AEP FISCAL
ESTATÍSTICA
Módulo 04: Medidas de Posição
Prof. Weber Campos
([email protected])
Estatística
MÓDULO 04 - MEDIDAS DE POSIÇÃO
1. MÉDIA ARITMÉTICA : X
 Para um conjunto de valores
Média Aritmética Simples:
X 
x
i
n
Média Aritmética Ponderada: X 

x1  x2    xn
n
, n = nº de elementos
p1 x1  p 2 x 2    p n x n
p1  p 2    p n
, p = peso de cada elemento no
conjunto.
 Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes
Média Aritmética Ponderada: X 
 f x
i
i
n

f1x1  f 2 x2    f k xk
f1  f 2    f k
, k = nº de linhas da
tabela de freqüências
 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
Média Aritmética Ponderada: X 
 f x
i
n
i

f1x1  f 2 x2    f k xk
f1  f 2    f k
, k = nº de linhas da
tabela de freqüências
Obs.: Em uma distribuição com classes, os xi são geralmente representados pelos
pontos médios das classes.
 Propriedades da Média Aritmética
1) A Média Aritmética é afetada por valores extremos.
2) Se n1 valores têm média X 1 , se n2 valores têm média X 2 , ..., se nm valores
têm média X m , então a média do conjunto formado por todos os valores é
dada pela relação:
X
n1  X 1  n2  X 2  ...  nm  X m
n1  n2  ...  nm

“A Média das Médias!”
3) A soma dos desvios de um conjunto de números tomados em relação à
média aritmética é zero. Simbolicamente:
 Para um conjunto de
 Para Dados Tabulados:
valores
 fi.Xi  X   0
 Xi  X   0
4) Propriedade da Soma e Subtração: "Ao somarmos (ou subtrairmos) um
valor constante (c) a cada um dos elementos de um conjunto de números
(conj. A)".
Resultado: A média do novo conjunto (conj. B) fica somada (ou
subtraída) dessa constante.
B  A c  XB  X A  c
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5) Propriedade do Produto e Divisão: "Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um
valor constante (c) a cada um dos elementos de um conjunto de números
(conj. A)".
Resultado: A média do novo conjunto (conj. B) fica multiplicada (ou
dividida) por essa constante.
B  A c  X B  X A  c
e
B  Ac  XB  XA c
CÁLCULO SIMPLIFICADO DA MÉDIA ARITMÉTICA
Muitas vezes as contas que somos obrigados a fazer na construção da coluna
(fi.Xi) para o cálculo da média Aritmética são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante
demoradas, sobretudo se as classes tiverem como Pontos Médios valores não-inteiros,
ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com freqüência nas provas de concursos.
A saída inteligente para resolver este problema, é transformar a variável
original Xi em uma outra variável, através de uma operação de subtração e depois uma
divisão, de forma que não calcularemos os produtos fi.Xi, mas sim, os produtos fi.Yi
que são mais fáceis de obter.
Poderemos simbolizar a nova variável (a variável transformada) por uma outra
letra, Yi por exemplo. Ou Wi, ou Zi... fica a seu critério. Iremos, portanto, no cálculo da
Média construir uma nova coluna, que será chamada Coluna da Variável
Transformada. Vejamos um exemplo retirado da prova AFRF 2002.2:
Classes
fi
29,5 |— 39,5
39,5 |— 49,5
49,5 |— 59,5
59,5 |— 69,5
69,5 |— 79,5
79,5 |— 89,5
89,5 |— 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
Xi
(pontos
médios)
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
Yi = Xi – 64,5_
10
-3
-2
-1
0
1
2
3
fi .Yi
-12
-16
-14
0
+26
+36
+30
+50
 Os passos deste método são os seguintes (Para distribuições com amplitudes de
classes iguais):
Xi  Yi  Y  X
1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Y i), seguindo a
sugestão:
i) Subtrairemos os Xi pelo ponto médio de uma das classes da distribuição. Sugiro a
classe central da distribuição. Se a distribuição tiver um número par de classes,
escolha a classe central com maior frequência. No exemplo acima escolhemos o
PM da 4ª Classe.
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ii) Dividiremos o resultado pela Amplitude da Classe, o “h” (no exemplo: h=10).
IMPORTANTE: Sempre que construirmos a coluna da variável transformada por
meio da sugestão apresentada acima, teremos como resultado uma sequencia de
números inteiros, iniciando por zero na classe escolhida no item "i" acima e
incrementando de +1 para baixo e de -1 para cima. (Veja a tabela acima).
2) Construir a coluna (fi.Yi) e calcular o seu somatório;
3) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a fórmula da
média:

Y 


 fi  Yi 
n


Neste exemplo: Y 
50
 0,5
100
4) O Cálculo da Média:
A relação entre X e Y é dada por: Y = X – 64,5_ ,
10
e ao isolarmos X obtemos: X = 10.Y + 64,5 .
Pelas propriedades da Média, sabemos que ao somar, subtrair, multiplicar ou
dividir uma constante por uma variável, a média desta variável se altera de forma
igual. Portanto, como
X  10  Y  64,5 , então X  10  Y  64,5
Substituindo o valor de Y igual a 0,5 , calculado no item 3, obtemos a média da
variável X:
X = 10 . 0,5 + 64,5 = 69,5
2. MÉDIA GEOMÉTRICA : Xg (é a raiz índice n do produto dos n números)
 Para um conjunto de valores
Média Geométrica Simples 
Xg  n
 Xi 
n
X1  X 2  X 3    X n
3. MÉDIA HARMÔNICA : X h (é o inverso da média aritmética dos inversos dos
números)
 Para um conjunto de valores
Média Harmônica Simples 
Xh 

n
n

1
1
1
1
 1 



 
Xn
 Xi  X 1 X 2 X 3
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# Propriedades das Médias Geométrica e Harmônica
1) Em um conjunto que apresenta um elemento igual a zero, a média
geométrica é igual a zero e a média harmônica não existe.
2) X  X g  X h (Se todos os valores do conjunto de números forem iguais,
então X  X g  X h )
4. MODA : Mo
 Para um conjunto de valores
É o elemento do conjunto que mais se repete. Ex.: {2, 3, 3, 3, 4, 4} 
Mo = 3
Em relação a Moda, classifica-se um conjunto em:
 Amodal: Quando não possuir moda. Ex.: {3, 6, 7, 9}
 Unimodal: Quando possuir um única moda. Ex.: {3, 3, 3, 7, 9}
 Bimodal: Quando possuir duas modas. Ex.: {3, 3, 6, 9, 9}
 Multimodal: Quando possuir mais de duas modas. Ex.: {3, 3, 6, 6, 7,
9, 9}
 Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes
É o elemento da tabela que possui maior freqüência simples (absoluta ou
relativa).
 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
1º Passo: Encontre a Classe Modal (é a classe que apresenta maior
frequência absoluta simples).
2º Passo: Aplique a fórmula de Czuber :
 a 
  h
Mo  l inf  
 a  p 
linf = limite inferior da classe modal.
h = amplitude da classe modal.
a = diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a da
classe anterior. a  fi  fi ant
p = diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a da
classe posterior. p  fi  fi pos
Obs.: Se a distribuição apresenta amplitudes de classes diferentes, então antes
de executar o 1º passo descrito acima, normalize as frequências absolutas
simples (dividir as f i por suas amplitudes de classe). Estas frequências
normalizadas serão as novas frequências absolutas simples para efeito do
cálculo da moda.
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 Propriedades da Moda
1) Propriedade da Soma e Subtração: Ao somarmos (ou subtrairmos) um
valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a
moda fica somada (ou subtraída) dessa constante.
2) Propriedade do Produto e Divisão: Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um
valor constante por cada um dos elementos de um conjunto de números, a
moda fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
5. MEDIANA : Md
 Para um conjunto de valores (coloque em ordem crescente!)
 Se n é ímpar :
1o Passo: "Posição do elemento central" =  n  1  a
 Daí, obtemos o
 2 
elemento central.
o
2 Passo: "Determinação da Mediana"
A Mediana é o próprio elemento central.
 Se n é par :
1o Passo: "Posições dos elementos centrais"
Posição do 1o elemento central =  n  a
2

Daí, obtemos o 1º
elemento central.
Posição do 2o elemento central = é a posição seguinte. Daí, temos o
2º elemento central.
2o Passo: "Determinação da Mediana "
A Mediana é obtida pela média aritmética dos 2 elementos centrais.
 Para Dados Tabulados Não Agrupados em Classes (coloque em ordem
crescente!)
1o Passo: "Encontrar a(s) Posição(ões) do(s) Elemento(s) Central (is)"
Proceder da mesma forma que foi feita no conjunto de valores.
2o Passo: "Encontrar o(s) Elemento(s) Central(is)"
Procurar na tabela o elemento cuja fac seja imediatamente maior ou
igual à posição do elemento central, que foi obtida no 1o passo. (Se n
é par teremos 2 elementos a serem encontrados).
o
3 Passo: "Determinação da Mediana"
Se n é ímpar : a Mediana é o elemento central encontrado no 2o
passo.
Se n é par : a Mediana é a média aritmética dos 2 elementos
centrais encontrados no 2o passo.
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 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
1o Passo: Número de elementos acumulados abaixo da Mediana: n/2 (ou
50%).
2o Passo: "Determinação da Classe Mediana"
A Classe Mediana é a classe da distribuição de frequências que
primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a n/2 (ou 50%).
3o Passo: "Interpolação linear para o cálculo da Mediana"
linf
facinf
Md
lsup
n/2 (ou
facsup
50%)
linf = limite inferior da classe mediana
lsup = limite superior da classe mediana
facinf = frequência acumulada de elementos
abaixo do linf.
facsup = frequência acumulada de elementos
abaixo do lsup.
 Propriedades da Mediana
1) Propriedade da Soma e Subtração: Ao somarmos (ou subtrairmos) um
valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a
mediana fica somada (ou subtraída) dessa constante.
2) Propriedade do Produto e Divisão: Ao multiplicarmos (ou dividirmos) um
valor constante por cada um dos elementos de um conjunto de números, a
mediana fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
6. SEPARATRIZES
6.1. QUARTIL
O quartil divide a distribuição em quatro partes iguais. Temos, portanto, 3
quartis. Os quartis serão representados por Qj , para j = 1, 2 e 3. (1o quartil: j=1;
2o quartil: j=2; 3o quartil: j=3)
 Para um conjunto de valores (coloque em ordem crescente!)
O método mais prático para obter os 3 quartis é utilizar o princípio do cálculo
da mediana. Na realidade serão calculadas “3 medianas” para um mesmo
conjunto.
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Ex.1: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) do conjunto: {3, 8, 1, 0, 9, 6, 4}
1. O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente) dos valores: {0, 1, 3, 4,
6, 8, 9}
2. Cálculo do 2º quartil:
O 2º quartil será a mediana do conjunto {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}.
A Md = 4 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 4 .
3. Cálculo do 1º quartil:
Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {0, 1, 3}
O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores.
Em {0, 1, 3} a mediana é Md = 1. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 1
4. Cálculo do 3º quartil:
Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {6, 8, 9}
O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores.
Em {6, 8, 9} a mediana é Md = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8
Ex. 2: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3) do conjunto: {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} .
1. A série já está em ordem crescente.
2. Cálculo do 2º quartil:
O 2º quartil será a mediana do conjunto {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} .
A Md = (6+7)/2 = 6,5 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 6,5 .
3. Cálculo do 1º quartil:
Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {1, 1, 3, 5, 6, 6} .
O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores.
Em {1, 1, 3, 5, 6, 6} a mediana é Md = (3+5)/2 = 4. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 4 .
4. Cálculo do 3º quartil:
Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {7, 7, 7, 9, 9, 9}
O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores.
Em {7, 7, 7, 9, 9, 9} a mediana é Md = (7+9)/2 = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8
 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
1º Passo: "Número de elementos acumulados abaixo do Qj" é igual a: j  n (ou
4
j.25%).
2º Passo: "Encontrar a classe do Qj" :
Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j  n
4
(ou j.25%).
3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Qj"
linf
finf
Qj
lsup
n/2 (ou
fsup
j.25%)
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linf = limite inferior da classe do Qj.
lsup = limite superior da classe do Qj.
finf = frequência acumulada de elementos abaixo do linf.
fsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup.
6.2. DECIL
O decil divide a distribuição em dez partes iguais. Temos, portanto, 9 decis. Os
decis serão representados por Dj , para j = 1, 2, 3, ... , 8 e 9. (1o decil: j=1; 2o
decil: j=2; ... )
 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
1º Passo: "Número de elementos acumulados abaixo do Dj" é igual a: j  n (ou
10
j.10%).
2º Passo: "Encontrar a classe do Dj" :
Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j  n (ou
10
j.10%).
3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Dj"
linf
Dj
lsup
facinf
j  n (ou
10
facsup
j.10%)
linf = limite inferior da classe do Dj.
lsup = limite superior da classe do Dj.
facinf = freqüência acumulada de elementos abaixo do linf.
facsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup.
6.3. PERCENTIL (ou CENTIL)
O percentil divide a distribuição em cem partes iguais. Temos, portanto, 99
decis. Os percentis serão representados por Pj , para j = 1, ... , 98 e 99. (1o
percentil: j=1; 2o percentil: j=2; ... )
 Para Dados Tabulados Agrupados em Classes
1º Passo: "Número de elementos abaixo do Pj" é igual a: j  n (ou j.1%).
100
2º Passo: "Encontrar a classe do Pj" :
Será a classe que primeiro apresentar fac (ou Fac) maior ou igual a j  n (ou
100
j.1%).
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3º Passo: "Interpolação linear para o cálculo do Pj"
linf
Pj
lsup
facinf
jn
100
(ou
facsup
j.1%)
linf = limite inferior da classe do Pj.
lsup = limite superior da classe do Pj.
facinf = frequência acumulada de elementos abaixo do linf.
facsup = frequência acumulada de elementos abaixo do lsup.
EQUIVALÊNCIA ENTRE AS SEPARATRIZES
---------------------|--------------------Md
----------|-----------|-----------|---------Q1
Q2
Q3
----|----|----|----|---|----|----|----|----|---D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
----|----|----|----|----|----|----|----|----|---P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90
Daí, concluímos sem maiores dificuldades que: Md = Q2 = D5 = P50
 Propriedades das Separatrizes
 A Propriedade da Soma e da Subtração:
Ao somar (ou subtrair) uma constante qualquer a cada elemento de um
conjunto de valores, a separatriz ficará somada (ou subtraída) dessa constante.
 A Propriedade do Produto e da Divisão:
Ao multiplicar (ou dividir) uma constante qualquer por cada elemento de
um conjunto de valores, a separatriz ficará multiplicada (ou dividida) por essa
constante.
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EXERCÍCIOS DE MEDIDAS DE POSIÇÃO
01. Calcule a média aritmética:
a) {-10, 0, 0, 0, 5, 15, 18}
b)
xi
2
3
5
fi
10
15
25
c)
Classes
0 - 10
10 - 20
20 - 30
fi
20
30
50
02. (SEFAZ CE 2007 ESAF) A média aritmética discreta de uma população qualquer é
dada pela seguinte formulação:
n
a)  X 

i 1
c)  X 
n
n
b) X X 
X
i 1
n
n
i
X
i 1
n
i
e)  X 
(X  X )
2
i
i 1
n
n
i
d) X 
n
X
i 1
i
n
03. Calcule a média aritmética:
a) {1253, 1253, 1258, 1259, 1262}
b)
xi
2545
2546
2548
fi
10
15
25
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04. (AFRF-2000) A tabela abaixo apresenta as Freqüências Acumuladas de Salários
Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Freqüências
Salário
Acumuladas
( 3 ; 6]
12
( 6 ; 9]
30
( 9 ; 12]
50
(12 ; 15]
60
(15 ; 18]
65
(18 ; 21]
68
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a
opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na
distribuição de freqüências.
a) 9,93
d) 10,00
b) 15,00
e) 12,50
c) 13,50
(AFTN-96) Para as duas próximas questões, considere os seguintes dados:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
Xi  37
Classes de
Freqüências
Pontos
fi.Zi
 Zi
Idades (anos)
(fi)
Médios (Xi)
5
19,5 |— 24,5
2
22
-3
-6
24,5 |— 29,5
9
27
-2
-18
29,5 |— 34,5
23
32
-1
-23
34,5 |— 39,5
29
37
0
0
39,5 |— 44,5
18
42
1
18
44,5 |— 49,5
12
47
2
24
49,5 |— 54,5
7
52
3
21
Total
16
05. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90.
a) 37,4 anos
d) 38,6 anos
b) 37,8 anos
e) 39,0 anos
c) 38,2 anos
06. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96.
a) 37,4 anos
d) 43,8 anos
b) 39,0 anos
e) 44,6 anos
c) 43,4 anos
07. (ICMS-SP 2009 FCC) Considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra
a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo,
referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as
frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y,
respectivamente.
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II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$
3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).
A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$
3.000,00 é
Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas
0,10
1.000,00 | 2.000,00
x
2.000,00 | 3.000,00
y
3.000,00 | 4.000,00
0,20
4.000,00 | 5.000,00
0,10
5.000,00 | 6.000,00
Total
1,00
(A) 70%
(D) 45%
(B) 65%
(E) 40%
(C) 55%
08. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada
para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres,
encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado
para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale
a opção correta.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
09. (ISS-SP 2007 FCC) No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os
funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios
mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$
500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e
todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo
que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio
mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:
(A) R$ 540,00
(B) R$ 562,00
(C) R$ 571,00
(D) R$ 578,00
(E) R$ 580,00
10. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) O valor mais próximo da média harmônica do conjunto
de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} é igual a
a) 6.
d) 10.
b) 6,5.
e) 3,9.
c) 4,794
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11. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do
aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e
anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens.
O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele
percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-volta.
Para tanto, ele deve calcular a média
a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.
b) geométrica das velocidades médias observadas.
c) aritmética das velocidades médias observadas.
d) harmônica das velocidades médias observadas.
e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.
12. O valor da média geométrica do conjunto de dados: {4, 4, 32, 128} é igual a
a) 4.
d) 16.
b) 6.
e) 32.
c) 8
13. (AFRF 2005 ESAF) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias
aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores
positivos (X1, X2, ..., Xn):
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.
b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.
c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.
d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.
e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.
14. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa
amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a
tabela de freqüências abaixo. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do
atributo X no conceito de Czuber.
Classes
Freqüência (f)
29,5-39,5
4
39,5-49,5
8
49,5-59,5
14
59,5-69,5
20
69,5-79,5
26
79,5-89,5
18
89,5-99,5
10
a) 69,50
b) 73,79
c) 71,20
d) 74,53
e) 80,10
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Estatística
15. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Determine a mediana das seguintes observações:
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.
a) 13,5
b) 14
c)) 17
d) 15,5
e) 14,5
16. (SEFAZ CE 2007 ESAF) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova
é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana
deste conjunto são, respectivamente:
a) 3, 6 e 5.
d) 5, 4 e 3.
b) 3, 4 e 5.
e) 3, 6 e 10.
c) 10, 6 e 5.
17. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo
correspondente à seqüência de observações 91, 91, ,140, 145, 158 … do atributo
X. Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.
9 11
99
10 002234
10 57778
11 013
11 66
12 00012
12 558
13 004
13 555
14 0
14 5
15
15 8
a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111
18. (AFRFB/2009 Esaf) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos
completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra,
marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28,
24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
c) A moda e a média das idades são iguais a 27.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
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19. (ICMS-SP 2006 FCC) O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o
comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de
2005, em uma região a ser analisada:
Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à
esquerda e abertos à direita.
Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética
destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também
calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o
módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a
(A) R$ 100,00
(B) R$ 400,00
(C) R$ 800,00
(D) R$ 900,00
(E) R$ 1.000,00
20. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro
(X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa.
Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
P (%)
70-90
5
90-110
15
110-130
40
130-150
70
150-170
85
170-190
95
190-210
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana da distribuição de X.
a) 138,00
c) 136,67
e) 140,66
b) 140,00
d) 139,01
21. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) No gráfico abaixo, as colunas representam as
freqüências relativas do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa
área da cidade:
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O exame da forma da distribuição das freqüências relativas permite concluir
corretamente que, nesse caso, e para essa variável:
a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média.
b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana.
c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda.
d) A moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana.
e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que média.
22. (Analista MPU 2004 ESAF) A mediana é uma medida de posição usualmente
utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda
a) têm intervalos de classe distintos. d) geralmente se mostram bastante assimétricas.
b) sempre são normais.
e) sempre são bimodais.
c) tipicamente são do tipo uniforme.
23. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Sobre a moda de uma variável, é correto afirmar
que
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.
b) a moda é uma medida de dispersão relativa.
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos.
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da média e
o da mediana.
e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal como a probabilidade, pode
assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade.
24. (Fiscal de Natal 2008 ESAF) A coleta de dados do município, relativa ao ensino
fundamental, apresentou a seguinte composição etária:
Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental:
Faixa Etária
Masc.
Fem.
Até 06 anos
9.000
10.200
De 07 a 08 anos
10.000 9.300
De 09 a 10 anos
8.000
8.500
De 11 a 12 anos
7.000
5.500
De 12 a 14 anos
5.000
3.500
De 15 a 18 anos
3.000
2.500
Acima de 18 anos 1.000
1.500
Total
43.200 40.800
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças:
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I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos.
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos.
III. A Mediana é superior à média.
Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e F – Falso, a opção correta
é:
a) V, V, V
b) V, F, V
c) F, V, F
d) F, F, F
e) V, V, F
25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Dado o seguinte conjunto de dados: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57,
21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. Determine a amplitude interquartílica: Q3 – Q1.
a) 33.
d) 46.
b) 37.
e) 51.
c) 40.
26. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro
(X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa.
Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
P (%)
70-90
5
90-110
15
110-130
40
130-150
70
150-170
85
170-190
95
190-210
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X.
a) 138,00
d) 139,01
b) 140,00
e) 140,66
c) 136,67
GABARITO
01 4; 3,8; 18
02 c
03 1257; 2546,8
04 a
05 b
06 d
07 c
08 a
09 c
10 c
11 d
12 c
13 d
14 b
15 c
16 a
17 c
18 b
19
20 c
21
22
23
24
25
26
c
d
c
d
d
c
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