Engenharia Civil
Alexandre Souza – Eng. Agrimensor – MSc.
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Levantamento topográfico - Planimetria
Em um levantamento topográfico, normalmente são determinados
pontos de apoio ao levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou
planialtimétricos), e a partir destes, são levantados os demais pontos que
permitem representar a área levantada. A primeira etapa pode ser
chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de
levantamento de detalhes.
Chapas de
identificação de
pontos
Ponto pintado no
calçamento
Marco de
concreto
Fonte: Veiga et al, 2012
Levantamento topográfico - Planimetria
Fonte: Veiga et al, 2012
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de coordenadas planimétricas
As projeções planas são obtidas em função da distância entre os vértices
de um alinhamento e o azimute ou rumo, magnético ou geográfico, deste
mesmo alinhamento.
Fonte: Veiga et al, 2007
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de coordenadas planimétricas
Utilizando os conceitos de Trigonometria plana, é possível calcular
as projeções em “X” e “Y” da seguinte forma:
ΔX = D . sen Az
ΔY = D . cos Az
Fonte: Veiga et al, 2007
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de coordenadas planimétricas
Representação de uma poligonal e suas respectivas
Projeções.
X1-2
2
X2-3
Y2-3
Y1-2
3
1
Y3-4
Y4-1
X4-1
X3-4
4
Fonte: Veiga et al, 2007
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de coordenadas planimétricas
Fonte: Veiga et al, 2007
As coordenadas do ponto P1 serão
dadas por:
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de Azimutes a partir de Coordenadas
Planimétricas de dois pontos
Conhecendo-se as coordenadas planimétricas de dois pontos é
possível calcular o azimute da direção formada entre eles.
∆X
tgAz =
∆Y
∆X
Az = arctg (
)
∆Y
∆X = X 1 − X 0
∆Y = Y1 − Y0
Levantamento topográfico - Planimetria
Cálculo de Azimutes a partir de Coordenadas Planimétricas
de dois pontos
Para realizar posterior análise de quadrante, é importante que
DX e DY sejam obtidos fazendo-se sempre a coordenada do segundo
ponto menos a coordenada do primeiro.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medida Indireta de Distâncias
Segundo DOMINGUES (1979) diz-se que o
processo de medida de distâncias é indireto
quando estas distâncias são calculadas em função
da medida de outras grandezas, não havendo,
portanto, necessidade de percorrê-las para
compará-las com a grandeza padrão
Medida Indireta de Distâncias
Ao processo de medida indireta denomina-se
ESTADIMETRIA ou TAQUEOMETRIA, pois é
através do retículo ou estádia do teodolito que são
obtidas as leituras dos ângulos verticais e
horizontais e da régua graduada, para o posterior
cálculo das distâncias horizontais e verticais.
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Teodolito e/ou Nível: o teodolito é utilizado na
leitura de ângulos horizontais e verticais e da
régua graduada; o nível é utilizado somente para
a leitura da régua.
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Três gerações de teodolitos: o trânsito (mecânico e de leitura externa); o ótico
(prismático e com leitura interna); e o eletrônico (leitura digital).
Medida Indireta de Distâncias
A estádia do teodolito é composta de:
3 fios estadimétricos horizontais (FS, FM e FI),
1 fio estadimétrico vertical.
Medida Indireta de Distâncias
Taqueometria ou Estadimetria
Com o teodolito realiza-se a medição do ângulo vertical ou ângulo
zenital, o qual, em conjunto com as leituras efetuadas, será utilizado
no cálculo da distância.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Mira ou Régua graduada: é uma régua de
madeira, alumínio ou PVC, graduada em m,
dm, cm e mm; utilizada na determinação de
distâncias horizontais e verticais entre
pontos.
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Indicação de metros de uma mira estadimétrica
Medida Indireta de Distâncias
Equipamentos utilizados:
Medida Indireta de Distâncias
Métodos:
Distância Horizontal - Visada Horizontal
Dh
Dh = H . K
Onde:
H = FS – FI
K é a constante estadimétrica do instrumento,
definida pelo fabricante e geralmente igual a 100.
Medida Indireta de Distâncias
Métodos:
Distância Horizontal - Visada Inclinada
Di = H . K. Cos V
Dh = H . K . cos 2 V
Dh = H . K . sen 2 Z
Medida Indireta de Distâncias
EXERCÍCIOS:
a) Calcule a distância entre o ponto A e o ponto B, sendo
que a diferença de leitura dos fios estadimétricos foi 1,25m
e o ângulo de altura (b) = 10º15’00” ;
b) Calcule a distância tendo as seguintes informações:
Medidas Eletrônicas - Princípios
Baseia-se na determinação do tempo t que leva a onda eletromagnética para
percorrer a distância ida e volta entre o equipamento de medição e o
refletor.
A equação aplicável a este modelo é:
2D = c . Dt
Onde:
c: Velocidade de propagação da luz no meio;
D: Distância entre emissor e o refletor;
Dt: Tempo de percurso do sinal.
Medidas Eletrônicas - Princípios
A maioria dos MED’s adotam para o cálculo da distância a seguinte expressão:
D=
N ×C0
2 nf
+
φ
2π
×
C0
2 n2 f
Onde:
D=Distância entre emissor e o refletor;
n=índice de refração do ambiente;
C0=Velocidade de propagação da luz no vácuo;
f= frequência de modulação;
∅=ângulo de fase entre sinais emitido e recebido e
N=número de meio-comprimento de onda (λ/2).
Medidas Eletrônicas – Estação Total
Sen V1 =
HD
⇒ HD = SD × Sen
SD
(V 1 )
ih + ∆ V − th − h = 0
Cos V1 =
∆V
⇒ ∆ V = SD × Cos (V 1 )
SD
h = ih + SD × Cos (V 1 ) − th
Onde:
SD= distância inclinada
V1 = ângulo zenital (vertical)
th = altura do prisma
HD = distância horizontal
h = diferença de nível
Medidas Eletrônicas – Estação Total
Resumo:
Dado SD, V1, th, ih
Obter: HD, h
SD =
h − ih + th
Cos (V 1 )
Sen
 HD 
V 1 = Arc Sen 

 SD 
SD =
tg V1 =
∆V
2
+ HD
2
(V1 ) =
HD
SD
∆ V = h + th − ih
SD =
HD
Sen (V1)
HD
∆V
V 1 = Arc tg
HD
∆V
⇒ Se V1
∠ 0 faça
V1 = 180º
+ V1
Medidas Eletrônicas
Métodos de Medida Angular
Normalmente em Topografia, deseja-se obter o ângulo
horizontal entre duas direções, por exemplo:
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Métodos de Medida Angular
Dois conceitos importantes, a saber: estação Ré e estação Vante.
A estação anterior a estação ocupada denomina-se de estação RÉ e a
estação seguinte de VANTE.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Aparelho não orientado
Faz-se a leitura da direção AB(L1) e AC(L2), sendo que o
ângulo será obtido pela diferença entre L1 e L2. O
teodolito não precisa estar orientado segundo uma
direção específica.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Aparelho orientado na Ré
Faz-se a leitura da direção AB(L1) e AC(L2), sendo que o
ângulo será obtido pela diferença entre L1 e L2. O
teodolito não precisa estar orientado segundo uma
direção específica.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Aparelho orientado na Vante
Do mesmo modo que o anterior, sendo que o aparelho
agora será zerado na Vante.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Pontaria para leitura de direções horizontais
Sempre que possível a pontaria deve ser realizada o mais
próximo do ponto.
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Pares Conjugados (PD e PI)
As leituras são feitas na posição direta da luneta e na
posição inversa.
LPD - Leitura em PD
LPI - Leitura em PI
Assim:
(
LPI − 180º ) + LPD
L=
2
Fonte: Veiga et al, 2012
Medidas Eletrônicas
Pares Conjugados (PD e PI)
Exemplo:
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos de Levantamento Topográfico
Triangulação:
Levantamento somente com medidas lineares;
Montagem de uma rede de linhas;
Utilizado para áreas bem extensas;
Possibilidade de formar redes secundárias.
1) Triângulos principais → ABC; ACE;
CDE, EFA.
2) Triângulos secundários → AGE, EGC.
3) Medir todos os lados → AB, BC, CD,
DE, EF, FA, AG, AE, EG, EC, GC.
4) Amarrar a construção “M” na linha
EG (secundária).
5) Observar processo correto de
amarração da construção “M” na linha
EG.
Métodos de Levantamento Topográfico
Irradiação:
Criação de uma linha de referência;
Medir os ângulos e as distâncias para os pontos que se deseja
encontrar;
método é muito empregado no levantamento de detalhes em campo.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos de Levantamento Topográfico
Levantamento de detalhes:
Consiste em definir os acidentes naturais e artificiais
existentes na área a ser levantada, tais como: estradas, cursos
d’água, pontos que definem o relevo, benfeitorias etc.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos de Levantamento Topográfico
Levantamento por Irradiação :
Em se tratando de áreas maiores ou irregulares quanto ao
contorno, pode-se empregar este método de levantamento
utilizando mais de uma sede de irradiação. As sedes deverão
ser interligadas por meio da medição de ângulos e
distâncias.
POLIGONAÇÃO
Definição:
Consiste no levantamento dos pontos que definem as linhas
divisórias da propriedade. Se a propriedade for muito grande, em
vez de um só polígono pode-se dividi-la em dois ou mais polígonos.
A divisão pode ser feita com base nas linhas de divisas internas tais
como cercas, estradas, córregos etc .
POLIGONAÇÃO
Métodos:
Método mais empregado para determinação de coordenadas;
As poligonais mais comuns são as abertas e fechadas;
Realizadas através do método do caminhamento.
Fonte: Veiga et al, 2012
POLIGONAÇÃO
Classificação:
A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as
poligonais em principal, secundária e auxiliar:
- Poligonal principal: poligonal que determina os
pontos de apoio topográfico de primeira ordem;
- Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértice
da poligonal principal determina os pontos de apoio
topográfico de segunda ordem;
- Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos
de apoio topográfico planimétrico, tem seus vértices
distribuídos na área ou faixa a ser levantada.
POLIGONAÇÃO
Métodos:
As poligonais levantadas em campo poderão ser
fechadas, enquadradas ou abertas.
POLIGONAÇÃO
Métodos:
-
Poligonal fechada: parte de um ponto com
coordenadas conhecidas e retorna ao mesmo ponto. Sua
principal vantagem é permitir a verificação de erro de
fechamento angular e linear.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Poligonal enquadrada ou amarrada: parte de dois
pontos com coordenadas conhecidas e acaba em outros
dois pontos com coordenadas conhecidas. Permite a
verificação do erro de fechamento angular e linear.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas
conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas
deseja-se determinar. Não é possível determinar erros de
fechamento, portanto devem-se tomar todos os
cuidados necessários durante o levantamento de campo
para evitá-los.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Segundo a NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7), na hipótese do
apoio topográfico vincular-se à rede geodésica (Sistema
Geodésico Brasileiro - SGB), a situação ideal é que pelo
menos dois pontos de coordenadas conhecidas sejam
comuns.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Estes dois pontos não necessitam ser os primeiros de
uma poligonal.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Um vértice do apoio topográfico coincide com um dos
vértices da poligonal e é possível observar outro ponto
para a obtenção do azimute de partida.
Fonte: Veiga et al, 2012
Métodos
Poligonação:
- Um vértice, sem ser possível observar outro ponto.
Determina-se o Norte geográfico (Verdadeiro)ou
Magnético com precisão compatível à precisão do
levantamento.
Fonte: Veiga et al, 2012
Levantamento da Poligonal
LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO :
Consiste numa medição sucessiva de ângulos e distâncias
descrevendo uma poligonal fechada. Os vértices e os lados
da poligonal são utilizados para levantamentos dos acidentes
topográficos que existem em suas imediações pelo emprego
dos processos auxiliares.
O método de levantamento por caminhamento é
caracterizado pela natureza dos ângulos que se mede, daí
classificar-se em:
- Caminhamento à bússola;
-Caminhamento pelos ângulos de deflexões.
- Caminhamento pelos ângulos horários;
Levantamento da Poligonal
ÂNGULOS INTERNOS:
Quando o caminhamento é feito no sentido anti horário os
ângulos horizontais medidos são chamados ângulos internos.
Levantamento da Poligonal
ÂNGULOS EXTERNOS:
Dependendo do sentido do caminhamento, os ângulos
medidos podem ser internos ou externos. Quando feito no
sentido horário, são chamados ângulos externos.
Cálculos da Poligonal
Cálculo dos Azimutes:
A partir do azimute inicial da direção OPP-P1 e ângulo
horizontal externo OPP-P1-P2 (aqui denominado de a, medido
no sentido horário) é possível calcular o azimute da direção P1P2 a partir da equação.
Expressão genérica para o cálculo do azimute por ângulos externos:
Azi, i+1 = Azi-1,i + ai - 180°
Cálculos da Poligonal
Cálculo dos Azimutes:
Exemplo:
Azi, i+1 = Azi-1,i + ai - 180°
Se o valor resultante da equação for maior que 360º deve-se
subtrair 360º do mesmo e se for negativo deverá ser somado
360º ao resultado
Cálculos da Poligonal
Exemplo:
Caderneta de campo.
ESTACA
0
1
2
3
3
4
5
VISADAS
RÉ
VANTE
5
1
0
2
1
3
2
4
2
A
3
5
4
0
ÂNGULO
HORÁRIO
267º 40’
116º 00’
295º 00’
263º 30’
310º 45’
227º 30’
270º 30’
AZIMUTE
LIDO
CALC.
145º 00’
OBS
CASA
Cálculos da Poligonal
Sequencia de Cálculos de uma Poligonal Fechada:
Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida (costuma-se
empregar a nomenclatura PP para designar o ponto de
partida).
Onde:
Az: Azimute da direção OPP-P1;
d: distância horizontal entre os
pontos OPP e P1;
Xo e Yo: Coordenadas do ponto OPP;
X1 e Y1: Coordenadas do ponto P1.
Fonte: Veiga et al, 2012
Onde:
DX e DY são calculados por:
DX = d × sen (Az)
DY = d ×cos (Az)
As coordenadas do ponto P1 serão
dadas por :.
X1 = Xo + DX
Y1 = Y0 + DY
Cálculos da Poligonal
Verificação do Erro de Fechamento Angular
Em um polígono qualquer, o somatório dos ângulos
externos deverá ser igual a:
Onde :
n é o número de vértices da poligonal.
Para ângulos Internos :
Para o exemplo, têm-se ângulos internos, onde n = 7.
Cálculos da Poligonal
Tolerância angular (ea):
Pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável
nas medições.
Onde:
m => é o número de ângulos medidos na poligonal;
p => é precisão nominal do equipamento de medição angular.
Em uma poligonal fechada o número de estações é igual ao
número de ângulos medidos, portanto, m = n.
Caso o erro cometido seja maior que o erro
tolerável é necessário refazer as medições
angulares.
Cálculos da Poligonal
Compensação angular:
Correção em partes iguais
C∆a = ea/n
onde:
n= número de vértices
Exemplo:
C∆a = 0º02’02”/4 = 30,5”
Cálculos da Poligonal
Erro de Fechamento Linear (e):
A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas dos
demais pontos até retornar ao ponto de partida. A diferença entre as
coordenadas calculadas e as fornecidas para este ponto resultará no
chamado erro planimétrico ou erro linear cometido.
Fonte: Veiga et al, 2012
O erro planimétrico pode ser decomposto
em uma componente na direção X e outra na
direção Y.
Cálculos da Poligonal
Erro de Fechamento Linear (ep):
O erro planimétrico pode ser decomposto em uma
componente na direção X e outra na direção Y.
Os valores de ex e ey podem ser calculados por:
Cálculos da Poligonal
Tolerância Linear (Z)
Normalmente esta é dada em forma de escala, como por
exemplo, 1:1000;
Limite de erro linear na poligonal principal: 1:1000;
Limite de erro linear nas poligonais secundárias: 1:500.
Onde Sd é o perímetro da poligonal (somatório de todas as
distâncias da poligonal).
Cálculos da Poligonal
Correção do Erro Linear usando regra do compasso
As correções às coordenadas serão proporcionais às
distâncias medidas.
Onde:
Cxi: correção para a coordenada Xi;
Cyi: correção para a coordenada Yi;
Sd: somatório das distâncias (Perímetro);
di-1,i: distância parcial i-j .
Cálculos Poligonal
Coordenadas Totais
As coordenadas do ponto P1 serão
dadas por:
Cálculo de áreas
Processo Gráfico
A área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados
ou outras figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas
das figuras geométricas.
Fonte: Veiga et al, 2012
Cálculo de áreas
Processo Mecânico
Um planímetro polar é um dispositivo que pode ser usado para medir a área de uma
figura sobre um papel, seguindo o traçado do limite da figura com o cursor.
É necessário desenhar as figuras em escala antes de usar o planímetro.
Fonte: Veiga et al, 2012
Cálculo de áreas
Processo Computacional
Baseado no emprego de algum programa gráfico do tipo CAD, no qual são
desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa calcula
esta área, por métodos analíticos.
Cálculo da área
Método Analítico
Coordenadas Totais
Esse é um método matricial, no qual temos, através das coordenadas X e Y,
uma matriz de 2° ordem e pelo algoritmo de Sarrus podemos determinar a
área, assim:
Cálculo da Poligonal
Cálculo da área - Método Analítico
Coordenadas Totais
Exemplo:
EST
X
TOTAIS
Y
TOTAIS
E0
1500,000
2500,000
E1
1481,9947
2500,1051
E2
1482,0065
2509,0573
E3
E0
1500,0008
1500,000
2509,0398
2500,000
SOMA
14936982,34
14937306,20
A=0,5 . [14936982,34-14937306,20] = 161,927 m2
A =|ΣXY - ΣYX|
2