14/03/2012
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 01 - INTRODUÇÃO
Prof. Eliane Justino
INTRODUÇÃO
A mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à
análise do comportamento físico dos líquidos e gases tanto em equilíbrio
quanto em movimento.
Por que estudar mecânica dos fluidos?
O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos
da mecânica dos fluidos são essenciais para a análise de qualquer
sistema no qual um fluido é o meio operante.
Por exemplo:
• Estudos de modelos para determinar as forças aerodinâmicas atuando
sobre edifícios e estruturas e os campos de escoamento em torno
deles.
• Esforços sobre superfícies em planos e curvas. Barragens, túneis etc.
• Projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo, incluindo bombas,
ventiladores, compressores, turbinas etc.
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DEFINIÇÃO DE UM FLUIDO
O que é um fluido?
Quais as diferenças entre um sólido e um fluido?
Um sólido é “duro” e não é fácil de deformá-lo enquanto um fluido é
“mole” e é muito fácil de deformá-lo.
ENGENHARIA
Estrutura molecular
Não são
comprimidos
LÍQUIDO
São comprimidos
e deformados
GASES
SÓLIDO
Moléculas pouco espaçadas e
estão sujeitas a forças
intermoleculares intensas e
coesivas. Não se deforma
facilmente.
Espaçamento molecular é
maior
(liberdade
de
movimento) e as forças
intermoleculares são fracas.
Facilmente deformados.
Espaçamento
molecular
ainda maior (liberdade de
movimento) e as forças
intermoleculares
são
desprezíveis.
Podemos distingui-los a partir do seu comportamento, ou seja, como eles se
deformam sob a ação de uma carga externa.
Um Fluido  é uma substância que se deforma continuamente sob a
aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial), não importa quão
pequena ela seja. Pela definição os fluidos compreendem as fases líquidas e
gasosas (ou de vapor).
Um sólido  deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada,
mas sua deformação não aumenta continuamente (não escoa) com o tempo.
SÓLIDO
FLUIDO
F
t0
T= F/A
Desde que o limite elástico do material sólido
não seja excedido, a deformação é proporcional
à tensão de cisalhamento aplicada.
t1
F
t2
t2 > t1 >t0
Enquanto a força de cisalhamento, F,
estiver aplicada na placa superior, a
deformação do elemento fluido aumenta
continuamente.
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DIMENSÕES, HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL E UNIDADES
A mecânica dos fluidos envolve uma variedade de características que
devem ser descritas de modo qualitativo e quantitativo.
QUALITATIVO – Identificar a natureza, ou tipo, da característica (como
comprimento, tempo, tensão e velocidade).
QUANTITATIVO – Fornece uma medida numérica para a característica. Requer
um número e um padrão (metro ou polegada) para que as várias
quantidades possam ser comparadas.
A descrição qualitativa é convenientemente realizada quanto utiliza-se
certas quantidades primárias (como o comprimento, L, tempo, T, massa, M,
e temperatura, θ). Podem ser combinadas para formar quantidades
secundárias.
Velocidade = LT -1
Massa específica = ML-3
Área = L2
São necessárias apenas três dimensões básicas (L, T e M) para descrever
um grande número de problemas.
Pode-se utilizar outro conjunto de dimensões básicas compostos por L, T
e F.
Onde:
F é a dimensão da força.
Só é possível porque a 2ª Lei de Newton estabelece:
F = m.a = MLT -2
OU
M=FL -1 T2
Ex.: Tensão
σ = FL-2

σ = (MLT-2) L-2

σ = FML-1 T-2
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Tabela 1 – Dimensões Associadas a algumas quantidades
físicas usuais
Sistema FLT
Aceleração
LT -2
F0
Ângulo
L0
Calor
FL
Energia
FL
Massa
FL
-1
Massa específica
FL
-4
T1
Sistema MLT
LT -2
M0
L0 T1
M L2 T -2
M L2 T -2
T2
M
T2
ML -3
Módulo de Elasticidade
F L -2
M L-1 T -2
Momento de uma força
FL
M L2 T -2
F L -3
M L-2 T -2
FT
M LT -1
Tensão superficial
F L -1
M T -2
Viscosidade cinemática
L2 T -1
L2 T -1
Peso específico
Quantidade de movimento
SISTEMAS DE UNIDADES
Sistemas de unidades mais comuns na engenharia.
A – MLtT ou Sistema Internacional de Unidades (SI)
Mais de 30 países declaram como SI como o único sistema legalmente aceito.
• Variação do sistema Métrico Absoluto
• Massa – quilograma (kg)
• Comprimento – metro (m)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – kelvin (K)
• Força (unidade secundária) – Newton (N)
A 2ª Lei de Newton
1 N = 1 kg . m/s2
No sistema Métrico Absoluto
• Força (unidade secundária) – dina (dina)
• Massa – grama (g)
• Comprimento – centímetro (cm)
A 2ª Lei de Newton
• Tempo – segundo (s)
1 dina = 1 g . cm/s2
• Temperatura – kelvin (K)
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B – FLtT ou Sistema de Unidades Gravitacional Britânico
• Força – libra-força (lbf)
• Comprimento – pé (ft)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – Rankine (ºR)
• Massa (unidade secundária) – Slug
A 2ª Lei de Newton
1 slug = 1 lbf . s2 /ft
C – FMLtT ou Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia
• Força – libra-força (lbf)
• Massa – libra-massa (lbm)
• Comprimento – pé (ft)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – Rankine (ºR)
1 lbf = 1 lbm x 32,2 ft/s2
gc
A 2ª Lei de Newton
F = m.a
gc
gc – constante de proporcionalidade

gc = 32,2 ft . Lbm
lbf. s2
MEDIDAS DE MASSA E DO PESO DOS FLUIDOS
1 - Massa Específica ou Densidade Absoluta
• Definição: como a massa de substância contida numa unidade de volume.
• ρ = massa
Vol.
Massa específica, kg/m3
• Unidade (SI): kg/ m3
1000
Massa específica da água em
função da temperatura
Fluido
Água destilada a 4 °C
Água do mar a 15 °C
AR à pressão atm. e a 0 °C
AR à pressão atm. e a 16 °C
Mercúrio
Tetracloreto de Carbono
Petróleo
A massa específica dos líquidos é
pouco sensível as variações de
pressão e de temperatura, porém
nos gases é fortemente
influenciada tanto pela pressão
quanto pela temperatura
990
980
970
960
950
Massa específica [kg/m3]
1000
1022 a 1030
1,29
1,22
13590 a 13650
1590 a 1594
880
0
20
40
60
80
100
Temperatura, ºC
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2 - Peso Específico
• Definição: peso da substância contida em uma unidade de volume.
• γ = massa x aceleração da gravidade  γ = ρ .g
Vol.
• g – aceleração da gravidade local (padrão – g = 9,807 m/s2 )
•Unidade (SI): N/ m3
3 - Densidade
• Definição: razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da
água numa certa temperatura.
• SG =
ρ
. = γ .
ρH2O 4 °C
γa
• A temperatura especificada é de 4°C, nesta temperatura a massa específica
da água é igual a 1000 kg/m3 .
4 - LEI DOS GASES PERFEITOS
Os gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Sob certas
condições, a massa específica de um gás está relacionada com a pressão
e a temperatura através da equação de Clapeyron ou lei dos gases
perfeitos.
A lei dos gases ideais é a equação de estado do gás ideal, um gás
hipotético formado por partículas pontuais, sem atração nem repulsão
entre elas e cujos choques são perfeitamente elásticos (conservação do
momento e da energia cinética).
6
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4 - LEI DOS GASES PERFEITOS
p.v = n. R. T
Reescrevendo a equação, tem-se:
Onde:
p – pressão absoluta (N/m2 = Pa)
v – volume (m3 )
n – número de moles (N)
R – constante específica do gás (m/K)
T – temperatura absoluta (K)
p = n . R. T
v
ρ – massa específica
p = ρ. R. T
Por convenção internacional, a pressão padrão no nível do mar é 101,3 kPa ou
14,7 psi, para maioria dos problemas de mecânica dos fluidos.

Da equação de estado gás ideal temos:
pV=nrT
pV = nr
T
 Como r é constante, se a massa do gás for constante ( e
portanto o número de moles n for constante) pode-se dizer que:
pV = K, onde K é uma constante
T
Então para situações inicial e final:
pi Vi = pf Vf
Ti
Tf
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5 - PRESSÃO RELATIVA E ABSOLUTA
APLICAÇÕES PRÁTICAS
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Exemplo 1.3 – pág. 12
Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 2,38 x 10 -2 m3 . Determine
a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do
ar no tanque for igual a 340 kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é igual
a 21 °C e que a pressão atmosférica vale 101,3 kPa (abs). R = 2,869 x 102 J/ kg.K
Solução: A massa específica do ar pode ser calculada com a lei dos gases perfeitos.
ρ=
Assim,
ρ=
p .
R.T
(340 + 101,3) x 103
. = 5,23 kg/m3
(2,869 x 102 ) (273,15 + 21)
Note que os valores utilizados para a pressão e para a temperatura são absolutos. O
peso, W, do ar contido no tanque é igual a:
W = ρ . g . (volume) = 5,23 x 9,8 x 2,38 x 10 -2 = 1,22 N
6 - VISCOSIDADE
A massa específica e o peso específico são propriedades que indicam o “peso” de
um fluido. Estas propriedades não são suficientes para caracterizar o
comportamento dos fluidos porque dois fluidos como, por exemplo, a água e o
óleo podem apresentar massas específicas aproximadamente iguais, mas se
comportam muito distintos quando escoam.
Assim, torna-se aparente que é necessário alguma propriedade adicional para
descrever a “fluidez” das substâncias.
A VISCOSIDADE é uma propriedade que descreve a “fluidez” das substâncias.
A capacidade de escoar continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento é o inverso de viscosidade.
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6 - VISCOSIDADE

Consideremos um experimento hipotético:
Deformação de material colocado entre duas placas paralelas, sendo que a placa
superior é submetida a uma tensão de cisalhamento.

COMPORTAMENTO DE UM MATERIAL SÓLIDO LOCALIZADO ENTRE AS DUAS PLACAS

Material sólido entre as placas (solidário a elas).

Placa superior pode se movimentar, mas a placa inferior está imobilizada.

6 - VISCOSIDADE

Aplicação da Força P indicada.

A placa superior se deslocará de uma pequena distância δa.

A linha vertical AB rotacionará em um pequeno ângulo, δβ, para a nova posição AB’.

Ocorrerá uma tensão de cisalhamento, τ, na interface da placa superior-material.


Para que haja equilíbrio, P deve ser igual a .A, onde A é a área efetiva da placa
superior .
Se o material se comportar como um material elástico, a pequena deformação
angular δβ (conhecida por deformação de cisalhamento) é proporcional a tensão de
cisalhamento desenvolvida no material.
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6 - VISCOSIDADE


COMPORTAMENTO DE UM FLUIDO LOCALIZADO ENTRE AS DUAS PLACAS..
Quando a força P é aplicada na placa superior, esta se movimenta continuamente
com uma velocidade U.
6 - VISCOSIDADE




Isto mostra coerência com a definição de fluido, ou seja, se uma Tensão de
Cisalhamento é aplicada num fluido, ele se deformará continuamente.
O fluido em contato com a placa superior se move com a velocidade da placa, U, o
fluido em contato com a placa inferior apresenta velocidade nula e que o fluido
entre as duas placas move com a velocidade:
Ou seja, a velocidade é função só de y.
Existe gradiente de velocidade, du/dy, no escoamento entre as placas, ou seja, o
gradiente de velocidade é constante porque:
11
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6 - VISCOSIDADE




Isto não é verdadeiro em situações mais complexas, porque a aderência dos fluidos
nas fronteiras sólidas tem sido observada experimentalmente e é um fato muito
importante na mecânica dos fluidos. Usualmente, esta aderência é referida como a
condição de não escorregamento.
Todos os fluidos satisfazem a condição de não escorregamento.
Num pequeno intervalo de tempo, δt, a linha vertical AB no fluido rotacionará um
ângulo δβ. Assim;
Como δa = Uδt, segue que;
6 - VISCOSIDADE


Observe que  é função da força P (que determina U) e do tempo. Considere a taxa
de variação  com o tempo e definamos a taxa de deformação por cisalhamento,
’, através da relação.
No caso do escoamento entre as placas paralelas, a taxa de deformação por
cisalhamento, é igual a:
12
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6 - VISCOSIDADE



Se variarmos as condições deste experimento, verifica-se que a tensão de
cisalhamento aumenta se aumentarmos o valor de P (lembrando que τ = P/A) e que
a taxa de deformação por cisalhamento aumenta proporcionalmente, ou seja:
Este resultado indica que, para fluidos comuns (água, óleo, gasolina, ar), a tensão
de cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento (gradiente de velocidade)
podem ser relacionadas como um equação do tipo:
Onde a constante de proporcionalidade, µ, é denominada viscosidade dinâmica do
fluido.
6 - VISCOSIDADE


O valor de viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em
particular, esta viscosidade depende muito da temperatura.
Os fluidos que apresentam relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de
deformação por cisalhamento (também conhecida como taxa de deformação
angular) são denominados fluidos NEWTONIANOS.
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS



FLUIDOS NÃO DILATANTES
Curva acima da referente ao fluido Newtoniano, a viscosidade dinâmica aparente
diminui com o aumento da taxa de cisalhamento, ou seja, a viscosidade aparente se
torna menor quando maior for a tensão de cisalhamento imposta no fluido.
Exemplo: A maioria dos polímeros, tal como, tinta látex não pinga do pincel porque a
tensão de cisalhamento é baixa e portanto a viscosidade aparente é alta,
entretanto, ela escoa suavemente na parede porque o movimento do pincel provoca
uma taxa de cisalhamento suficientemente alta na camada fina de tinta que recobre
a parede, assim como du/dy é grande, a viscosidade dinâmica se torna pequena.
6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS



FLUIDOS DO TIPO DILATANTE
Curva abaixo da referente ao fluido Newtoniano, a viscosidade dinâmica aparente
aumenta com o aumento da taxa de cisalhamento.
Exemplo: A mistura água-areia (areia movediça). Portanto, este é o motivo pelo qual
o esforço necessário para remover um objeto de uma areia movediça aumenta
brutamente com o aumento da velocidade de remoção.
14
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS


PLASTICO DE BINGHAM
Este tipo de material não é um fluido nem um sólido, ele pode resistir a uma tensão
de cisalhamento finita sem se mover (assim, ele não é um fluido, e sim um sólido),
mas, uma vez excedida a tensão de escoamento, o material se comporta como um
fluido (assim, ele não é um sólido).

Exemplos:

Pasta de dente;

Maionese.
6 – FLUIDOS NEWTONIANOS
15
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
6 - VISCOSIDADE
NOS LÍQUIDOS

A viscosidade dinâmica é muito sensível as variações de temperatura. Por exemplo,
quando a temperatura da água varia de 15º C a 38º C, a massa específica diminui
menos que 1 %, mas a viscosidade decresce aproximadamente 40%.
NOS GASES

A viscosidade dos gases cresce quando a temperatura do gás aumenta.
EM AMBOS

A viscosidade dinâmica varia pouco com a pressão e o efeito da variação da pressão
sobre o valor da viscosidade normalmente é desprezado.
16
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6 - VISCOSIDADE

Isto se deve à diferença que existe entre a estrutura molecular do líquido e dos
gases.
LÍQUIDOS



Os espaçamento entre as moléculas do líquidos são pequenos, quando comparadas
com os dos gases, as forças coesivas entre as moléculas são fortes e a resistência
ao movimento relativo entre as camada contíguas de líquido estão relacionada as
forças intermoleculares.
Quando a temperatura aumenta estas forças coesivas são reduzidas e isto provoca
mudança de resistência ao movimento.
Como a viscosidade dinâmica é um índice desta resistência, verificamos uma
redução da viscosidade dinâmica com o aumento da temperatura.
6 - VISCOSIDADE
GASES




As moléculas estão bem mais espaçadas que nos líquidos, as forças moleculares
são desprezíveis e a resistência ao movimento relativo é devida as trocas de
quantidade de movimento das moléculas de gás localizadas nas camadas
adjacentes.
As moléculas de um gás podem ser transportadas pelo movimento aleatório de uma
região que apresenta velocidade baixa para outra que apresenta velocidades mais
altas (e vice versa).
Esse movimento molecular proporciona uma troca efetiva de quantidade de
movimento que impõe uma resistência ao movimento relativo das camadas.
Quando a temperatura do meio cresce, a atividade molecular aumenta (as
velocidades aleatórias aumentam) e nós detectamos um aumento na viscosidade
dinâmica do gás.
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6 - VISCOSIDADE


A influência das variações de temperatura na viscosidade dinâmica pode ser estimada
com duas equações empíricas.
A Equação de Sutherland, adequadas para os gases, pode ser expressa do seguinte
modo:

Onde C e S são constante empírica e T é a temperatura absoluta.

Para líquidos, a equação empírica que tem sido utilizada é a de Andrade:

Onde D e B são constantes e T é a temperatura absoluta.

Para determinar as constantes, deve se conhecer no mínimo duas viscosidades obtidas
de temperaturas diferentes.
6 - VISCOSIDADE


É freqüente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica
aparecer combinada com a massa específica do seguinte modo:
 - é chamado de viscosidade cinemática
18
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6 - VISCOSIDADE



EXEMPLO 1.5 – pg 17
A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido Newtoniano num canal
formado por duas placas paralela e larga, é dada pela equação:
Onde V é a velocidade média. O fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1,9
N.s/m2. Admitindo que V = 0,6 m/s e h = 5 mm, determine: (a) a tensão de
cisalhamento na parede inferior do canal e (b) a tensão de cisalhamento que atua
no plano central do canal.

SOLUÇÃO

Sendo:
6 - VISCOSIDADE

Se a distribuição de velocidade, u = u(y), é conhecida, a tensão de cisalhamento, em
qualquer plano, pode ser determinada com o gradiente de velocidade, du/dy. Para a
distribuição de velocidade fornecida.
du
3Vy
=−
dy
h2

O gradiente de velocidade na parede inferior do canal, y = -h, vale:

e a tensão de cisalhamento vale:
19
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6 - VISCOSIDADE

Esta tensão cria um arraste na parede. Como a distribuição de velocidade é
simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e
sentido, da tensão na parede inferior.

(b) No plano médio, y = 0, portanto, tem-se:

Assim, a tensão de cisalhamento neste plano é nula, ou seja:
6 - VISCOSIDADE


Analisando a equação:
Nota-se que o gradiente de velocidade (e, portanto, a tensão de cisalhamento) varia
linearmente com y. No exemplo aqui mostrado, a tensão de cisalhamento varia de 0,
no plano central à 691 N/m2 nas paredes. Para um caso mais geral, a variação real
dependerá da natureza da distribuição de velocidade do escoamento.
20
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.1 – Módulo de Elasticidade Volumétrico (Coeficiente de Compressibilidade)



A propriedade normalmente utilizada para caracterizar a compressibilidade de um
fluido é o Módulo de Elasticidade volumétrico, Ev, que é definido por:
Onde dp é a variação diferencial de pressão necessária para provocar uma variação
diferencial de volume dV num volume V.
O sinal negativo indica que um aumento na pressão resultará numa diminuição do
volume considerado.
7 - COMPRESSIBILIDADE




Com o decréscimo de volume de uma dada massa, m=ρV, resultará num aumento
da massa específica, podemos reescrever:
No sistema SI, a unidade N/m2 (Pa)
Um fluido é relativamente incompressível, quando o valor do seu módulo de
elasticidade volumétrico é grande, ou seja, é necessária uma grande variação de
pressão para criar uma variação muito pequena no volume ocupado pelo fluido.
O valor de Ev dos líquidos são grandes, com isto, os líquidos podem ser
considerados como incompressíveis na maioria dos problemas de engenharia.
21
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.2 – Compressão e Expansão de Gases



Quando gases são comprimidos (ou expandidos) a relação entre a pressão e a
massa específica depende da natureza do processo.
Se a compressão, ou expansão, ocorrem à temperatura constante (processo
isotérmico), fornece:
Se a compressão ou expansão, ocorre sem atrito e calor não é transferido do gás
para o meio e vice versa (processo isoentrópico) tem-se:
7 - COMPRESSIBILIDADE

Onde K é a razão entre o calor específico a pressão constante, cp, e o calor a
volume constante, cv, isto é:

Os dois calores específicos estão relacionados com a constante do gás R.

A pressão deve está expressa em valor absoluto.
22
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7 - COMPRESSIBILIDADE


O módulo de elasticidade volumétrico pode ser facilmente obtido se tivermos uma
equação de estado explicita (que relaciona a pressão em função da massa
específica). Este Módulo pode ser determinado a partir do cálculo de dp/dρ.
Exemplo: Considerando:
e

E substituindo em:
(1)

Assim para um processo isotérmico:
7 - COMPRESSIBILIDADE
p

= cons tan te
dp − pd
2
= 0 → dp − pd = 0
dp p
=
( 2)
d 
Substituin do (2) em (1)
dp = pd →
Ev =
p

x → Ev = p
23
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7 - COMPRESSIBILIDADE

E isoentrópico:
p
k
= Cons tan te
dp K − kpd k −1

k2
= 0 → dp K − kpd k −1 = 0
dp K = kpd k −1 →
dp
d
Substituin do (2) em (1)
Ev =
kp

k
k −1
=
kp
k
(3)
x k → Ev = kp
7 - COMPRESSIBILIDADE


Observe que o módulo de elasticidade volumétrico varia diretamente com a pressão
nos dois casos.
Considerando o ar a pressão atmosférica, p = 101.3 kPa (abs) e k = 1,4, portanto o
módulo de elasticidade volumétrica isoentrópico (compressibilidade isoentrópica) é
igual a 1,4 MPa (1,4 X 106 Pa). Comparando este valor com o módulo da água (2,15
X109 Pa)é 1500 vezes maior.
24
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7 - COMPRESSIBILIDADE


EXEMLPO 1.6 – pg. 19
Um metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 101,3 kPa é comprimido
istoentropicamente até seu volume se tornar igual a metade do volume inicial. Qual
é o valor de pressão no estado final?
SOLUÇÃO:
Para uma compressão isoentrópica:
i – refere se ao estado inicial;
f – refere se ao estado final.
7 - COMPRESSIBILIDADE

Como o volume final é igual a metade do inicial, a massa específica deve dobrar
porque a massa de gás é constante. Assim:
25
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.3 – Velocidade do Som




Uma conseqüência importante da Compressibilidade do fluido é as perturbações
introduzidas num ponto do fluido que se propagam com uma velocidade finita.
Exemplos; Fechamento de uma válvula em uma tubulação; Diafragma de alto
falante.
A perturbação não é sentida imediatamente é necessário um tempo finito para que
o aumento de pressão seja sentido.
A velocidade com que estas perturbações se propagam é denominada, velocidade
do som, c.
7 - COMPRESSIBILIDADE



No estudo de escoamento compressível, mostra-se, que a velocidade do som está
relacionada com as variações de pressão e da massa específica do fluido através
da relação:
Considerando que definição de módulo de elasticidade volumétrico, pode-se
reescrever a equação da velocidade do som:
Como as perturbações de pressão são pequenas, o processo ou propagação das
perturbações pode ser modelado como isoentrópico, se o meio é um gás, tem-se:
26
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7 - COMPRESSIBILIDADE

Se considerarmos que o fluido comporta como um gás perferito:

EXEMPLO:




Velocidade do ar a 20º C:
K = 1,4; R=286,9 J/kg.K
Velocidade da água a 20º C:
Ev = 2,19 GN/m2; ρ = 998 kg/m3
c=
Ev

=
2,19 x10 9
= 1481,35 m/s
998
7 - COMPRESSIBILIDADE



Note que: A velocidade do som na água é muito mais alta que a do ar (≈ 4,32 maior). Se
o fluido fosse realmente incompressível (Ev = ∞) a velocidade do som seria infinita.
EXEMPLO 1.6 – pg 20
Um avião a jato voa com velocidade de 890 km/h numa altitude de 10700 m (onde a
temperatura é igual a -55º C). Determine a razão entre a velocidade do avião, V, e a
velocidade do som, c, nesta altitude. Admita que, para o ar, K é igual a 1,40.

SOLUÇÃO: A velocidade do som pode ser calculada com a Equação:

Como a velocidade do avião é:
27
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7 - COMPRESSIBILIDADE



A relação é:
Esta razão é denominada número de Mach, Ma. Se Ma < 1,0, o avião está voando
numa velocidade subsônica e se Ma > 1, 0 o vôo é supersônico.
O número de Mach é um parâmetro adimensional importante no estudo de
escoamentos com velocidades altas.
8 – PRESSÃO DE VAPOR




Os líquidos evaporam se estes são colocados num recipiente aberto em contato
com a pressão atmosférica.
O motivo se deve ao fato de algumas moléculas do líquido, localizadas perto da
superfície livre do fluido, apresentam quantidade de movimento suficiente para
superar as forças intermoleculares coesivas e escapam para a atmosfera.
Se de um recipiente for retirado o ar acima do líquido contido neste, desenvolve-se
uma pressão na região acima do nível do líquido (esta pressão é devida ao vapor
formado, pelas moléculas, que escapam da superfície do líquido).
Quando o equilíbrio é atingido, o número de moléculas que deixam a superfície é
igual ao número de moléculas que são absorvidas na superfície, o vapor é dito
saturado e a pressão que o vapor exerce na superfície da fase líquida é denominada
pressão de vapor.
28
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8 – PRESSÃO DE VAPOR






A pressão de vapor depende da Temperatura.
A formação de bolhas de vapor na massa fluida é iniciada quando a pressão
absoluta no fluido alcança a pressão de vapor (pressão de saturação). Este
fenômeno é denominado EBULIÇÃO.
A EBULIÇÃO no escoamento inicia, quando a pressão, na região de baixa pressão
atingir a pressão de vapor.
Este fenômeno pode ocorrer em escoamentos através das passagens estreitas
irregulares encontras em válvulas e bombas.
As bolhas formadas podem ser transportadas para regiões onde a pressão é alta, o
que leva ao colapso das bolhas com intensidade suficiente para causar danos
estruturais.
A formação e o subseqüente colapsos das bolhas de vapor no escoamento de um
fluido é denominada CAVITAÇÃO.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL





Forças Superficiais – Forças existentes na interface entre um líquido e um gás, ou
entre dois líquidos imiscíveis.
Tais forças fazem com que a superfície do líquido se comporte como uma
membrana esticada sobre a massa fluida.
O fenômeno superficiais são devido ao desbalanço das forças coesivas que atuam
nas moléculas de líquidos que estão próximas à superfície e no interior da massa
de fluido.
As moléculas que estão no interior da massa de fluido estão envolvidas por outras
moléculas que se atraem mutuamente e igualmente.
Já as moléculas posicionadas na região próximas a superfície estão sujeitas a
forças líquidas que apontam para interior e também por forças devido ao gás ou
líquidos imiscível a este, e estão acima do líquido em questão.
29
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL





A conseqüência física aparente deste desbalanceamento é a criação da membrana
hipotética.
Considerando que a força de atuação molecular atua no plano da superfície e ao
longo de qualquer linha na superfície.
A intensidade da atração molecular por unidade de comprimento ao longo de
qualquer linha na superfície é denominada TENSÃO SUPERFICIAL, .
A tensão superficial depende da Temperatura e do Outro Fluido que está em contato
com o líquido.
Unidade: N/m – SI.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL



Força que atuam na metade de uma gota de líquido.
A pressão dentro de uma gota de fluido pode ser calculada utilizando o diagrama
de Corpo Livre.
A força desenvolvida ao longo da borda devida a Tensão Superficial, é 2πRσ.
30
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL

Esta força precisa ser balanceada pela diferença de pressão ∆p (entre a pressão
interna, pi, e a externa pe) que atua sobre a área πR2, assim:
Isto significa que a pressão interna da gota é maior do que a pressão no meio
que envolve a gota.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL



Um dos fenômenos associados com a Tensão Superficial é a subida (ou queda) de
um líquido num tubo capilar.
Se um tubo com diâmetro pequeno e aberto é inserido na água, o nível da água no
tubo subirá acima do nível do reservatório.
Para o caso ilustrado, a atração (adesão) entre as moléculas da parede do tubo e as
do líquidos é forte o suficiente para vencer a atração mútua (coesão) das moléculas
do fluido, com isto o fluido “sobe” no capilar e o líquido molha a superfície sólida.
31
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL


A altura da coluna de líquido h é função dos valores da tensão superficial, , do raio
do tubo, R, do peso específico do líquido, , do ângulo entre o fluido e o material do
tubo, .
Analisando o diagrama de corpo livre.
Conclui-se que a força vertical provocada pela tensão superficial é igual a 2Rcos,
que o peso da coluna é R2h e que estas duas forças precisam estar equilibradas.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL

Portanto:

Assim, a altura é dada pela relação;

O ângulo de contato é função da combinação líquido-material da superfície.

Exemplo: Tem-se: θ = 0o para água em contato com o vidro limpo
θ = 130º para o mercúrio em contato com o vidro limpo.
32
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL




OBS: A altura da coluna é inversamente proporcional ao raio do tubo. Assim, a
ascensão do líquido no tubo, pela ação da força capilar, fica mais pronunciada
quando menor for o diâmetro do tubo.
Se a adesão da molécula a superfície sólida é fraca, quando comparada a coesão
entre moléculas, o líquido não molhará a superfície.
Nesta condição, o nível do líquido do tubo imerso num banho será mais baixo que o
nível .
Note que o ângulo de contanto é maior que 90o para os líquidos que não molham a
superfície (θ ≈ 130º para o mercúrio em contanto com o vidro limpo)
9 – TENSÃO SUPERFICIAL



EXEMPLO 1.8 – pag. 23
A pressão pode ser determinada medindo-se a altura da coluna de líquido num tubo
vertical. Qual é o diâmetro de um tubo limpo de vidro necessário para que o
movimento de água promovido pela ação capilar (e que se opõe ao movimento
provocado pela pressão no tubo) seja menor do que 1,0 mm? Admita que a
temperatura é uniforme e igual a 20º C.
SOLUÇÃO:
Tomando a Equação:
Isolando o raio, R:
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL

Para a água a 20º C (Tabelado) σ = 0,0728 N/m e γ = 9,789 KN/m3, com θ = 0o.

cos 0o = 1

Assim o diâmetro – D = 2 R - D = 0,0298 m.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1


EXERCÍCIO O1 – Um tanque de óleo pesa 35 kg e tem volume é igual a
0,040 m3. (a) Determine sua massa específica, densidade e peso
específico quando encontra na superfície da Terra (g= 9,81 m/s2). (b) Qual
seriam a sua massa e seu peso específico se o tanque estivesse localizado
na superfície da Lua (onde a aceleração da gravidade é 1/6 do valor
encontrado na superfície da Terra).
EXERCÍCIO 1.57 – pág.30
Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente igual a 139,2
mm e 241,3 mm escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade U. A
superfície interna do tubo esta lubrificada e a espessura do filme do óleo é
igual a 0,05 mm. Sabendo que a massa do pistão e a viscosidade do óleo
são iguais a 0,227 kg e 0,77 N.s/m2, estime a velocidade do pistão. Admita
que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear e que a g = 9,81 m/s2.
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1

EXERCÍCIO 03 - O espaço entre duas placas paralelas está preenchido com um óleo
que apresenta viscosidade dinâmica igual a 4,56 x 10-2 N.s/m2. A placa inferior é
imóvel e a superior está submetida a uma força P. Se a distância entre as duas
placas é 2,5 mm, qual deve ser o valor de P para que a velocidade da placa
superior seja igual a 0,9 m/s? Admita que a área efetiva da placa superior seja igual
a 0,13 m2 e que o perfil de velocidade é linear.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1

EXERCÍCIO 1.50 – pág. 29
Determine a constante C e S da Equação de Sutherland: para o ar dada por:
µ=

C.T 3 / 2
T +S
Utilizando os valores de viscosidade do ar fornecidos pela Tabela de Propriedade do
ar em função da variação de temperatura, para as temperaturas 0, 20, 40, 60, 80 e
100º C.
T

(oC)
N.s/m2
0
1,7x10-5
20
1,80x10-5
40
1,90x10-5
60
1,96x10-5
80
2,08x10-5
100
2,17x10-5
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.50 – pág. 29
T3/ 2  1 
S
=  T +
µ
C
C
T3/2

T3/2/
0
1,7x10-5
0,00
20
89,44
1,80x10-5
4,07x106
40
242,98
1,90x10-5
1,58X107
60
464,76
1,96x10-5
2.33x107
80
715,54
2,08x10-5
3,44x107
100
1000
2,17x10-5
4,61x107
T
0
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
Construindo a curva T3/2/µ em função de T. Os valores de C e S podem ser
determinados a partir da inclinação e do ponto de interseção desta curva.
(T3/2/) x Temperatura
50000000
y = 466129x - 3E+06
R² = 0,9879
40000000
30000000
T3/2 / 

20000000
10000000
0
-10000000
0
20
40
60
80
100
120
Temperatura oC
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1


Outro modo de solução apresentado por um aluno, seria a montagem de um
sistema:
Ou seja, pega se dois pontos conhecido:
T = 20º C
µ = 1,80 X 10-5
T = 60º C
µ = 1,96 X 10-5
1,80 x10 −5 =
C.203 / 2
→ 1,80 x10 −5 x (20 + S ) = C.203 / 2
20 + S
e
1,96 x10 −5 =
C.603 / 2
→ 1,96 x10 −5 x (60 + S ) = C.603 / 2
60 + S
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
1,80 x10 −5 S - C.203 / 2 = 1,80 x10 −5 x 20

1,96 x10 −5 S − C.603 / 2 = 1,96 x10 −5 x 60
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1



EXERCÍCIO 1.76 – pág. 32
O número de Mash definido como a razão entre a velocidade local de
escoamento e velocidade do som (Ma = V/c), é um estudo importante nos
escoamentos compressíveis. Admita que a velocidade de disparo de um
projétil é 1287 km/h. Considerando que a pressão atmosférica é a padrão
e que a temperatura no local do disparo é 10º C. Determine o número de
Mach referente ao escoamento em torno do projétil, sabendo que é um
escoamento isoentrópico. Que tipo de velocidade se trata?
Tabelado para o ar a 10º C:
K = 1,4; R=286,9 J/kg.K
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1

EXERCÍCIO 1.87 – pág. 33
Um tubo de vidro, aberto a atmosfera e com 3 mm de diâmetro é inserido
num banho de mercúrio a 20º C. Qual será a altura que o mercúrio ficará no
tubo?
Temperatura
(oC)
Massa
específica
(kg/m3)
Viscosidade
dinâmica
(N.s/m2)
Tensão
Superficial
(N/m)
Pressão de
vapor
(N/m2)
Compressibi
lidade
(N/m2)
20
13600
1,57x10-3
4,66x10-1
1,60x10-1
2,85x1010
Mercúrio

 = 130º
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