ESTATÍSTICA
DADOS AGRUPADOS
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E2
1
Distribuição de Freqüências para dados Agrupados
T A B U L A Ç Ã O
Sempre que tivermos um grande número de dados, devemos agrupa-los em
conjuntos ou grupos (denominados intervalo de classe), para facilitar a análise
estatística dos mesmos.
A quantidade de dados que tivermos em um determinado grupo,
denominaremos “FREQUÊNCIA”.
Logos, aos dados agrupados em uma distribuição de freqüências (através da
tabulação), denominamos “Dados Agrupados” .
Para os intervalos de classe, usaremos o símbolo:
exclui o valor
inclui o valor
Exemplo: Notas de um grupo de alunos de Pedagogia do 1º ano.
5,0
7,0
8,0
9,0
Intervalo
de Classes
0 |-----
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
5,0
7,0
0,0
8,0
3,0
6,0
4,0
Tabulação
Frequência (F)
|
4 |----6 |----8 |-----
1
3
5
4
3
Σ
16
2 |-----
(inclui 0 e exclui 2)
(inclui 2 e exclui 4)
(inclui 4 e exclui 6)
(inclui 6 e exclui 8)
(inclui 8 e exclui 10)
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2
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Intervalo de Classe: São intervalos de variação da variável.
Ex.: 0|---------- 2
2|---------- 4
OBS: Quando a variável varia muito pouco, cada valor pode ser tomado como um
intervalo de classe (intervalo atípico), e a distribuição, neste caso particular é
chamado de “Distribuição sem intervalos de Classe”.
Ex.:
N° de Defeitos Frequência (F)
0
6
1
9
2
15
3
14
4
11
5
5
LIMITES DE CLASSE : São os valores extremos da classe (anterior e posterior)
Ex.: 4|---------- 6
4 é o limite anterior do intervalo de classe (La)
6 é o limite posterior do intervalo de classe (Lp)
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE ( c )
É o valor do intervalo que define a classe, é dado por :
c = Lp - La
Ex.: 6|---------- 8
c=8-6= 2
Obs.: A amplitude de intervalo de classe é “Obrigatoriamente única” em uma
distribuição de freqüências.
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3
Amplitude total da Distribuição ( At )
É o intervalo entre o limite posterior da última classe e o limite anterior da 1ª classe.
Ex.: 0|---------- 2
2|---------- 4
4|---------- 6
6|---------- 8
8|---------- 10
At = 10 - 0 = 10
PONTO MÉDIO DO INTERVALO DE CLASSE ( PM )
É a média aritmética entre o limite posterior e o limite anterior do intervalo de classe.
PM = LP + LA
2
Ex.: 6|---------- 8
PM = 6 + 8
2
PM = 7
Determinação do número de classes e sua amplitude
A regra a seguir, chama-se regra de “STRUGES”, que nos dá o valor aproximado, tanto
para o número de classes, quanto para a amplitude, haja visto, que devemos ter
resultados “INTEIROS”.
Para o n° de classes temos :
1 + 3,3 log n
onde “n” é o n° total de dados
Para a amplitude temos:
c=
n°
Δ
de
t
classes
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4
1. Exercício :
Dadas as notas de 36 alunos da turma de estatística.
5
5
1
7
3
8
4
3
2
8
5
5
7
4
3
9
8
4
9
2
4
10
3
3
0
9
5
10
6
2
1
8
6
10
7
1
Faça :
1°) Organize um Rol Crescente
2°) Determine o n° de classes
3°) Determine a amplitude ( c )
4°) Determine a amplitude total ( At )
5°) Tabule
6°) Determine as freqüências
7°) Determine os Pontos Médios dos Intervalos de classe ( PM )
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5
2. Exercício :
A tabela a seguir refere-se a altura de um grupo de 20 pessoas.
1,50
1,60
1,70
1,80
1,75
1,82
1,66
1,58
1,69
1,72
1,74
1,86
1,55
1,50
1,72
1,81
1,90
1,59
1,80
1,89
Faça :
1°) Organize um Rol Crescente
2°) Determine o n° de classes
3°) Determine a amplitude ( c )
4°) Determine a amplitude total ( At )
5°) Tabule
6°) Determine as freqüências
7°) Determine os Pontos Médios dos Intervalos de classe ( PM )
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6
TIPOS DE FREQÜÊNCIAS
Freqüência Absoluta
: ( F ) São os valores que representam o número de dados
tabulados em uma classe.
Freqüência Acumulada : ( Fa ) É a somatória da freqüência com todas as freqüências
anteriores à mesma.
Freqüência Relativa
: ( Fr ) São as freqüências percentuais, calculadas por :
⎛ F ⎞
Fr = ⎜
⎟ × 100
⎝ ΣF ⎠
Freqüência Relativa Acumulada
: ( Fra ) É a somatória da freqüência relativa com
todas as freqüências anteriores à mesma.
Freqüência Acumulada Decrescente : ( Fadec ) É a somatória da freqüência com todas
freqüências posteriores à mesma. O
Fadec é calculado de baixo da planilha
para cima.
Exemplo :
Intervalo de
F
Fa
Fr
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
2
5
6
5
4
2
7
13
18
22
9,10%
21,70%
27,30%
22,70%
18,20%
9,10
31,80
59,10
81,80
100,00
22
20
15
9
4
22
62
100,00%
281,80
70
Σ
Fra
Fadec
Obs.: A tabela acima denomina-se planilha de cálculo, e será usada sempre, pois facilita
os cálculos, na página seguinte há um modelo da mesma.
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7
Intervalo
Classes
de
F
Fa
PM
d
u
F.PM
F.d
F.u
F.r%
F.ra%
Fadec
d2
u2
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----
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8
Exercício :
1°) Calcule na planilha o ponto médio , a freqüência acumulada, a freqüência relativa, a
freqüência relativa acumulada e a freqüência acumulada decrescente.
Intervalo de
Classe
0 |-------- 1
1 |-------- 2
2 |-------- 3
3 |-------- 4
4 |-------- 5
5 |-------- 6
6 |-------- 7
7 |-------- 8
8 |-------- 9
F
7
8
5
0
9
23
12
0
12
9 |-------- 10
5
2°) Calcule na planilha o ponto médio , a freqüência acumulada, a freqüência relativa, a
freqüência relativa acumulada e a freqüência acumulada decrescente.
N° Acidentes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
N°
Motoristas
25
20
21
15
13
12
10
9
7
9
10
6
2
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9
A analise estatística utiliza-se de “medidas”, que visam facilitar o trabalho de
análise dos dados, o que invariavelmente é difícil de executar através de uma tabela.
As principais são :
7 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:
7.1Média Aritmética
7.2Mediana
7.3Moda
7.4Média Harmônica
7.5Média Geométrica
8 MEDIDAS DE POSIÇÃO :
8.1Quartil
8.2Decil
8.3Percentil
9 MEDIDAS DE DISPERSÃO :
9.1Desvio Padrão
9.2Variância
9.3Coeficiente de Variação
10 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE :
10.1Coeficiente de Assimetria
10.2Coeficiente de Curtose
Nos capítulos seguintes veremos detalhadamente as principais medidas
estatísticas.
VARIÁVEIS DA TABELA ANALÍTICA
“A” (Valor Arbitrado) = É o valor central da coluna do ponto médio.
“d” = Variável estatística definida pela fórmula :
d = PM - A
“u” = Variável estatística, definida pela fórmula :
u =
d
c
FPM = Freqüência vezes ponto médio
Fd = Freqüência vezes “d”
Fu = Freqüência vezes “u”
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10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (PARA DADOS AGRUPADOS)
São medidas estatísticas, cujos valores estão próximos do centro de uma
distribuição de freqüência.
As principais medidas de tendência central para dados agrupados são :
− Média Aritmética
− Mediana
− Moda
A seguir, veremos separadamente as medidas acima.
A) MÉDIA ARITIMÉTICA ( X )
É a principal medida de tendência central, pode ser calculada por qualquer uma da três
formulas seguintes.
⎛ Σ F pm ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
n
=
⇒
X
1
⇒
X
2
⇒
X
3
=
⎛ Σ F d ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
n
A +
⎛ Σ F u ⎞
A + ⎜
⎟ .C
⎝
⎠
n
=
O b s .: N = Σ F
Exemplo :
Intervalo de
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
Σ
F
Fa
PM
3
4
5
4
3
19
3
7
12
16
19
57
1
3
5 A
7
9
25
FPM
d
Fd
u
Fu
3
12
25
28
27
95
-4
-2
0
2
4
0
-12
-8
0
8
12
0
-2
-1
0
1
2
0
-6
-4
0
4
6
0
C= 2
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11
Cálculo da Média Aritmética pela 1ª fórmula.
95
⎛ Σ F pm ⎞
= 5 ,0
⎜
⎟ =
⎝
⎠
n
19
x1 =
Cálculo da Média Aritmética pela 2ª fórmula.
x2 =
⎛ Σ Fd ⎞
⎛ 0⎞
+⎜
⎟ = 5 + ⎜ ⎟ ≅ 5, 0
⎝ n ⎠
⎝ 19 ⎠
A
Cálculo da Média Aritmética pela 3ª fórmula.
x3 =
⎛ ΣFu ⎞
⎛ 0⎞
A+⎜
⎟ . C = 5,0 + ⎜ ⎟ .2 ≅ 5,0
⎝ n ⎠
⎝ 19 ⎠
Exercício: Calcule a média aritmética pêlos três processos.
Intervalo de
F
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
2
5
6
5
4
Σ
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12
A) MEDIANA ( ~x )
x~ =
L
i
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ n ⎞
⎜ ⎟ −
∑ F _ ant
⎝ 2 ⎠
F _ c la s s e _ M e d ia n a
Classe _ Mediana =
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
C
ΣF
2
Onde : Li
n
= Limite Inferior da classe mediana
= Somatória da freqüência
ΣF _ ant
= Somatória das freqüências anteriores à classe mediana
F _ classe _ med . = Freqüência da classe mediana
C
= Amplitude de Classe
Exemplo:
Intervalo de
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
x 4 |-------- 6
Classe Mediana ~
6 |-------- 8
8 |-------- 10
Σ
~
x = 4+
⎛ ⎛ 19 ⎞
⎟−
⎜ ⎜⎝
⎠
2
⎜
⎜
5
⎜
⎝
~
x = 4 +
⎞
7⎟
⎟.
⎟
⎟
⎠
F
Fa
3
4
3
7
5
4
3
12
16
19
19
57
2
( 0 , 5 ). 2
~
x = 5, 0
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13
C) MODA ( x$ )
Moda é o valor que aparece com maior freqüência em uma distribuição de
freqüências.
x$ =
Li+
Onde : Li
Δ1
Δ2
C
⎛
⎜
⎝
Δ
Δ1+
1
Δ
⎞
⎟.
2⎠
C
= Limite Inferior da classe modal
= Diferença entre a freqüência da classe modal e da classe
anterior.
= Diferença entre a freqüência modal e da classe posterior.
= Amplitude de Classe
Exemplo:
Intervalo de
Classe Modal x$
F
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
3
4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
5
4
3
Σ
Δ
Δ
1
2
19
⎛ 1 ⎞
x$ = 4 + ⎜
⎟ .2
⎝ 1 + 1⎠
x$ = 4 +
(0 , 5 ). 2
x$ = 5 , 0
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14
Exercício :
Dada a seguinte distribuição de freqüências, calcule :
a) Média Aritmética ( 3 processos )
b) Mediana
c) Moda
Intervalo de
Classe
0 |-------- 1
1 |-------- 2
2 |-------- 3
3 |-------- 4
4 |-------- 5
5 |-------- 6
6 |-------- 7
7 |-------- 8
8 |-------- 9
F
3
5
2
7
9
6
7
8
5
9 |-------- 10
3
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15
MEDIDAS DE POSIÇÃO
São medidas separatrizes de uma distribuição de freqüência. Existem 3 tipos
de medidas de posição:
− Quartil, divide a distribuição em 4 partes iguais.
− Decil, divide a distribuição em 10 partes iguais.
− Percentil, divide a distribuição em 100 partes iguais.
A) Q U A R T I L
Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 partes iguais.
0%
25%
Q1
⇒
⇒
⇒
⇒
50%
75%
100%
Q2
Q3
Q4
Q1 deixa 25% dos elementos;
Q2 deixa 50% dos elementos, coincide com a mediana;
Q3 deixa 75% dos elementos;
Q4 deixa 100% dos elementos.
Técnica de Cálculo
1° Passo: Calcula-se
n
=
4
Σ F
4
2° Passo: Identifica-se a classe Q1 na coluna Fa.
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
⎛ ⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟−
⎝ ⎠
Q 1 = L i Q 1 + ⎜⎜ 4
F
⎜
⎝
Onde : Li Q1
ΣF _ ant
F Q1
C
⎞
∑ F _ ant ⎟
⎟.
⎟
Q
⎟
1
C
⎠
= Limite Inferior da classe do 1º quartil
= Somatória das freqüências anteriores ao Q1
= Freqüência do 1º quartil
= Amplitude de Classe
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16
Exemplo de Quartil :
Intervalo de
F
Fa
07 |-------- 17
6
6
17 |-------- 27
15
21
27 |-------- 37
20
41
37 |-------- 47
10
51
47 |-------- 57
Σ
5
56
56
175
Classe
Q
Q
1
2
~
= X
Cálculo do 1º quartil:
1° Passo: Calcula-se
n
56
=
= 1 4 localiza-se na coluna Fa
4
4
2° Passo: Identificar a classe que contem o 1° quartil (na coluna Fa)
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
Q
= 17 +
1
Q
1
⎛ 14 −
⎜
⎝
15
6⎞
⎟.
⎠
10
= 22 ,3
⎛ 2N ⎞
⎟
4 ⎠
• Cálculo de Q2 (2° quartil) : No 1° passo, a fórmula é ⎜
⎝
2° quartil é igual a mediana.
O restante do processo é análogo.
⎛ 3N ⎞
⎟
4 ⎠
• Cálculo de Q3 (3° quartil) : No 1° passo, a fórmula é ⎜
⎝
O restante do processo é análogo à Q1.
⎛ 4N ⎞
⎟
4 ⎠
• Cálculo de Q3 (3° quartil) : No 1° passo, a fórmula é ⎜
⎝
O restante do processo é análogo à Q1.
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17
A) D E C I L
São os valores que dividem uma série em 10 partes iguais.
0%
10%
20%
30%
D2
D1
Cálculo de Decis
1° Passo: Calcula-se
40%
D3
50%
60%
D5 = ~x D6
D4
70%
D7
80%
D8
90%
100%
D9 D10
i. n
ΣF
; onde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
=
10
10
2° Passo: Identifica-se a classe Di na coluna Fa.
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
D
i
=
L D
i
i
⎛ ⎛ i.n ⎞
⎟ −
⎜ ⎜⎝
⎜ 10 ⎠
F
⎜
⎜
⎝
+
⎞
F _ ant ⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
∑
D
i
C
Onde : Li Di
= Limite Inferior da classe do Decil
ΣF _ ant = Somatória das freqüências anteriores ao Decil
= Freqüência da classe que contém o Decil
F Di
i
= Número do decil procurado (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
c
= Amplitude de classe
Vamos calcular 0 3° decil da distribuição abaixo.
Intervalo de
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
Σ
1° P a s s o:
3 n
1 0
D
3
=
2 +
D
3
=
3 ,3 5
3 .1 9
=
1 0
⎛ 5 ,7 −
⎜
⎝
4
=
F
Fa
3
4
5
4
3
3
7
12
16
19
19
57
D3
5 7
= 5 ,7
1 0
3 ⎞
⎟ .
2
⎠
Obs.: A técnica para o cálculo dos demais decis é análoga ao D3
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18
C) P E R C E N T I L
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais.
É calculada pela fórmula:
P
i
=
L P
i
i
+
⎛ ⎛ i. n ⎞
⎟−
⎜ ⎜⎝
⎠
100
⎜
F
⎜
⎜
⎝
⎞
∑ F _ ant ⎟
⎟.
⎟
P
⎟
i
C
⎠
Onde : Li Pi
= Limite Inferior da classe do Percentil
ΣF _ ant = Somatória das freqüências anteriores ao Percentil
= Freqüência da classe que contém o Percentil
F Pi
i
= Número do percentil procurado (1, 2, 3, 4, 5, .........., 99)
c
= Amplitude de classe
Cálculo :
1° Passo: Calcula-se
i. n
ΣF
; onde i = 1, 2, 3, 4, 5,..........., 99
=
100
100
2° Passo: Identifica-se a classe Pi na coluna Fa.
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
Exemplo:
Intervalo de
Classe
0 |-------- 2
2 |-------- 4
4 |-------- 6
6 |-------- 8
8 |-------- 10
Σ
6 0 .2 5
1° Passo: Calcula-se
= 15
100
F
Fa
4
5
7
5
4
4
9
16
21
25
25
75
P60
2° Passo: Identifica-se 15 na coluna Fa (por aproximação
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
P
6 0
=
4 +
P
6 0
= 5 ,7
⎛ 1 5 − 9 ⎞
⎜
⎟ .
⎠
⎝
7
2
Obs.: A técnica para o cálculo dos demais percentis é análoga ao P60
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19
Exercício :
Dada a seguinte distribuição de freqüências, calcule :
a) O 1º, 2º e 3º Quartis
b) O 2º, 4°, 5°, 7° e 9° Decis
c) O 15°, 25°, 38°, 68°, e 90° Percentis
Intervalo de
Classe
00 |-------- 05
05 |-------- 10
10 |-------- 15
15 |-------- 20
20 |-------- 25
25 |-------- 30
30 |-------- 35
35 |-------- 40
40 |-------- 45
F
8
9
12
17
18
23
19
12
15
45 |-------- 50
11
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20
MEDIDAS DE DISPERSÃO
São medidas estatísticas que medem as oscilações de uma variável.
As principais medidas de dispersão são:
− Desvio Padrão
− Coeficiente de Variação
− Variância
A) Desvio Padrão (S)
É o grau médio em que os dados estatísticos tendem a dispersar-se em torno do valor
médio.
Pode ser calculado por qualquer das 2 fórmulas abaixo:
S
S
1
2
ΣFd
N
=
=
C.
⎛ ΣFd ⎞
− ⎜
⎟
⎝ N
⎠
2
ΣFu
N
2
⎛ Σu ⎞
− ⎜
⎟
⎝ N ⎠
2
2
Resumindo : O desvio padrão está em um ponto entre o menor e o maio dos desvios em
relação à média aritmética.
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B) Coeficiente de Variação (CV)
É a variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão (S), é também
denominada de “dispersão absoluta”.
Seu resultado é expresso em percentagem.
⎛ s ⎞
C .V . = ⎜ ⎟ . 1 0 0
⎝ X ⎠
para
X ≠ 0
C) V a r i â n c i a (Var.)
A variância baseia-se nos desvios em relação à média aritmética,
determinando a “média aritmética dos quadrados dos desvios”.
É o quadrado do desvio padrão.
É muito útil em combinações de amostra, sendo porém, pouco útil em
estatística descritiva.
Var = S
2
ou
S =
Var
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22
Exemplo :
Intervalo de
Classe
00 |-------- 3
03 |-------- 6
06 |-------- 9
09 |--------12
12 |--------15
Σ
2
2
F
Fa
PM
FPM
d
Fd
d
Fd
6
7
9
7
6
35
6
13
22
29
35
105
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
37,5
9
31,5
67,5
73,5
81
262,5
-6
-3
0
3
6
0
-36
-21
0
21
36
0
36
9
0
9
36
90
216
63
0
63
216
558
Cálculo do Desvio Padrão :
S
1
S
1
=
558
⎛ 0 ⎞
− ⎜
⎟
⎝ 35⎠
35
2
= 3 ,9 9
Cálculo do Coeficiente de Variação :
⎛ 262 ,5 ⎞
C .V . = ⎜
⎟ .100
⎝ 3,99 ⎠
C .V . = ( 0 ,5320 ).100
C .V . = 53,20%
Cálculo da Variância :
Var.= S
2
V a r . = 3 ,9 9 2
V a r . = 1 5 ,9 2
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E2
23
MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
É o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição de
freqüência, é calculada pêlos coeficientes de “Pearson”.
a
a
1
2
X − X$
=
S
~
3.( X − X
=
S
)
Simétrica
a
1
=
a
2
= 0
~
X = X = X$
Assimétrica Negativa
a∠ 0
~
X ≠ X ≠ X$
Assimétrica Positiva
a>0
~
X ≠ X ≠ X$
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E2
24
COEFICIENTE DE CURTOSE (K)
É o Grau de achatamento de uma distribuição de freqüências.
CURVA LEPTOCÚRTICA
CURVA MESOCÚRTICA
CURVAPLACITÚRTICA
Cálculo do coeficiente de curtose (k)
K
=
0 ,5 . ( Q 3 − Q 1 )
P 90 − P 10
Onde : Q3 = 3° Quartil
Q1 = 1° Quartil
P90 = Percentil de n° 90
P10 = Percentil de n° 10
Obs.: Se: K = 0,263 à curva é mesocúrtica
K > 0,263 à curva é platicúrtica
K < 0,263 à curva é leptocúrtica
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E2
25
EXERCÍCIO
Abaixo está representada o número de funcionários de 250 empresas
associadas a determinado sindicato patronal .
Número de
Empregados
F
O !----------50
50!---------100
100!--------150
150!--------200
200!--------250
40
50
70
60
30
Determine:
1- A tabela analitica completa
2- A amplitude do intervalo de classe
3- A amplitude total
4- A média aritmética ( 3 processos)
5- A mediana
6- A Moda
7- O l.o, 2.o e 3.o quartis
8- O 6.o e o 8.o decis.
9- O 10.o , 50.o e 90.o percentis.
10- O desvio Padrão (2 processos)
11- O coeficiente de Variação
12- A variância.
13- A Assimetria ( analise-a ).
14- O coeficiente de curtose (calcule e classifique)
15- Construa um gráfico de colunas juntas da distribuição.
16- Qual o númro de empresas com menos de 100 empregados.
17- Qual o percentual de empresas com mais de 200 empregados
18- Faça um relatório da análise.
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E2
26
Fórmulas
PM = LP + LA
2
1 + 3,3 log n
c=
n°
Δ
de
t
classes
⎛ F ⎞
Fr = ⎜
⎟ × 100
⎝ ΣF ⎠
d = PM - A
“u” = Variável estatística, definida pela fórmula :
u =
d
c
Média Aritmética
⇒
X
⇒
X
⇒
X
1
2
3
=
=
=
⎛ Σ F pm ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
n
A +
⎛ Σ F d ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
n
⎛ Σ F u ⎞
A + ⎜
⎟ .C
⎝
⎠
n
O b s .: N = Σ F
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão
E2
27
Mediana
x~ =
L
i
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+
⎛ n ⎞
⎜ ⎟ −
∑ F _ ant
⎝ 2 ⎠
F _ c la s s e _ M e d ia n a
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
C
MODA
x$ =
⎛
⎜
⎝
Li+
Δ
Δ
1
+
1
Δ
⎞
⎟.
2⎠
C
QUARTIL
Q
1
=
LQ
i
1
+
⎛ ⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟−
⎜ ⎝ 4⎠
⎜
F
⎜
⎝
⎞
∑ F _ ant ⎟
⎟.
⎟
Q
⎟
1
C
⎠
DECIL
D
i
=
L D
i
i
+
⎛ ⎛ i.n ⎞
⎟ −
⎜ ⎜⎝
⎜ 10 ⎠
F
⎜
⎜
⎝
∑
D
i
⎞
F _ ant ⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
C
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão
E2
28
PERCENTIL
P
i
=
L P
i
i
⎛ ⎛ i. n ⎞
⎟−
⎜⎜
⎝
⎠
100
⎜
⎜
F
⎜
⎝
+
⎞
∑ F _ ant ⎟
⎟.
⎟
P
⎟
i
C
⎠
desvio padrão
S
1
S
ΣFd
N
=
2
=
C.
2
⎛ ΣFd ⎞
− ⎜
⎟
⎝ N
⎠
ΣFu
N
2
2
⎛ Σu ⎞
− ⎜
⎟
⎝ N ⎠
2
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
⎛ s ⎞
C .V . = ⎜ ⎟ . 1 0 0
⎝ X ⎠
para
X ≠ 0
VARIÂNCIA
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E2
29
Var = S
2
ou
S =
Var
ASSIMETRIA
a
a
1
2
X − X$
=
S
~
3.( X − X
=
S
)
MEDIDAS DE CURTOSE
K
=
0 ,5 . ( Q 3 − Q 1 )
P 90 − P 10
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão
E2
30
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
⎛ s ⎞
C .V . = ⎜ ⎟ . 1 0 0
⎝ X ⎠
para
X ≠ 0
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão
E2
31
LISTA DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Nos problemas a seguir , pede-se:
a) Faça os cálculos (se o n.o de elementos for menor ou igual a 20, use a técnica simplificada, se o número de
elementos for maior que 20, tabule e faça a tabela analítica “COMPLETA” (e use as fórmulas adequadas).
b) USE SEMPRE 2 (DUAS) CASAS DECIMAIS ARREDONDADAS
c) Calcule a média aritmética
d) Calcule a mediana
e) Calcule a Moda
f) Calcule o desvio padrão
g) Calcule o coeficiente de variação
h) Faça uma ANÁLISE COMPLETA dos resultados
i) Construa um gráfico da distribuição de freqüências.
1)A psicóloga de uma escola fez a análise das idades de 15 alunos, que apresentavam dificuldades de aprendizagem,
visando avaliar o perfil dos mesmos. As idades destes alunos eram:
11, 15, 9, 12, 16, 14, 11, 11, 10, 13, 10, 11, 12, 12, 14
2) A direção da Clinica Psicológica da UNIP , determinou a um grupo de alunos estagiários que fizessem uma pesquisa
com um grupo de 35 pacientes, objetivando analisar o QI dos mesmos. Os Qis levantados foram os seguintes:
110, 172, 85, 90, 111, 120, 140, 150, 155, 160, 97,
115, 98, 111,99, 135, 150, 98, 133, 140, 105, 85,
111, 95, 120, 90, 151, 140, 130, 99, 99, 128, 91,
170, 159
3) A psicóloga de uma escola fez a análise dos QIs. de 15 alunos, que apresentavam dificuldades de aprendizagem, visando
avaliar o perfil dos mesmos. As avaliações foram efetuadas através da aplicação de testes WISC , WAIS-R e STROOP
TEST , e os resultados foram:
110, 85, 98, 125, 163, 140, 110, 110, 100, 134, 100, 112, 128, 121, 143
4) A direção da Clinica Psicológica da UNIP , determinou a um grupo de alunos estagiários que fizessem uma pesquisa
com um grupo de 35 pacientes, objetivando analisar a idade dos mesmos. As idades levantados foram os seguintes:
11, 17, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 9,
11, 9, 11,9, 13, 15, 9, 13, 14, 10, 8,
11, 9, 12, 9, 15, 14, 13, 9, 9, 12, 9,
17, 15
5) Uma turma de estatística, do curso de psicoplogia, 1.o ano, teve as seguintes médias no 1.o bimestre:
1
9
5
2
7
4
3
5
6
4
2
3
5
1
2
6
6
7
7
8
6,5
8
9
5
4
3,5 2
10
3
1
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão
E2
32
6) Um grupo de estudantes foi avaliado, objetivando analisar o peso médio deles (em KG), e obteve-se os seguintes
resultados:
80
71
55
75
61
65
60
51
75
55
71
72
49
61
65
92
90
66
77
65
50
64
75
60
7) Nas questões abaixo, de a definição sobre os têrmos pedidos e de exemplos:
7.1 - Medidas de tendência central
7.2 - Medidas de posição
7.3 - Medidas de dispersão
7.4 - Medidas de assimetria
8) De uma característica das medidas de variação.
9) Quais os itens “BÁSICOS” de uma análise de dados estatísticos?
10) Faça estes cálculos estatísticos pedidos no EXCEL ( a forma de carregar as fórmulas no Excel estão ao final desta lista
de exercícios)
Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão