DESCONTO COMERCIAL (OU
DESCONTO BANCÁRIO)
INTRODUÇÃO
A ideia de desconto está
associada com o abatimento dado a um
valor monetário em determinadas
condições. Assim, por exemplo, quando
uma compra é feita em grande
quantidade é comum o vendedor
conceder algum desconto no preço por
unidade. No comércio é bastante comum
também o vendedor conceder um prazo
para pagamento; caso o comprador
queira pagar à vista, geralmente é
proporcionado um desconto sobre o
preço oferecido.
Chamamos de valor nominal (ou
valor de face) e indicamos por N o valor
do título a ser descontado. Vamos tratar
por n a quantidade de períodos de tempo
de prazo para o vencimento do título e
por d a taxa de desconto utilizada na
operação (em porcentagem por período).
O desconto comercial (ou bancário) é
dado por
𝐷 =𝑁∙𝑑∙𝑛
A diferença 𝑁 − 𝐷 é chamada de
valor descontado, ou valor atual
comercial ou ainda de valor líquido do
título; vamos indicar esta diferença por
𝑉𝑑 , isto é,:
Quando se faz uma aplicação com
vencimento pré-determinado, aquele que
aplica recebe um compromisso de
aplicação a qual denomina-se nota
promissória ou letra de câmbio. Quando
uma empresa vende um produto ou
serviço a prazo e emite uma duplicata
que lhe dará o direito de receber do
comprador ou contratante do serviço,
numa data futura, o valor combinado. A
partir deste momento em que o investidor
aplicou seu dinheiro ou a empresa que
vendeu o produto ou serviço poderá ir ao
banco e efetuar um desconto de
duplicata. Em outras palavras, a empresa
cede ao bando o direito do recebimento
da duplicata em troca de dinheiro
recebido antecipadamente.
𝑉𝑑 = 𝑁 − 𝐷
Ex. 1: Uma duplicata de R$ 18000,00 foi
descontada em um banco dois meses
antes do vencimento a uma taxa de
desconto comercial de 2,5% a. m.
a) Obtenha o desconto;
b) Obtenha o valor líquido recebido pela
empresa;
A operação desconto pode ser
descrita como o custo financeiro do
dinheiro pago em função da antecipação
de recurso, ou seja, podemos dizer que
desconto é o abatimento feito no valor da
dívida, quando ela é negociada antes do
seu vencimento.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
c) Obtenha o fluxo de caixa da operação
do ponto de vista do banco. Calcule
também a taxa efetiva de juros da
operação.
1
DESCONTO SIMPLES
Resolução:
a) 𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 → 𝐷 = 18 000 ∙ 0,025 ∙ 2
→ D = 900
Resolução:
a)
𝐷 = 12 000 ∙ 0,02 ∙
O valor do desconto é de $900
42
30
𝐷 = 336
b)
R: O desconto foi de $336
𝑉𝑑 = 𝑁 − 𝐷
𝑉𝑑 = 18 000 − 900 = 17 100
O valor com desconto é de $17 100
b) Para encontrar o valor recebido temos
que tirar do valor nominal o desconto e o
valor da taxa de serviço.
c)
Taxa de serviço é 0,005 ∙ 12 000 = 60
Valor recebido pela empresa:
12 000 − 336 − 60 = 11 604
R: O valor recebido foi $11 604.
c) Para encontrar a taxa efetiva, fazemos:
Para calcular a taxa efetiva, fazemos
12 000
− 1 = 3,41% 𝑎. 𝑝.
11 604
𝑁
𝑖 = 𝑁−𝐷
Ex.3: Um banco cobra em suas
operações de desconto de duplicatas
uma taxa de desconto comercial de 3%
a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples,
se os prazos de vencimento forem:
Assim, a taxa efetiva é de
18000
𝑖 = 17100 − 1 = 0,0526 = 5,26 % 𝑎. 𝑏.
(a.b. = ao bimestre)
a) 1 mês
Ex.2: Uma nota promissória de
$12 000,00 foi descontada num banco 42
dias antes do vencimento a uma taxa de
desconto comercial de 2%a.m.
b) 2 meses.
Resolução:
a) Qual desconto?
a) Como o valor da duplicata não é dado,
vamos atribuir o valor N.
b) Qual o valor líquido recebido pela
empresa sabendo-se que o banco cobrou
uma taxa de serviço de 0,5% do valor da
promissória pago no dia em que a
empresa descontou?
Desconto:
𝐷 = 𝑁 ∙ 0,03 ∙ 1 = 0,03𝑁
Valor descontado
c) Qual a taxa efetiva de juros da
operação no período?
CÁSSIO VIDIGAL
𝑉𝑑 = 𝑁 − 𝐷 = 𝑁 − 0,03𝑁 = 0,97𝑁
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
𝑁
− 1 = 0,06
𝑉𝑑
Assim, o fluxo de caixa sob o ponto de
vista do banco é:
𝑁
= 1,06
𝑉𝑑
𝑁
𝑉𝑑 =
1,06
Portanto, o desconto é:
𝐷=𝑁−
𝑁
Logo, 𝑖 = 0,97𝑁 − 1 = 3,09%𝑎. 𝑚.
𝐷=
b) Aqui também chamaremos de N o
valor da duplicata.
1,06𝑁 − 𝑁
1,06
𝐷=
Desconto:
𝑁
1,06
0,06𝑁
1,06
Assim, o valor do desconto será
𝐷 = 𝑁 ∙ 0,03 ∙ 2 = 0,06𝑁
0,6𝑁
1,06
Substituindo na equação do desconto
comercial1 e lembrando que queremos a
taxa d em termos mensais, podemos
escrever que:
Valor descontado
𝑉𝑑 = 𝑁 − 𝐷 = 𝑁 − 0,06𝑁 = 0,94𝑁
𝐷 =𝑁∙𝑑∙𝑛
0,06𝑁
72
=𝑁∙𝑑∙
1,06
30
0,06 72𝑑
=
1,06
30
𝑁
Logo, 𝑖 = 0,94𝑁 − 1 = 6,38%𝑎. 𝑏. e insto é
𝑑=
equivalente a 3,19% a.m.
30 ∙ 0,06
72 ∙ 1,06
𝑑 = 0,0236
Ex.4: Ao descontar uma duplicata com
prazo de 72 dias até o vencimento, um
banco pretende ganhar uma taxa de juros
de 6% ao período. Qual a taxa de
desconto mensal que ele deve aplicar?
𝑑 = 2,36% 𝑎. 𝑚.
Resolução:
Como não foi dado o valor da duplicata,
vamos atribuir o valor N. Assim sendo,
teremos:
1
A equação está na primeira página deste material
(𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛)
MATEMÁTICA FINANCEIRA
.
3
DESCONTO SIMPLES
b) Qual o valor líquido recebido pela
empresa, sabendo-se que o banco cobrou
uma taxa de serviço igual a 0,5% do valor
nominal do título?
1) Uma duplicata de R$ 16.800,00 é
descontada por um banco, gerando um
crédito de R$ 16.000,00 na conta do
cliente. Sabendo-se que a taxa de
desconto cobrada pelo banco é de 2,2%
a.m., determinar o prazo de vencimento
da duplicata.
7) Um fundo de investimento adquiriu por R$
37.200,00 um título governamental com valor
de face de R$ 40.000,00. Sabendo-se que o
prazo de vencimento do título era de 72 dias,
calcule:
a) a taxa efetiva de juros do período.
b) a taxa efetiva mensal de juros simples da
operação.
2) Qual o valor do desconto comercial de
um título de R$ 2.500,00, com
vencimento para 3 meses, à taxa de 3%
ao mês?
8) Uma pessoa pretende saldar um título de
R$ 20.000,00, 3 meses antes do
vencimento.sabendo-se que a taxa de juros
corrente é de 30% a.a., qual o desconto
racional que ela irá obter?
3) Uma duplicata de valor nominal igual a
R$ 9.000,00 foi descontada num banco
dois meses antes de seu vencimento, a
uma taxa de desconto comercial igual a
2% a.m.. Obtenha:
a) o desconto comercial.
b) o valor descontado (ou valor atual
comercial) do título.
Respostas:
01)
2,16 meses
02)
225
03)
a) 360
04)
a) 1750
c) 16,28%
05)
462 e 7938
06)
a) 1 863,33
07)
a) 7,53%
08)
1 395,35
4) Uma promissória de R$ 12.500,00 foi
descontada num banco dez meses antes
de seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial de 1,4% a.m..
a) Qual o desconto comercial?
b) Qual o valor atual comercial do título?
c) Qual a taxa efetiva de juros do
período?
d) Qual a taxa efetiva mensal de juros
simples da operação?
b) 8 640
b) 10 750
d) 1,63%
b) 49 876,67
b) 3,136%
5) Um título de R$ 8.400,00 foi
descontado três meses antes de seu
vencimento. Sabendo que a taxa de
desconto comercial é de 22% ao ano,
calcule o desconto comercial e o valor
que o proprietário do título recebeu.
6) Uma empresa descontou num banco um
título de valor nominal igual a R$ 52.000,00,
43 dias antes do seu vencimento, a uma taxa
de desconto bancário de 30% a.a..
a) Qual o desconto bancário?
CÁSSIO VIDIGAL
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