Estudo do Meio Físico-Natural I
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P07 - Centro de massa
Objectivo
Determinação do centro de massa de um objecto.
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Material
Chapa metálica, craveira, régua, suporte de suspensão da chapa, …o-de-prumo, caneta de acetato,
compasso.
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Centro de Massa
O centro de massa de um conjunto de N corpos pontuais é de…nido pelo vector posição:
PN
mi~ri
~rCM = Pi=1
N
i=1 mi
(1)
onde mi representa a massa do corpo i e o vector posição do mesmo. Esta expressão pode ser decomposta
nas três equações seguintes (uma para cada coordenada):
XCM =
YCM =
ZCM =
PN
Pi=1
N
mi xi
i=1 mi
PN
mi yi
Pi=1
N
i=1 mi
PN
mi zi
Pi=1
N
i=1 mi
(2)
(3)
(4)
Para um corpo contínuo (sólido) a de…nição é idêntica, sendo o corpo tomado como um conjunto de
corpos de pequenas dimensões.
O centro de massa de um corpo corresponde ao centro de gravidade do mesmo, se o corpo for
homogéneo, e nesse caso o centro de massa corresponde ao centro geométrico do mesmo. Por exemplo,
num rectângulo o centro de massa é o ponto de encontro das diagonais, num triângulo é o ponto de
encontro das medianas, numa circunferência corresponde ao centro desta, etc.
Nota: No cálculo do centro de massa de um objecto que inclui um orifício podemos proceder do
seguinte modo:
Efectuamos o cálculo do centro de massa do objecto “inteiro”(como se não existisse o orifício)
Efectuamos o cálculo do centro de massa do orifício (como se fosse só ele)
Subtraímos o centro de massa (vezes a massa) do orifício ao centro de massa do objecto “inteiro”
(vezes a massa).
Dito de outro modo: É como se o orifício fosse feito de um material que tem uma massa negativa,
que se subtrai à massa do objecto.
Vamos considerar, a título de exemplo, uma chapa triangular, homogénea, que possui um orifício
circular de diâmetro d (ver Figura 1).
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y
m∆
Ycm∆
mO
YcmO
X cm∆
X cmO
x
Figura 1 –Esquema de uma chapa utilizada em laboratório para a determinação do centro de massa.
De acordo com a de…nição de centro de massa, e atendendo à nota anterior, o vector posição do centro
de massa desta chapa é
m ~rcm
mO~rcmO
~rcm =
(5)
m
mO
onde, m representa a massa da chapa completa (ou seja, sem se considerar o orifício), mO é a massa
correspondente ao orifício se ele fosse constituído pelo mesmo material homogéneo que o resto da
chapa, ~rcm é o vector posição do centro de massa de m (ponto de encontro das medianas) e ~rcmO é
o vector posição do centro de massa de mO (corresponde ao centro da circunferência). A massa real
da chapa (m = m
mO ) é fácil de determinar, o problema está em determinar as massas m e mO
separadamente.
Aplicação da teoria à experiência
Vamos fazer os cálculos necessários para a determinação da coordenada X do centro de massa da
chapa; aconselha-se o aluno a veri…car os cálculos para a coordenada Y.
De acordo com a de…nição (2), e atendendo a (5) obtemos, para a experiência em causa,
Xcm =
m xcm
m
mO xcmO
mO
(6)
onde xcm e xcmO representam a coordenada x dos centros geométricos do triângulo e da circunferência
(ver Figura 1), respectivamente. Ora como a chapa é homogénea, a massa volúmica é uma constante
para qualquer porção da chapa, assim podemos escrever
m
=
! m = V ! m = hA
V
onde, é a massa volúmica da chapa, h é a espessura e A é a área. Se introduzirmos estes termos na
expressão (6), obtem-se:
hA xcm
hAO xcmO
hA
hAO
A xcm
AO xcmO
=
A
AO
Xcm =
(7)
Xcm
(8)
Ou seja, para conhecer o centro de massa, não é necessário conhecer nem a espessura da placa, nem a sua
massa volúmica, basta conhecer: A , AO , xcm e xcmO . (e claro, os mesmo valores para a coordenada
Y ).
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As áreas são determinadas através de medições, e as coordenadas são determinadas a partir dessas
medições, recordando que o centro de massa, para estes objectos homogéneos, corresponde ao centro
geométrico desses objectos.
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4.1
Procedimento
Método 1
Suspenda a chapa por um dos pequenos orifícios e marque na chapa, com a caneta de acetato, a
direcção vertical que passa pelo ponto de suspensão (utilizando o …o de prumo para ver a vertical).
Repita o procedimento anterior para os outros pontos de suspensão da placa.
4.2
Método 2
Faça todas as medições necessárias para determinar a posição do centro de massa da placa através
das expressões apresentadas anteriormente.
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5.1
Tratamento dos dados experimentais
Método 1
Determine o ponto de intersecção das direcções anteriores. Caso os traços não se interceptem,
considere o CM como sendo o ponto central dessa região, e o erro como sendo o raio de uma
circunferência centrada nesse ponto, que englobe todos os outros.
Meça a posição desse centro de massa e o respectivo erro.
5.2
Método 2
Calcule a posição do centro de massa.
5.3
Comparação dos dois métodos
Compare os valores obtidos pelos dois métodos. Tire as suas próprias conclusões.
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