Estatística: Médias, Mediana e Moda – PRF – Professor Joselias
10 de Outubro de 2008.
Cálculo de Médias
1) Média Aritmética( x )
Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média aritmética a:
x=
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
ou
n
x=
∑x
i
i =1
n
Exemplos:
Calcule a média aritmética dos dados:
a) 1, 9, 7, 3, 5, 11
1+9+7+3+5+11
x=
6
36
x=
=6
6
b) 14, 10, 4, 2, 8, 12, 6
14+10+4+2+8+12+6
x=
7
56
x=
=8
7
2) Média Geométrica(G)
Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média geométrica a:
G = n x1.x2 x3 ...xn
ou
G=
n
n
∏x
i =1
i
Exemplos:
Calcule a média geométrica dos dados:
a) 1, 9, 81
G = 3 1.9.81
G = 3 729 = 9
b) 4, 32, 2, 16
G = 4 4.32.2.16
G = 4 4096 = 8
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3) Média Harmônica(H)
Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média harmônica a:
H=
n
1 1 1
1
+ + + ... +
x1 x2 x3
xn
ou
H=
n
n
1
∑
i =1 xi
Exemplo:
Qual a média harmônica dos números 2, 3 e 4?
3
1 1 1
+ +
2 3 4
3 36
H=
=
= 2, 77
13 13
12
H=
Observações:
1) A média aritmética pode não existir no conjuntos dos números reais.
2) A média harmônica não existe quando algum dos dados for igual a zero.
3) Quando as três médias existirem teremos a relação: H
≤G≤ X
Exercícios propostos:
1) Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3.
a) 5
b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
2) Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0.
a)
4
b)2
c)3
d) 5 e) 6
3) Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3, 7, 6, 8, 11, 13.
a) 9
b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
4) Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 3, 6, 72.
a) 6
b) 5 c) 3 d) 7 e) 4
5) Calcule a Média Geométrica dos números: 25, 1, 5, 125, 1, 1.
a) 6
b) 5 c) 4 d) 3 e) 25
6) Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 9, 1, 3, 27, 9,3, 3, 1, 1.
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a) 9
b) 1
c) 3
d) 6
e) 8
7) Calcule a Média Harmônica dos números: 2, 4, 6, 8.
a)3,84
b)3,48
c)4,83
d)4,38
e)8,43
8) Calcule a Média Geométrica dos números: 2, 4, 6, 8.
a)4,42
b)4,78
c)5,00
d)6,0
e)5,52
9) Calcule a Média Aritmética dos números: 2, 4, 6, 8.
a)4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
10) (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se
obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o
salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
11) (EN-70)A média aritmética de 50 números é 38. Se dois dos números, 45 e 55, são
suprimidos, a média aritmética passa a ser:
a) 35,5
b) 37
c) 37,2
d) 37,5
e) 37,52
12) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética
dos números (X + 8) e (Y - 4) será:
a) 9,5
b) 13
c) 19
d) 20
e) 38
13) (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres
no clube é de:
a) 62%
b) 65%
c) 68%
d) 70%
e) 72%
GABARITO:
1) A
2) A
3) A
4) A
5) B
6) C
7) A
8) A
9) B
10) A
11) D
12) C
13) D
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MODA (MO )
Chamamos de moda o valor ou atributo que ocorre com
maior freqüência em uma distribuição.
Por exemplo, a nota modal dos alunos de um concurso é a
nota mais comum, isto é, a nota que a maioria dos alunos
obteve.
MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Quando temos série de valores não agrupados, a moda é
facilmente encontrada, pois pela definição, basta encontrar o
valor que mais se repete.
Exemplo:
4, 2, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 10, 8, 4, 3, 2, 4
Mo = 4. (unimodal)
Exemplo:
3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 2.
Neste caso são dois valores (2 e 3) que mais se repetem, e na
mesma quantidade. Portanto, dizemos que a distribuição
possui duas modas iguais a 2 e 3, e chamamos de bimodal.
Exemplo:
1, 2, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 1, 9, 15
Mo = 1 Mo = 2 Mo = 3 (multimodal)
Exemplo:
2, 0, 1, 3, 4, 15, 7
Não existe Moda (amodal)
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MODA PARA DADOS AGRUPADOS
Quando os dados estiverem agrupados em uma distribuição
de freqüência de valores, para acharmos a moda basta
observar qual é o valor da variável que possui a maior
freqüência.
Exemplo:
Vamos considerar a distribuição do exemplo.
Observamos que o valor 2 filhos possui a maior freqüência
(20), logo a moda é 2 filhos.
Exemplo:
Vamos considerar a distribuição do exemplo.
Observamos que o valor da nota 6 possui a maior freqüência
(47), portanto a nota modal é 6.
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MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
Quando os dados estiverem agrupados em distribuição de
freqüência por classe, a moda estará evidentemente na classe
que possui a maior freqüência (classe modal). Se os dados
forem agrupados em classe, perdemos o conhecimento dos
dados e os respectivos cálculos da média, da moda e da
mediana, nesse caso, fazemos uma estimativa entre os
limites inferiores e superiores da classe da mesma. No caso
da moda, existem 3 métodos de cálculo da moda:
a) MODA BRUTA
Chamaremos de moda bruta ao ponto médio da classe modal
(classe que contém a maior freqüência). Sendo assim
teremos uma fórmula para a moda bruta:
Exemplo
Vamos considerar a distribuição do exemplo abaixo:
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Exemplo:
Vamos considerar a distribuição do exemplo abaixo:
b) MODA DE CZUBER
Trata-se que uma estimativa, na classe modal, através de
uma regra de três, que resulta na seguinte fórmula:
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Exemplo:
Vamos considerar a distribuição do exemplo abaixo.
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Exercício:
Vamos considerar a distribuição abaixo:
Calcule a modas de Czuber
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DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA
Podemos determinar graficamente a posição da moda no
histograma da distribuição de freqüência absoluta, como
veremos a seguir.
a) MODA BRUTA
Para achar a moda bruta no histograma acima basta descer
uma perpendicular, a partir do ponto médio do segmento
AB, ao eixo horizontal das classes.
b) MODA CZUBER
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Para achar a moda de Czuber no histograma acima, basta
descer uma perpendicular, a partir da intersecção dos
segmentos AD e CB, ao eixo horizontal das classes.
A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA.
Na curva de freqüência, a moda será o valor que
corresponde, no eixo horizontal, ao ponto de freqüência
máxima (vertical).
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OBS.:
1. Em uma distribuição simétrica e unimodal a Média
Aritmética é igual a moda e igual a Mediana.
2. Em uma distribuição simétrica e bimodal apenas a Média
Aritmética e a Mediana são iguais.
3. Em uma distribuição simétrica e multimodal a Média
Aritmética e a Mediana são iguais e coincidem apenas como
uma das modas.
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MEDIANA (MD)
A mediana é outra medida de posição, que representa
o valor que divide a distribuição em dois conjuntos com
o mesmo número de elementos.
MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
A definição é bem clara e fácil de ser interpretada no caso de
dados não agrupados.
Exemplo:
Dado a série de valores 4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7 a
mediana será:
Exemplo:
Dada a série de valores 6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7 a mediana
será:
RESUMINDO
Se a série possui n elementos teremos:
a) Se n for ímpar, existe um termo central no rol e este
termo central do rol será justamente a mediana, que
do
será calculada como sendo o termo de ordem
rol.
b) Se n for par, existem dois termos centrais no rol, e a
mediana será a média aritmética entre esses termos
centrais, que será calculado como sendo a média
e
no
aritmética entre os termos de ordem
rol.
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MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR
VALOR
Exemplo:
Exemplo:
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MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
Exemplo:
Exemplo:
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RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA,
MEDIANA E MODA
Quando a distribuição for unimodal, isto é, a moda for única
teremos a seguinte situação.
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EXERCÍCIOS
1) Calcule o salário médio dos funcionários descrito na
distribuição de freqüência abaixo:
Número de
Salários
Número de
Mínimos Funcionários
0 |⎯ 2
80
2 |⎯ 4
60
4 |⎯ 6
20
6 |⎯ 8
30
8 |⎯ 10
10
Total
200
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2) A fim de implementar um projeto de instalação de
parques infantis em uma certa região de uma cidade,
foi selecionada uma amostra de 50 quadras das 300
existentes na região. A distribuição da amostra é
apresentada a seguir:
Nº DE CASAS Nº DE QUADRAS
0|—– 20
7
20|—– 40
20
40|—– 60
11
60|—– 80
7
80|—– 100
5
Total
50
A instalação dos parques deve ser iniciada pelas
quadras mais populosas. Por limitação de verbas,
decidiu-se beneficiar somente as 50% mais populosas.
O número mínimo de casas que a quadra deverá ter
para ser beneficiada com a instalação de um parque
infantil é:
a)25
b)30
c)32
d)35
e)38
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Instruções: Para responder às questões de números3 a
5 considere o enunciado que segue. A tabela abaixo
apresenta a distribuição de freqüências das notas
obtidas num teste de matemática, realizado por 50
estudantes.
3) A nota média desses estudantes é
(A) 5,0
(B))5,2
(C) 5,5
(D) 5,8
(E) 6,0
4) Se a nota mínima para aprovação no teste é 5,8, a
porcentagem de aprovação é de
(A) 51%
(B) 48%
(C) 45%
(D)) 41%
(E) 38%
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5) A nota mediana desses estudantes é
(A) 4,8
(B) 5,0
(C)) 5,2
(D) 5,5
(E) 5,8
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências
do atributo salário mensal medido em quantidade de
salários mínimos para uma amostra de 200
funcionários da empresa X. As duas próximas
questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna
Classes refere-se a classes salariais em quantidades de
salários mínimos e que a coluna P refere-se ao
percentual da freqüência acumulada relativo ao total
da amostra. Não existem observações coincidentes
com os extremos das classes.
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6) Assinale a opção que corresponde ao salário médio
amostral calculado a partir de dados agrupados.
A) 11,68
B) 13,00
C) 17,21
D) 16,00
E) 14,00
7) Assinale a opção que corresponde ao salário modal
no conceito de Czuber.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 1
E) 16
8) O quadro seguinte apresenta a distribuição de
frequências da variável valor do aluguel (X) para uma
amostra de 200 apartamentos de uma região
metropolitana de certo município. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
Assinale a opção que corresponde à estimativa do
valor x tal que a frequência relativa de observações de
X menores ou iguais a x seja 80%.
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A) 530
B) 560
C) 590
D) 578
E) 575
Para a solução da próxima questão utilize o
enunciado que segue.
O atributo do tipo contínuo X, observado como um
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma
população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
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9) (ESAF-AFRF-2002-2) Assinale a opção que
corresponde à estimativa da mediana amostral do
atributo X.
a) 71,04
b) 65,02
c) 75,03
d) 68,08
e) 70,02