UFG-PS/2007
PROVAS DA SEGUNDA ETAPA – PS2007/UFG
Esta parte do relatório mostra o desempenho dos candidatos do grupo 1 na prova de
Matemática da 2ª etapa do PS2007. Inicialmente, são apresentados os dados gerais dos candidatos
do grupo 1. Em seguida, são apresentados dois gráficos sobre a prova: o primeiro mostra a
distribuição do total de candidatos da 2ª fase em relação às notas obtidas em Matemática e o
segundo contém as médias das notas alcançadas em cada questão da prova. A nota máxima em
cada questão é 5,0. Na seqüência, temos a questão, a resposta esperada (RE) e mais dois gráficos
demonstrando o desempenho do total de candidatos do grupo 1 e dos candidatos do curso que teve
a maior nota de corte no grupo (Engenharia Civil) nesta questão. Estes gráficos serviram de base
para as análises sobre a questão, que são apresentadas logo em seguida.
Dados gerais - Candidatos do grupo 1
PS2007/UFG - Nº de candidatos
1ª etapa
2ª etapa
Inscritos Presentes Classificados Presentes Aprovados
Grupo 1
Total
Engenharia
4995
4743
2057
2008
916
29265
27556
9233
8950
3621
876
843
272
262
84
MATEMÁTICA – G1
Média por questão - Matemática G1
PS2007/UFG - 2ª etapa
Distribuição das notas de Matemática G1
ps2007 - 2ª etapa
4
40
35
30
25
20
15
10
5
0
3,61
3,5
3
2,58
2,35
2,5
1,89
1,71
2
1,28
1,5
0,93
1
0,42
0,5
0
0
500
1000
1500
2000
Figura 1: Distribuição das notas dos candidatos presentes do GRUPO 1
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 2: Média dos candidatos presentes do GRUPO 1 por questão
▬▬▬ QUESTÃO 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro (02/08/06), no ano de 2006 deverão ser
investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa
um crescimento de 6,2% em relação a 2005. Com base nesses dados, calcule quanto foi investido
no mundo, no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing.
RE: De acordo com os dados, em 2006, serão investidos 673 bilhões de dólares. Esse valor
representa um acréscimo de 6,2% em relação ao ano de 2005. Denotando por x o total investido
em 2005, tem-se:
x+
6,2
x = 673 .
100
Resolvendo essa equação, obtém-se:
x=
673
≅ 633,71 .
1,062
O total investido no período 2005 foi aproximadamente 633,71 bilhões de dólares.
1
(5,0 pontos)
UFG-PS/2007
Matemática - Questão 1 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 1
1200
250
1000
800
200
600
150
400
216
100
200
50
44
5
4,5
3
0
0
Notas
0
Figura 3: Distribuição das notas da questão 1 dos candidatos presentes
1
2
3
4,5
0
5
Figura 4: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de conjuntos numéricos (porcentagem, razão
e proporção). Foi exigida a habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em
situações do cotidiano. Tanto no grupo 1 quanto no curso de Engenharia Civil, tivemos uma alta
concentração das notas em zero ou 5,0, dividindo os candidatos em apenas dois grupos. A
resolução desta questão depende basicamente da interpretação dos dados apresentados, não
exigindo conhecimentos mais complexos. Isso talvez explique a polarização dos candidatos em
apenas dois grupos de notas.
▬▬▬ QUESTÃO 2 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x 2 + y 2 = 10 e
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = 1. Determine o ponto P ( x 0 , y 0 ) para que as duas circunferências sejam
tangentes externas no ponto A( 3,1) .
RE: Com base no fato de que os centros e o ponto de tangência de duas circunferências
x
tangentes são colineares, obtém-se que o centro P ( x 0 , y 0 ) pertence à reta de equação y = .
3
Desta forma, o centro P ( x 0 , y 0 ) deve satisfazer o seguinte sistema:
 (3 − x 0 ) 2 + (1 − y 0 ) 2 = 1

 x 0 = 3y 0
Resolvendo esse sistema, obtém-se as soluções
y 0 = 1±
1
10
e x0 = 3 ±
3
10
.
Como P ( x 0 , y 0 ) é o centro da circunferência tangente externa, as coordenadas de P são

3
1 
 3 +
,1 +
 .
(5,0 pontos)
10
10 

2
UFG-PS/2007
Matemática - Questão 2 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 2
1600
1400
180
1200
160
140
1000
154
120
800
100
80
600
400
60
200
5
4,5
4
3,5
3
2
1,5
1
0,5
0
0
40
33
40
20
24
4
4
1
3
1,5
3
3,5
4,5
0
Notas
0
Figura 5: Distribuição das notas da questão 2 dos candidatos presentes
0,5
1
5
Figura 6: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria analítica. Foi exigida a
habilidade de expressar, de forma clara, o raciocínio matemático. Os gráficos mostram uma alta
concentração de notas mais baixas, tanto no grupo 1 quanto no curso de Engenharia Civil, o que
talvez se explique pela exigência de abstração no tipo de raciocínio matemático solicitado.
▬▬▬ QUESTÃO 3 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Um caminhão transportou, em duas viagens, 50 toneladas de soja. Sabendo que, na primeira
viagem, o caminhão, carregado, pesou 45 toneladas e que, na segunda, o caminhão e a carga
pesaram 35 toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do
caminhão vazio.
RE: Denotando-se por x o peso do caminhão vazio, por y o peso da carga de soja na primeira
viagem e por z o peso da carga na segunda viagem, de acordo com o enunciado, tem-se
 y + z = 50

 x + y = 45 .
 x + z = 35

Resolvendo esse sistema, obtêm-se os valores de x = 15 e y = 30 . Portanto, o peso do
caminhão vazio é 15 toneladas, e o peso da soja transportada na primeira viagem é 30
toneladas.
(5,0 pontos)
Matemática - Questão 3 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 3
1600
1400
300
1200
239
250
1000
800
200
600
150
400
100
200
50
5
4,5
4
3
2,5
2
1
0
0
Notas
Figura 7: Distribuição das notas da questão 3 dos candidatos presentes
11
2
3
2
2
4
0
1
2
2,5
3
4,5
0
5
Figura 8: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de sistemas lineares. Foi exigida a
habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em situações do cotidiano.
Nesta questão, temos uma alta concentração das notas 5,0 nos dois gráficos apresentados, o que
possivelmente pode ser explicado pelo fato de a questão envolver a aplicação de conhecimentos
muito abordados ao longo do processo de escolarização dos candidatos.
3
UFG-PS/2007
▬▬▬ QUESTÃO 4 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de
comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60º,
conforme a figura abaixo.
cabo
8m
60°
Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a
altura do poste telefônico em relação ao solo.
RE: Considerando-se DE = CB = y e BE = 4 + x , como na figura abaixo, tem-se que:
F
B
E
y
60°
C
x
D
A
y
x
sen 60  = ⇒ y = 8sen 60  ⇒ y = 4 3 e cos 60  = ⇒ x = 8 cos 60  ⇒ x = 4
8
8
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BEF, obtém-se que
2
2
EF = 10 2 − BE = 10 2 − 8 2 = 36 ⇒ EF = 6 .
Assim, a altura do poste é igual a DF = EF + DE = 6 + 4 3 ≅ 12,92 m.
(5,0
pontos)
Matemática - Questão 4 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 4
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
160
134
140
120
100
80
60
34
39
5
12
1
5
4
4,5
0
Notas
Figura 9: Distribuição das notas da questão 4 dos candidatos presentes
33
20
5
4,5
4
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
40
0
0,5
1
1,5
2
5
Figura 10: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foi abordado conhecimento de trigonometria. Foi exigida a habilidade de
utilização da Matemática na resolução de problemas do cotidiano. O gráfico mostra uma alta
4
UFG-PS/2007
concentração de notas baixas no grupo 1, mas mostra também um número significativo de notas
máximas nesse mesmo grupo e uma distribuição melhor no curso de Engenharia Civil. A
contextualização da questão pode ser fator que explique o bom desempenho dos candidatos.
▬▬▬ QUESTÃO 5 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
A figura abaixo representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de
mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e
9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros
crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b,
respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas.
9
1
RE: As bases dos retângulos crescem segundo uma progressão aritmética tal que o primeiro
termo é a1 = 1 e, como o último quadrilátero é um quadrado de perímetro 20, segue que a6 = 5 .
Usando-se o termo geral de uma progressão aritmética, a6 = a1 + (6 − 1)a , obtém-se que
a=
4
= 0,8 .
5
Considere agora as alturas. Elas decrescem segundo uma progressão aritmética tal que o
primeiro termo é b1 = 9 e, como no caso das bases, b6 = 5 .
Como b6 = b1 + (6 − 1)b , obtém-se b = −
4
= − 0,8 .
5
(5,0
pontos)
Matemática - Questão 5 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 5
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
133
140
120
100
80
61
60
40
26
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
20
2
0,5
1
12
3
0
Notas
Figura 11: Distribuição das notas da questão 5 dos candidatos presentes
23
3
0
2
3
4
4,5
5
Figura 12: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foi abordado conhecimento de seqüências numéricas. Foi exigida a habilidade
de ler e analisar textos que suscitam interpretação matemática. Houve uma distribuição das notas
em todos os diferentes níveis de acertos com concentração nas notas zero e cinco no grupo 1, e
nota cinco no curso de Engenharia Civil. Possivelmente, esse desempenho dos candidatos se
explique pelo fato de a questão abordar conhecimentos e habilidades bastante explorados no ensino
médio.
▬▬▬ QUESTÃO 6 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
5
UFG-PS/2007
Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de arroz por
semana. O preço de cada pacote é R$ 6,00, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é
de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá
uma redução de x reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em 400x
pacotes por semana. Nestas condições, calcule:
a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00.
RE: Para um desconto de R$ 1,00, o supermercado irá vender 800 pacotes com um lucro de R$
1,00 por pacote. Portanto, seu lucro será de R$ 800,00.
(2,0
pontos)
b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período
considerado.
RE: Para um desconto de x reais, o lucro será dado por L = ( 400 + 400 x )(2 − x ) .
Considerando p o preço de cada pacote, então p = 6 − x . Portanto, o lucro em função do preço
(p) é dado pela expressão: L = 400(7 − p)( p − 4) .
O lucro será máximo para p = 5,5 reais.
(3,0
pontos)
Matemática - Questão 6 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 6
1200
1000
800
600
400
200
5
4
3
2,5
2
1
0,5
0
0
Notas
Figura 13: Distribuição das notas da questão 6 dos candidatos presentes
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
87
51
21
12
2
0
0,5
2
2,5
4
5
Figura 14: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de equações algébricas. Foi exigida a
habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em situações do cotidiano. A
questão apresentou uma concentração de notas em zero e 2,0 no grupo 1, mantendo-se o mesmo
desempenho no curso de Engenharia Civil. Isso talvez se explique pelo fato de a questão fugir das
aplicações diretas de fórmulas específicas. É fundamental uma correta interpretação do problema e
uma análise crítica das variáveis envolvidas para resolução da questão.
▬▬▬ QUESTÃO 7 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo
tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada
para injetar doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos
milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose.
Êmbolo
RE: O volume do medicamento injetado corresponde ao volume de um cilindro cujo diâmetro da
base é igual ao diâmetro do êmbolo da seringa e a altura corresponde ao seu deslocamento.
Como 6 ml correspondem a 6 cm3 ou 6000 mm3, e o raio da base é igual a 10 mm, tem-se:
6
UFG-PS/2007
V = π R 2 h = 6000 ⇒ h =
6000 60
=
mm
100π
π
Obtém-se o valor aproximado h ≅
60
≅ 19,1 mm, utilizando o valor aproximado para π de
3,14
3,14.
(5,0 pontos)
Matemática - Questão 7 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 7
1200
1000
120
800
100
600
80
400
60
200
40
101
43
20
6
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1
0
0
39
17
13
2
6
3,5
4
0
Notas
0
Figura 15: Distribuição das notas da questão 7 dos candidatos presentes
36
1
2
2,5
3
4,5
5
Figura 16: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria plana e espacial. Foi exigida a
habilidade de utilizar a Matemática na resolução de problemas do cotidiano. O gráfico mostra uma
alta concentração de zeros no grupo 1, porém no grupo de Engenharia Civil é boa a distribuição das
notas. Isso pode ser explicado, em parte, pelo de a questão exigir dos candidatos a aplicação de
conhecimentos de geometria espacial abstrata em uma situação concreta.
▬▬▬ QUESTÃO 8 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
A figura abaixo mostra uma circunferência de raio r = 3 cm, inscrita num triângulo retângulo,
cuja hipotenusa mede 18 cm.
A
B
C
a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC.
RE: O raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABC é a metade da hipotenusa.
Logo R = 9 cm. Desta forma, o comprimento da circunferência é 18π cm.
pontos)
b) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
RE: Observando a figura abaixo
A
D
E
C
O
B
G
obtém-se as seguintes relações: AE = AC − 3 e BG = BC − 3 .
7
(1,5
UFG-PS/2007
O triângulo AEO é congruente ao triângulo ADO e o triângulo BGO é congruente ao triângulo
BOD.
Usando-se estes fatos, obtém-se que AD = AC − 3 e BD = BC − 3
Desta forma,
18 = BD + AD = AC + BC − 6 ⇒ AC + BC = 24 .
Como AB = 18 , o perímetro do triângulo ABC é igual a 42 cm.
(3,5
pontos)
Matemática - Questão 8 - Engenharia Civil
PS2007/UFG - 2ª etapa
Matemática G1 - Questão 8
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Notas
Figura 17: Distribuição das notas da questão 8 dos candidatos presentes
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
89
78
34
29
1
0
0,5
1
1
1,5
2,5
9
3,5
15
4
7
4,5
5
Figura 18: Distribuição das notas dos candidatos presentes – Engenharia Civil
Análise da questão:
Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria plana. Foi exigida a habilidade
de expressar, de forma clara, o raciocínio matemático. Houve uma alta concentração de notas
baixas (entre zero e 1,5) tanto no grupo 1 quanto no curso Engenharia Civil. A resolução da questão
envolve a síntese de vários conhecimentos de geometria plana, de congruência de triângulos e as
resoluções métricas entre triângulos e circunferências. Isso pode ser uma das razões do baixo
desempenho dos candidatos em geral.
8