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Capítulo 5
Torção
Resistência dos Materiais I
Estruturas II
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Resistência dos Materiais I
Estruturas II
5.1 – Deformação por torção de um
eixo circular
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo
longitudinal.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
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Estruturas II
• O conjunto das tensões de cisalhamento
internas resulta em um torque interno,
igual e oposto ao torque aplicado,
T    dF     dA
• Embora o torque devido às tensões de
cisalhamento seja conhecido, a distribuição
das tensões não é.
• Ao contrário da tensão normal devido a cargas
axiais, a distribuição das tensões de
cisalhamento devido a cargas de torção não
pode ser assumida uniforme.
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Estruturas II
• A existência de componentes de
cisalhamento axial é demonstrada,
considerando um eixo formado por tiras
axiais separadas.
• As tiras deslizam umas em relação as
outras quando torques iguais e opostos são
aplicados às extremidades do eixo.
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Estruturas II
• A experiência mostra que o ângulo de
torção da barra é proporcional ao torque
aplicado e ao comprimento da barra.
 T
L
• Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece
plana e indeformada.
• Seções transversais para barras circulares
cheias ou vazadas permanecem planas e
indeformadas, porque a barra circular é
axissimétrica.
• Seções transversais de barras não circulares
são distorcidos quando submetidas à torção.
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Estruturas II
• Destacando da barra um cilindro de raio  .
Como uma carga de torção é aplicada, um
elemento no interior do cilindro deforma
em um losango.
• Uma vez que as extremidades do elemento
permanecem planares, a deformação de
cisalhamento é igual ao ângulo entre as
linhas BA e BA’.
• Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:

L   ou  
(1)
L
• Deformação de cisalhamento é
proporcional ao ângulo de torção e ao raio.
 max 
r

e    max
L
r
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5.2 – Tensões no Regime Elástico
• Multiplicando a equação anterior pelo módulo
de elasticidade transversal, G    G 
r
max

   max
r
A tensão de cisalhamento varia linearmente
com a posição radial na seção.
• Lembre-se que a soma dos momentos da
distribuição de tensões internas é igual ao torque na


seção da barra,
T    dA  max   2dA  max I p
r
r
Ip: momento polar de inércia da seção.
• Os resultados são conhecidos como fórmulas de
torção no regime elástico,
Da Lei de Hooke   G , então
 max
Tr

Ip
T
e 
Ip
(2)
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• Torque aplicado ao eixo produz tensões de
cisalhamento nas faces perpendiculares ao
eixo.
• Condições de equilíbrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces
formadas por dois planos contendo o eixo
da barra.
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Convenção de sinais
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Estruturas II
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Estruturas II
Exemplo 1 O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine
a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na
seção a–a do eixo.
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Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
 M x  0;
4.250  3.000  T  0  T  1.250 kN  mm
O momento polar de inércia para o eixo é

4
Ip  75mm   4,97  107 mm4
2
Visto que A se encontra em ρ = 75 mm,
3
T 1.250  10 Nmm  75mm 
A 

 1,89 MPa
7
4
Ip
4,97  10 mm
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
T 1.250  10  15
B 

 0,377 MPa
7
Ip
4,97  10
3
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Estruturas II
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Estruturas II
Exercício de fixação
1)O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos
de torção mostrados. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A
e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos.
Respostas: τA=7,42MPa e τB=6,79MPa
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2)O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado
interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo
de 0,75in e interno de 0,68in, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo
de 1in e diâmetro interno de 0,86in. Se o tubo estiver firmemente preso à
parede em C, determine a tensão de cisalhamento
máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o
conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo
chave.
Resposta: τAB=7,82 ksi
τBC=2,36 ksi
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3)O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm. Determine a tensão
de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Considere T1=20Nm.
Resposta: 5,38MPa
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Exemplo 2 O eixo de seção circular BC é vazado com
diâmetros interno e externo de 90 mm e 120
mm, respectivamente. Os eixos de seção
circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.
Para o carregamento mostrado na figura,
determine: (a) as tensões de cisalhamento
máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d
necessário para os eixos AB e CD, se a tensão
de cisalhamento admissível nesses eixos for de
65 MPa.
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Estruturas II
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Cortar seções ao longo das barras AB e BC e
realizar análise de equilíbrio estático para
encontrar cargas de torque.
 M x  0  6 kN  m   TAB
 M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC
TAB  6 kN  m  TCD
TBC  20 kN  m
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(a)Aplicar fórmulas de torção
elástica para encontrar tensões
mínima e máxima na barra BC.
Ip 

r
2
4
2
 r14  
(b)Dada a tensão de cisalhamento
admissível e torque aplicado, invertese a fórmula de torção elástica e
encontra-se o diâmetro necessário.

 0.060 4   0.045 4 
2
Tr Tr
6kN  m
 13.92  106 m4
 max    4 65MPa   3
Ip 2 r
T r  20 kN  m   0.060m 
2r
 max   2  BC 2 

86.2MPa
Ip
13.92  106 m4
3
r  38.9  10 m
 min   1 
TBC r1  20 kN  m  0.045m 

 max  86.2MPa
Ip
13.92  106 m4
 min  64655kPa=64.7MPa
 min  64.7MPa
d  2r  77.8mm
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Das equações (1), (2) e da Lei de Hooke temos
o ângulo de torção:

 
(1)
L
TL
Tρ

τ=
(2)
I pG
Ip
G : módulo de elasticidade ao cisalhamento
L: comprimento do eixo
ϕ: ângulo de torção (rad)
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Se a carga de torção ou a seção transversal da
barra ou o material muda ao longo do
comprimento, o ângulo de rotação é
encontrado como a soma de rotações de cada
Ti Li
segmento.

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i I
pi
Gi
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Exercício de fixação
4)O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido
aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na
parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual
G=77GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A.
Resposta:
A  2,31
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5)O eixo de aço A-36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques
mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. G=75GPa
Resposta: B  5,74
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Transmissão de potência
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
P T 
(Watts) onde a velocidade angular do eixo é
 (rpm, rad/s)
isto que 1 ciclo  2 rad
Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
Tr
 adm 
Ip
Ip
T

r  adm
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Exemplo 3Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M
ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma
tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro
exigido para o eixo com precisão de mm.
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O torque no eixo é
  175rpm
1min 2 rad
 18,33rad / s
60seg 1rot
P  T   3750  T  18,33  T  204,6 Nm
Assim,
Ip  r 4 T


r 2 r  adm
 2T 
r 

  adm 
1/3
 2 204,6  1.000  Nmm 


2
   100 N / mm

1/3
 10,92 mm
Visto que 2r = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
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Exercício de fixação6) O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm.
Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm = 28MPa, determine,
com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo que
pode ser usado.
Resposta: d=15mm
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Exercício de fixação7) O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em
mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C, que
transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50rev/s. Se as
engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a
tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das
regiões AB e BC. O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E.
Respostas: τAB=1,04MPa
τBC=3,11MPa
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Exercício de fixação8) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento
admissível τadm=12ksi. Se o diâmetro do eixo for 1,5in, determine o torque
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse
feito um furo de 1in de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição
da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.
Respostas: T=7,95kip in e T’=6,38kip in