiam-se sobre as ripas, e estas sobre os caibros, e estes sobre as
terças (trama). As terças apoiam-se nas tesouras de telhado que transmitem a carga
permanente mais a acidental sobre os pilares ou paredes. As telhas leves, tipo cimentoamianto, apoiam-se no sentido do seu comprimento sobre as terças, e estas sobre a tesoura
(treliça) de telhado.
As ripas, os caibros e as terças são solicitados à flexão e são dimensionados como
vigas. As tesouras de telhados são sistemas estruturais (treliças) construídos de forma que
todos os elementos sejam solicitados à compressão ou tração, com o objetivo de vencerem
maiores vãos com menor gasto de material estrutural.
Nas figuras abaixo, pode-se observar uma tesoura simples (tipo 1), uma tesoura normal
(tipo 2) e uma tesoura complexa (tipo 3) que pode vencer vão de até 25m, mesmo em madeira.
A nomenclatura das partes componentes da tesoura de telhado é também mostrada nesta
última figura.
27
As tesouras de telhado podem ser dimensionadas por meio de cálculos estáticos ou por
métodos gráficos. O dimensionamento gráfico de uma tesoura pelo Método de Cremona será
apresentado a seguir:
Considerações:
Telhado com cobertura de cimento-amianto
Vão da tesoura = 14m
Distância entre tesouras = 4,0m
Distância entre terças = 1,69m
o
Inclinação do telhado = 15
Cálculo das cargas sobre cada nó:
Considera-se a área de influência da cobertura sobre uma das terças: 4,00m x 1,69 m = 6,76
2
m
Peso da cobertura e acessório: 21 kgf/m2
Peso próprio da terça (estimado): 17 kgf/m2
2
Ação do vento (segundo NB –5): 18 kgf/m
2
Carga por nó = 6,76 m x (21 + 17 + 18) kgf/m2 = 378,6 kgf
Esquema da estrutura e cargas atuantes:
Determinação dos Esforços:
Por se tratar de cargas em posições simétricas, tem-se:
RA = RB = (380 x 8) / 2 = 1.520 kgf
Será aplicado o método de Cremona, para a determinação dos esforços nas barras do
sistema.
Convenções:
I – A análise em equilíbrio em cada nó sucessivo é feita da esquerda para a direita (sentido
horário), procurando-se aquele nó onde concorrem não mais do que três barras, ou que pelo
menos sejam desconhecidos apenas os esforços em duas barras. Isto, para que não haja a
necessidade de recorrer a equações auxiliares, a fim de levantar sua indeterminação estática,
pois é sabido que uma força só pode ser decomposta em duas únicas direções não
concorrentes.
II – Em cada nó a composição de forças (as externas e os esforços em cada barra) é feita
também no sentido horário.
28
III – As forças em equilíbrio em cada nó têm seu sentido indicado por flechas no polígono de
forças, as quais são transladadas no nó do esquema da estrutura, adotando-se a seguinte
convenção: na barra correspondente, se a flecha se dirige para o nó de cada extremidade,
considera-se a barra em compressão, e, em tração no caso contrário.
IV – Passando-se à análise ao nó seguinte ao estudado, inverte-se o sentido da flecha na
barra que se dirige a este nó, indicando-a com dupla flecha.
Isto feito procede-se à pesquisa dos esforços da seguinte maneira:
A – Compõe-se em escala gráfica o polígono de forças (as externas e esforços nas barras)
que concorrem no nó do apoio esquerdo (parte direita do diagrama de força): tem-se então a
reação RA, a força PO = 380/2 kgf, o esforço na barra 1, segundo a direção que ocupa na
tesoura e o esforço na barra 2 da mesma forma. Vê-se, pois, que o polígono de forças RA-PO–
1–2 está em equilíbrio, por estar fechado, isto é, a extremidade do esforço na barra 2 coincide
com a origem da força que representa a reação de apoio, e o sentido indicado pelas flechas é
contínuo em uma única direção.
B – Translada-se o nó seguinte, que é C, invertendo, conforme a regra, o sentido do esforço
na barra de conexão a este nó, que é a barra 1, indicando esta inversão com a flecha dupla no
polígono de forças. As forças e esforços são percorridos na sequência 1–P1–4-3 e a grandeza
e direção das forças externas e internas é dada pelo polígono de forças.
C – Ao procurar-se o próximo nó, verifica-se que não será possível de imediato analisar o nó E,
visto que nele concorrem mais de três barras e só é conhecido o esforço na barra de transição
4.
D – Passa-se então ao nó inferior D que, embora seja constituído de quatro barras
concorrentes, já tem determinados os esforços em duas delas, ou seja, barras 2 e 3. Na
sequência 3–5–6–2, tem-se um polígono de forças fechado, assim, pode-se determinar o
sentido das forças, transportando-se as flechas ao nó.
E – Passa-se agora, por meio da barra de transição 4, ao nó E, obtendo-se novamente um
polígono de forças fechado, na sequência 4-P2-8-7-5, onde já são conhecidos os esforços nas
barras 4 e 5. As flechas do polígono, da mesma forma, são transportadas à estrutura junto às
extremidades das barras que concorrem no nó considerado.
Prosseguindo na sucessiva transposição de nó a nó, da forma antes descrita, chega-se a
determinação de todos os esforços nas barras, que serão resumidos a seguir, com seus
respectivos sinais.
Dada a simetria das cargas e da estrutura, o polígono de forças apresenta perfeita
simetria segundo o eixo de esforço da barra 2-6-10-10’-6’-2’, pelo que as forças à direita do
meio são representadas em linhas interrompidas.
29
Diagrama de Forças (Cremona)
Quadro dos esforços nas barras
Barra
1
2
3
4
5
6
7
Esforço (kgf)
- 5.100 kgf
+ 4.900 kgf
- 685 kgf
- 4.440 kgf
+ 185 kgf
+ 4.270 kgf
- 815 kgf
Barra
8
9
10
11
12
13
Esforço (kgf)
- 3.680 kgf
+ 385 kgf
+ 3.550 kgf
- 930 kgf
- 2.920 kgf
+ 1.145 kgf
De acordo com os esforços feitos por cada peça que concorre à um determinado nó,
procede-se ao desenho e dimensionamento do mesmo.
A título de exemplo, apresenta-se a seguir um esquema de uma tesoura de telhado tipo
3, convencional, e os detalhes dos respectivos nós para os vãos até 15m, e três tabelas para
dimensionamento de estrutura de madeira para telhado com cobertura de barro e com
coberturas leves tipo cimento-amianto. As tabelas deverão ser empregadas para telhados com
inclinação igual ou superior ao ângulo especificado das mesmas. A madeira a ser utilizada
deverá ter características iguais ou superiores àquelas mencionadas nas tabelas.
30
31
32
TABELA
Engradamento para coberturas de barro com inclinação ≥ 21,8o
1
2
3
4
Distância entre tesouras
≤ 3,5 m
Distância entre caibros ≤ 0,5 m
Madeiras: σadm. comp ≥ 70 kg/cm²
σadm. tração ≥ 70 kg/cm²
≥ 20 kg/cm²
 adm. //
Vão até (m)
5
7
Tesoura tipo
2
2
Nº de terças +
frechais +
5
5
cumeeira
Caibros
4x7,5
7,5x7,5
Terças, frechais e
7,5x15
7,5x23
cumieira
Perna
7,5x7,5
7,5x15
Asna
7,5x7,5
7,5x7,5
Escora 1
Escora 2
Pendural
7,5x12
7,5x12
Tirante 1
Tirante 2
Linha
7,5x12
7,5x15
9
2
11
3
13
3
15
4
5
7
7
9
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x23
7,5x23
7,5x23
7,5x23
7,5x23
7,5x10
7,5x12
7,5x15
7,5x23
7,5x12
7,5x7,5
7,5x12
2,5x7,5
7,5x18
7,5x23
7,5x12
7,5x12
7,5x15
2,5x7,5
7,5x23
7,5x23
7,5x15
7,5x12
7,5x7,5
7,5x15
2,5x7,5
2,5x7,5
7,5x23
Obs.: (a)A tabela é adaptada do livro "Tesouras de Telhado" de autoria de J. C. REGO
MONTEIRO; (b) As seções das peças, em cm, estão dimensionadas considerando os
enfraquecimentos nos encaixes.
33
TABELA
Engradamento para coberturas leves com inclinação ≥ 15º ou 27% ou 1:7
1
2
3
4
Espaçamento entre tesouras ≤ 4,00 m
Beiral
≤ 0,40 m
Distância entre frechal e terça
≤ 1,23 m
Distância entre terça e terça ≤ 1,63 m
Madeira: σadm. comp
≥ 70 kg/cm²
σadm. tração
≥ 70 kg/cm²
≥ 20 kg/cm²
 adm. //
Vão até (m)
5
7
Tesoura tipo
2
3
Nº de terças +
Frechais +
6
8
cumieira
Terças, frechais
7,5x15
7,5x15
e cumeeira
Perna
7,5x10
7,5x12
Asna
4x7,5
4x7,5
Escora 1
4x7,5
Escora 2
Escora 3
Pendural
7,5x10
7,5x10
Tirante 1
2,5x5,0
Tirante 2
Tirante
Linha
7,5x10
7,5x12
9
3
11
4
13
5
15
5
8
10
12
12
7,5x15
7,5x15
7,5x15
7,5x15
7,5x12
7,5x7,5
4x7,5
7,5x10
2,5x5,0
7,5x12
7,5x12
7,5x7,5
7,5x7,5
4x7,5
7,5x12
2,5x7,5
2,5x5,0
7,5x15
7,5x15
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x7,5
4x7,5
7,5x12
2,5x7,5
2,5x7,5
2,5x5,0
7,5x23
7,5x15
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x7,5
7,5x12
2,5x7,5
2,5x7,5
2,5x5,0
7,5x23
Obs.: a) Na cumeeira são utilizadas duas peças, uma de cada lado do pendural; b) as seções
das peças, em cm, estão dimensionadas considerando os enfraquecimentos nos encaixes.
34
7. Problemas Propostos
1) Uma barra prismática com área da seção transversal de 6,25 cm2 e comprimento de 3,6 m,
está submetida a tração axial. Sabendo-se que seu alongamento foi de 2,61mm para uma
força correspondente de 9.500 kgf, pede-se o módulo de elasticidade do material.
2) Os trilhos de uma estrada de ferro foram assentados com uma folga de 2 mm entre as suas
extremidades quando a temperatura era 16°C. O comprimento de cada trilho é 12 m,
confeccionados em aço com módulo de elasticidade de 2.100.000 kgf/cm2 e coeficiente de
-5 ° -1
dilatação linear igual a 1,2x10 C . Determinar:
a) a folga entre os trilhos quando a temperatura for 0°C;
b) em que temperatura essa folga se anula; e
c) a tensão de compressão nos trilhos, quando a temperatura for de 35°C, desprezando a
possibilidade de flambagem.
3) Os dados da tabela seguinte foram obtidos no ensaio de tração simples, com um corpo de
prova de seção uniforme com diâmetro de 12,67 mm. A partir dos dados obtidos, determinar o
limite de proporcionalidade do material, o módulo de elasticidade do material, a variação
percentual do comprimento, da área e do volume e o limite de ruptura. Comentar sobre os
resultados obtidos.
Carga axial
Carga axial
Alongamento em 50 mm (mm)
Alongamento em 50 mm (mm)
(N)
(N)
0
0
34750
0,300
6250
0,010
34750
0,400
9250
0,015
34500
0,500
12000
0,020
34750
0,600
15250
0,025
35000
1,250
18200
0,030
38750
2,500
21250
0,035
46750
5,000
24250
0,040
49500
7,500
27250
0,045
50500
10,000
30250
0,050
50500
12,500
33500
0,055
49500
15,000
36250
0,060
47500
17,500
34500
0,100
44500
18,750
34750
0,200
4) Uma barra de alumínio de seção circular com 15 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro
está sujeita à força de compressão de 5.000 kgf. Determinar:
a) a tensão atuante;
b) a redução do comprimento da peça;
Admitir: E = 800.000 kgf/cm2 e desprezar flambagem.
5) Dimensionar uma peça de uma treliça, prevendo 25% de sua seção para enfraquecimentos,
em a) madeira com espessura 2,5 cm e b) em ferro redondo, sujeita a um esforço de tração de
1.750 kgf.
Dados: Tensão admissível à tração da madeira igual a 170 kgf/cm2.
2
Tensão admissível à tração para o aço igual a 1.250 kgf/cm .
6) Calcular o máximo esforço de compressão que uma peça de madeira de Eucalipto
Citriodora pode suportar, sabendo que a seção da peça é de 6 x 12 cm, e seu comprimento é
de 2 m.
35
7) As tesouras de telhado de uma construção transmitem sobre cada pilar, com 3 m de altura,
uma carga da ordem de 11.000 kgf. Considerando um extremo engastado e o outro livre, e o
coeficiente de segurança igual a 4, dimensionar:
1) a coluna a ser construída em alvenaria. adm. Comp. = 8 kgf/cm2
2) o esteio a ser executado em madeira roliça. E = 110.000 kgf/cm2 e adm. Comp. = 100 kgf/cm2
3) o pilar em concreto armado, especificando a seção, ferragem e resistência do concreto.
4) a fundação direta descontínua (sapata) para cada pilar.
8) A asna da tesoura de telhado deve suportar um esforço de compressão da ordem de 1.550
kgf. Dimensionar a peça estrutural de forma que uma das dimensões de sua seção seja 7 cm.
Considerar a peça simplesmente apoiada nos dois extremos, e coeficiente de segurança 4.
Dados: adm. comp. = 90 kgf/cm2; E = 80.000 kgf/cm2 e L = 2,10 m.
9) Dimensionar as vigas do assoalho suspenso de um depósito de milho que tem 4 x 4m e
deverá ser cheio até a altura de 3 m. As vigas deverão ser espaçadas a cada 0,8m,
simplesmente apoiadas e deverão ter seção retangular com b = ½ h. Flecha não é problema.
Dados: f = 95 kgf/cm2; adm. comp. = 16 kgf/cm2; τadm vigas = 8 kgf/cm2; Peso Específico do milho
= 850 kgf/m3; Peso Específico da madeira = 900 kgf/m3
Resp.: 20 x 40 cm para atender flexão e cisalhamento, e apoio mínimo de 13,2 cm.
10) Dimensionar as vigas abaixo utilizando a madeira como material de construção.
11) No final das linhas de transmissão de eletricidade normalmente é fixado um poste menor,
como mostra a figura abaixo, o qual deve apresentar resistência à flexão. Determinar o
diâmetro do poste se o esforço de tração no cabo que o conecta ao último poste da rede é de
1.500 kgf. Considere os dados da madeira do problema anterior. A flecha é limitada a 2 cm (E
2
= 110.000 kgf/cm ).
36
37