UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA
DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA
DISCIPLINA TOPOGRAFIA B
NIVELAMENTO
TRIGONOMÉTRICO
DR. CARLOS AURÉLIO NADAL
PROFESSOR TITULAR
Equipe do USGS - 1902
Equipe de nivelamento geométrico de trigonométrico do USGS
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
PUBLICIDADE DA SELEÇÕES READERS DIGEST -1962
(TEODOLITO TMV-2 VASCONCELOS)
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
DESNÍVEL OBTIDO POR TAQUEOMETRIA
-DIFERENÇA DE ALTURA ENTRE OS PONTOS A e B (hAB)
fs
fm
z
MIRA
fi
B
hAB
I
A
I = altura do instrumento
fs = leitura do fio superior
fm = leitura do fio médio
fi = leitura do fio inferior
z = distância zenital medida
 hAB = I – fm + 50 x (fs-fi) x sen [2 x (90o - z)]
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
PRINCIPIO DO MÉTODO DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
ΔHAB = D’.cosZ + hi – hs
Z= ângulo zenital
D’= distância inclinada
hi= altura do instrumento
D= distância horizontal
hs= altura do alvo
Dv = distância vertical
ΔHAB = desnível de A para B
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
ERROS SISTEMATICOS: CURVATURA E REFRAÇÃO
K=0,12
R=6372KM (raio da Terra)
D=distância horizontal nivelada
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Nivelamento trigonométrico
erros de curvatura e a refração
R
B
z
T
90° - z
T'
dh
A'
B'
A
dh = AB' = di x cos (90° - z) = di x sen z
T’A’ = TA = I RB = S A'B = hAB
E=dh2/2R
R = 0,12 E
hAB = T 'R + I - s
hAB = di x cos z + I - S+E-r
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Zo = erro de zênite instrumental
F
zo
Ze F
zo
Ze
P
P
ZPD
ZPI
Posição direta da luneta PD
Z= ZPD- Zo
Posição inversa da luneta PD
Z=360°-(ZPI + zo)
Zo = ZPD+ 0ZPI - 360°
2
Z = 360° + ZPD - ZPI
2
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Z
Z
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
PRISMA REFLETOR PASSIVO PARA MEDIDA DE DISTÂNCIA
E DESNÍVEL
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
ALTURA DO PRISMA
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
MEDIDA DA ALTURA DO INSTRUMENTO
Eixo horizontal
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício 01
Em 11 de novembro de 1991 foi levantado por taqueometria utilizando-se um
teodolito Kern DKM2 um pequeno caminho, através de três seções transversais.
Estação: 0=PP, I=1,47m A01= 180°03´51ʺ
Ponto
visado
Direção
horizontal
Direção
vertical
Fio
superior
Fio
médio
Fio
inferior
1
358°02´35ʺ 79°38´35ʺ
1,225
1,198
1,174
1e
347°49´26ʺ 77°48´25ʺ
0,821
0,800
0,769
1d
7°36´01ʺ
89°21´50ʺ
1,228
1,200
1,172
2d
3°57´58ʺ
85°02´09ʺ
1,753
1,700
1,647
2
358°59´49ʺ 81°44´25ʺ
1,152
1,100
1,048
2e
354°52´54ʺ 78°35´49ʺ
0,555
0,500
0,445
3d
3°17´35ʺ
85°39´24ʺ
2,077
2,000
1,923
3
0°00´35ʺ
82°02´28ʺ
1,080
1,000
0,922
3e
355°30´38ʺ 82°09´01ʺ
1,028
0,950
0,872
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
estação
0=PP
azimute
grau
0->1
ponto
min
seg
180
3
direção horizontal
visado
grau
rad
51 3,142713
i=
direção vertical
min
seg
radiano
grau
1,47 m
fios estadimétricos
min
seg
radiano
fs
fm
1
358
2
35 6,249030
79
38
35 1,390034
1,225
1,198
1e
347
49
26 6,070672
77
48
25 1,357987
0,821
0,800
1d
7
36
1 0,132650
89
21
50 1,559694
1,228
1,200
2d
3
57
58 0,069222
85
2
9 1,484155
1,753
1,700
2
358
59
49 6,265679
81
44
25 1,426637
1,152
1,100
2e
354
52
54 6,193854
78
35
49 1,371775
0,555
0,500
3d
3
17
35 0,057475
85
39
24 1,494991
2,077
2,000
3
0
0
35 0,000170
82
2
28 1,431888
1,080
1,000
3e
355
30
38 6,204830
82
9
1 1,433793
1,028
0,950
cota=
fi
1,174
0,769
1,172
1,647
1,048
0,445
1,923
0,922
0,872
900 m
distância desnível
m
m
4,935164
1,173939
4,968038
1,743498
5,59931
0,332167
10,52063
0,683806
10,18536
1,848572
10,57002
3,101877
15,31167
0,632937
15,49708
2,636635
15,30902
2,630611
cota
m
901,1739
901,7435
900,3322
900,6838
901,8486
903,1019
900,6329
902,6366
902,6306
D=100(fs-fi)cos2(90°-z)
HAB=I-fm+50(fs-fi)sen2(90°-z)
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício 02
Estação
A
I=1,457m
S=2,000m
Ponto visado posição Distância Zenital
distância
B
PD
85° 12´ 35ʺ
120,456
PI
274° 47´ 23ʺ
120,454
Calcular:
a) O desnível de A para B e o erro de zenite instrumental
HAB= 9,515m
Zo = -1ʺ
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício 03
Calcular a altura do edifício (AC), mostrado no croqui,
colocando-se a estação total em E e o refletor em C.
Estação: E
Ponto visado
A
B
Distância E-B
I=1,425m
croqui:
Distância zenital
78°02´55ʺ
89°33´05ʺ
S=2,000m
95,235m
A
B
S
I
Altura do edifício = 21,412m
E
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
C
Posicionamento
tridimensional no terreno
Z
p
cota
zp
Y
xp
O
yp
p’
abcissa
ordenada
X
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
x
y
z
Máquina de medição tridimensional
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
tridimensionais e coordenadas polares
z
p
distância espacial
v
ângulo vertical
cota
dop
zp
p”
o
Aop
y
xp
yp
x
ordenada
abcissa
p’
ângulo horizontal
(azimute)
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Transformação de coordenadas cartesianas
em polares
p
do
v
o
p
dh
z
p
v
v
zp
p’
do
p
zp
p”
o
Aop
yp
y
xp
p’
x
dh = dop x sen v
zp = dop x cos v
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Transformação de coordenadas cartesianas
em polares
o
yp
z
p”
p
Aop
v
do
p
xp
zp
p”
o
Aop
yp
y
xp
p’
x
xp = dop x sen v x sen Aop
yp = dop x sen v x cos Aop
p’
xp = dh x sen Aop
yp = dh x cos Aop
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que
liga o ponto P ao ponto Q.
Z
reta no espaço
P
+40
zp
+20
+40
-20
yp
-40
-20
+20
xp
P´
0
+40
yq
-20
+40
xq
-40
Y
+20
X
zq
Q
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão:
d =[(xp - xq) ² + (yp-yq) ² + (zp-zq) ² ]
Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o
ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância
espacial entre eles é fornecida da seguinte forma:
d =[(-40 - 60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ]
d = 
d = 8,32m
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício:
Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional
situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo
para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente
com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima
da estação). Mediu-se as direções horizontais (Aop), direção vertical (V) e a distância
inclinada dop ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas:
Aop = 26° 32´ 50”; V = 86° 58´ 15”; dop = 125,632m.
Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema.
Solução:
Z
xp = dop sen V sen Aop
yp = dop sen V cos Aop
zp = dop cos V
P
V
do
p
zp
o
Y
Ao
p
yp
X
P”
xp
P’
xp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” sen 26° 32´ 50”
yp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” cos 26° 32´ 50”
zp = 125,632 x cos 86° 58´ 15”
xp = 56,071m
yp = 112,229m
zp = 6,639m
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Problema direto do posicionamento tridimensional
Z
B
dAB
V
A
zB
zA
P
B”
Y
xA
xB
yA
A’
Q
AAB
B’
X
yB
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL
Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior:
coordenadas tridimensionais do ponto A xA, yA , zA
Mede-se:
azimute da direção AB = AAB
distância entre A e B = dAB
direção zenital ou distância zenital = V
Pede-se:
coordenadas tridimensionais do ponto B xB, yB , zB
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Triângulos retângulos APB e A’B’Q
B
A’
A
dAB senV
Q
AAB
V
dAB
y B – yA
xB – xA
zB – zA = dAB cos V
dAB sen V
B’
P
Z
xB – xA = dAB sen V sen AAB
yB – yA = dAB sen V cos AAB
zB – zA = dAB cos V
V
dAB
B
A
zA
P
B”
xA
xB = xA + dAB sen V sen AAB
yB = yA + dAB sen V cos AAB
zB = zA + dAB cos V
xB
yA
A’
X
yB
Q
AAB
B
’
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
zB
Y
Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional
Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B
dAB = [(xB – xA )2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )2 ]1/2
Cálculo do ângulo zenital entre A e B
zB – zA
V = arc cos 
[(xB – xA )2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )2 ]1/2
Cálculo do azimute entre os pontos A e B
xB – xA
AAB = arc tg 
yB – yA
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício:
A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas
Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir:
PO1
x1 = 3763803,17745
y1 = -4366181,98370
z1 = -2722619,51292
PO2
x2 = 3761470,79868
y2 = -4367585,08810
z2 = -2723355,20840
Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância
zenital de P01 para P02.
Solução:
Distância P01 – P02
d12 = [(x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )2 ]1/2
d12 = 3761470,79868- 3763803,17745) 2 +(-4367585,08810 +4366181,98370 ) 2 +
(-2723355,20840 +2722619,51292 ) 2
d12 = ,
d12 = 28,6m
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Azimute P01 – P02
x2 – x1
A12 = arc tg 
y2 – y1
3761470,79868 - 3763803,17745
A12 = arc tg 
-4367585,08810 + 4366181,98370
-2332,379
A12 = arc tg 
-1403,105
A12 = arc tg 1,66229826
A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante.
Solução no primeiro quadrante:
A12 = 58° 58´ 11”
No terceiro quadrante:
A12 = 58° 58´ 11” + 180 ° 
A12 = 238° 58´ 11”
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Como a solução pode estar no 1° ou no 3 ° Quadrante. A tabela abaixo esclarece a
obtenção de quadrantes.
Quadrante numerador denominador
1° Q
+
+
2° Q
+
3° Q
4° Q
+
Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos
adota-se o 3° Quadrante, assim:
A12 = 238° 58´ 11”
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Distância zenital P01 – P02
z2 – z1
V = arc cos 
[(x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )2 ]1/2
-2723355,20840 + 2722619,51292
V = arc cos 
28,6
-735,696
V = arc cos 
28,6
V = arc cos –0,260925355
A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo
quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180 °.
Solução no primeiro quadrante:
V = 74° 52´ 30”
Solução no segundo quadrante
V = 180° - 74° 52´ 30”

V =105 ° 07´ 30”
Neste caso a distância zenital vale:
V =105 ° 07´ 30”
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
Exercício proposto:
Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1
obtendo-se:
x1 = 3763803,17745
y1 = -4366181,98370
z1 = -2722619,51292
Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02
d12 = 28,6m
A12 = 238° 58´ 11”
V =105 ° 07´ 30”
Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais
do vértice P02.
Resposta:
x2 = 3761470,79868
y2 = -4367585,08810
z2 = -2723355,20840
Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I