Guia do Professor
Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss
NOA – UFPB
1. Introdução
Apresentamos adiante instruções sobre como utilizar esse objeto de aprendizagem com a intenção de facilitar a construção de significados sobre a Lei de Gauss.
Esse material instrucional foi fundamentado na teoria de David Ausubel, que indica uma
participação ativa do aprendiz na construção de seu conhecimento como um dos ingredientes fundamentais da aprendizagem significativa. Para facilitar essa participação, estruturamos esse objeto
de aprendizagem com vários componentes autônomos e complementares, quais sejam; animações
interativas, mapas conceituais e textos descritivos. Eles são autônomos pois essas partes podem ser
utilizadas de maneira exclusiva, e são complementares na medida que cada elemento apresenta uma
faceta específica do veículo que utiliza e que complementa os demais componentes.
Existem circunstâncias onde o professor pode julgar mais adequado iniciar o contato dos
seus alunos com determinado tema usando textos descritivos, que permitem um detalhamento mais
acurado do assunto, pois utiliza o meio verbal como veículo de transmissão das informações. Em
outras oportunidades, o mestre pode julgar mais oportuno que seus estudantes tenham um primeiro
contato com o tema através de uma animação interativa, que em nosso caso é composta por uma
modelagem do fenômeno físico, com a possibilidade de serem modificados parâmetros que determinam as especificidades de apresentação de um cenário. Por exemplo, o aluno pode escolher diversos valores de cargas e analisar o fluxo produzido por essas distribuições de cargas. E finalmente, o professor pode considerar mais relevante que o estudante tenha um contato inicial com o tema
através de um mapa conceitual sobre esse assunto. O mestre tem inteira liberdade de escolher a sequência de estratégias a ser empregada quando da utilização desse objeto de aprendizagem.
2. Objetivos
A Lei de Gauss se apresenta como uma ferramenta poderosa para o cálculo do campo quando consideramos distribuições de cargas elétricas que exibam simetria espacial.
O objetivo principal desse objeto de aprendizagem é facilitar a construção de modelos mentais como um passo intermediário na construção de significados relacionados com fluxo.
Nos textos que acompanham esse OA são apresentadas analogias entre fluxo de matéria através de uma superfície e o fluxo relacionado com distribuições de cargas. São disponibilizadas
diversas modelagens com a intenção de facilitar a compreensão do conceito de fluxo através de uma
superfície, e sobre como esse fluxo pode variar, seja modificando a disposição da superfície ou
mesmo alterando a distribuição de cargas.
3. Pré-requisitos
É necessário que o estudante já tenha tido contato com o conceito de carga elétrica, e a interação entre cargas elétricas.
4. Tempo previsto para a atividade
Para uma exploração do conteúdo serão suficientes quatro horas de aula, onde na metade
desse tempo o professor irá explorar as relações entre o valor do fluxo e as diversas possibilidades
de escolhas de superfícies, bem como as diferentes distribuições de cargas elétricas.
5. Na sala de aula
Caberá ao mestre escolher o momento de apresentar os conceitos relacionados com fluxo, se
inicia com uma exposição em sala de aulas e depois utiliza esse aplicativo, ou se faz o inverso; ou
ainda se usa parte do tempo em sala de aulas, depois usa o computador e finaliza na sala de aulas.
6. Questões para discussão
Existem algumas situações que seriam convenientes que fossem discutidas em sala de aulas.
Seria a análise mais detalhada matematicamente sobre como calcular o valor do campo elétrico criado por distribuições determinadas de cargas elétricas.
Iremos considerar as seguintes situações:
a. Campo produzido por uma carga elétrica isolada.
b. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de mesmo sinal.
c. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de sinais diferentes.
d. Campo produzido por um condutor na forma de um plano delgado infinito.
e. Campo produzido por um condutor na for de um fio infinito.
6.a Carga elétrica isolada
A situação mais simples relacionada ao fluxo de campo elétrico acontece quando analisamos uma carga elétrica Q isolada. A
maneira de representar as linhas de campo relacionadas com essa
carga é traçar retas com origem nessa carga, e que dividam o quadrante em ângulos iguais. Se resolvermos traçar cinco retas, elas
deverão dividir o quadrante em cinco ângulos iguais, com valores
de 3600/5 = 720.
Quando a carga elétrica for positiva, como no caso, as linhas
de campo apontam para fora da carga.
Se a carga Q for positiva, como no caso das figuras 1 e 2,
Figura 1
o vetor campo elétrico aponta no sentido da
carga elétrica até o ponto de observação. E se a
r
carga elétrica for negativa, o campo elétrico
r
apontará no sentido contrário, apontará para a
E
Q
carga elétrica.
Figura 2
Um vetor que se comporta como esse campo elétrico, é dito vetor com orientação radial,
pois está sempre dirigido ao longo do raio que tem como origem um ponto específico (a carga elétrica nesse caso).
Quando consideramos uma superfície envolvendo a carga elétrica (como na figura 1), a Lei
de Gauss diz que existe uma relação entre o fluxo elétrico ΦE através de uma superfície fechada e a
carga elétrica Q envolvida por essa superfície fechada. Essa relação tem a forma:
ΦE = Q/ε0
Onde ε0 = 8,84 x 10-12 C2/N. m2 é uma constante conhecida como permissividade do vácuo, e tem o
valor. Ela é mais utilizada na forma:
k=
1
4πε 0
= 8,99 x10 9 N .m 2 / C 2
Considerando a definição de fluxo elétrico, encontramos nesse caso que
2
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0
E finalmente
E=
1
Q
4πε 0 r 2
6.b Cargas elétricas de mesmo sinal
Quando colocamos uma segunda carga elétrica q no espaço
que antes era ocupado por apenas uma carga, essa nova carga irá
r
sentir a presença do campo elétrico E causado pela carga Q orir
ginal. Em outras palavras, através do campo elétrico E criado
pela carga original Q, a segunda carga elétrica q irá sentir a atuar
ção de uma força elétrica F que tem a forma:
r
r
⎡⎛ Q ⎞ ⎤
Qq
F = qE = q ⎢ ⎜ k 2 ⎟ rˆ ⎥ = k 2 rˆ
r
⎣⎝ r ⎠ ⎦
Figura 3
onde o vetor r̂ é um vetor radial unitário, que indica o sentido da
força elétrica. Vetor unitário é aquele que tem modulo igual a um.
Para analisar a situação com duas cargas elétricas devemos considerar o princípio da superposição. Esse princípio é válido em diversos contextos da Física. De acordo com o princípio da superposição, o campo elétrico em um determinado ponto do espaço, relacionado com duas cargas
elétricas (Q1 e Q2) é igual a soma vetorial dos campos isolados associados a cada uma das cargas
r
r
r
elétricas ( E1 e E 2 ), ou seja, o campo elétrico resultante E tem a forma:
r r
r
E = E1 + E 2
Como as cargas elétricas são positivas, as linhas de campo apontam num sentido saindo dessas cargas. Podemos metaforicamente dizer que toda a região do espaço onde se encontram as cargas está inundada por linhas de campo. Quando consideramos uma situação onde as cargas elétricas
iguais a +Q, a situação se apresenta equivalente em relação às cargas elétricas, como mostrada na
figura 3. Essas linhas de campo estão orientadas de modo a acompanhar as setas desenhadas na figura 3, e essas setas representam o sentido do campo elétrico criado por essas cargas na região.
Nessa situação não encontramos uma simetria espacial como no caso da figura 1, ou seja,
não temos uma superfície fechada onde o campo elétrico tenha o mesmo módulo sobre toda essa
superfície, como acontece no caso da figura 1. Essa situação já nos mostra que a grande utilidade da
Lei de Gauss acontece em situação com simetria espacial simples.
3
6.c Cargas elétricas de sinais diferentes
Quando existem apenas duas cargas elétricas de sinais
diferentes numa dada região do espaço, esse espaço fica inundado
por linhas de campo como aquelas que estão mostradas na figura
4 ao lado.
Se colocarmos nessa região duas cargas elétricas de mesmo módulo mas de sinais opostos +Q e -Q, a situação se apresenta simétrica em relação às cargas elétricas, como mostrada na
figura 4.
Ao colocarmos uma terceira carga elétrica na região, essa
carga +q irá sofre a ação de uma força elétrica
r
r
Figura 4
F = qE
Essa força elétrica estará orientada segundo as linhas de campo, que nesse caso poderiam se
chamas linhas de força. Na figura 4 as linhas de força estão direcionadas de uma carga para outra,
saindo da carga elétrica positiva. Sobre essa terceira carga q irá atuar uma força resultante da influência das duas cargas +Q e –Q.
6.d Plano delgado infinito.
Quando estamos considerando uma folha (ou plano delgado
infinito) não condutora carregada eletricamente, a aplicação da Lei
de Gauss tem grande utilidade.
Vamos considerar que não existe movimento de cargas elétricas, e que elas estão distribuídas uniformemente sobre o plano,
com uma certa densidade superficial de cargas σ , onde:
σ=
Q
A
Figura 5
Ou seja, existe uma certa quantidade de carga elétrica Q
para uma dada área A. Se formos analisar uma área que é o dobro
da área mencionada, existirá uma quantidade de carga elétrica que
é o dobro da carga mencionada inicialmente.
Intuitivamente podemos perceber que o campo elétrico criado por essa distribuição de cargas está dirigido perpendicularmente à superfície do plano, como está indicado nas figuras 1 e 2.
Considerando um campo com essa direção, a superfície de
Gauss mais conveniente de ser utilizada é um cilindro reto com a
base paralela ao plano carregado.
Considerando uma superfície gaussiana dessa forma, temos:
Figura 6
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
Σ E ΔA =E A + EA = 2 E A = Q/ε0
Na equação anterior estamos considerando que o campo elétrico é perpendicular à superfície
lateral do cilindro, e desse modo não existe fluxo elétrico através das paredes laterais desse cilindro.
E estamos considerando ainda que são iguais as contribuições do fluxo elétrico através das superfícies paralelas ao plano. Em outras palavras:
4
E=
1 Q
σ
⇒ E=
2ε 0 A
2ε 0
6.e Fio infinito.
Quando consideramos um fio não condutor infinito, a aplicação da Lei de Gauss tem grande utilidade.
Intuitivamente pode se perceber que o campo elétrico produzido por essa distribuição é perpendicular ao fio.
Uma escolha simples de uma superfície de Gauss seria um
cilindro reto, e nesse caso
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
Σ E ΔA =E A= E 2π r L = Q/ε0
Na equação anterior consideramos que o campo elétrico é perpendicular à superfície lateral do cilindro, e esse campo é paralelo à
base do cilindro.
Teremos então que
1 Q/L
E=
2πε 0 r
Figura 7
Se definirmos a densidade linear de carga λ como sendo a quantidade de carga Q existente
num determinado comprimento L do fio, teremos:
E=
1
λ
2πε 0 r
⇒ E = 2k
λ
r
Onde
k=
1
4πε 0
= 8,99 x10 9 N .m 2 / C 2
7. Na sala de computadores
7.a Requisitos técnicos:
O OA foi desenvolvido através da plataforma Macromedia Flash Professional 8.0 e requer
que o usuário disponha de um plug-in Adobe Flash Player 8.0. Este plug-in pode ser encontrado e
rapidamente instalado em sua máquina a partir do site www.adobe.com. O OA foi desenvolvido
para solicitar o menor recurso computacional possível, o que permite aos computadores de menor
desempenho executar perfeitamente este aplicativo educacional.
7.b Preparação:
O ideal seria alocar no máximo dois aprendizes por máquina. Caso contrário deve-se disponibilizar a turma em frente ao computador nos limites de resolução da tela do monitor associado ao
conforto visual dos aprendizes. Em caso de público maior sugerimos o uso do data-show acoplado
ao computador.
7.c Durante a atividade:
Este objeto de aprendizagem foi construído vislumbrando o máximo possível à autoexplicação de forma a possibilitar ao aprendiz a autonomia necessária à construção do conhecimento com algumas variantes no processo, sem equivalência entre elas.
5
Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física
Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física em processo mediado pelo professor.
Interação: grupo de estudos (aprendizes e/ou professor) com participantes distribuídos, mas interligados em rede → OA → conceitos da Física.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Seria interessante, em atividades mediadas sistematizar algumas lógicas:
Conceber e administrar situações-problema ajustadas ao nível e possibilidades cognitivas do aprendiz.
Negociar um processo avaliativo congruente com o OA.
Observar e avaliar os alunos em aprendizagem de acordo com uma abordagem formativa.
Administrar a heterogeneidade cognitiva no âmbito da turma.
Proporcionar um ambiente favorável ao desenvolvimento da autonomia do aprendiz que
permita articular suas visões.
Articular a solução de problemas com a construção dos conceitos da Física.
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