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GA123 – PROJETO E ANÁLISE DE REDES GEODÉSICAS
EXERCÍCIOS
1) Estimar a precisão do perímetro e da área de uma circunferência, e do volume de uma esfera, cujo raio
(R) pode ser medido com as seguintes características: R = 15,5 cm e σR = 0,25 cm.
2
Respostas: σperímetro = 1,57 cm; σárea = 24,35 cm ; σvolume = 754,77 cm
3
2) As direções di foram observadas com a mesma variância σi2 = 3”(2) e sem correlação (GEMAEL, 1994,
p.53). Calcular:
a) a variância dos ângulos bi
b) o coeficiente de correlação entre os ângulos
b1 e b2
b1 e b3
b1 e b4
Respostas:
a)
6 3
3 6
=
b 3
3

0 − 3
∑
3 0
3 − 3 2
(" ) ; b) ρb1b2 = 0,5; ρb1b3 = 0,5; ρb1b4 = 0
6 3

3 6
3) A posição do ponto P1 foi projetada em escritório, por um engenheiro cartógrafo, de acordo com o
croqui abaixo:
600m
500m
P1
P2
400m
300m
200m
100m
P3
900m
800m
700m
600m
500m
400m
300m
200m
100m
P0
0m
0m
Estimar a precisão das coordenadas do ponto 1 a partir de uma medida angular e uma medida linear
tomadas a partir do ponto P0. O engenheiro tem a sua disposição uma estação total TCRA 1205, com
precisão nominal angular de 5” (σθ) e linear de 2mm + 2ppm (σd). Considerar que o engenheiro irá
trabalhar dentro da capacidade instrumental e que as coordenadas do ponto P0 estão isentas de erros.
Respostas: σX = 12,60 mm; σY = 21,09 mm
4) Um engenheiro deseja conhecer a distância b entre os pontos A e C, porém não pode medi-la
diretamente. Desta forma, implantou em campo uma rede composta por três pontos como ilustrado na
figura abaixo. Os ângulos internos A e B do triângulo plano são conhecidos, fixos e supostamente isentos
de erros. A distância b pode ser calculada a partir dos ângulos A e B e da distância a pela lei dos senos:
a
b
c
=
=
senA senB senC
Considerando que a precisão na medida da distância a é de 0,015m (σa=0,015m), determine a precisão
da distância b para as seguintes geometrias da rede:
a) para A=60° e B=60°
b) para A=120° e B=15°
2
c) para A=15° e B=120°
d) indique qual é a melhor geometria e justifique sua resposta.
Respostas: a) σb = 0,015 m; b) σb = 0,0045 m; c) σb = 0,050 m
5) Na figura abaixo, a distância (d) não pode ser medida diretamente, entretanto, é possível medir as
distâncias (s1) e (s2) e o ângulo (α). São conhecidas as medidas aproximadas, obtidas a partir de um mapa
da região, e os desvios padrão das medidas a partir da escolha de um equipamento:
Medidas
s1 = 136m
s2 = 115m
α = 50°
Desvio Padrão
σs1 = 1,5cm
σs2 = 1,5cm
σα = 10”
a) estimar σd
b) determinar o número necessário de observações
(ns1, ns2 e nα) para que σd < 0,5cm
c) estimar nα quando ns1 = ns2 = 5
d) estimar σd quando ns1 = ns2 = nα = 5
e) estimar σs1 , σs2 , e σα para σd < 1,0cm considerando ns1 = ns2 = nα = 1
Respostas: a) σd = 1,0883 cm; b) ns1 = 9; ns2 = 2; nα = 4 (supondo que todos contribuem igualmente)
6) Duas equipes estão em campo medindo direções com estações totais TC 2002 da Wild cuja precisão
angular nominal é de 0,5”. As leituras obtidas são:
OPERADOR 2
OPERADOR 1
30º 45’ 36,1”
105º 22’ 41,3”
35,8”
43,6”
35,3”
41,2”
37,3”
43,5”
36,4”
41,2”
36,8”
43,3”
36,4”
43,4”
36,2”
41,4”
35,2”
43,8”
35,1
41,1”
a) Verificar se os operadores estão trabalhando dentro da capacidade nominal do aparelho.
b) Considerando um critério de rejeição de 1σ, determinar o valor mais provável das duas direções e sua
precisão.
c) Quais os significados dos critérios de rejeição 1σ, 2σ, 3σ?
Respostas: a) operador 1: média = 30º 45’ 36,06”; desvio padrão = 0,72”; operador 2: média = 105º 22’ 42,38”; desvio
padrão = 1,21”; nenhum está trabalhando dentro da precisão nominal do aparelho
b) operador 1: número de observações rejeitadas = 5; média = 30º 45’ 36,18”; desvio padrão = 0,25”; operador 2:
número de observações rejeitadas = 3; média = 105º 22’ 42,19”; desvio padrão = 1,14”
7) (Adaptado de HAZAY, 1970) O desvio padrão para a observação de uma direção (σD) em campo é dado
pela precisão angular nominal do equipamento utilizado. Determinar o desvio padrão de um ângulo α (σα)
formado por duas direções (D1 e D2) observadas em campo.
Resposta:
σα = σ D 2
3
8) Em campo foram observadas duas direções L1 e L2, conforme esquematizado abaixo. Considerando
que o desvio padrão indicado pelo fabricante do equipamento é válido para o valor de medição de direção
e que o equipamento disponível é uma estação total Elta S20 com precisão nominal angular de 3” e linear
de 3mm + 3ppm, determine a precisão do ângulo horizontal α.
1
1
L
2
L
α
4
0
Resposta: σα = 4,24”
9) (Adaptado de CHRZANOWSKI, 1977) Um ângulo β foi determinado em três séries de medidas
independentes, cada série tem precisão σβ = 5”. Estimar o desvio padrão do ângulo médio (β0) calculado a
partir das três séries:
Resposta: σβ0 = 2,9”
10) (Adaptado de HAZAY, 1970) A altitude do ponto B (HB) foi determinada a partir do ponto A por
nivelamento trigonométrico. Determine a precisão da altitude de B sendo dadas as seguintes observações
e seus respectivos desvios padrão:
- altitude do ponto A: HA= 148,32m ; σHA= 0,15m
- distância horizontal entre A e B: D=1000,00m ; σD= 0,10m
- altura do instrumento: hi= 1,40m ; σhi= 0,01m
- altura do refletor: hp= 5,00m ; σhp= 0,01m
- ângulo zenital: Z= 89°42’13” ; σZ= 20”
Resposta: σHB = 0,18m
11) Considerando a Lei de Propagação de Covariâncias, monte: o modelo matemático; a matriz jacobiana,
e as matrizes variância covariância (ΣY e ΣX) para a seguinte situação:
Deseja-se determinar a precisão das coordenadas do ponto R (XR, YR e ZR), para tanto se
considera o rastreio GPS do ponto R utilizando como referência o ponto P1.
O ponto P1 possui coordenadas e suas respectivas precisões conhecidas:
X1 = 1.161.510 ,5022 m
Y1 = 4.667.575 ,5684 m
Z1 = 4.175.209 ,5623 m
σ X 1 = 0 ,003 m
σ Y 1 = 0 ,003 m
σ Z1 = 0 ,003 m
Estima-se que as componentes da linha de base P1R (∆X1, ∆Y1 e ∆Z1) e suas precisões sejam:
∆X1 = −5222 ,3959 m
∆Y1 = 39039 ,1396 m
∆Z1 = 38553 ,6976 m
σ ∆X1 = 0 ,072 m
σ ∆Y 1 = 0 ,073 m
σ ∆Z1 = 0 ,073 m
4
12) (Adaptado de CHRZANOWSKI, 1977).Uma distância inclinada (Di) e um ângulo zenital (Z) devem ser
medidos de forma a determinar uma diferença de altitude (∆H). Qual deverá ser a precisão da medida da
distância e do ângulo para que a precisão do desnível seja melhor do que 5mm (σ∆H < 5mm)? De um
reconhecimento prévio em campo, estima-se que Di=500m e Z=60°. OBS: ignorar possíveis erros nas
alturas de instrumento (hi) e sinal (hp) e efeitos devido a curvatura terrestre e refração atmosférica.
Respostas:
σ D = 7,07mm; σ Z = 1,7"
i
13) Com base no exercício anterior e supondo que a precisão da medida angular seja de 2”, qual deve ser
a precisão da medida da distância?
Resposta:
σ D = 5 ,4 mm
i
14) Com base no exercício anterior, o que acontece se a precisão angular for de 3”? Qual deve ser a
precisão da medida da distância?
Resposta: não é possível atingir a precisão requerida
15) (Adaptado de SCHOFIELD e BREACH, 2007) Qual deve ser o valor de precisão de cada ângulo de um
triângulo para que a precisão da soma dos mesmos seja de 6”?
Resposta: 3,4”
16) (Adaptado de MIKHAIL e GRACIE, 1981) As dimensões da base de um reservatório retangular são
85m (B) por 60m (C) aproximadamente. Se a área (A) da base do reservatório deve ser determinada com
um desvio padrão de 0,6m2, qual deve ser o desvio padrão da medida de cada um dos lados?
Resposta:
σ B = 7mm; σ C = 5mm
17) (Adaptado de MIKHAIL e GRACIE, 1981) A altura (h) da estação A, acima do centro óptico do
aparelho instalado na estação B, deve ser determinada com um desvio padrão de 0,010m a partir da
medida da distância inclinada (Di), do ângulo vertical (v) e da altura do sinal (hp).
Com a finalidade de realizar a pré análise, estima-se que os valores de Di e v são 400m e 30°,
respectivamente.
a) determine os desvios padrão para as medidas de Di, v e hp, assumindo que cada variável contribui
igualmente para a precisão de h.
b) se o desvio padrão para a medida do ângulo vertical for limitado pelo equipamento utilizado em 5”,
determine novos valores para o desvio padrão de Di e hp.
5
hp
Di
v
Respostas: a)
b)
σ D = 0 ,0115 m ; σ v = 3 ,4" ; σ h = 0 ,0058 m
i
p
σ D = 0 ,0077 m ; σ h = 0 ,0038 m
i
p
18) (Adaptado de HAZAY, 1970) Deseja-se determinar a área de um quadrilátero irregular, para tanto são
propostas quatro diferentes configurações de medida. Indique qual configuração fornece a melhor precisão
para a área. As estimativas das observações estão apresentadas na tabela abaixo:
Quantidade
Valor estimado
Precisão estimada
a
542,32m
0,074m
b
346,74m
0,059m
c
268,70m
0,052m
d
222,58m
0,047m
e
558,26m
0,075m
f
385,15m
0,062m
30”
α
129°46’53”
30”
β
102°50’58”
30”
γ
82°22’59”
30”
δ
44°59’10”
Opção 1- medidas dos quatro lados e da diagonal maior (σA= 32,5m2)
Opção 2- medidas dos quatro lados e da diagonal menor (σA= 18,9m2)
Opção 3- medidas dos quatro lados e dos ângulos α e γ (σA= 18,2m2)
6
Opção 4- medidas dos quatro lados e dos ângulos β e δ (σA= 19,4m2)
1
N
19) Determine com que precisão deve ser obtido o ângulo α e a distância D para que as coordenadas
planimétricas do ponto 1 atendam a seguinte condição: σX1 = σY1 < 5cm.
As coordenadas do ponto 0 e suas respectivas precisões são:
X0 = 1000,000m ; σX0 = 2,7cm
Y0 = 1000,000m ; σY0 = 3,2cm
As coordenadas aproximadas do ponto 1 são:
X1 = 1820,000m
Y1 = 1530,000m
σ α = 7 ,5" e σ D = 4 ,4 cm
0
Resposta:
D
α
20) Considerando os dados apresentados no enunciado do exercício 19 e supondo que se possa medir o
ângulo α com uma precisão de 10” e a distância D com uma precisão de 5cm, quantas vezes eu devo
medir α e D para que a coordenada X do ponto 1 (X1) tenha uma precisão melhor do que 5cm? OBS:
Realizar a análise apenas para a coordenada X.
Resposta:
nα = 1 e nD = 2
21) Considerando os dados apresentados no enunciado do exercício 8, quantas vezes as direções L1 e L2
devem ser medidas para que o ângulo horizontal α tenha precisão melhor que 2”.
Resposta: n=5 vezes
22) (Adaptado de DALMOLIN, 2002) Deseja-se determinar a distância inclinada entre dois pontos, um
localizado sobre o terreno e outro localizado no alto de uma torre, com uma precisão de 2mm. A distância
horizontal entre os pontos é de 400m e isenta de erros e estima-se que a altura da torre é de 80m. Com
que precisão deve-se determinar a altura da torre para garantir a precisão especificada para a distância
inclinada?
Resposta: 10,2mm
23) A MVC das coordenadas planimétricas (X, Y) de um ponto P é dada por:
1 1 
1 2  cm.


Calcular a elipse de erros deste ponto e verificar se ela atende a seguinte elipse de erros especificada:
σ max = σ min = 5 cm