05. (UFPE – 2002/Fís. 3) Uma esfera homogênea de
massa m = 400 g e raio r = 6 cm é colocada no interior de
uma esfera oca de massa M = 200 g e raio R = 12 cm. O
sistema está inicialmente em repouso sobre uma
superfície horizontal, na posição indicada na figura abaixo.
Quando a esfera menor é solta, ela rola no interior da
esfera oca até parar. Determine, em cm, a altura final do
centro de massa do sistema em relação à superfície
horizontal.
01. (UFPE – 2003/Fís. 1) Duas partículas, de massas
M1 = M e M2 = M/2, estão presas por uma haste de
comprimento L = 12 cm e massa desprezível, conforme a
figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de
massa do sistema em relação ao ponto O?
06. (UFPE – 2001/Fís. 3) A figura representa a molécula
de NO. O átomo de nitrogênio tem massa atômica 14 e o
átomo de oxigênio tem massa atômica igual a 16. A
–8
distância entre os dois átomos é D = 1,5×
×10 cm. Qual a
distância entre o centro de massa da molécula e o átomo
–10
de nitrogênio, em unidades de 10
cm?
02. (UFPE – 2003/Fís. 2) Duas partículas, de massas
M1 = M e M2 = M/2, estão presas por uma haste de
comprimento L = 12 cm e massa desprezível, conforme a
figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de
massa do sistema em relação ao ponto O?
07. (UFPE – 94/Fís. 1) Duas barras uniformes de mesmo
comprimento = 72 cm
são unidas através das
extremidades conforme mostra a figura abaixo. Se a
massa de uma das barras é o dobro da outra, determine a
que distância do ponto de união, em cm, devemos
suspender este sistema, para que o conjunto permaneça
na horizontal.
03. (UFPE – 2003/Fís. 3) Duas partículas, de massas
M1 = M e M2 = M/2, estão presas por uma haste de
comprimento L = 48 cm e massa desprezível, conforme a
figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de
massa do sistema em relação à posição da partícula de
massa M1?
08. (UFPE – 94/Fís. 2)
04. (UFPE – 2002/Fís. 1) A figura mostra uma estrutura
vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de
espessuras desprezíveis. Se o comprimento de cada barra
é 90 cm, determine a altura, em cm, do centro de massa
do sistema, em relação ao solo.
Uma
barra
uniforme
de
comprimento = 24 2 cm é dobrada na forma indicada
na figura abaixo. A que distância da dobra, em cm, está
localizado o centro de massa deste sistema?
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09. (UFPE – 94/Fís. 3) Uma chapa de aço, uniforme é
cortada na forma indicada na figura abaixo. A que
distância do ponto P, em cm, está localizado o centro de
massa da chapa?
14. (Mackenzie – SP) A
homogênea
de
espessura uniforme. A
abscissa do centro de
gravidade da chapa
vale:
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 4,2 cm
d) 4,8 cm
figura
mostra
uma
chapa
e) n.d.a.
10. (ITA – SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas
posições, m(x;y), em que m é a massa em quilogramas, x
e y as posições em metros, tais que 2(3;6), 4(4;4) 2(1;2),
determine as coordenadas do centro de massa do sistema.
11. (CESEP – PE/85) Num circo, um equilibrista deseja
levantar, apoiada em uma vareta, uma bandeja circular
contendo um prato, um copo e uma garrafa cujas massas
valem respectivamente 0,50 kg, 0,10 kg e 1,00 kg.
Escolhendo-se um sistema de eixos xOy com origem no
centro da bandeja, as posições do prato, do copo e da
garrafa são dadas respectivamente pelos pontos A(–2; –5),
B(–10; 5) e C(4; 4). Se a massa da bandeja for de 400 g,
em que posição P(x;y) sob ela deve o equilibrista apoiar a
vareta ?
15. (ITA – SP/97) Considere um bloco de base d e altura h
em repouso sobre um plano inclinado de um ângulo ∀.
Suponha que o coeficiente de atrito estático seja
suficientemente grande para que o bloco não deslize pelo
plano. O valor máximo da altura h do bloco para que a
base d permaneça em contato com o plano vale:
a) d/α.
b) d/senα.
d) d cotgα .
e) d cotgα/senα.
2
c) d/sen α.
16. (ITA/SP) Três blocos cúbicos idênticos de aresta a,
estão empilhados conforme mostra a figura. Qual é a
máxima distância X para que ainda se tenha equilíbrio?
12. (CESESP – PE/86) Uma vareta muito leve e rígida com
1,00 m de comprimento é marcada de meio em meio
metro. Em cada marca a partir da extremidade esquerda
são colocadas massas de 1,0 kg, 6,0 kg e 3,0 kg,
respectivamente, como mostra a figura. Determine a
distância, em centímetros, do centro de massa do sistema
ao extremo esquerdo da barra.
17. (CESESP – PE/85) Um bloco de altura h é usado para
“calçar” um cilindro de raio R igual a 2,0 m que se encontra
sobre um plano inclinado. Determine o menor valor
possível de h, em metros, para que o cilindro permaneça
em repouso. (tome 2 = 1,41 ).
13. (FAAP – SP) A figura a seguir é constituída por dois
cilindros de cobre, homogêneos, coaxiais e colados, tendo
por diâmetros respectivamente, 8 cm e 4 cm e alturas
12 cm e 8 cm. Calcular o centro de gravidade do sistema
em relação ao ponto P.
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18. (UERJ) Uma fotografia tirada de cima mostra a posição
de 4 leões dentro da jaula, como indica o esquema abaixo.
21. (UFPE/93 – Fís.1) Uma placa de metal, retangular e
homogênea, está suspensa por um fio conforme a figura.
Qual o valor do ângulo θ , em graus, medido a partir da
horizontal, como indicado abaixo?
Sabendo que as massas são, respectivamente,
m 1 = m 3 = 200 kg e m 2 = m 4 = 250 kg , e que as
posições de cada leão são dadas por x1 = – 2, x2 = – 1, x3
= 1, x4 = 2, y1 = –1, y2 = 1, y3 = 2, y4 = –1 determine as
coordenadas, no plano xy, do centro de massa desses
leões.
19. (EEM – SP) É dado um prisma homogêneo oblíquo, de
base quadrada, lado a e altura h, com densidade (massa
específica) d. Determine:
o
22. Sobre uma superfície que faz ângulo de 45 em
relação ao plano horizontal, são empilhadas, uma a uma,
moedas de 10 centavos de real. A espessura de cada
moeda é 1,5 mm e o diâmetro é 22,0 mm. Admita que as
2
. A
2
máxima quantia, em reais, que pode ser empilhada antes
que a pilha tombe devido ao deslocamento do centro de
massa corresponde a:
moedas não deslizem e que sen 45o = cos 45o =
a) o menor valor que pode ter o ângulo α para que o
prisma fique apoiado sobre uma das bases sem tombar.
b) o peso do prisma nas condições do item (a).
20. O centro de gravidade de uma placa quadrada nãohomogênea coincide com o ponto G. Qual a tangente do
ângulo entre a vertical e o lado AB quando a placa, em
equilíbrio, é suspensa por A?
a) 1,40.
b) 1,46.
d) 2,80.
e) 3,00.
c) 1,50.
23. (PUC – SP) Três partículas A, B, e C, de massas
respectivamente iguais a 2 kg, 3 kg e 5 kg, estão alinhadas
e distanciadas de 1 metro, como mostra a figura. O centro
de massa do conjunto:
a) coincide com a posição do corpo B.
b) está entre A e B, a 0,7 m de A.
c) está a 0,3 m, à esquerda de A.
d) está entre B e C, a 0,5 m de B.
e) está entre B e C, a 0,3 m de B.
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24. (ITA – SP) Na figura ao lado estão representadas as
posições de três partículas R, S e T, cujas massas são 2
kg, 2 kg e 4 kg. Entre os pontos A, B, C, D e E, qual
representa o centro de massa do sistema formado pelas
partículas R, S e T?
25. (FCMSC – SP) Na figura abaixo, CM é o centro de
massa de três partículas A, B e C, de massas iguais.
Quais são as coordenadas da partícula C?
27. (FCC – SP) Sobre um plano horizontal AB, apóiam-se
dois cubos de alumínio cujas arestas medem 10 cm. Sobre
estes apóia-se um terceiro cubo, idêntico aos primeiros, de
acordo com a disposição indicada na figura. O centro de
massa do sistema formado pelos três cubos acha-se
situado acima do plano AB, a uma altura de
aproximadamente:
a) 10 cm.
b) 5,3 cm.
d) 6,6 cm.
e) 8,3 cm.
c) 2,8 cm.
28. (FEl – SP) Dois corpos esféricos A e B, de massas
respectivamente iguais a 0,10 kg e 0,20 kg, estão
inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal
sem atrito. A partir do instante t = 0 passa a atuar no corpo
B uma força constante F , de intensidade 30 N. Calcule:
a) x = – 5,0 e y = – 2,5.
b) x = 5,0 e y = 2,5.
c) x = – 2,5 e y = 2,5.
d) x = 2,5 e y = – 2,5.
a) os módulos das acelerações dos corpos A e B;
b) os módulos da aceleração do centro de massa do
e) x = 2,5 e y = 2,5.
sistema;
26. (Vunesp – SP) Duas esferas homogêneas, de raios
e R2 e massas m1 e m2, foram fixadas uma à outra
modo a formar um sistema rígido indicado na figura
lado. Sendo R1 = 2 R2, e m2 = 2m1, o centro de massa
sistema assim constituído encontra-se:
R1
de
ao
do
c) a velocidade do centro de massa no instante t = 3,0 s.
29. (FEI – SP) Um corpo tem inicialmente velocidade
constante v . Ao passar pelo ponto O, divide-se em dois
fragmentos A e B, de massas mA = 60 g e mB = 40 g, cujas
velocidades têm módulos vA = 50 m/s e vB = 100 m/s,
como indica a figura.
a) no centro da esfera maior.
b) no centro da esfera menor.
c) no ponto de contato entre as esferas.
d) a meia distância entre o centro O1 e o ponto de contato.
e) a meia distância entre o centro O2, e o ponto de contato.
a) Qual o módulo da velocidade do centro de massa do
sistema constituído pelos dois fragmentos?
b) Qual o módulo da velocidade do corpo (v) antes da
divisão?
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30. No esquema, observa-se um indivíduo A, sentado em
um carro de rolimã (massa total 40 kg), e um indivíduo B,
sentado em outro carro (massa total 60 kg). Inicialmente,
ambos estão parados e distanciados de 1,0 m.
Tracionando uma corda leve, A e B se aproximam
mutuamente. Desprezar a dissipação.
a) O que acontece com o centro de massa do sistema?
b) Quais as distâncias que A e B percorrem até se
encontrarem?
31. Um projétil é lançado a partir do solo com velocidade
v 0 Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, o projétil
explode em dois pedaços A e B, de modo que o pedaço A
cai verticalmente e o pedaço B continua, atingindo o solo
no ponto P. Sabendo que os pedaços A e B têm massas
iguais e desprezando a resistência do ar, qual é o valor da
distância x?
33. (FEI – SP) Duas esferas A e B, de massas mA = 100 g
e mB = 300 g, estão separadas pela distância = 0,80 m .
Na esfera B atua, durante 5 segundos, uma força de
intensidade F = 30 N, perpendicular à reta que une os
centros das esferas na sua posição inicial. Determine a
posição inicial do centro de massa do sistema, calcule o
impulso realizado pela força F e a aceleração do centro
de massa do sistema.
34. (Mapofei – SP) Uma bola A movendo-se com
velocidade V = 10 m/s, aproxima-se de uma bola B,
parada e de massa duas vezes maior que a de A. Qual a
velocidade do centro de massa do sistema formado pelas
bolas?
35. (Mackenzie – SP) Admita que você está na ponta de
uma canoa de 3,00 m de comprimento, num lago num lago
no qual se despreze a resistência da água, e que sua
1
massa seja
da massa da canoa. Se você andar sobre a
3
canoa até atingir a outra ponta, o barco se afastará da
posição primitiva:
a) 0,75 m.
b) 1,00 m.
c) 1,25 m.
d) 0,50 m.
e) Nenhuma das anteriores.
36. (UFPR) No triângulo isósceles abaixo, as coordenas do
centro de gravidade são:
32. (UFPB) Um painel de densidade uniforme, com o
formato mostrado na figura abaixo, necessita ser instalado
em uma parede vertical, onde se encontra fixado um único
pino de apoio. Para apoiá-lo no pino, o instalador deverá
fazer um furo na posição do centro de massa do painel. A
partir da extremidade esquerda do painel, a que distância,
em centímetros, o furo deverá ser feito?
a) x = 6 cm e y = 8 cm.
d) x = 2 cm e y = 8 cm.
b) x = 3 cm e y = 2 cm.
e) x = 8 cm e y ≅ 1,7 cm.
c) x = 2 cm e y = 3 cm.
37. (ITA – SP) Um objeto inicialmente em repouso,
explode em duas partes, A e B, com massas M e 3M,
respectivamente. Num determinado instante t após a
explosão, a parte B está a 6,00 m do local da explosão.
designando por x a distância entre A e B, no instante t, e
desprezando a influência de outros corpos, pode-se
afirmar que:
a) x = 18 m.
b) x = 8,0 m.
c) x = 24,0 m.
d) não é possível calcular x, pois t não foi dado.
e) Nenhuma das anteriores.
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38. (FAAP – SP) Duas faixas homogêneas F1 e F2,
retangulares, de mesmo comprimento L, são unidas da
maneira como esta indicada na figura. A faixa F1 é de
cobre e tem massa específica ρ1 ; a F2 é de alumínio e sua
massa específica é ρ 2 . Determinar a posição do centro de
massa do sistema em relação aos eixos xOy.
01. 16
22. Letra A
02. 00
23. Letra E
03. 16
24. B
04. 60
25. Letra C
05. 08
26. Letra C
06. 80
27. Letra E
07. 12
28. a) a A = 0 e aB = 150 m / s 2
2
08. 06
b) 100 m/s
09. 03
c) 300 m/s
10. CM ( 3 ; 4 )
29. a) 50 m/s
11. P ( 1,25 ; 1,25 )
12. 60
b) 50 m/s
30. a) permanece em repouso.
13. CM ( 7,4 ; 4 )
b) d A = 0,6 m e dB = 0,4 m
14. Letra E
31. 200 m
15. Letra D
32. 34
16.
3
a
4
33. 0,6 m da esfera A;
2
I = 150 N e aCM = 75 m/s .
17. 0,59 m
 1 2
18. CM 
; 
 18 9 
h
19. a) tanα =
a
b) a 3 g d tanα
2
20. tanθ =
3
21. 45
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34.
10
m/s .
3
35. Letra A
36. Letra E
37. Letra C
38. x CM =
ρ 2 (L + a )
2 (ρ1 + ρ 2 )
x CM =
ρ1 (L − a )
2 (ρ1 + ρ 2 )