Comparação dos modelos de Gompertz e Verhulst no ajuste
de dados de uma variedade de feijão
Laís Mesquita Silva1
Allan Alves Fernandes2
Filipe Rizzo3
Augusto Ramalho de Morais4
1
Introdução
O feijoeiro-comum (Phaseolus vulgaris L.) é uma das principais culturas
produzidas e consumidas no Brasil e no mundo, sendo que o Brasil se destaca como
maior produtor mundial do grão. É um alimento referencial na dieta nutricional por
proporcionar segurança alimentar as classes mais carentes da população, provido de
proteínas, ferro e carboidratos como nutrientes essenciais como opção em substituição a
carnes e outros produtos proteicos. O consumo per capita mostra-se crescente, sendo de
aproximadamente 17,06 kg/habitante/ano de acordo com pesquisas realizadas em 2010
(BARBOSA et al., 2012). Devido ao ciclo curto do feijoeiro, a modelagem de seu
crescimento é importante para auxílio nas práticas agrícolas mais eficientes, auxiliando
na inferência sobre processos fisiológicos, melhor época para adubação, entre outros
(Benincasa, 2003).
Na análise de crescimento utilizam-se tanto modelos lineares quanto os não
lineares, mas os modelos não lineares têm sido muito utilizados principalmente por
apresentarem parâmetros com interpretação biológica e aplicações práticas de suas
características.
Neste trabalho objetivou-se comparar o ajuste dos modelos não lineares de
Verhulst e o de Gompertz aos dados da massa seca do feijoeiro, cultivar Jalo, em
diferentes populações de plantas.
1
UFLA – Universidade Federal de Lavras. Email: [email protected]
UFLA – Universidade Federal de Lavras. Email: [email protected]
3
UFLA – Universidade Federal de Lavras. Email: [email protected]
4
UFLA – Universidade Federal de Lavras. Email: [email protected]; bolsista do CNPq.
Agradecimento à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio financeiro e bolsa concedida.
2
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Material e métodos
Um experimento foi realizado na área experimental do Departamento de
Agricultura, na Universidade Federal de Lavras, com a cultivar Jalo de feijoeiro,
empregando-se o delineamento em blocos casualizados, com três repetições, sendo os
tratamentos dispostos em esquema fatorial 5x7, para verificar o efeito dos fatores
população de plantas (75, 145, 215, 285 e 355 mil plantas por ha-1) em diferentes
períodos (13, 23, 33, 43, 53, 63, e 73 dias após a emergência) de crescimento. Foram
avaliados o peso da matéria seca da haste (H), folha (F), haste e folha (HF), haste, folha
e vagem (HFV), grãos (G) e total (HFVG). O dados da massa seca total foram
submetidos à analise da variância, sendo verificado a homogeneidade de variâncias pelo
teste de Bartlett e a normalidade dos erros pelo teste de Shapiro-Wilk. Em seguida,
procedeu-se a análise de regressão para avaliar o crescimento em função dos dias após
emergência ( DAE), em cada população de plantas.
Foram ajustados aos dados de matéria seca os modelos de regressão não lineares,
de Gompertz e o de Verhulst, para cada população de plantas.
O modelo não linear de Gompertz (Domingues, 2011; Boyce et al., 1999)
utilizado para descrever a produção de matéria seca em função no instante t, foi
representado por:
(
( )
⁄ )
em que,
• N = N(t) representa o peso de matéria seca do feijoeiro no instante t;
• r é a constante de crescimento intrínseca da população, com r > 0;
• k é a capacidade de carga do ambiente, representando o peso assintótico máximo que a
planta pode atingir.
O modelo não linear de Verhulst (Bassanezzi, 2002) utilizado para descrever a
produção de matéria seca no instante t, é dado por:
( )
(
( ⁄
))
em que N(t) é o peso de matéria seca no tempo t; K é o peso assintótico máximo que a
planta pode atingir; r é a taxa de crescimento intrínseca da população (r > 0); N0 é o
peso de matéria seca no tempo t = 0.
Para a comparação dos modelos das curvas de crescimento foi utilizado o
critério de Akaike, sendo considerado como melhor, aquele modelo que apresentou
menor estimativa para AIC.
As análises foram realizadas com o software R (R Development Core Team,
2013), sendo utilizada a função nls.
3 Resultados e discussões
Verificou-se que ocorreu efeito significativo dos DAE ou períodos (Tabela 1)
sobre o peso de matéria seca em três das cinco populações estudadas.
Tabela 1. Análise de variância para peso de matéria seca do feijoeiro com
desdobramento de períodos em cada população*
FV
GL
SQ
QM
valor p
Blocos
2
3959308,47
1979654,23
4,006
0,0227
População
4
10764141,53
2691035,38
5,446
0,0007
Períodos/75
6
9600607,20
1600101,20
3,238
0,0073
Períodos/145
6
3704908,33
617484,72
1,250
0,2921
Períodos/215
6
6957873,02
1159645,50
2,347
0,0404
Períodos/285
6
5297470,88
882911,81
1,787
0,1146
Períodos/355
6
26311727,28
4385287,88
8,874
< 0,0001
Erro
68
33602201,12
494150,02
*Variável Matéria Seca Total calculada a partir da soma das variáveis: haste, folha vagem e
grãos.
Foi realizado o desdobramento de Período dentro de cada População com a
finalidade de avaliar o comportamento da matéria seca total para cada população. As
equações de regressão obtidas pelo ajuste dos modelos não lineares de Gompertz e
Verhulst estão apresentadas na Tabela 2. As estimativas do parâmetro relativo ao peso
assintótico indicam que a medida que se aumenta a população de plantas houve um
aumento no acumulo de matéria seca e, isto é fácil de se ver pelo modelo de Verhulst. Já
para o modelo de Gompertz por este parâmetro não foi possível fazer esta inferência,
pois suas estimativas ficaram sobrestimadas. Maiores pesos assintóticos foram
estimados nas populações de 215 e 285 mil plantas; estes resultados estão de acordo
com Alves et al. (2009), que verificaram que densidades de semeadura ao redor de 240
mil plantas garantem boas produtividade.
Menores valores para o parâmetro r ocorreram nas populações de 215 e 285 mil
plantas, indicando que as plantas demoram mais para atingir a maturação, ocorrendo
desenvolvimento mais tardio das plantas e, é claro, podendo elas atingirem maiores
pesos ou produções.
Tabela 2. Equações de regressão ajustadas pelos modelos não lineares de Verhulst e de
Gompertz para descrição do crescimento em matéria seca do feijoeiro, cv. Jalo em
populações de plantas.
População
Modelo
75
Verhulst
Equação ajustada
̂
(
̂
Gompertz
145
Verhulst
̂
̂
215
Verhulst
̂
̂
285
Verhulst
355
Verhulst
(
̂
(
⁄
(
(
̂
(
⁄
)
)
(
)
)
⁄
)
(
)
⁄
))
(
(
)
⁄
))
(
̂
Gompertz
(
))
)
(
⁄
⁄
)
)
))
(
(
̂
Gompertz
(
(
⁄
⁄
(
(
Gompertz
(
))
(
(
(
Gompertz
⁄
(
)
)
(
)
)
)
De modo geral, observou-se que as estimativas do critério de Akaike, foram
menores quando do ajuste do modelo de Verhulst, indicando que este modelo
apresentou melhor qualidade de ajuste aos dados de feijão Jalo (Tabela 3).
Tabela 3. Estimativas do valor do critério de Akaike (AIC) para os modelos de
Gompertz e de Verhulst no ajuste da massa seca total do feijoeiro cv. Jalo, para cada
população de plantas.
Modelo
Gompertz
Verhulst
75
87,2279
84,2503
145
81,8666
77,8665
População
215
85,7058
85,0000
285
92,4023
92,1957
355
110,2159
109,5446
4. Conclusão
Considerando o critério de Akaike e as propriedades de ambos os modelos, o
modelo não linear de Verhulst apresentou melhor ajuste para todas as populações, sendo
o mais adequado para descrever os dados de matéria seca total de feijão Jalo.
5. Referências
[1] AKAIKE, H. A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions
on Automatic Control, Boston, v. 19, n. 6, p. 716-723, 1974.
[2] ALVES, A.F. et al. Densidades populacionais para cultivares alternativos de
feijoeiro do norte de Minas Gerais. Ciência e Agrotecnologia, v.33, p.1495-1502,
2009.
[3] BARBOSA, F. R.; GONZAGA, A. C. DE O.; Informações técnicas para o cultivo
do feijoeiro-comum na Região Central-Brasileira: 2012 – 2014. Santo Antônio de
Goiás: Embrapa Arroz e Feijão, 2012, 247 p.
[4] BASSANEZZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
[5] BOYCE, W. E. e DE PRIMA, R. C.. Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno. 5.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,
1994.
[6] DOMINGUES, J.S. Análise do Modelo de Gompertz no crescimento de tumores
sólidos e inserção de um fator de tratamento. Biomatemática, v.21, p.103-112, 2011.
Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio21_art8.pdf
[7] R Development Core Team (2013). R: A language and environment for statistical
computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.