EXERCÍCIOS – MAT 2214
Observação: alguns exercícios foram extraídos da apostila do Prof. Lori Viali
Estatística Descritiva
(1) Identifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguintes características das
unidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia do Usuário do aplicativo
Microsoft Excel:
(1.1) mês (1.2) tipo de produto (1.3) vendedor (1.4) região do país (1.5)unidades vendidas
(1.6) total de vendas.
(2) Determinar média, mediana e moda dos seguintes conjuntos:
(2.1) {1, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e 11}
(2.2) {6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5}
(2.3) {8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 10, 10, 15, 10, 16 e 10}
(2.4) {23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 18}
(3) Para os conjuntos abaixo calcular as seguintes medidas: amplitude, variância, desvio
padrão, coeficiente de variação.
(3.1) {0,04 0,18
(3.2) {-7/4 -1/3
0,45 1,29 2.35}
3/5 7/20 1
4/3}
(4) Dados os seguintes conjuntos de valores:
(a) {1 3 7 9 10}
(b) {20 60 140 180 200}
(c) {10 50 130 170 190.}
Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em (a), determinar, através das
propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em (b) e (c).
(5) O conjunto de dados abaixo representa uma amostra de 40 elementos:
3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 2,88
5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 4,15
5,28 5,41 7,77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 6,00
0,90 5,09 4,07 8,67 0,90 6,67 8,96 4,00 2,00 2,01
1
(5.1) Agrupe os dados em uma distribuição de freqüências, considerando o limite inferior
igual a zero, o superior igual a 10 e utilizando cinco classes de mesma amplitude.
(5.2) Construa o histograma de freqüências relativas.
(5.3) Obtenha média, mediana e moda
(5.4) Obtenha desvio padrão e coeficiente de variação
(6) Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página
conforme tabela:
(6.1) Qual o número médio de erros por página?
(6.2) Qual o número mediano de erros por página?
(6.3) Qual o número modal de erros por página?
(6.4) Qual o desvio padrão do número de erros por página?
(7) Durante certo período de tempo o rendimento de 10 ações foram os seguintes:
{2,59 2,64 2,69 2,62 2,57 2,55 2,61 2,50 2,63 2,64}
(7.1) Calcule o rendimento médio.
(7.2) Calcule o rendimento mediano.
(7.3) Calcule o rendimento modal.
(7.4) Calcule o desvio padrão do rendimento.
(7.5) Calcule o coeficiente de variação do rendimento
(8) O departamento de pessoal de um certa firma fez um levantamento dos salários dos 120
funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela:
2
(8.1) Determine o salário médio dos funcionários
(8.2) Determinar a variância, desvio padrão dos salários e coeficiente de variação
(8.3) Determinar o salário mediano.
(8.4) Determinar o salário modal .
(9) O que acontece com a média e o desvio padrão de um conjunto de dados quando:
(9.1) Cada valor é multiplicado por 2.
(9.2) Soma-se o valor 10 a cada valor.
(9.3) Subtrai-se a média de cada valor.
(9.4) De cada valor subtrai-se a média e em seguida divide-se pelo desvio padrão
(10) Uma comunidade A tem 100 motoristas profissionais cujo salário médio é de 5 sm. A
comunidade B, com 300 desses profissionais, remunera-os com uma média de 4 sm.
(10.1) É correto afirmar que A remunera melhor seus motoristas profissionais que B?
(10.2) Diante das informações disponíveis há garantia que os 100 salários individuais de A
são maiores que os 300 de B? Por que?
(11) A média aritmética entre dois valores positivos é igual a 5 e a média geométrica igual
a 4. Qual a média harmônica entre estes dois valores?
(12) Os operários de um setor industrial têm, em uma época 1, um salário médio de 5
salários mínimos (sm) e desvio padrão de 2 sm. Um acordo coletivo prevê, para uma época
2, um aumento linear de 60%, mais uma parte fixa correspondente a 70% de um salário
mínimo. Calcule a média e o desvio padrão dos salários na época 2.
(13) Abaixo você encontra duas distribuições que refletem os comportamentos de x e y
(tamanhos de famílias) em duas comunidades. Utilize tais informações para uma análise
que indique qual das duas comunidades tem famílias maiores.
(14) Identifique, justificando, qual é a variável mais homogênea.
Distribuição A : n  100 ;

Distribuição B: X  50 ;
 xf
 5000 ;
x
2
f  256400
2
 xf
 10000 ;




f  x  X   7200


3
Números Índices
(15) A Deltour espera, para o próximo ano, um aumento de 50% na procura de seus pacotes
turísticos. Quanto deverá aumentar os preços se desejar dobrar seu faturamento?
(16) Se a Deltout esperasse, para o próximo ano, uma queda de 15% na procura de seus
pacotes turísticos. De quanto deveria aumentar os preços para manter inalterado seu
faturamento?
(17) Para a tabela a seguir calcule os índices de Laspeyres e Paasche.
produtos
unidade
Janeiro (data 0)
Agosto (data t)
Carne
Arroz
Feijão
Fubá
Óleo
Sal
Leite
Café
Açúcar
Pão
Manteiga
Alface
Batata
Cebola
Kg
Kg
Kg
Kg
Lata
Kg
Litro
Kg
Kg
50 gr
Pote
Unid
Kg
Pacote
Preço(p0)
8,8
1,7
2,9
3,2
2,19
0,42
0,7
8,4
1,3
0,08
1,58
0,5
3,4
3,7
quantid(q0)
4,5
5
2
1
5
1
23
0,5
5
60
3
3
5
1
Preço (pt)
11,12
1,7
3,2
3
2,3
0,54
0,95
9,5
1,5
0,1
1,6
0,65
4,5
3,9
Quantid(qt)
4,3
5
2
3
3
1
21
0,5
5
55
2
4
4
1
Laranja
Dúzia
2,4
3
2,4
2
(18) Em relação ao exercício anterior obtenha os índices de Fisher.
4
Fundamentos da Probabilidade
(19) As placas de automóveis contêm 3 letras seguidas de 4 números. Quantas placas
diferentes podem ser formadas com esta combinação se for:
(19.1) sem números ou letras repetidas
(19.2) com repetição
(20) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o
espaço amostral do experimento.
(21) Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral  , expresse em
termos de operações entre eventos:
(21.1) A ocorre, mas B não ocorre;
(21.2) Exatamente um dos eventos ocorre;
(21.3) Nenhum dos eventos ocorre.
(22) sejam P(A) = 0,3, P(B) = 0,8 e P(A  B) = 0,15.
(22.1) A e B são mutuamente exclusivos? Justifique.
(22.2) Qual P( B c ) e P( Ac )?
(22.3) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A)
(22.4) Determine P(AUB), P( A c  B ) , P( A B c ) e P( A c  B c )
(23) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 14 de Administração e 21 de
Contábeis. Deseja-se eleger ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a
probabilidade de que esta comissão seja formada por:
(23.1) Alunos só da Economia.
(23.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso.
(23.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis.
(23.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis.
(24) Suponha-se que são retiradas duas bolas de uma caixa contendo 3 bolas pretas e 5
bolas vermelhas. Determine todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades
supondo extração:
(24.1) com reposição (24.2) sem reposição.
5
(25) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um
prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das
mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H: o freguês é homem A: O freguês prefere salada
M: O freguês é mulher B: O freguês prefere carne
Calcular:
(25.1) P(H)
(25.5) P(A  H )
(25.2) P(B/H)
(25.6) P(M/A)
(25.3) P(B/M)
(25.4) P(A H)
(26) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com seis lâmpadas boas.
As lâmpadas são testadas, sem reposição, até encontrar as duas queimadas.
(26.1) Escreva o espaço amostral
(26.2) Qual a probabilidade de encontrar as duas queimadas em 4 ensaios?
(26.3) Qual a probabilidade de encontrar as duas queimadas em 7 ensaios?
(27) Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um
experimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas. Assuma
independência entre as identificações.
(27.1) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma
para distinguir?
(27.2) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa?
(28) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 10%, 20% e 30% de defeituosos
na sua produção. As três máquinas produzem igual quantidade de peças. Retiramos uma ao
acaso da produção global e verificamos que é defeituosa. Qual a probabilidade de:
(28.1) ter sido produzida pela máquina A?
(28.2) ter sido produzida pela máquina B?
(28.3) ter sido produzida pela máquina C?
(29) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com
probabilidade 0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os
fiscais é de 0,90 e de 0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito
tenha sido examinado:
(29.1) pelo primeiro fiscal?
(29.2) pelo segundo?
6
Variáveis aleatórias discretas
(30) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retira-se 3 bolas, sem
reposição, e seja a variável aleatória X = número de bolas pretas retiradas.
(30.1) Identifique o modelo
(30.2) Escreva a f.m.p de X.
(31) O tempo T, em minutos, para que um operário processe certa peça é uma v.a. discreta
com massa dada na tabela abaixo.
(31.1) Calcule o tempo médio de processamento, variância e desvio padrão
(31.2) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se processa a
peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 para cada minuto poupado. Por exemplo, se
ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia de R$ 1,00. Obtenha a fmp da v.a.
G  ”quantia ganha por peça”
( 31.3) Obtenha média, variância e desvio padrão de G.
(32) Um agente quer aplicar no mercado financeiro com o objetivo de fazer muitas
aplicações mensais sucessivas. Ele dispõem de duas opções, mas usará a de maior
rentabilidade. Ele deve optar entre:
I - CDB com renda de 3% ao mês
II - Bolsa de valores com renda de 6% ao mês com probabilidade 0,46, 4% com
probabilidade 0,45 ou prejuízo de 15% ao mês com probabilidade de 0,09.
Qual a opção mais lucrativa para o agente?
(33) Seja f(x) = 0,1x a função de probabilidade da variável aleatória com conjunto de
resultados  X ={ 1, 2, 3, 4 }.
7
(33.1) Faça uma tabela para a fmp
(33.2) Obtenha E(X) e Moda
(33.2) Obtenha Var(X), DP(X) e CV
(34) Em 8 lançamentos de uma moeda equilibrada, qual a probabilidade:
(34.1) Exatamente duas caras ?
(34.2) No máximo 2 caras ?
(34.3) No mínimo 6 caras ?
(34.4) Entre 3 (incluso) e 7(incluso) caras?
(35) A probabilidade de um parafuso produzido por uma empresa ser defeituoso é 0,03.
Seja X a variável: “número de parafusos defeituosos em envelopes de 500 parafusos”.
(35.1) Calcule E(X) e V(X).
(35.2) Suponha que se compre 100 destes envelopes. Quantos defeituosos devem-se
esperar?
(36) Uma distribuição binomial tem média igual a 3 e variância igual a 2. Calcule P(X = 2).
(37) Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro  , e se P(X = 0) = 0,20,
calcular P(X > 2).
(38) As chegadas de petroleiros a uma refinaria a cada dia ocorrem segundo uma
distribuição de Poisson com parâmetro   2 . As atuais instalações podem atender, no
máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem por dia o excesso é enviado para
outro porto.
(38.1) Qual o número médio e qual o desvio padrão do número de petroleiros que chegam
por dia?
(38.2) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(38.3) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os
navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
8
Variáveis aleatórias contínuas
(39) Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fda:
0, x  0

F ( x )   Kx 3 ,0  x  1
1, x  1

(39.1) encontre K .
(39.2) Calcular P( X  2 / 5) , P( X  1 / 3) e P(1 / 4  X  3 / 4) .
(40) Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:
(40.1) E(X), Mediana e Moda (se existir)
(40.2) Var(X), DP(X) e CV.
(40.3) P(12,31 < X < 16,50), P(X>18,2), P(X<7,6)
(41) Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de duração T (em unidades
de 1000 horas) que é considerado uma variável aleatória com fdp dada por:
0, t  0
;  0
f (t )  
  exp   t, t  0
(41.1) Identifique o modelo
(41.2) Obtenha  sabendo que E (T )  1,5
(41.3) Suponha que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de venda
seja 5,00 u.m. O fabricante garante total devolução se T  t . Qual o lucro esperado por
item?
(41.4) Em (41.3), qual deverá ser t tal que T  t  levará ao lucro esperado de 0,5 u.m.
9
(42) Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte densidade de probabilidade:
0, t  0

f (t )   1
1



exp

 t , t  0

1000
 1000 

(42.1) Identifique o modelo
Determine a probabilidade de que uma lâmpada dure:
(42.2) mais do que 1200 horas.
(42.3) menos do que sua duração média.
(42.4) entre 900 e 1100 horas
(43) Se X ~ N(   10,   2). Calcular:
(43.1) P(8 < X < 10); P(8  X  12)
(43.2) P( |X| < 11); P(X < 8 ou X > 11)
(44) Para uma distribuição N(  ; ), encontre:
(44.1) P(X <   2 )
(44.2) P(|X -  |   )
(44.3) O número a , tal que P(   a  X    a ) = 0,90
(44.4) O número a , tal que P(X > a ) = 0,95
(45) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória com distribuição
normal de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel diferir da média,
em módulo, mais do que 0,03 cm, então ele estará fora da especificação da fábrica.
(a) Se anéis fora da especificação são vendidos por R$ 5,00, e dentro da especificação
por R$ 10,00, qual o preço médio de venda de cada anel?
(b) Para ter um preço médio de 10 u.m., em quanto deve ser fixado o preço de venda se
o anel estiver dentro da especificação?
10
(46) Uma máquina de envasar garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume
médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3, com desvio padrão de 10 cm3. Pode-se
admitir que a distribuição da variável seja normal.
(46.1) Qual a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 ?
(46.2) Qual a percentagem de garrafas em que o volume do líquido não se desvia da média
(em módulo) em mais do que dois desvios padrões?
(46.3) O que acontecerá com a percentagem do item (46.2) se a máquina for regulada de
forma que a média seja 1200 cm3 e o desvio padrão 20 cm3 ?
Variáveis aleatórias bidimensionais
(47) A tabela abaixo consta a distribuição conjunta de (X,Y)
X
Y
0
1
2
(47.1)
(47.2)
(47.3)
(47.4)
(47.5)
1
0,1
0,2
0
2
3
0,1
0
0,1
0,1
0,3
0,1
Determine as distribuições marginais
Obtenha esperança e variância de X e Y
Verifique se X e Y são independentes
Calcule P X  1 | Y  0  e PY  2 | X  3
Calcule P X  2 e P X  2 | Y  1
(48) Seja a distribuição conjunta a seguir
X
Y
1
2
3
1
2
3
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,1
0
0,3
0
(48.1) Obtenha  ( X , Y )
(48.2) Mostre que embora E(XY)= (EX) ( EY), X e Y não são independentes
11
Respostas dos exercícios
Estatística Descritiva
(1) Mês (Qualitativa ordinal) ; Tipo de produto (Qualitativa nominal); Vendedor
(Qualitativa nominal); Região do país (Qualitativa nominal); Unidades vendidas
(Quantitativa discreta); Total de vendas (Quantitativa contínua).
(2)


(2.1) X  5,375 não tem moda, Md=5 (2.2) X  5,181818 ; Mo=Md=5

(2.3) X  8,461538 ; Modas são 4 e 10, Md=9

(2.4) X  23,13333 ; Md=Mo=18
(3)
(3.1) (a) 2,31 (b) 0,92692 (c) 0,96 (d) 111,69%
(3.2) (a) 37/12 = 3,08 (b) 1,238 (c) 1,113 (d) 556,50%

(4) X  6 ; S X  3,87298

Y  20 X ,

Y  20 X , S Y  20S X

Z  20 X  10 ,

Z  20 X  10 , S Z  20 S X
(5)
(5.1)
Variável
Freqüências ( f )
x
0|-------2
2|-------4
4|-------6
6|-------8
8|-------10
Total
5
12
14
5
4
40
1
3
5
7
9
----
x f
182
x2  f
%
1032
12,5
30,0
35,0
12,5
10,0
100
12
(5.2)
(5.3)
 xf
 182 ,
x
2
f  1032

 20  17 
X  4,55 , Md  4  2
  4,42857
 14 
(5.4)
S 2  5,22820
(6)
 xf
S  2,286526
 33 ;
x
2
 5 
Mo  4  2
  4,58823
 5  12 
CV  50,253337%
f  57
(6.1) 0,66 erros (6.2) 0,50 erros (6.3) Zero erros (6.4) 0,8485 erros
(7)
 x  26,04
x
2
 67,8342
(7.1) 2,604% (7.2) 2.615% (7.3) 2,64% (7.4) 0,053789% (7.5) 2,06557%
(8)
Faixa
Freqüências ( f )
F
x
x f
x2  f
1|-------3
3|-------5
5|-------7
7|-------10
Total
30
48
24
18
120
30
78
102
120
----
2
4
6
8,5
----
549
3052,5
13
 60  30 
(8.1) 4,58 sm (8.2) 4,54 e 2,13 sm ; CV=46,5% (8.3) Md  3  2  
  4,25 sm
 48 
 24 
(8.4) Mo  3  2  
  3,89 sm
 24  30 
(9)
(9.1) A média e o desvio padrão ficam multiplicados por 2.
(9.2) A média fica somada de 10 e o desvio padrão não se altera.
(9.3) A média fica igual a zero e o desvio padrão não se altera.
(9.4) A média fica igual a zero e o desvio padrão fica igual a 1.
(10) (10.1) Sim, em média. (10.2) Não, pois pode existir algum salário em A que seja
menor do que um salário de B.
(11) x1  2; x 2  8; mh  3,2

(12) X = 1,6  5 +0,70=8,70 sm
e
s = 1,6  2 =3,20 sm
(13) A comparação pretendida deve ser feita pelas médias. As famílias de base cultural X
têm, em média, 5,23 membros, enquanto que as de base Y tem 5,10. Então as de base X
têm o hábito de ter famílias maiores.
(14) A: s A  8,0403 ; CV=16,08%
B: s B  6,015 ; CV=12,00%
É a distribuição B, cujo coeficiente de variação é 0,12, o menor entre as duas.
Números Índices
(15) aumento de 33%
(16) aumento de 17,64%
(17)
p q
0
0
 134,21 ,
pq
t
t
 149,356 ,
p q
L0p,t  1,192 ,
Lq0 ,t  0,93726 ,
Lv0,t  1,113
P0p,t  1,186 ,
P0q,t  0,94 ,
P0v,t  1,113
0
t
 125,79 ,
pq
t
0
 160,43
14
(18) F0p,t  1,1906 ; F0q,t  0,938 ; F0v,t  1,113
Fundamentos de Probabilidade
(19)
3
(19.1) total de placas sem repetição de letras ou números é A26
 A104
(19.2) total de placas com repetição de letras ou números é 26 3  10 4
(20)  = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, ckkc, kkcc, ckck, kckc, kcck, kkkc, kkck,
kckk, ckkk, kkkk},
(21)
(21.1) A B c  A  B

(21.3) A c  B c  A B

(21.2) A B c
 A  B   A B   A B 
c

c
(22)
(22.1) Não, pois P( A B)  0 (22.2) 0,20 e 0,70
(22.3) 0,1875 e 0,5
(22.4) (a) 0,95 (b) 0,65 (c) 0,15 (d) 0,05
(23)
(23.1)
(23.4)
1
1
C 92
C 91  C 35
C 91  C 21
9 8
9 35
9 21
(23.2)
(23.3)



2


 2 
2
2
2
44 43
44 43
C 44 44 43
C 44
C 44
C142 C 212
14 13 21 20
 2 
 

2
C 44 C 44 44 43 44 43
(24)
24.1
24.2
15
(25)
A
B
Total
H
0,15
0,6
0,75
M
0,175
0,075
0,25
Total
0,325
0,675
1
(25.1) 75% (25.2) 80% (25.3) 30% (25.4) 15% (25.5) 92,50% (25.6) 7/13 = 53,85%
(26)
(26.1)  ={QQ, BQQ, QBQ, BQQQ, BQBQ, QBBQ,........,QQQQQQBB}
Número de elementos de  é 28
(26.2) 3/28
(26.3) 6/28
(27)
(27.1) 0,125 = 12,50%
(27.2) 0,729 = 72,90%
(28)
D
P
Total
A
1/30
9/30
1/3
B
2/30
8/30
1/3
C
3/30
7/30
1/3
Total
1/5
4/5
1
(28.1) 1/6 (28.2) 2/6 (28.3) 3/6
(29)
E
Ec
Total
A
0,495
0,055
0,55
B
0,441
0,009
0,45
Total
0,936
0,064
1
(29.1) 55/104 (29.2) 49/104
16
Variáveis Aleatórias discretas
(30)
(30.1) Hipergeométrica com N=8; n=3; r=5
(30.2)
x
f(x)
0
C  C 33
C 83
0
5
1
C  C 32
C83
1
5
2
C  C 31
C83
2
5
3
C  C 30
C 83
3
5
total
1
(31)

 E (T )  4,60 ; Var(T)=2,04, DP(T)=1,428, CV=31,0496%
(31.2)
Tempo
6 ou 7
5
4
3
2
Total
Ganho
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
--------
Probab
0,30
0,20
0,30
0,10
0,10
1

G
 tal
P(G=g)  

G)=2,75; Var(G)=0,4125, DP(G)=0,6422, CV=23,3550%

(32) A bolsa com expectativa de renda de 3,21% ao mês contra os 3% ao mês do CDB.
(33)
(33.1)
x
f(x)
1
0,1
2
3
4
0,2 0,3 0,4
(33.2) E(X)=3, Moda-4
(33.3) Var(X)=1, DP(X)=1, CV=33,33%
17
(34)
(34.1) 0,109375 (34.2) 0,14453125 (34.3) 0,14453125 (34.4) 0,8515625
(35) (35.1) E(X) =15; V(x) = 14,55 (35.2) 1500
(36) 23,41%
(37) ≅1,6;
21,67%
(38)
(38.1) E(X)=2, Var(X)=2, DP(X)= 2
(38.2) Mo (1)  1 ; Mo ( 2)  2 , Md  2
(38.3) 0,1429
(38.4)
x
f(x)
0
0,1353
1
0,2707
2
0,2707
3
0,1804
4
0,0902
5
0,0361
6
0,0120
7
0,0034
8
0,0009
9
0,0002
Deve-se resolver a equação P X  k   0,95 , cuja solução é k  5 . Logo, aumentar em
k  3  2 vagas .
Variáveis Aleatórias contínuas
(39)
(39.1) K  1
(39.2) 0,064; 0,96296; 0,40625
(40)
(40.1) E(X) = 15, Md=15 e não tem moda
(40.2) V(X) = 8,33, DP(X)=2,8862, CV=19,2411%
(40.3) P(12,31 < X < 16,50) = 41,90%
(41) (41.1) Exponencial (41.2)   2 / 3 (41.3) 5  exp{2 / 3  t}  2
(41.4) 5  exp{2 / 3  t}  2  0,5  t  1,03972 u.t.
(42) (42.1) Exponencial de parâmetro 0,001 (42.2) E(X)=1000, Md=693
(42.3) 30,12% (42.4) 63,21%
18
(43) (43.1) 34,13% (43.2) 68,26% (43.3) 6,68% (43.4) 46,72%
(44) (44.1) 97,72% (44.2) 68,26% (44.3) a=1,645 (44.4) a =
(45) 9,33 u.m.
(46) (46.1) 15,87% (46.2) 95,44% (46.3) Não se altera
Variáveis Aleatórias bidimensionais
(47)
(47.1)
x
1
2
3

f X (x )
0,3
0,2
0,5
1
y
0
1
2

fY ( y)
0,3
0,5
0,2
1
(47.2) EX=2,2 Var(X)=0,76
EY=0,9 Var(Y)=0,49
(47.3)
não são independentes, pois
(47.4) P ( X  1 | Y  0) 
(47.5)
P ( X  2) 
1
,
2
f (1,0)  f X (1)  f Y (0)
1
1
, P (Y  2 | X  3) 
3
5
P ( X  2 | Y  1) 
1
8
(48)
(48.1) E(XY)=4 ; EX=EY=2. ; Var ( X )  0,6 ; Var (Y )  0,4
( X ,Y )  0
(48.2) E(XY)=(EX)(EY), mas
f (1,1)  f X (1)  f Y (1) , ou seja, não são independentes.
19