Séries de Tempo
José Fajardo
Fundação Getulio Vargas-EBAPE
Setembro 2011
José Fajardo (FGV-EBAPE)
Processos Não Estacionários
Setembro 2011
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Motivação
A série temporal não estacionária não pode ser estimda trivialmente.
Problema: é impossı́vel estimar todos os momentos da série e fazer
inferências estatı́sticas.
A variância não condicional de um AR (1) é:
var (yt ) =
1
.
1 − φ2
Se φ = 1, o que caracteriza uma série não estacionária de raiz unitária,
então a variância explode.
Solução: diferenciar a série tantas vezes quantas sejam necessárias
para estacionarizá-la.
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Processos Não Estacionários
Setembro 2011
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TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA
Suponha o seguinte modelo:
yt = y0 + δt + ψ (L) εt .
Tal modelo é chamado de tendência estacionária, porque flutua em
torno de uma tendência determinı́stica.
A série também poderia ser estacionarizada pela primeira diferença, isto é:
4yt ≡ (1 − L) yt = yt − yt −1 = δ + (1 − L) ψ (L) εt .
Essa diferenciação estacionariza a série, entretanto introduz ruı́do por
tornar o erro não invertı́vel.
Logo, se uma série é tendência estacionária, é melhor estimá-la usando a
variável explicativa t.
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TENDÊNCIA ESTOCÁSTICA
Considere outra possibilidade:
4yt = δ + εt =⇒ yt = yt −1 + δ + εt .
Compondo recursivamente yt , obtém-se:
t
yt = y0 + δt + ∑ εi .
i =1
A variável aleatória yt é dada pela composição de todos os choques
havidos, ∑ti=1 εi .
Define-se tal série como sendo tendência estocástica ou diferença
estacionária.
Os choques produzem mudanças permanentes na série yt , ainda que
aleatórias.
Séries, cuja tendência é estocástica, são séries integradas e denotadas
por I (d ), em que d é a ordem de integração. Séries integradas com erros
estacionários são chamadas de séries ARIMA (p, d, q ). Diferenciando d
vezes a série, obtém-se uma série estacionária.
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Tendência estocástica pura
No caso I (1) com δ = 0, define-se o passeio aleatório ou tendência
estocástica pura pela equação:
yt = yt −1 + εt .
A previsão condicional H passos à frente é dada pela observação atual,
isto é:
H
Et ( y t + H ) = y t +
∑ Et (εt +h ) = yt .
h =1
A covariância é dependente do tempo:
t
∑ εi
Var (yt ) = Var
!
= tσ2 ;
i =1
t
Cov (yt , yt −j ) = E
∑ εi
i =1
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!
t −j
∑ εs
!
= (t − j ) σ 2 .
s =1
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Tendência estocástica pura
Divide-se a covariância pelo produto do desvio padrão em t e t − j:
r
r
t −j
j
(t − j ) σ 2
= 1− .
ρj = √ p
=
t
t
tσ (t − j )σ
Remark
Num processo não estacionário, a autocorrelação demora a cair, pois
reduz lentamente.
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j
t
se
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Tendência estocástica com drift
Ao adicionar um drift ao modelo, encontra-se o passeio aleatório com
drift:
yt
= yt −1 + δ + εt =
t
= y0 + δt + ∑ εi .
i =1
Nesse caso, o comportamento de yt depende de um componente
determinı́stico e de outro estocástico. A previsão H passos à frente é:
H
Et (yt +H ) = yt + δH +
∑ Et (εt +h ) = yt + δH.
h =1
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Tendência estocástica com drift e ruı́do
É possı́vel generalizar o modelo de passeio aleatório adicionando um ruı́do
a ele. É o passeio aleatório com ruı́do:
t
yt = y0 + ∑ εi + η t ,
i =1
em que
{η t } é um ruı́do branco;
ε t ⊥ η t −j .
Pode-se, com isso, encontrar que:
4yt = εt + 4η t .
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Tendência estocástica com drift e ruı́do
Importância: ser I (1) com uma correlação menor do que naquele passeio
aleatório puro, em razão da presença de σ2η :
t
∑ εi + η t
Var (yt ) = Var
!
= tσ2 + σ2η ;
i =1
t
Cov (yt , yt −s ) = E
∑ εi + η t
i =1
ρs
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=
!
t −j
∑ ε s + η t −j
!
= (t − j ) σ 2 ;
s =1
(t − j ) σ 2
r
h
i <
2
2
2
2
tσ + ση (t − j ) σ + ση
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r
j
1− .
t
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Tendências:
Figura: Séries temporais com tendência.
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Tendência geral mais componente irregular
O modelo mais geral possı́vel inclui tendência determinı́stica e estocástica
e resı́duos que seguem um processo ARMA (p, q ). O modelo é chamado
de tendência geral mais componente irregular:
t
yt = δt + y0 + ∑ εi + ψ (L) η t .
(1)
i =1
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REMOVENDO A TENDÊNCIA
No modelo com tendência estocástica, basta diferenciá-lo, inclusive se
houver tendência determinı́stica:
4yt = δ + εt + ψ (L) 4η t .
Se yt for integrado de ordem d, toma-se a d-ésima diferença. Porém,
como estimar uma série cuja tendência é determinı́stica?
1
Estime por mı́nimos quadrados ordinários:
yt = δ0 + δ1 t + δ2 t 2 + · · · + δn t n + et ,
2
em que et = ψ (L) εt , e obtenha os resı́duos estimados: b
et .
Estime o modelo ARMA (p, q ) a partir dos resı́duos estimados.
Para determinar n, use testes t, F ou AIC /BIC . Em geral, estima-se o
modelo com um n máximo, nmax . Se o teste t sobre δnmax não é rejeitado,
retira-se t n e estima-se o modelo até t n−1 , repetindo o teste. Procede-se
assim até rejeitar que δn−i = 0.
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REMOVENDO A TENDÊNCIA
É proibido diferenciar uma série que é tendência estacionária, porque
isso adiciona ruı́do à série original.
É proibido estimar uma série que é tendência estocástica usando
tendência determinı́stica, porque isso não elimina a tendência
estocástica.
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REGRESSÃO ESPÚRIA
A necessidade de definir variável explicada e explicativa torna-se
muito importante na presença de raiz unitária.
Podem-se encontrar relações econométricas entre duas ou mais
variáveis econômicas sem qualquer relação de causalidade entre uma e
outra por puro acaso.
Por exemplo, a regressão de uma variável I (1) com outra I (1)
obtida independentemente gera alto R 2 e significante t-estatı́stico.
Contudo, o resultado é sem significado.
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REGRESSÃO ESPÚRIA
Considere a seguinte experiência. Gere duas séries I (1)
independentemente uma da outra e regrida uma contra a outra. Qual
resultado você obtém? Em 75% das vezes, parecer-lhe-á que elas são
correlacionadas. Suponha:
yt
zt
= yt −1 + εy ,t ;
= zt −1 + εz,t .
A Figura 2 mostra duas séries geradas independentemente uma da outra,
como no modelo anterior.
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REGRESSÃO ESPÚRIA
Regrida yt contra zt :
yt = α + βzt + et .
Nas simulações com 300 observações, com a amostra entre 201 e 300,
obteve-se o seguinte resultado:
yt = −6, 37 − 0, 770zt + et , R 2 = 0, 30,
(1,544)
(0,142)
em que o desvio padrão está entre parênteses.
Conclusão: cuidado com a regressão que se faz.
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DICKEY-FULLER
Considere o seguinte modelo:
yt = φyt −1 + εt .
Tendência: estimar esse modelo e usar um teste convencional de t sobre φ,
tendo como hipótese nula H0 : φ = 1.
Alternativamente, poder-se-ia alterar o teste subtraindo yt −1 de ambos os
lados:
4yt = (φ − 1) yt −1 + εt = αyt −1 + εt ,
(2)
em que se define α ≡ φ − 1.
Assim, H0 : φ = 1 é equivalente a H0 : α = 0.
Problema: sob a nula, a distribuição do teste não é convencional, ou seja,
não é igual à distribuição t estatı́stica, pois yt não é estacionário.
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DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
Visualização:
1
Gere uma seqüência de erros normais com esperança nula e variância
σ2 , {εt }, com T + n observações;
2
Gere a seqüência {yt } sob a hipótese nula de raiz unitária, dado y0 ;
3
Estime a equação (2) usando as T últimas realizações e armazene o
valor da estatı́stica t;
4
Retorne ao item (1) S vezes (em geral, S ≥ 10.000);
5
Faça o gráfico da distribuição da estatı́stica t.
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DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
A Figura 3 mostra o historgrama empı́rico dessa estatı́stica em que
T = 100, n = 50, S = 10.000 e y0 = 0.
Figura: Distribuição da estatı́stica t − student sob H0 : φ = 1.
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DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
A média da estatı́stica t não é zero.
Em 10% das vezes, a estatı́stica t < −1, 60; em 5%, t < −1, 95; e
em 1%, t < −2, 60.
Ou seja, o uso da estatı́stica t olhando para a tabela convencional
implicaria cometer o erro do tipo I1 com muito mais freqüência.
1 rejeitar
a nula quando ela verdadeira
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DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
Dickey and Fuller (1979),“Distribution of the estimator for autoregressive
time series with a unit root.” J. of the American Statistical Association.
Recalcularam o valor da estatı́stica t, esta se altera, conforme se define a
equação de regressão e segundo o tamanho da amostra:
4yt = αyt −1 + εt → τ;
4yt = µ + αyt −1 + εt → τ µ ;
4yt = µ + δt + αyt −1 + εt → τ τ .
Sob H0 : α = 0, as três estatı́sticas associadas foram obtidas por meio de
simulações de Monte Carlo.
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DICKEY-FULLER
Como calcular a estatı́stica do teste de Dickey e Fuller?
1
Supondo T + 1 observações, {yt }T
t =0 , faça OLS e subtraia 1 do
parâmetro φ, para proceder ao teste sob H0 : α = 0:
b
α=
2
Calcule a variância amostral:
S2 =
3
∑T
t =1 yt −1 yt
− 1.
2
∑T
t = 1 yt − 1
T
1
αyt −1 )2 .
(4yt − b
∑
T − 1 t =1
Calcule o desvio padrão do coeficiente b
α, s (b
α ):
s (b
α) = q
4
S
Obtenha o valor calculado da estatı́stica t:
b
α
b
τ=
.
s (b
α)
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.
2
∑T
t = 1 yt − 1
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DICKEY-FULLER AUMENTADO
Problema do teste anterior: o erro é um ruı́do branco. Será?
Suponha que yt seja um processo auto-regressivo de ordem p, com raiz
unitária:
yt = µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 yt −p +1 + φp yt −p + εt .
Como testar esse modelo para raiz unitária?
Idéia: estimar o modelo com as variáveis auto-regressivas. Forma de
corrigir o desvio do valor correto da estatı́stica, ou seja, trata-se de
encontrar os desvios de yt em relação à sua ”média”, para deslocar a
distribuição de α em direção a zero, caso a hipótese nula seja
verdadeira.
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DICKEY-FULLER AUMENTADO
Adicione e subtraia φp yt −p +1 à equação anterior:
yt
= µ + φ 1 yt − 1 + · · · + φ p − 1 yt − p + 1 + φ p yt − p +
+φp yt −p +1 − φp yt −p +1 + εt =
= µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 + φp yt −p +1 − φp 4yt −p +1 + εt .
Utilizando o mesmo procedimento, desta vez com φp −1 + φp yt −p +2 :
yt
= µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 + φp yt −p +2 − φp −1 + φp yt −p +2 +
+ φp −1 + φp yt −p +1 − φp 4yt −p +1 + εt = µ + φ1 yt −1 + · · · +
+ φ p − 2 + φ p − 1 + φ p yt − p + 2
− φp −1 + φp 4yt −p +2 − φp 4yt −p +1 + εt .
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DICKEY-FULLER AUMENTADO
Repetindo isso p vezes, obtém-se ao final:
p −1
4yt = µ + αyt −1 +
∑ λ i 4 yt − i + ε t ,
i =1
em que
α = − (1 − ∑pi=1 φi ) ;
λi = − ∑jp=−i1 φj +1 .
O teste então pode ser feito, usando os mesmo valores crı́ticos
encontrados por Dickey e Fuller.
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DICKEY-FULLER AUMENTADO
E se o modelo for ainda mais complexo, com termos de médias
móveis, o que fazer?
Mesmo procedimento no caso de um ARIMA (m, 1, n ) , j que sempre
se pode transformar um MA (q ) num AR (∞).
Como estimar um modelo de infinitas defasagens?
Provou-se que um modelo ARIMA (m, 1, n ) pode ser bem aproximado
1
por um ARIMA (p, 1, 0), em que p ≤ T 3 (Ver Said and Dickey,
1984).
Experimentos de Monte Carlo mostraram que o valor da estatı́stica t
permanece inalterado.
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DICKEY-FULLER AUMENTADO
Como escolher a ordem p para executar o teste de raiz unitária? Para
definir p, existem duas possibilidades equivalentes.
1
2
Acrescentar o número de defasagens suficientes para encontrar
resı́duos que sejam isentos de autocorrelação.
Fixar um pmax relativamente alto. Em seguida, estimar o modelo por
mı́nimos quadrados ordinários para pmax , pmax − 1, ..., 0 e coletar os
valores de algum dos critérios de informação como Hannan-Quinn,
Schwarz ou Akaike, ou utilizando testes estatı́sticos convencionais até
que se rejeite a hipótese nula, usando como nı́vel de significância 20%.
Como definir o pmax ? Critério proposto por Schwert (1989):
"
1 #
T 4
,
pmax = int 12 ×
100
em que int (x ) é a parte inteira de x.
Uma série com 100 observações teria um pmax de 12 defasagens. Outra
série com 200 observações teria 14 defasagens, no máximo.
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DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER
O teste de Dickey e Fuller pode ser feito conjuntamente para dois ou três
coeficientes. Considere as seguintes especificações:
p
4yt = αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt ;
i =1
p
4yt = µ + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt ;
i =1
p
4yt = µ + δt + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt .
i =1
Dickey e Fuller (1981) calcularam estatı́sticas F para testes conjuntos,
chamando-as de Φi , i = 1, 2, 3, com distribuições não convencionais.
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DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER
As hipóteses a testar são:
H 0 : α = µ = 0 → Φ1 ;
H0 : α = δ = µ = 0 → Φ 2 ;
H0 : α = δ = 0 → Φ 3 .
Essas estatı́sticas são construı́das da mesma forma que os testes
convencionais:
bε0bεrestrita − bε0bεnão restrita /r
Φi =
,
bε0bεnão restrita / (T − k )
em que
r é o número de restrições, igual a 2 ou 3;
T é o número de observações;
k é o número de parâmetros estimados no modelo não restrito.
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PHILLIPS-PERRON
Usar um modelo auto-regressivo gera perda de graus de liberdade.
Talvez fosse melhor um teste especificado independentemente das
ordens p e q do modelo.
Phillips e Perron (1988) usam essa idéia e propõem uma correção não
paramétrica ao teste de Dickey e Fuller, gerando uma estatı́stica
consistente mesmo que haja variáveis defasadas dependentes e
correlação serial nos erros.
As equações estimadas e os testes designados são idênticos aos de
Dickey e Fuller.
A interpretação também é análoga.
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Processos Não Estacionários
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PHILLIPS-PERRON
Possibilidades com as respectivas estatı́sticas associadas:
4yt = αyt −1 + ut → zt ,
4yt = µ + αyt −1 + ut → zt,µ ,
4yt = µ + δt + αyt −1 + ut → zt,τ ,
em que ut é um processo estacionário.
Phillips e Perron (1988) também definem testes diretamente sobre os
coeficientes do modelo, em vez de usar a estatı́stica t, como
anteriormente. Eles chamaram tais testes de zα .
A correção, zt,µ , empregada por Phillips e Perron para τ µ é
seqüencialmente estimada da seguinte forma, dado y0 :
Estime as seguintes médias: y =
∑T
t =1 yt
T , y −1
Estime o parâmetro de maior interesse: b
α=
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∑T
t =1 yt −1
;
T
T
∑t =1 (yt −1 −y −1 )(yt −y )
2
∑T
t =1 (yt −1 −y −1 )
=
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− 1;
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PHILLIPS-PERRON
b = y − (b
Estime a constante ou drift: µ
α + 1 ) y −1 ;
Estime a variância populacional da regressão:
2
T
T
2
b2 = ∑t =T1 ubt = ∑t =1 (4yt −Tµb−bαyt −1 ) ;
σ
Calcule o desvio padrão do parâmetro de interesse:
s (b
α) = √ Tσb 2 ;
∑t =1 yt −1
Calcule a estatı́stica de Dickey e Fuller: b
τµ =
b
α
;
s (b
α)
Estime a variância delongoprazo, HAC:
j
T
b2 + T2 ∑M
b
υ2 = σ
bt u
bt −j ;
j =1 ω M +1 ∑ t =j +1 u
Calcule a estatı́sticade Phillips e Perron:
2
2
b
b
b
υ
−
σ
σ
1
√
b
zt,µ = b
τ µ bυ − 2
.
T
2
b
υ
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T −2 ∑t =1 yt −1
Processos Não Estacionários
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Variância de longo prazo
O termo υ2 é a variância de longo prazo, em que estão incluı́das todas as
autocovariâncias do processo ut :
T
T −1
ut ut −j
T
j =0 t =j +1
∑ ∑
T →∞
υ2 = lim
Não existem infinitas observações para calcular ∑j∞=−∞ γj , logo
trunca-se j em algum ponto.
A opção −T a T não é boa, pois quanto mais distante a
autocovariância, menos informação ela produz em troca de muito
mais ruı́do
É necessário calcular ∑M
lim M
j =−M γj , em que
T → 0. Como
M,T →∞
γj = γ−j , pode-se escrever:
M
∑
j =−M
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M
γj = γ0 + 2 ∑ γj .
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j =1
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Variância de longo prazo
Para o cálculo amostral, estima-se:
M
∑
j =−M
bj =
γ
bt2
2
∑T
t =1 u
+
T
T
M
T
∑ ∑
j =1 t =j +1
u
bt u
bt −j .
Por razões de amostras finitas, é preciso ponderar as observações mais
distantes das observações mais recentes.
Essa ponderação é dada pela função ω M j+1 , ou função janela:
1 − |z | , se |z | < 1;
Bartlett:
ω (z ) =
0, se |z | ≥ 1.

1
2
3
 1 − 6z + 6z , se 0 ≤ z ≤ 2 ;
Parzen:
ω (z ) =
2 (1 − z )3 , se 12 ≤ z ≤ 1;

0, caso contrário.
"
#
sen 6π
3
6π
5 z
Quadrática : ω (z ) =
− cos
z
.
2
6π
6π
5
z
5 z
5
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Variância de longo prazo
Perron (1990) recomenda o uso da janela de Parzen, embora grande
parte dos trabalhos empı́ricos ainda use a janela de Bartlett.
Não é trivial definir que valor M deveria ser. Critério de Newey-West
(1994) ou Andrews (1991).
Definida a janela, procede-se à correção não paramétrica
definida pela
2
2
b
b
υ
σ
1
√ −2−σbT 2 .
estatı́stica b
zt,µ . Multiplique b
τ µ por bυ e subtraia 2
b
υ T ∑t =1 yt −1
2
2
√ −bυ 2−σbT 2
é subtraı́do para centrar a distribuição
O termo 21
b
υ
T
∑ t = 1 yt − 1
b
σ
b
υ é
de zt em zero. O termo
distribuição do teste.
José Fajardo (FGV-EBAPE)
multiplicado para corrigir a amplitude de
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Estratégia de teste
1
2
3
4
5
Estime 4yt = µ + δt + αyt −1 + ut e teste H0 : α = 0 × H1 : α < 0.
Se rejeitar a hipótese nula, não é necessário avançar.
α
0
α
0
Teste: H0 :
=
× H1 :
6=
, usando a
δ
0
δ
0
estatı́stica Φ3 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H0 , há raiz
unitária.

  

  
α
0
α
0
Se não rejeitar H0 , teste:  δ  =  0  × H1 :  δ  6=  0 
µ
0
µ
0
usando Φ2 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H0 , teste para raiz
unitária usando a estatı́stica zt .
Se
rejeitar
H0 ,teste sem
tendência
α
0
α
0
=
× H1 :
6=
usando a estatı́stica Φ1 de
µ
0
µ
0
Phillips e Perron. Se rejeitar H0 , teste usando a estatı́stica zt,µ .
Se não rejeitar H0 usando Φ1 , teste usando a estatı́stica zt .
José Fajardo (FGV-EBAPE)
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KPSS
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin (1992)
Teste de Dickey e Fuller: baixo poder = o teste não consegue rejeitar a
nula para uma infinidade de séries importantes.
Hipóteses: H0 : yt ∼ I (0) (estacionariedade ) contra H1 : yt ∼ I (1):
Assuma que
yt
xt
= xt + ut ,
= xt − 1 + υ t
Onde υt ∼ i.i.d (0, σ2 ) e ut um processo estacionario. Idéia: testar a
variância de passeio aleatório xt . Se essa variância for nula, o processo é
estacionário:
H0 : σ2υ = 0 × H1 : σ2υ > 0.
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KPSS
Pode-se acrescentar uma tendência determinı́stica ao modelo da seguinte
forma:
xt
∆yt
= xt −1 + δ + υt
= δ + υt + ∆ut .
Logo:
var (∆yt ) ≡ γ0 = σ2υ + 2σ2u ;
γ1 = −σ2u =⇒ ρ1 = −
γj
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σ2u
;
σ2υ + 2σ2u
= 0, j̇ > 1.
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KPSS
Considere yt = µ + δt + xt + ut , com xt = xt −1 + υt e defina
et ≡ xt + ut .
1
Estime yt = µ + δt + et e obtenha:
b −b
b
et = yt − µ
δt.
2
Defina a soma parcial dos resı́duos como:
t
St =
∑ bej .
j =1
3
O teste KPSS é dado por:
T
KPSS
2
b
υ
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=
=
S2
∑ T 2tbυ2 ,
t =1
et2
∑T
t =1 b
T
2
+
T
M
∑ω
j =1
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j
M +1
T
∑
t =j +1
b
et b
et −j
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KPSS
Se yt é estacionário, então St será I (1) e o numerador do KPSS é
um estimador da variância de St que, por sua vez, tem um limite
assintótico. O termo no denominador assegura que a distribuição é
livre de ruı́dos.
Se, por outro lado, yt é I (1), o numerador vai crescer sem limites, o
que faz a estatı́stica se tornar bastante grande.
O poder do KPSS é muito baixo se o modelo se trata de um ARIMA
(p, 1, 1).
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ERS: Elliot, Rothemberg and Stock (1996)
Qual é o problema de poder? Quando α → 1, mas α < 1, o teste comete
o erro do tipo II: não rejeita a nula, quando ela é falsa. Suponha:
et
= dt + ut ; ut = αut −1 + et ;
= ψ (L) εt ;
dt
=
yt
N
∑ δn t n ≡ δ0 xt .
n =0
Perron e Ng relatam que o teste ADF tem um poder de 25, 8%
quando δn = 0 e α = 0, 95, T = 200. Isto é, em 74, 2% das
simulações do modelo, o teste ADF não rejeitou a nula, quando ela
era falsa. A mesma tabela mostra que o poder aumenta para 92, 5%
quando α = 0, 85.
Elliot, Rothemberg e Stock argumentam que o poder do teste pode
ser aumentado se termos determinı́sticos forem expurgados da
regressão. Eles denominaram este teste de DF-GLS.
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ERS
a
b
Dada uma seqüência qualquer observada {yt }T
t =0 , defina a nova
seqüência:
y0α , ytα ≡ (y0 , (1 − αL) yt ) , t = 1, 2, . . . , T ,
para algum α ≡ 1 − Tc ;
Encontre b
δ (α) que minimiza a seguinte função:
i0 h
i
h
δ (α)0 xtα ytα − b
δ (α)0 xtα ;
L (α) = min
ytα − b
{δn (α)}N
n =0
c
Em seguida, obtenha a série com os termos determinı́sticos
expurgados, em que o sobrescrito d representa detrended:
ytd ≡ yt − b
δ ( α ) 0 xt ;
d
Proceda ao teste de Dickey-Fuller usando a nova seqüência:
p
4ytd = αytd−1 + ∑ λi 4ytd−i + εt .
(3)
i =1
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ERS
Como ytd é livre de termos determinı́sticos, é desnecessário incluir
constante ou tendência, sendo c dado por:
7, se N = 0;
c=
13, 5, se N = 1.
O valor de c decorre de experimentos de Monte Carlo, de forma a
maximizar o poder do teste α = 1 contra α = α, quando se fixa o
poder em 50%. A intuição do teste é que o poder vai aumentar
conforme α se distancie de α.
Na prática, o valor de c fixado para um poder de 50% funciona bem
para faixas de poder que variam de 25% a 95%.
Resultado: o poder do teste ADF aumenta, passando de 10% para
26%, quando α = 0, 95 e φ1 = 0, 5, e para 95%, quando α passa a
0, 70.
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ERS: Point Optimal
1
2
Obtenha os resı́duos da regressão
4yt = dt + αyt −1 + ∑pi=1 λi 4yt −i + εt,p ;
Calcule a variância amostral desses resı́duos:
b2p =
σ
bε2t,p
;
∑
t =p +1 T − p
T
p
3
b (1) ≡ ∑ λ
bi :
Calcule a variância de longo prazo em que λ
i =1
υ2AR = h
4
b2p
σ
b (1)
1−λ
i2 ,
Calcule a estatı́stica PT , ajustada pela correlação serial dos resı́duos:
PT =
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L (α) − αL (1)
.
υ2AR
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ERS: Point Optimal
Se a série for integrada, a diferenciação gerará uma série de variância
pequena se α = 1, porém o valor de L (α 6= 1) será grande. Logo, PT
é grande e não se rejeita a hipótese nula.
Se a série for estacionária, a diferenciação da série em L (α = 1) será
estacionária, e o mesmo acontecerá com L (α 6= 1). Os valores serão
baixos e, conseqüentemente, PT terá um valor baixo.
Portanto, se PTcalculado < PTcrı́tico , rejeita-se a nula de raiz unitária.
Uma variante do teste é usar como variância de longo prazo o
estimador:
2
b
υ
2
b +
= σ
T
2
M
∑ω
j =1
j
M +1
T
∑
t =j +1
b
et b
et −j ;
et2
∑T
t =1 b
,
T
b −b
= yt − µ
δt.
b2 =
σ
b
et
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NG E PERRON
O teste de raiz unitária tem problema de tamanho, quando θ → −1:
yt
(1 − φL) yt
= φyt −1 + εt + θεt −1
= (1 + θL) εt .
Se θ estiver próximo de −0, 9, a rejeição da hipótese nula é muito
mais freqüente do que se desejaria, em razão das distorções de
tamanho.
Ng e Perron relatam que o tamanho do teste DF-GLS quando
θ = −0, 8, T = 100 é de 62, 4%, enquanto o ideal seria de 5% ou
10%.
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NG E PERRON
A Figura 4 mostra duas séries simuladas com os mesmos erros. Porém, a
série que flutua ao redor de zero foi calculada com θ = −0, 8.
Figura: Passeios aleatórios com diferentes médias móveis.
Embora as duas séries sejam integradas, é difı́cil reconhecer isso
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NG E PERRON
Perron e Ng (1996) propõem os M testes, “Modificados”, em que alguma
eventual tendência já foi expurgada :
2
yT
2
T − υAR
T
α − 1)2 ;
Mzα =
= zα + (b
2
2 ∑T
2
t =1 yt −1
T2
s
2
1 ∑T
t = 1 yt − 1
Mzt = Mzα × MSB = zt +
α − 1)2 ;
(b
2
υ2AR
s
2
∑T
t = 1 yt − 1
MSB =
T 2 υ2AR
 c2 T d c d 2

 T 2 ∑t =1 yt −2 1 − T (yT ) , quando N = 0;
υAR
MPTGLS =
T
c2
d − 1−c y d 2
y

 T 2 ∑t =1 t −1 T ( T ) , quando N = 1.
υ2
AR
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CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA
Assim como as demais regras de decisão para raiz unitária, se o valor
calculado dessa estatı́stica for menor que o valor crı́tico, rejeita-se a
hipótese de raiz unitária.
Os testes são sensı́veis ao tamanho da defasagem auto-regressiva p.
Por exemplo, Ng e Perron mostram por simulações de Monte Carlo
que o tamanho do teste DF-GLS com uma amostra de 250
observações, H = 0 e θ = −0, 8, reduz-se de 98, 5%, quando p = 0,
para 9, 9%, quando p = 10.
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CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA
Foi preciso desenvolver uma técnica dependente da amostra para
selecionar a defasagem ótima.
Critério de Informação
Modified AIC - MAIC
Modified BIC - MBIC
Modified HQ - MHQ
Definição
b2 + (n + τ ) T2
ln σ
b2 + (n + τ ) lnTT
ln σ
2
b + (n + τ ) T2 ln ln T .
ln σ
em que n é o número de parâmetros estimados na regressão 3;
2
bε2t,p
(ytd−1 )
b2p = ∑T
τ=b
α2 ∑T
;
σ
2
t =pmax +1
t
=
p
+
1
T
−
pmax .
max
b
σ
p
Observe aqui que bε2t,p é calculado a partir da regressão
p
4yt = dt + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt,p ,
i =1
em que p é fixado otimamente.
Ng e Perron recomendam que se use o método MAIC.
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EXEMPLO
Considere agora o exemplo da série de inflação, usando a janela espectral
GLS-detrended AR com constante, com M = 12, definido pelo critério AIC
modificado. Então, tem-se:
IPCA
Valor Calculado
Valores Crı́ticos
1%
5%
10%
GLS
Mzα,µ
GSL
Mzt,µ
MSB GLS
MPTGLS
−1, 138
−13, 800
−8, 100
−5, 700
−0, 593
−2, 580
−1, 980
−1, 620
0, 521
0, 174
0, 233
0, 275
15, 967
1, 780
3, 170
4, 450
Nesse caso, não se rejeita. O resultado do teste é invariante a outras
especificações de janela, ou cálculo paramétrico da variância de longo
prazo.
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
Maneira mais direta: usar variáveis dummies para captá-las:
p
4 yt = µ t + ∑ λ i 4 yt − i + 1 + ε t ,
i =1
µt
= α0 + α1 D1t + α2 D2t + α3 D3t + αyt −1 + δt.
Experimentos de Monte Carlo demonstram que a distribuição do teste
sobre α não se altera na presença de sazonalidade determinı́stica,
mesmo na presença de tendência temporal, t.
Sendo impossı́vel usar dummies e havendo raiz unitária sazonal,
suponha dados trimestrais, de modo que:
( 1 − φ 1 L ) ( 1 + φ 2 L ) ( 1 − i φ 3 L ) ( 1 + i φ 4 L ) yt = ε t .
Se houver raiz unitária
sazonal, então φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1,
4
gerando 1 − L .
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
Possibilidades:
a
Se φ1 = 1, yt é o tı́pico caso de um passeio aleatório, testado como
já sabido;
b
Se φ2 = 1, a seqüência tende a se replicar a cada seis meses, portanto
há uma raiz unitária semi-anual, já que a solução homogênea é:
yt + yt −1 = 0. Por exemplo, se yt = 1, yt +1 = −1, yt +2 = 1, . . .
c
Se φ3 = 1 ou φ4 = 1, a seqüência tem uma raiz unitária de ciclo
anual. Para ver isso, suponha yt = 1, então
yt +1 = i, yt +2 = i 2 = −1, yt +3 = −i, yt +4 = 1.
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
Para entender o teste, expanda (1 − φ1 L) (1 + φ2 L) (1 − i φ3 L) (1 + i φ4 L)
por Taylor em torno de φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1.
(1 − φ1 L) (1 + φ2 L) (1 − i φ3 L) (1 + i φ4 L) yt = εt
' [ 1 − L4 − L 1 + L + L2 + L3 (φ1 − 1)
+L 1 − L + L2 − L3 (φ2 − 1) − iL 1 − L2 (1 + iL) (φ3 − 1) +
+iL 1 − L2 (1 − iL) (φ4 − 1)]yt
Definindo αj ≡ φj − 1, para todo j = 1, 2, 3, 4, e notando que
i (1 + iL) = i − L e i (1 − iL) = i + L, pode-se escrever:
1 − L4 yt = α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 +
+ 1 − L2 [α3 (i − L) − α4 (i + L)] yt −1 + εt .
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
Ou seja:
1 − L4 yt
= α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 +
+ 1 − L2 [i (α3 − α4 ) − (α3 + α4 ) L] yt −1 + εt .
Definindo 2α3 = α6 − i α5 e 2α4 = α6 + i α5 , tem-se que (α3 − α4 ) i = α5
e (α3 + α4 ) = α6 . Disso resulta que:
1 − L4 yt = α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 +
+ 1 − L2 (α5 − α6 L) yt −1 + εt .
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
1
Com base nessas derivações, monte séries auxiliares:
xt −1 = yt −1 + yt −2 + yt −3 + yt −4 ;
zt −1 = yt −1 − yt −2 + yt −3 − yt −4 ;
mt −1 = yt −1 − yt −3 .
2
Estime a regressão aumentada de Dickey e Fuller:
1 − L4 yt = µt + α1 xt −1 − α2 zt −1 + α5 mt −1
p
−α6 mt −2 + ∑ λi 1 − L4 4yt −i + εt .
i =1
3
Se não se rejeita α1 = 0, existe raiz unitária não sazonal. Se não se
rejeita α2 = 0, existe uma raiz unitária semestral. Se não se rejeita o
teste F conjunto que α5 = α6 = 0, de modo que o valor calculado
seja menor do que o valor crı́tico, há sazonalidade anual.
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RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS
Tabela: Valores Assintóticos para o Teste de Raiz Unitária Sazonal
H0 :
Regressores/T
µt = 0
µt = α0
µt = α0 + ∑3i =1 αi Dit
µt = α0 + δt
µt = α0 + ∑3i =1 αi Dit + δt
α1 = 0
100
200
−1.97
−1.94
−2.88
−2.87
−2.95
−2.91
−3.47
−3.44
−3.53
−3.49
α2 = 0
100
200
−1.92
−1.95
−1.95
−1.92
−2.94
−2.89
−1.94
−1.95
−2.94
−2.91
α5 = α6 = 0
100
200
3.12
3.16
3.08
3.12
6.57
6.61
2.98
3.07
6.60
6.57
Fonte: Tabelas 1A e 1B de Hyllleberg, et alli (1990).
É preciso consultar as tabelas originais para outras amostragens.
As hipóteses anteriores não são conjuntamente excludentes.
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MÚLTIPLAS RAÍZES
3 raı́zes
Defina um número máximo de raı́zes e teste do número maior de
raı́zes para o número menor, conforme procedimento de Dickey e
Pantula (1987) - DP.
Imagine 3 raı́zes unitárias na série yt . Teste se há raiz unitária
procedendo à seguinte regressão:
∆3 yt = α3 ∆2 yt −1 + ut ,
em que ut = ψ (L) εt , sendo εt ∼ i.i.d. 0, σ2 .
H0 : α3 = 0 ⇐⇒ ∃ 3 raı́zes unitárias
contra a alternativa:
H1 : α3 < 0 ⇐⇒ ∃ menos de 3 raı́zes unitárias.
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MÚLTIPLAS RAÍZES
2 raı́zes
Se a hipótese nula for rejeitada, proceder à seguinte regressão:
∆3 yt = α2 ∆yt −1 + α3 ∆2 yt −1 + ut .
(4)
A hipótese nula de 2 raı́zes unitárias equivale a
H0 : α2 = 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ 2 raı́zes unitárias
contra
H1 : α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ menos de 2 raı́zes unitárias.
Estime a equação (4) e use os valores crı́ticos para testar se há duas
raı́zes unitárias. Se não houver rejeitação da nula, conclua que há
duas raı́zes unitárias. Do contrário, continue o procedimento para
testar se há uma raiz unitária.
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MÚLTIPLAS RAÍZES
1 raiz
∆3 yt = α1 yt −1 + α2 ∆yt −1 + α3 ∆2 yt −1 + ut .
A hipótese nula de 1 raiz unitária equivale à seguinte hipótese:
H0 : α1 = 0 ∧ α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ 1 raiz unitária
contra a alternativa:
H1 : α1 < 0 ∧ α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ @ raiz unitária.
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MÚLTIPLAS RAÍZES
d raı́zes
Admita que há d raı́zes unitárias. Estime:
∆d yt = αd ∆d −1 yt −1 + ut .
Se não se rejeita a nula, yt é I (d ). Rejeitando-se, procede-se à regressão:
∆d yt = αd −1 ∆d −2 + αd ∆d −1 yt −1 + ut .
Se não se rejeita a nula H0 : αd −1 = 0 ∧ αd < 0, conclui-se que há
(d − 1) raı́zes unitárias. Se αd −1 e αd são ambos estatisticamente
diferentes de zero, o passo é seguinte é testar:
∆d yt = αd −2 ∆d −3 yt −1 + αd −1 ∆d −2 yt −1 + αd ∆d −1 yt −1 + ut .
e assim sucessivamente até.
∆d yt = α1 yt −1 + α2 ∆yt −1 + · · · + αd −1 ∆d −2 yt −1 + αd ∆d −1 yt −1 + ut .
Se há uma raiz explosiva, a diferenciação pode não ser suficiente para
estacionarizar a série.
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