Sumário e Objectivos
Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana
Recorrendo à Função de Tensão de Airy.
Entrega dos Trabalhos
Objectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de
Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas
Planos.
Lúcia Dinis
2005/2006
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
1
ESTADO PLANO DE TENSÃO
 zz  0 ou 33  0
Tensões Nulas no Estado
Plano de Tensão
Equações de Equilíbrio
 xz   yz  0 ou 13   23  0
 xx,x   xy,y  Bx  0
 xy,x   yy,y  By  0
Bz  0
ou
ij, j  Bi  0 com i=1,2 e j=1,2
Lúcia Dinis
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Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
2
Forças de Volume
O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em
termos de uma função potencial V
B  V  V,i eˆ i
corresponde em termos energéticos a considerar um
campo de forças conservativo.
Equações de
xx,x  xy,y  V,x  0
Equilíbrio tomam a
xy,x   yy,y  V,y  0
forma:
V,z  0
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Elasticidade Plana
ou
ij, j  V ,i  0
3
Função de Tensão
É possível definir uma Função de Tensão tal que:
 xx  V  ,yy
 yy  V  ,xx
 xy  ,xy
As Tensões assim definidas verificam automaticamente as
Equações de Equilíbrio
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Elasticidade Plana
4
Deformações em
termos da Tensões
As Deformações relacionam-se com as tensões através da
1
Lei de Hooke generalizada
ε xx =
ε yy
ε zz
ε xy
ε xz
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σ xx - νσ yy 

E
1
=
σ yy - νσ xx
E
-ν
=
σ xx + σ yy
E
1
=
σ xy
2G
= ε yz = 0




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Elasticidade Plana
5
Deformações em Termos da
Função de Tensão
Tendo em conta as equações anteriores as deformações
exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte
modo:
1
ε xx =
,yy - ν,xx + 1- ν  V
E
1
1
ε yy =
,xx - ν,yy + 1- ν  V ; ε xy =
,xy
E
2G
-ν
ε zz =
,xx + ,yy + 2V ;
ε xz = ε yz = 0
E





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
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Elasticidade Plana
6
Equações de
Compatibilidade de St Venant
2
∂ 2 ε xy
∂ 2 ε xx ∂ ε yy
+
=2
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
∂ 2 ε yy
∂z 2
∂ 2 ε yz
∂ 2 ε zz
+
=2
2
∂y∂z
∂y
∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xx
∂ 2 ε xz
+
=2
∂x∂z
∂x 2
∂z 2
∂ 2 ε xy ∂ 2 ε xz ∂ 2 ε yz ∂ 2 ε xx
+
=
2
∂x∂z ∂x∂y ∂x
∂y∂z
∂ 2 ε yz
∂ 2 ε xy ∂ 2 ε xz ∂ 2 ε yy
+
=
2
∂x∂z ∂y∂z ∂y
∂x∂z
∂ 2 ε xy
2
∂ 2 ε xz ∂ ε yz ∂ 2 ε zz
+
=
∂y∂z ∂x∂z ∂z 2
∂x∂y
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Elasticidade Plana
7
Equações de Compatibilidade no
Caso do Estado Plano de Tensão
No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em
ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são
tais que: ε zz ≠ 0
ε xz = ε yz = 0
As equações de compatibilidade relevantes são
2
∂ 2 ε xy
∂ 2 ε xx ∂ ε yy
+
=2
2
2
∂x∂y
∂x
∂y
∂ 2 ε zz
=0
2
∂x
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a)
∂ 2 ε zz
=0
2
∂y
c)
∂ 2 ε zz
=0
∂x∂y
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b)
d)
8
Equação de Compatibilidade
em Termos da função de Tensão
1
,yyyy - ,xxyy + 1+   V,xx + ,xxxx - ,xxyy + 1+   V,yy 
E
1
E
= - ,xxyy
sendo
= 2(1+ )
G
G
ou
 4  (1   ) 2 V
4
4
4



sendo :  4  4  2 2 2  4
x
x y
y
 2V 2V 
 4
 4
 4
 2 2 2  4  (1  )  2  2 
4
x
x y
y
y 
 x
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Elasticidade Plana
9
Equações Fundamentais
O processo de deformação correspondente a um estado
plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes
 4  (1  ) 2 V Ou na ausência de forças de
volume
4

0
xx  V  ,yy
 yy  V  ,xx
 xx  ,yy
xy  ,xy
 yy  ,xx
 xy  ,xy
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10
ESTADO PLANO DE
DEFORMAÇÃO
No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que
se chega são:
Ou na ausência de Forças
(1  2) 2
4
 
 V
de Volume
1   
 4  0
 xx  V  ,yy
 xx  ,yy
 yy  V  ,xx
 yy  ,xx
 xy  ,xy
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 xy  ,xy
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11
Equação Biharmónica
Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de
Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução
da equação Biharmónica ou seja pela solução de
 4  0
 xx  ,yy
 yy  ,xx
 xy  ,xy
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Soluções Polinomiais são possíveis
para alguns problemas e têm a forma
    Cmn x m yn
m n
com m  n  3
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12
Placas Rectangulares
S2
y
S1
x
x
cy
S12
(a)
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(b)
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13
Função de Tensão para as
placas Rectangulares
Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é
  a1x  a 2xy  a3y
2
As Tensões correspondentes são:
x  2a 3 y  2a1
Condições de Fronteira
Coeficientes ai
Função de Tensão
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x  S1 y  S2
2
xy  a 2
xy  S12
S2
S1
a 2  S12 a 3 
2
2
S
S
  2 x 2  S12xy  1 y 2
2
2
a1 
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14
Função de Tensão para as
placas Rectangulares
Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é
  a1x3  a 2x 2y  a3x y2  a 4y3
Esta função de tensão conduz às tensões seguintes:
 x  6a 4y  2a 3x
 y  6a1x  2a 2y
 xy  2a 2x  2a 3y
Para x=0 e x=L as tensões são:
x  cy
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Elasticidade Plana
y  0
xy  0
15
Função de Tensão para as
placas Rectangulares
Para y=±b/2 as tensões são:
x  0
y  0
xy  0
Estas condições de fronteira implicam que as constantes
sejam:
a1  a 2  a 3  0
e
a4  c / 4
ou seja a função de Airy é:
c 3
 y
6
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16
Viga em Consola Sujeita a
uma Carga Pontual
P
P
x
z
b
y
l
y
h
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17
Viga em Consola Sujeita a
uma Carga Pontual
A função de tensão neste caso é:
P  xy3 b 2xy 
  


I 6
8 
As componentes da tensão são
P
xx   xy
I
A tensão máxima é
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y  0
P  b2
h b3
2
xy     y  sendo I=
2I  4
12

6Pl
 max  2
hb
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18
Viga em consola sujeita a uma
carga uniformemente distribuída
p
p
x
z
b
y
l
y
h
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Elasticidade Plana
19
Viga em consola sujeita a uma
carga uniformemente distribuída
Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma
3
5
3
seguinte:   C1x 2 y  C2 y  C3x 2y  C4x 2  C5 y
as condições de fronteira b
b
p
Para y=    0 e   0 Para y=-     e   0
que são:
2
2
h
yy
Para x=0 e x=l
xy

yy
b
2
b
2
 h  xxdy  0 Para x=0
Esforço Normal nulo nas extremidades Livre e.Encastrada
Para x=l
  h  xydy  pl
x=l
  h y xxdy  0
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p2
  h y xxdy   l
2
  h  xydy  0
Esforço de Corte prescrito na extremidade.Encastrada
b
2
b
2
b
2
b
2
b
2
b
2
Esforço de Corte nulo na extremidade.Livre
b
2
b
2
Para x=0
xy
Momento Flector nulo na extremidade.Livre
Momento Flector prescrito na extremidade.Encastrada
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20
Viga em consola sujeita a uma
carga uniformemente distribuída
A equação de compatibilidade obriga a que seja
Tendo em conta as condições de fronteira
referidas obtém-se as constantes seguintes:
C1  
Consequentemente
as tensões, são:
1


C2
C1
5
p
3 p
1p
1 p





C3
C4
C1
h b3
4 hb
4h
10 hb
p x 3y
p y 3 3 py
4 3
 xx  6
3
hb
h b 5 bh
p y 3 3 py 1 p

 yy  2 3 
h b 2 bh 2 h
2
px y
3 px

6

 xy
h b 3 2 bh
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21
ESTADOS PLANOS EM
COORDENADAS CILÍNDRICAS
r


r
rr
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22
ESTADOS PLANOS EM
COORDENADAS CILÍNDRICAS
As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma:
σ rr σ rr  σθθ 1 σθθ


 Br  0
r
r
r θ
σ rθ 2σ rθ 1 σθθ


 Bθ  0
r
r
r θ
As relações Deformações – Deslocamentos são:
u r
 u r,r
r
u 1 u  u r 1
  r 
  u  ,
r r 
r r
u
u 1
1  u
1 u r  1 

 r      

u


u

,r
r,


2  r
r r   2 
r r

 rr 
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23
ESTADOS PLANOS EM
COORDENADAS CILÍNDRICAS


x  r cos θ
y  r sin θ
x 2  y2  r 2
y
θ  tan -1  
x
1
x
1 2
2 2
r,x  x  y 2x   cos θ
r
2
y
r,y   sin θ
r
sin θ
y
1  y 
 2  2 
θ,x 
2 
r
r
1  xy  x 

θ,y 
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1
1

y
x
 1  y cos θ
 2 
2  
r
x r
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24
ESTADOS PLANOS EM
COORDENADAS CILÍNDRICAS
As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser
calculadas a partir das derivadas em ordem a r e  do
seguinte modo:

x

y
    r
r
,x
    r
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r
,y






θ
θ
,x
,y
ou
ou

x

y
     cos θ       sin θ 
r

 

r 
     sin θ      cos θ 
r
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
 
r


25
Transformação do Tensor das Tensões
de Coordenadas Cartesianas em Polares
rr   ri  rjij
  i jij
r   ri  jij
 cos  sen 0 


 ij   sen cos  0 
 0
0
1 
rr  xx cos2    yy sin 2   2 xy cos  sin 
  xx sin 2    yy cos2   2 xy cos  sin 

r  xx cos  sin    yy cos  sin    xy cos 2  sin 2 
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
26
Derivadas da Função de Tensão
,xx 
      
  sin   

cos




 


x  x  x  r
  r  
  2
 2  sin      sin 2  
  cos    2  cos   


   0 
r  r   r 
r 
 r
sin    2
 2  sin      sin 
cos  sin  
cos




cos



 2


r  r
r
 
r2
    r 2

2
2
cos

sin

cos

sin

sin

sin

 ,rr cos 2   2,r
 2,
 ,r
 ,
r
r
r
r2
De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e
xy.
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27
ESTADOS PLANOS EM
COORDENADAS CILÍNDRICAS
1
1
A relação entre as tensões e a função de Airy em
rr  ,r  2 ,
coordenadas cilíndricas toma a forma:
r
r
  ,rr
1
1
r  ,  ,r
r
r
A equação Biharmónica
toma a forma seguinte:
 
1
1
    0
   ,rr  ,r  2 ,
r
r
2
2  2
2 


1

1



1

1


4
  2 
 2 2 2 
 2 2
r r r    r
r r r  
 r
4
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2
2
2
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28
Problemas Axisimétricos
1
rr  ,r
r
  ,rr
r  0
1
1   
   ,rr  ,r   r 
r
r  r  ,r
2
2


1 
1 
4
  2 
 ,rr  ,r 
r r  
r 
 r
4
3
2


2


1

 1 
4
  4 
 2 2 3
3
r r
r
r r
r r
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29
Solução da Equação Biharmónica
para Problemas Axiximétricos
  C1r ln r  C2r  C3 ln r  C4
2
1
r2
1
  C1  3  2 ln r   2C 2  C3 2
r
r  0
2
rr  C1 1  2 ln r   2C 2  C3
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1
rr   rr   
E
1
     rr 
E
1    
1
r 
r 
r
2G
E
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Elasticidade Plana
30
Deslocamentos

du r 1  C3 1   
rr 
 
 2C2 1     C1 1    2ln r  1  2C1 
dr E 
r2

 

u r 1  C3 1   
 

2C
1



C
1


2ln
r

1

2C





2
1
1
r E
r2


du r 1  C3 1   
 

2C
1



C
1


2
ln
r

1

2

C





2
1
1
dr E 
r2

ur 

1  C3 1   
 2C2 1    r  C1 1    2r ln r  r   2C1r  constante 

E
r

e

u r 1  C3 1   
 

2C
1



C
1


2
ln
r

1

2C





2
1
1
r E
r2

ur 
Lúcia Dinis
2005/2006

1  C3 1   


2C
1


r

C
1


2r
ln
r

r

2C
r






2
1
1 
E
r

Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
31
Deslocamentos
Comparando as duas expressões obtidas para o
deslocamento na direcção radial conclui-se:

1  C3 1   
u r  
 2C2 1    r  C1 1    2r ln r  r   2C1r  constant  
E
r


1  C3 1   
 2C2 1    r  C1 1    2r ln r  r   2C1r 

E
r

 C1  0 constante  0
ur 
1  C3 1   
 2C2 1   

E
r
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
r

Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
32
Problemas Quasi Axisimétricos
No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico,
isto é que as tensões só dependem de r mas os
deslocamentos podem depender de , as deformações são
então em termos dos deslocamentos as seguintes.

du
1  C 1   
rr  r   3 2
 2C2 1     C1 1    2 ln r  1  2C1 
dr
E

r

u r 1 u  1  C3 1   

 

2C
1



C
1


2
ln
r

1

2C
 1  

2
1
r r  E 
r2

u 1 u r 
1  u
r      
2  r
r r  
 
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Elasticidade Plana
33
Problemas Quasi Axisimétricos

du r 1  C3 1   
 
 2C2 1     C1 1    2 ln r  1  2C1 
2
dr E 
r

ur 

1  C3 1   


2C
1


r

C
1


2r
ln
r

r

2

C
r

f










2
1
1
E
r

 ur
1 u  1  C3 1   
 

2C
1



C
1


2
ln
r

1

2C
 1  

2
1 
2
r  E 
r
 r
f   
1 u  1 
 4C1 

r  E 
r 
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Elasticidade Plana
34
Problemas Quasi Axisimétricos
Integrando esta última equação obtém-se:
u  1
 4C1r  f   
 E
1
u   4C1r   f    d  g  r 
E
Substituindo na expressão da deformação de corte obtémse:
g r 1
1
g  r  
  f  θ  dθ  f   θ   0
r
r
1
1

rg  r   g  r      f  θ  dθ  f   θ  
r
r

 rg  r   g  r   C5
r
  f  θ  dθ  f   θ    C5
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Elasticidade Plana
35
Problemas Quasi Axisimétricos
Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só
dependente de  que podem ser integradas obtendo-se:
rg  r   g  r   C5
g  r   C5  C 6 r
g  r   C6
 f  θ  dθ  f   θ   C5
f  θ   C7 sin   C8 cos 
 f  θ  dθ  C5  C7 cos   C8 sin 
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Elasticidade Plana
36
Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a
forma:
 C3 1   

 2C2 1    r 
1 

ur  
r

E

C
1


2r
ln
r

r

2

C
r

C
sin


C
cos





1
1
7
8


1
u   4 C1r   C7 cos   C8 sin  C6 r
E
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Elasticidade Plana
37
CILINDRO ESPESSO E
DISCO FINO
Pi – Pressão na
superfície interior
Po- Pressão na
superfície exterior
Ri – Raio interior
Ro – Raio exterior
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Ro
Ri
po
pi
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Elasticidade Plana
38
CILINDRO ESPESSO E
DISCO FINO
As Tensões são Calculadas de acordo com
1
r2
1
  C1  3  2 ln r   2C 2  C3 2
r
r  0
rr  C1 1  2 ln r   2C 2  C3
E têm de verificar as condições de Fronteira
Ou seja
po  C1 1  2 ln R o   2C2  C3
1
R o2
rr  R o   po
rr  R i   pi
1
pi  C1 1  2 ln R i   2C2  C3 2
Ri
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Elasticidade Plana
39
CILINDRO ESPESSO E
DISCO FINO
Estas duas condições são insuficientes para se calcularem
as constantes, considerando o problema como quais
axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial
pode dizer-se que u  1 4 C r   C cos   C sin  C r

1
E
u   0   u   2 
1
 po  2C2  C3 2
Ro
1
 pi  2C2  C3 2
Ri
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C1  0
7
C2 
C3 
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
8
6
pi R i2  po R o2

2 R o2  R i2

R i2 R o2  po  pi 
R
2
o
 R i2

40
CILINDRO ESPESSO E
DISCO FINO
As tensões tomam a forma
rr 
 
pi R i2  po R o2

R o2
 R i2

pi R i2  po R o2

R o2
 R i2



R i2 R o2  po  pi 

r 2 R o2  R i2

R i2 R o2  po  pi 

r 2 R o2  R i2

e para o estado plano de deformação é
zz     rr    
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Elasticidade Plana

R
2 pi R i2  po R o2
2
o
 R i2


41
CILINDRO ESPESSO E
DISCO FINO
Os deslocamentos são
ur 
C2 
C3 
1  C3 1   
 2C2 1   

r
E

r

pi R i2  po R o2

2 R o2  R i2

R i2 R o2  po  pi 
R
2
o
 R i2


2 2
pi R i2  po R o2
1  R i R o  p o  pi 
u r  
1     2 2 1   
2
2
E
Ro  Ri
Ro  Ri r


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
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana




r

42
PLACA INFINITA COM
PEQUENO ORÍFICIO
R
pi
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i
pi
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Elasticidade Plana
43
PLACA INFINITA COM
PEQUENO ORÍFICIO
Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e
manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com
a seguinte forma:
R i2
Fazendo as aproximações
pi 2  p o
2
R  p  pi 
Ro
rr 
 i o
seguintes
2
2
 
 Ri 
 1  2 
 Ro 
Ri 
r 1  2 
 Ro 
R i2
pi 2
Ro
R i2  p o  pi 

 1 

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2
 po
R i2
R o2





r 2  1 

R i2
R o2



p o  0 sendo
 rr
2
Ro
 R i2 pi

r2
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana

R i2
0
2
Ro

R i2 pi

r2
44
PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
Tensões Longe do
Orifício
Tx
B
 xx  Tx

A
A
 yy  0
y
 xy  0
x
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Elasticidade Plana
Tx
45
PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se
altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St.
Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que
B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as
expressões e convertam-se as tensões em coordenadas
T
cilíndricas.
 B,   T cos 2   x 1  cos 2
rr


x


2
Tx
2
  B,    Tx sin  
1  cos 2 
2
T
rr  B,    Tx cos  sin    x  sin 2 
2
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Elasticidade Plana
46
PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
Alternativamente pode considerar-se.
 xx  Tx
1
  Tx y 2
2
y  r sin 
1
2
  Tx  r sin  
2
1
1
  Tx r 2 sin 2   Tx r 2 1  cos 2 
2
4
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Elasticidade Plana
47
PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
Sendo as tensões em termos da função de Airy, as
seguintes: rr  1 ,r  1 ,

r2
r
 ,rr
1
1
r  ,  ,r
r
r
As tensões são nestas
condições:
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Tx
T T
1  cos 2   x  x cos 2
2
2
2
T
T
r  B,     x  sin 2   0  x  sin 2 
2
2
rr  B,   
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
48
PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados
de tensão um axisimétrico e outro dependente de , estes
estados de tensão são:
Axisimetrico:
T
1
rr   B,    x
2
  B,    0
1
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dependente de  :
T
2
rr   B,    x cos 2
2
Tx
 2
  B,      sin 2 
2
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
49
Problema Axisimétrico
As tensões para o problema axisimétrico são
Ri  A
Ro  B
pi  0
po  
Tx
2

Tx 
B2
 2
rr 
 2
2
2  B A
r


B2
1 Tx 
 2
 

2  B2  A 2
r

1
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





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Elasticidade Plana


2 
2
B A 


A 2 B2

2 
2
B A 

A 2 B2


50
Problema dependente de 
No caso do problema dependente de q considera-se a
equação biharmónica e uma função de Airy com a forma
adequada às condições de fronteira:
  F  r  cos 2θ
A equação biharmónica toma a forma seguinte.
2
9
9
F,rrrr  F,rrr  2 F,rr  3 F,r  0
r
r
r
1
F  r   C1  C2 r 2  C3r 4  C 4 2
r
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Elasticidade Plana
51
Problema dependente de 
As tensões correspondentes são:
1

   C1  C2 r 2  C3r 4  C 4 2  cos 2θ
r 

1
1

2
rr     4C1 2  2C 2  6C 4 4  cos 2θ
r
r 

1

2
   2C2  12C3r 2  6C 4 4  cos 2θ
r 

1
1

2
r    2C1 2  2C 2  6C3r 2  6C 4 4  cos 2θ
r
r 

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Elasticidade Plana
52
Problema dependente de 
As constantes determinam-se considerando as condições de
fronteira:
 2
rr
 A,    0
r   A,    0
2
 2
Tx
rr  B,   
cos 2
2
Tx
 2
r  B,     sin 2
2
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Elasticidade Plana
53
Problema dependente de 
Obtendo-se o sistema de equações seguinte:
 4
 A2

 2
 A2

 4
 B2

 2
 B2
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2
0
2
6A 2
2
0
2
6B2
6 
 0 
A4 

6   C1   0 

 4   

C
A  2    Tx 
  

6   C3   2 
 4
B  C 4   Tx 

 
6 
 2
 4
B 

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Elasticidade Plana
54
Problema dependente de 
No caso de A<<B pode-se considerar pela 4ª equação que:
2
 A2  2
 A2 
Tx  A 2 
6  A2 
2A 
  2  2 C1  2  2  C2  6B  2  C3  4  2  C4    2 
2 B 
B B 
B B
B 
B 
 A2  2
 A2 
T
6  A2 
2
  2  2 C1  2  2  C2  6A C3  4  2  C4   x
2
B B 
B B
B 
 A2 
 2 
B 
 A2 
2
 2   0  6A C3  0  C3  0
B 
A 3ª equação implica.
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Tx 2
4
6 2
2
C

2A
C

A
C

A
1
2
4
2
B2
B4
 A2 
Tx 2
Tx
2

0


2A
C

A

C


 2 
2
2
2
4
B


A 2
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
55
Problema dependente de 
Finalmente resolvendo as duas restantes equações obtém2
T
4
6
A
x
se:

C1  
C4  0
C1 
Tx
2 A4
A2
T
2
6
 2 C1  x  4 C4  0
2 A
A
2
A4
C4  
Tx
4
Substituindo as constantes obtidas nas expressões
 A2 1 3 A4 
2

das tensões obtém-se:
rr    2 2  
4 
 Tx cos 2θ

2
2 r 
 2
 1 3 A4 
   
4 
 Tx cos 2θ
2
2
r


 2
 A2 1 3 A4 
   2  
Tx sin 2θ
4 

2 2 r 
 r

r
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r
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Elasticidade Plana
56
Caso Axi simétrico
As Tensões no caso
axisimétrico são:
Ri  A
Ro  B
pi  0
po  
Tx
2

T
B2
1
x 
rr 
 2
 2
2
2  B A
r


B2
1 Tx 
rr 
 2

2  B2  A 2
r



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Elasticidade Plana


A 2 B2
B
2
 A2
A 2 B2
B
2
 A2










57
Caso Axi-simétrico
Adimitindo A/B tendente para zero obtém-se:
A
0
B




2
2
T
A
1
 Tx  A 
1
x 

rr 
1  2 


2
2
2   A  2  A   2  r 
r 1  2 
1

  B2 
 B 






2
A
1
 Tx  A 2 
1 Tx 

 

1 


2   A 2  2  A 2   2  r 2 
r 1  2 
1

  B2 
 B 


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Elasticidade Plana
58
Tensões Totais
As tensões totais quando A/B tende para zero são:
1
 2
rr  rr  rr
1
  
2
 
1
 2
r  r  r
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Tx

2
 A 2   A 2 1 3 A 4 
Tx cos 2θ
1  2    2 2  
4 

2 2 r 
 r   r
T
 x
2
 A 2   1 3 A 4 
Tx cos 2θ
1  2    
4 

 r   2 2 r 
 A2 1 3 A4 
   2  
Tx sin 2θ
4 

2 2 r 
 r
Mecânica dos Sólidos não Linear
Elasticidade Plana
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