Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
5.a Aula: Matriz de Transição de Estado (2.a parte)
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 5 (lista):
 Determine a matriz de transição de estado
 5 7 5 


A  0 4 1


 2 8 3
e. At
. Dada a matriz A.
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Primeiro calcula-se os autovalores da matriz A:
7
5 
5  
det[ A   I ]  det  0
4
1   0
 2
8
3   
 3  6 2  11  6  0
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Calculando-se
os autovalores da matriz A com a função roots(p) do
MATLAB:
 3  6 2  11  6  0
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Autovalores:
λ1 =1; λ2 =2; λ3 =3
 Uma vez que a matriz A é 3 x 3, utilizamos os três primeiros termos da
Equacao (6):
e  a0 I  a1 A  a2 A
At
2
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Obtemos a0, a1 e a2 das seguintes relacoes:
a0  a11  a2 12  e1t
a0  a12  a2 22  e2t
a0  a13  a2 32  e3t
 Substituindo-se os valores de lambda:
a0  a11  a2  et
a0  2a1  4a2  e 2t
a0  3a1  9a2  e3t
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Calculando-se os coeficientes a0, a1 e a2 no MATLAB:
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Ordenando os coeficientes, tem-se:
a 0 = 3*exp(t) - 3*exp(2*t)  exp(3*t)
a1 = - (5*exp(t))/2  4*exp(2*t) - (3*exp(3*t))/2
a 2 = exp(t)/2- exp(2*t) + exp(3*t)/2
a0  3et - 3e 2t  e3t
5
3
a1  - et  4e 2t - e3t
2
2
1
1
a2  et - e 2t  e3t
2
2
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Calculando-se a Matriz de Transição no MATLAB:
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
 Então:
 2et  2e2t  e3t
 t
At
e   e  2e 2t  e3t
 3et  4e2t  e3t

6et  5e 2t  e3t
3et  5e 2t  e3t
9et  10e 2t  e3t
4et  3e 2t  e3t 
t
2t
3t 
2e  3e  e 
6et  6e 2t  e3t 
Computação da Matriz de Transição de Estado (2.o Caso)
 Neste caso, existem n raízes e m raízes são iguais.
1  2  3  ...  m , m1 , n
 Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:
a0  a11  a2 12  ...  an 11n 1  e1t
d
d 1t
(a0  a11  a2 12  ...  an 11n 1 
e
d 1
d 1
d2
d 2 1t
2
n 1
(a0  a11  a2 1  ...  an 11 
e
2
2
d 1
d 1
...
d m 1
d m1 1t
2
n 1
(a0  a11  a2 1  ...  an 11 
e
d 1m 1
d 1m 1
a0  a1m 1  a2 m2 1  ...  an 1mn 11  em1t
...
a0  a1n  a2n2  ...  an 1nn 1  ent
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 6 :
 Determine a matriz de transição de estado
 1 0 
A 

 2 1
e. At
. Dada a matriz A.
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 6 :
 Solução.
 Primeiro calculamos as raízes (autovalores) da matriz A:
 1  
det[ A   I ]  det 
 2
(1   )(1   )  0
(  1) 2  0
1  2  1

0

1   
0
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 6 :
 Solução.
 Uma vez que a matriz A é de ordem 2 x 2, necessitamos dos dois
primeiros termos da matriz de transição de estado:
e  a0 I  a1 A
At
 Encontramos ao e a1 das relações para raízes iguais:
a0  a11  e1t
d
d 1t
(a0  a11 ) 
e
d 1
d 1
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 6 :
 Solução.
 Calculando-se a derivada da segunda equação, tem-se:
d
d 1t
(a0  a11 ) 
e  a1  te1t
d 1
d 1
 Rearrumando-se as equações:
a0  a11  e
a1  te
1t
1t
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 6 :
 Solução.
 Substituindo-se os valores de lambda:
a0  e  t  te  t
a1  te  t
 A matriz de transição de estado:
0
1 0 
t  1
e  (e  te ) 
 te 


0
1
2

1




At
t
t
t

e
e At    t
 2te
0

et 
Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma
Matriz n x n
 Comando eig(x)
Exemplo 1:
 Dada a matriz A, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
 2 1 
A

0

1


Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma
Matriz n x n
Exemplo 2:
 Dada a matriz B, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
 5 7 5
B   0 4 1
 2 8 3
Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma
Matriz n x n
Exemplo 3:
 Dada a matriz C, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
 1 0 
C

2

1


Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Dado o circuito RLC série. Determine a sua Equação de Estado e a sua Matriz
de transição.
Dados:
VS  0 (t )  1V
RS  1
iL  Corrente no indutor
LS  1/ 4 H
vC  Tensão no capacitor
CS  4 / 3 F
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Inicialmente determinamos a Equação de Estado.
i  iL
diL
RiL  L
 vC  0 (t )
dt
 Substituindo os valores dados e rearranjando as equações:
1 diL
 (1)iL  vC  1
4 dt
diL
 4iL  4vC  4
dt
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Escolhendo-se as variáveis de estado:
x1  iL
x2  vC
 Do circuito RLC:
dvC
iL  C
dt
diL
dt
.
dvC
x2 
dt
.
x1 
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Então:
.
dvC
4 .
x1  iL  C
 C x2  x2
dt
3
.
3
x2  x1
4
.
 Equação de Estado:
.
x1  4 x1  4 x2  4
.
x2 
3
x1
4
. 
 x1    4 4  x1    4  (t )
 .  3 / 4 0   x 2  0  0
 x2 
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Matriz de Transição
e
At
:
 4  
det[ A   I ]  det 
 3/ 4
 2  4  3  0
1  1
2  3
4 
0

 
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Calculando-se os coeficientes a0 e a1 a partir das relações conhecidas:
e At  a0 I  a1 A
a0  a11  e1t
a0  a12  e
2t
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Substituindo-se os valores de lambda:
a0  a1  e  t
a0  3a1  e 3t
 Calculando-se os coeficientes a0 e a1:
a0  1.5et  0.5e3t
a1  0.5et  0.5e3t
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
 Matriz de Transição :
4
1 0 
t
2t  `4
e  (1.5e  0.5e ) 
 (0.5e  0.5e ) 


0
1
3
/
4
0




At
t
3t
`0.5et  1.5e3t 2et  2e3t 

e At   3 t 3 3t

e  e
1.5et  0.5e3t 
 8

8