Faculdade de Tecnologia de Catanduva
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
5. Medidas de Posição central ou Medidas de Tendência Central
Medidas de posição central preocupam-se com a caracterização e a definição do centro
dos dados. Podem ser apresentadas sob diferentes tipos, como a média, a mediana ou a moda.
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o
maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série são distribuídos
e a posiciona em relação ao eixo horizontal.
Em resumo, a medida posição central procura estabelecer um número no eixo horizontal
em torno do qual a série se concentra.
5.1. Médias
A média é, provavelmente, a mais usual medida empregada em estatística. Corresponde a
um valor representativo do centro geométrico de um conjunto de dados. Apresenta a importante
característica de ser sensível aos valores discrepantes do conjunto de dados.
5.1.1 Média aritmética simples para dados não agrupados
Usualmente denominamos apenas média. Dado um conjunto de dados
média será calculada da seguinte maneira:
a
Algumas propriedades da média:
Exemplo: Calcular a média dos dados amostrais X: 1, 5, 6, 8.
Propriedade 1: a soma dos desvios calculados de um conjunto de números em relação à média
aritmética da distribuição é zero.
xi  média  desvio
xi
Soma
1
Propriedade 2: ao somar ou subtrair uma constante a todos ou de todos os valores de uma série
de dados, a média também será somada ou subtraída dessa mesma constante.
i
xi  2
xi
xi  2
Soma
n
Média
Propriedade 3: ao multiplicar ou dividir por uma constante todos os valores da série, a média
também será multiplicada ou dividida por esse mesmo valor.
i
xi * 2
xi
xi  2
Soma
n
Média
5.1.2 Média aritmética ponderada para dados agrupados sem intervalos de classe
Para uma seqüência numérica
afetados de frequências
média aritmética ponderada, que designaremos por , é definida por:
,a
Exemplo: Se X: 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, determinar a média.
Exemplo: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos,
apresentadas na tabela. Determine a idade média dos alunos.
xi
17
18
19
20
21
22
23
Soma
1
11
8
7
10
2
1
40
2
5.1.3 Média aritmética ponderada para dados agrupados com intervalos de classe
Usamos o ponto médio da classe para representá-la. Assim, para dados agrupados com
intervalo de classe, a média resulta da ponderação dos pontos médios pelas frequências.
Exemplo: Considerando a distribuição de freqüência abaixo, determine a média para a
distribuição.
Variável X
50 |- 100
100 |- 150
150 |-200
200 |-250
250 |-300
Total
5
10
10
10
5
40
As duas médias abaixo são mais utilizadas quando se quer buscar a razão de
crescimento dos dados.
5.1.4 Média Geométrica Simples
Para uma seqüência numérica
designaremos por , é definida por:
, a média geométrica simples, que
x g  n x1.x2 .x3 ...xn
Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, determinar a média geométrica.
5.1.5 Média Geométrica Ponderada
Para uma seqüência numérica
afetados de pesos
respectivamente, a média aritmética ponderada, que designaremos por
é definida por:
xg 
 pi
,
p
p
p
x1 1 .x2 2 ...xn n
Exemplo: Se X: 1, 2, 5, com pesos 3, 3, 1 respectivamente, determine média geométrica.
3
5.2. Mediana
É um valor real que separa o rol em duas partes deixando metade à sua esquerda e a outra
metade a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série.
Notação: A mediana será denotada por
5.2.1 Mediana para dados não agrupados
Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol.
Se n é impar – O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posição
do elemento que ocupa esta posição é a mediana.
. O valor
Se n é par – Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as
posições
. A medida é convencionada como sendo a média dos valores que ocupam
estas posições centrais.
Exemplo: Calcular a mediana dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Exemplo: Calcular a mediana dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10.
5.2.2 Mediana para dados agrupados sem intervalo de classe
O cálculo da mediana para dados agrupados é feito de forma similar àquela empregada
para dados não agrupados. Porém, neste caso, é aconselhável utilizar a tabela de frequências
acumuladas, o que facilita o trabalho. A mediana corresponde ao valor que divide a série
ordenada em duas partes iguais, deixando as mesmas quantidades de elementos acima e abaixo
da mediana. Quando a tabela apresenta a frequência acumulada, basta localizar o elemento cuja
frequência acumulada superar pela primeira vez 50% do número de elementos analisados.
Exemplo: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos,
apresentadas na tabela. Determine a idade mediana dos alunos.
xi
17
18
19
20
21
22
23
Soma
1
11
8
7
10
2
1
40
4
5.3. Moda para dados não agrupados e agrupados sem intervalo de classe
É o valor de mais freqüência em um conjunto de dados.
Notação: A moda será denotada por
.
Exemplo: Calcular a moda dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Exemplo: Calcular a moda dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10.
Exemplo: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos,
apresentadas na tabela. Determine a moda dos alunos.
xi
17
18
19
20
21
22
23
Soma
1
11
8
7
10
2
1
40
Exercícios
1. Determine a média, a mediana e a moda das séries:
a) X: 1, 2, 8, 10, 12, 12, 16, 21, 30
c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.
b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20
2. Calcule a média geométrica para série:
a) X: 1, 2, 4, 7, 16
b) Y: 81, 26, 10, 3, 1
3. Um estudante realizou uma pesquisa sobre a remuneração semanal de auxiliares financeiros
em empresas de transporte. Uma amostra formada por cinco empresas revelou os seguintes
dados: R$200,00; R$ 250,00; R$ 280,00; R$ 320,00 e R$ 4.200,00. Pede-se:
(a) calcule a média dos faturamentos.
(b) uma remuneração igual a R$ 330,00 pode ser considerada alta ou baixa?
4. Considerando a amostra abaixo que representa o saldo de 25 contas de pessoas físicas em uma
agência em determinado dia, determine o saldo médio dos funcionários.
Saldos em R$
0 |- 5.000
5.000 |- 10.000
10.000 |- 15.000
15.000 |- 20.000
TOTAL
Número de funcionário
5
10
8
2
25
5
5. O gerente de produção de uma fábrica quer aumentar a produção de peças para 16500
unidades por mês. O registro da produção diária em uma semana de 5 dias trabalhados foi: 690,
730, 718, 677,710. Tomando-se como base a média diária dessa semana, e que o mês tenha 22
dias trabalhados, o objetivo será alcançado?
6. A redução do número de filhos por família está obrigando segmentos que atendem à classe
média, como as escolas particulares, a readaptarem suas atividades para evitar prejuízos. Sendo
assim, uma escola pesquisou o número de filhos por família, no bairro Vila Junqueira, conforme
consta na tabela abaixo, numa amostra composta por 280 famílias. Responda:
(a) qual o número médio de filhos por família?
(b) qual a moda?
(c) qual a mediana?
(d) qual o percentual de famílias sem filho?
(e) qual o percentual de famílias com mais de 2 filhos?
(f) qual o percentual de famílias com 1 ou 2 filhos?
6