AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 04: Medidas de Posição Prof. Weber Campos ([email protected]) Estatística MÓDULO 04 - MEDIDAS DE POSIÇÃO 1. MÉDIA ARITMÉTICA : X Para um conjunto de valores Média Aritmética Simples: X x i n Média Aritmética Ponderada: X x1 x2 xn n , n = nº de elementos p1 x1 p 2 x 2 p n x n p1 p 2 p n , p = peso de cada elemento no conjunto. Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes Média Aritmética Ponderada: X f x i i n f1x1 f 2 x2 f k xk f1 f 2 f k , k = nº de linhas da tabela de freqüências Para Dados Tabulados Agrupados em Classes Média Aritmética Ponderada: X f x i n i f1x1 f 2 x2 f k xk f1 f 2 f k , k = nº de linhas da tabela de freqüências Obs.: Em uma distribuição com classes, os xi são geralmente representados pelos pontos médios das classes. Propriedades da Média Aritmética 1) A Média Aritmética é afetada por valores extremos. 2) Se n1 valores têm média X 1 , se n2 valores têm média X 2 , ..., se nm valores têm média X m , então a média do conjunto formado por todos os valores é dada pela relação: X n1 X 1 n2 X 2 ... nm X m n1 n2 ... nm “A Média das Médias!” 3) A soma dos desvios de um conjunto de números tomados em relação à média aritmética é zero. Simbolicamente: Para um conjunto de Para Dados Tabulados: valores fi.Xi X 0 Xi X 0 4) Propriedade da Soma e Subtração: "Ao somarmos (ou subtrairmos) um valor constante (c) a cada um dos elementos de um conjunto de números (conj. A)". Resultado: A média do novo conjunto (conj. B) fica somada (ou subtraída) dessa constante. B A c XB X A c 26 Prof. Weber Campos Estatística 5) Propriedade do Produto e Divisão: "Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um valor constante (c) a cada um dos elementos de um conjunto de números (conj. A)". Resultado: A média do novo conjunto (conj. B) fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. B A c X B X A c e B Ac XB XA c CÁLCULO SIMPLIFICADO DA MÉDIA ARITMÉTICA Muitas vezes as contas que somos obrigados a fazer na construção da coluna (fi.Xi) para o cálculo da média Aritmética são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante demoradas, sobretudo se as classes tiverem como Pontos Médios valores não-inteiros, ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com freqüência nas provas de concursos. A saída inteligente para resolver este problema, é transformar a variável original Xi em uma outra variável, através de uma operação de subtração e depois uma divisão, de forma que não calcularemos os produtos fi.Xi, mas sim, os produtos fi.Yi que são mais fáceis de obter. Poderemos simbolizar a nova variável (a variável transformada) por uma outra letra, Yi por exemplo. Ou Wi, ou Zi... fica a seu critério. Iremos, portanto, no cálculo da Média construir uma nova coluna, que será chamada Coluna da Variável Transformada. Vejamos um exemplo retirado da prova AFRF 2002.2: Classes fi 29,5 |— 39,5 39,5 |— 49,5 49,5 |— 59,5 59,5 |— 69,5 69,5 |— 79,5 79,5 |— 89,5 89,5 |— 99,5 4 8 14 20 26 18 10 n=100 Xi (pontos médios) 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 Yi = Xi – 64,5_ 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 fi .Yi -12 -16 -14 0 +26 +36 +30 +50 Os passos deste método são os seguintes (Para distribuições com amplitudes de classes iguais): Xi Yi Y X 1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Y i), seguindo a sugestão: i) Subtrairemos os Xi pelo ponto médio de uma das classes da distribuição. Sugiro a classe central da distribuição. Se a distribuição tiver um número par de classes, escolha a classe central com maior frequência. No exemplo acima escolhemos o PM da 4ª Classe. 27 Prof. Weber Campos Estatística ii) Dividiremos o resultado pela Amplitude da Classe, o “h” (no exemplo: h=10). IMPORTANTE: Sempre que construirmos a coluna da variável transformada por meio da sugestão apresentada acima, teremos como resultado uma sequencia de números inteiros, iniciando por zero na classe escolhida no item "i" acima e incrementando de +1 para baixo e de -1 para cima. (Veja a tabela acima). 2) Construir a coluna (fi.Yi) e calcular o seu somatório; 3) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a fórmula da média: Y fi Yi n Neste exemplo: Y 50 0,5 100 4) O Cálculo da Média: A relação entre X e Y é dada por: Y = X – 64,5_ , 10 e ao isolarmos X obtemos: X = 10.Y + 64,5 . Pelas propriedades da Média, sabemos que ao somar, subtrair, multiplicar ou dividir uma constante por uma variável, a média desta variável se altera de forma igual. Portanto, como X 10 Y 64,5 , então X 10 Y 64,5 Substituindo o valor de Y igual a 0,5 , calculado no item 3, obtemos a média da variável X: X = 10 . 0,5 + 64,5 = 69,5 2. MÉDIA GEOMÉTRICA : Xg (é a raiz índice n do produto dos n números) Para um conjunto de valores Média Geométrica Simples Xg n Xi n X1 X 2 X 3 X n 3. MÉDIA HARMÔNICA : X h (é o inverso da média aritmética dos inversos dos números) Para um conjunto de valores Média Harmônica Simples Xh n n 1 1 1 1 1 Xn Xi X 1 X 2 X 3 28 Prof. Weber Campos Estatística # Propriedades das Médias Geométrica e Harmônica 1) Em um conjunto que apresenta um elemento igual a zero, a média geométrica é igual a zero e a média harmônica não existe. 2) X X g X h (Se todos os valores do conjunto de números forem iguais, então X X g X h ) 4. MODA : Mo Para um conjunto de valores É o elemento do conjunto que mais se repete. Ex.: {2, 3, 3, 3, 4, 4} Mo = 3 Em relação a Moda, classifica-se um conjunto em: Amodal: Quando não possuir moda. Ex.: {3, 6, 7, 9} Unimodal: Quando possuir um única moda. Ex.: {3, 3, 3, 7, 9} Bimodal: Quando possuir duas modas. Ex.: {3, 3, 6, 9, 9} Multimodal: Quando possuir mais de duas modas. Ex.: {3, 3, 6, 6, 7, 9, 9} Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes É o elemento da tabela que possui maior freqüência simples (absoluta ou relativa). Para Dados Tabulados Agrupados em Classes 1º Passo: Encontre a Classe Modal (é a classe que apresenta maior frequência absoluta simples). 2º Passo: Aplique a fórmula de Czuber : a h Mo l inf a p linf = limite inferior da classe modal. h = amplitude da classe modal. a = diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a da classe anterior. a fi fi ant p = diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a da classe posterior. p fi fi pos Obs.: Se a distribuição apresenta amplitudes de classes diferentes, então antes de executar o 1º passo descrito acima, normalize as frequências absolutas simples (dividir as f i por suas amplitudes de classe). Estas frequências normalizadas serão as novas frequências absolutas simples para efeito do cálculo da moda. 29 Prof. Weber Campos Estatística Propriedades da Moda 1) Propriedade da Soma e Subtração: Ao somarmos (ou subtrairmos) um valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a moda fica somada (ou subtraída) dessa constante. 2) Propriedade do Produto e Divisão: Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um valor constante por cada um dos elementos de um conjunto de números, a moda fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 5. MEDIANA : Md Para um conjunto de valores (coloque em ordem crescente!) Se n é ímpar : 1o Passo: "Posição do elemento central" = n 1 a Daí, obtemos o 2 elemento central. o 2 Passo: "Determinação da Mediana" A Mediana é o próprio elemento central. Se n é par : 1o Passo: "Posições dos elementos centrais" Posição do 1o elemento central = n a 2 Daí, obtemos o 1º elemento central. Posição do 2o elemento central = é a posição seguinte. Daí, temos o 2º elemento central. 2o Passo: "Determinação da Mediana " A Mediana é obtida pela média aritmética dos 2 elementos centrais. Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes (coloque em ordem crescente!) 1o Passo: "Encontrar a(s) Posição(ões) do(s) Elemento(s) Central (is)" Proceder da mesma forma que foi feita no conjunto de valores. 2o Passo: "Encontrar o(s) Elemento(s) Central(is)" Procurar na tabela o elemento cuja fac seja imediatamente maior ou igual à posição do elemento central, que foi obtida no 1o passo. (Se n é par teremos 2 elementos a serem encontrados). o 3 Passo: "Determinação da Mediana" Se n é ímpar : a Mediana é o elemento central encontrado no 2o passo. Se n é par : a Mediana é a média aritmética dos 2 elementos centrais encontrados no 2o passo. 30 Prof. Weber Campos Estatística Para Dados Tabulados Agrupados em Classes 1o Passo: Número de elementos acumulados abaixo da Mediana: n/2 (ou 50%). 2o Passo: "Determinação da Classe Mediana" A Classe Mediana é a classe da distribuição de frequências que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a n/2 (ou 50%). 3o Passo: "Interpolação linear para o cálculo da Mediana" linf facinf Md lsup n/2 (ou facsup 50%) linf = limite inferior da classe mediana lsup = limite superior da classe mediana facinf = frequência acumulada de elementos abaixo do linf. facsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup. Propriedades da Mediana 1) Propriedade da Soma e Subtração: Ao somarmos (ou subtrairmos) um valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a mediana fica somada (ou subtraída) dessa constante. 2) Propriedade do Produto e Divisão: Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um valor constante por cada um dos elementos de um conjunto de números, a mediana fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 6. SEPARATRIZES 6.1. QUARTIL O quartil divide a distribuição em quatro partes iguais. Temos, portanto, 3 quartis. Os quartis serão representados por Qj , para j = 1, 2 e 3. (1o quartil: j=1; 2o quartil: j=2; 3o quartil: j=3) Para um conjunto de valores (coloque em ordem crescente!) O método mais prático para obter os 3 quartis é utilizar o princípio do cálculo da mediana. Na realidade serão calculadas “3 medianas” para um mesmo conjunto. 31 Prof. Weber Campos Estatística Ex.1: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) do conjunto: {3, 8, 1, 0, 9, 6, 4} 1. O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente) dos valores: {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9} 2. Cálculo do 2º quartil: O 2º quartil será a mediana do conjunto {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}. A Md = 4 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 4 . 3. Cálculo do 1º quartil: Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {0, 1, 3} O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {0, 1, 3} a mediana é Md = 1. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 1 4. Cálculo do 3º quartil: Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {6, 8, 9} O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {6, 8, 9} a mediana é Md = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8 Ex. 2: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3) do conjunto: {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} . 1. A série já está em ordem crescente. 2. Cálculo do 2º quartil: O 2º quartil será a mediana do conjunto {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} . A Md = (6+7)/2 = 6,5 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 6,5 . 3. Cálculo do 1º quartil: Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {1, 1, 3, 5, 6, 6} . O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {1, 1, 3, 5, 6, 6} a mediana é Md = (3+5)/2 = 4. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 4 . 4. Cálculo do 3º quartil: Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {7, 7, 7, 9, 9, 9} O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {7, 7, 7, 9, 9, 9} a mediana é Md = (7+9)/2 = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes 1º Passo: "Número de elementos acumulados abaixo do Qj" é igual a: j n (ou 4 j.25%). 2º Passo: "Encontrar a classe do Qj" : Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j n 4 (ou j.25%). 3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Qj" linf finf Qj lsup n/2 (ou fsup j.25%) 32 Prof. Weber Campos Estatística linf = limite inferior da classe do Qj. lsup = limite superior da classe do Qj. finf = frequência acumulada de elementos abaixo do linf. fsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup. 6.2. DECIL O decil divide a distribuição em dez partes iguais. Temos, portanto, 9 decis. Os decis serão representados por Dj , para j = 1, 2, 3, ... , 8 e 9. (1o decil: j=1; 2o decil: j=2; ... ) Para Dados Tabulados Agrupados em Classes 1º Passo: "Número de elementos acumulados abaixo do Dj" é igual a: j n (ou 10 j.10%). 2º Passo: "Encontrar a classe do Dj" : Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j n (ou 10 j.10%). 3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Dj" linf Dj lsup facinf j n (ou 10 facsup j.10%) linf = limite inferior da classe do Dj. lsup = limite superior da classe do Dj. facinf = freqüência acumulada de elementos abaixo do linf. facsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup. 6.3. PERCENTIL (ou CENTIL) O percentil divide a distribuição em cem partes iguais. Temos, portanto, 99 decis. Os percentis serão representados por Pj , para j = 1, ... , 98 e 99. (1o percentil: j=1; 2o percentil: j=2; ... ) Para Dados Tabulados Agrupados em Classes 1º Passo: "Número de elementos abaixo do Pj" é igual a: j n (ou j.1%). 100 2º Passo: "Encontrar a classe do Pj" : Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j n (ou 100 j.1%). 33 Prof. Weber Campos Estatística 3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Pj" linf Pj lsup facinf jn 100 (ou facsup j.1%) linf = limite inferior da classe do Pj. lsup = limite superior da classe do Pj. facinf = frequência acumulada de elementos abaixo do linf. facsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup. EQUIVALÊNCIA ENTRE AS SEPARATRIZES ---------------------|--------------------Md ----------|-----------|-----------|---------Q1 Q2 Q3 ----|----|----|----|---|----|----|----|----|---D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 ----|----|----|----|----|----|----|----|----|---P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 Daí, concluímos sem maiores dificuldades que: Md = Q2 = D5 = P50 Propriedades das Separatrizes A Propriedade da Soma e da Subtração: Ao somar (ou subtrair) uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a separatriz ficará somada (ou subtraída) dessa constante. A Propriedade do Produto e da Divisão: Ao multiplicar (ou dividir) uma constante qualquer por cada elemento de um conjunto de valores, a separatriz ficará multiplicada (ou dividida) por essa constante. 34 Prof. Weber Campos Estatística EXERCÍCIOS DE MEDIDAS DE POSIÇÃO 01. Calcule a média aritmética: a) {-10, 0, 0, 0, 5, 15, 18} b) xi 2 3 5 fi 10 15 25 c) Classes 0 - 10 10 - 20 20 - 30 fi 20 30 50 02. (SEFAZ CE 2007 ESAF) A média aritmética discreta de uma população qualquer é dada pela seguinte formulação: n a) X i 1 c) X n n b) X X X i 1 n n i X i 1 n i e) X (X X ) 2 i i 1 n n i d) X n X i 1 i n 03. Calcule a média aritmética: a) {1253, 1253, 1258, 1259, 1262} b) xi 2545 2546 2548 fi 10 15 25 35 Prof. Weber Campos Estatística 04. (AFRF-2000) A tabela abaixo apresenta as Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Freqüências Salário Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50 (AFTN-96) Para as duas próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Xi 37 Classes de Freqüências Pontos fi.Zi Zi Idades (anos) (fi) Médios (Xi) 5 19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 34,5 |— 39,5 29 37 0 0 39,5 |— 44,5 18 42 1 18 44,5 |— 49,5 12 47 2 24 49,5 |— 54,5 7 52 3 21 Total 16 05. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos d) 38,6 anos b) 37,8 anos e) 39,0 anos c) 38,2 anos 06. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anos b) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anos 07. (ICMS-SP 2009 FCC) Considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. 36 Prof. Weber Campos Estatística II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo). A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 0,10 1.000,00 | 2.000,00 x 2.000,00 | 3.000,00 y 3.000,00 | 4.000,00 0,20 4.000,00 | 5.000,00 0,10 5.000,00 | 6.000,00 Total 1,00 (A) 70% (D) 45% (B) 65% (E) 40% (C) 55% 08. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 09. (ISS-SP 2007 FCC) No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a: (A) R$ 540,00 (B) R$ 562,00 (C) R$ 571,00 (D) R$ 578,00 (E) R$ 580,00 10. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} é igual a a) 6. d) 10. b) 6,5. e) 3,9. c) 4,794 37 Prof. Weber Campos Estatística 11. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a média a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. b) geométrica das velocidades médias observadas. c) aritmética das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas. 12. O valor da média geométrica do conjunto de dados: {4, 4, 32, 128} é igual a a) 4. d) 16. b) 6. e) 32. c) 8 13. (AFRF 2005 ESAF) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 14. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências abaixo. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 38 Prof. Weber Campos Estatística 15. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 14 c)) 17 d) 15,5 e) 14,5 16. (SEFAZ CE 2007 ESAF) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: a) 3, 6 e 5. d) 5, 4 e 3. b) 3, 4 e 5. e) 3, 6 e 10. c) 10, 6 e 5. 17. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à seqüência de observações 91, 91, ,140, 145, 158 … do atributo X. Assinale a opção que dá a mediana das observações de X. 9 11 99 10 002234 10 57778 11 013 11 66 12 00012 12 558 13 004 13 555 14 0 14 5 15 15 8 a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111 18. (AFRFB/2009 Esaf) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. c) A moda e a média das idades são iguais a 27. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 39 Prof. Weber Campos Estatística 19. (ICMS-SP 2006 FCC) O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita. Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a (A) R$ 100,00 (B) R$ 400,00 (C) R$ 800,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 1.000,00 20. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana da distribuição de X. a) 138,00 c) 136,67 e) 140,66 b) 140,00 d) 139,01 21. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) No gráfico abaixo, as colunas representam as freqüências relativas do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa área da cidade: 40 Prof. Weber Campos Estatística O exame da forma da distribuição das freqüências relativas permite concluir corretamente que, nesse caso, e para essa variável: a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média. b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana. c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda. d) A moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana. e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que média. 22. (Analista MPU 2004 ESAF) A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda a) têm intervalos de classe distintos. d) geralmente se mostram bastante assimétricas. b) sempre são normais. e) sempre são bimodais. c) tipicamente são do tipo uniforme. 23. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Sobre a moda de uma variável, é correto afirmar que a) para toda variável existe uma e apenas uma moda. b) a moda é uma medida de dispersão relativa. c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal como a probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade. 24. (Fiscal de Natal 2008 ESAF) A coleta de dados do município, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte composição etária: Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental: Faixa Etária Masc. Fem. Até 06 anos 9.000 10.200 De 07 a 08 anos 10.000 9.300 De 09 a 10 anos 8.000 8.500 De 11 a 12 anos 7.000 5.500 De 12 a 14 anos 5.000 3.500 De 15 a 18 anos 3.000 2.500 Acima de 18 anos 1.000 1.500 Total 43.200 40.800 Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 41 Prof. Weber Campos Estatística I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. III. A Mediana é superior à média. Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e F – Falso, a opção correta é: a) V, V, V b) V, F, V c) F, V, F d) F, F, F e) V, V, F 25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Dado o seguinte conjunto de dados: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. Determine a amplitude interquartílica: Q3 – Q1. a) 33. d) 46. b) 37. e) 51. c) 40. 26. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67 GABARITO 01 4; 3,8; 18 02 c 03 1257; 2546,8 04 a 05 b 06 d 07 c 08 a 09 c 10 c 11 d 12 c 13 d 14 b 15 c 16 a 17 c 18 b 19 20 c 21 22 23 24 25 26 c d c d d c 42 Prof. Weber Campos