Séries de Tempo José Fajardo Fundação Getulio Vargas-EBAPE Setembro 2011 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 1 / 61 Motivação A série temporal não estacionária não pode ser estimda trivialmente. Problema: é impossı́vel estimar todos os momentos da série e fazer inferências estatı́sticas. A variância não condicional de um AR (1) é: var (yt ) = 1 . 1 − φ2 Se φ = 1, o que caracteriza uma série não estacionária de raiz unitária, então a variância explode. Solução: diferenciar a série tantas vezes quantas sejam necessárias para estacionarizá-la. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 2 / 61 TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA Suponha o seguinte modelo: yt = y0 + δt + ψ (L) εt . Tal modelo é chamado de tendência estacionária, porque flutua em torno de uma tendência determinı́stica. A série também poderia ser estacionarizada pela primeira diferença, isto é: 4yt ≡ (1 − L) yt = yt − yt −1 = δ + (1 − L) ψ (L) εt . Essa diferenciação estacionariza a série, entretanto introduz ruı́do por tornar o erro não invertı́vel. Logo, se uma série é tendência estacionária, é melhor estimá-la usando a variável explicativa t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 3 / 61 TENDÊNCIA ESTOCÁSTICA Considere outra possibilidade: 4yt = δ + εt =⇒ yt = yt −1 + δ + εt . Compondo recursivamente yt , obtém-se: t yt = y0 + δt + ∑ εi . i =1 A variável aleatória yt é dada pela composição de todos os choques havidos, ∑ti=1 εi . Define-se tal série como sendo tendência estocástica ou diferença estacionária. Os choques produzem mudanças permanentes na série yt , ainda que aleatórias. Séries, cuja tendência é estocástica, são séries integradas e denotadas por I (d ), em que d é a ordem de integração. Séries integradas com erros estacionários são chamadas de séries ARIMA (p, d, q ). Diferenciando d vezes a série, obtém-se uma série estacionária. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 4 / 61 Tendência estocástica pura No caso I (1) com δ = 0, define-se o passeio aleatório ou tendência estocástica pura pela equação: yt = yt −1 + εt . A previsão condicional H passos à frente é dada pela observação atual, isto é: H Et ( y t + H ) = y t + ∑ Et (εt +h ) = yt . h =1 A covariância é dependente do tempo: t ∑ εi Var (yt ) = Var ! = tσ2 ; i =1 t Cov (yt , yt −j ) = E ∑ εi i =1 José Fajardo (FGV-EBAPE) ! t −j ∑ εs ! = (t − j ) σ 2 . s =1 Processos Não Estacionários Setembro 2011 5 / 61 Tendência estocástica pura Divide-se a covariância pelo produto do desvio padrão em t e t − j: r r t −j j (t − j ) σ 2 = 1− . ρj = √ p = t t tσ (t − j )σ Remark Num processo não estacionário, a autocorrelação demora a cair, pois reduz lentamente. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 j t se 6 / 61 Tendência estocástica com drift Ao adicionar um drift ao modelo, encontra-se o passeio aleatório com drift: yt = yt −1 + δ + εt = t = y0 + δt + ∑ εi . i =1 Nesse caso, o comportamento de yt depende de um componente determinı́stico e de outro estocástico. A previsão H passos à frente é: H Et (yt +H ) = yt + δH + ∑ Et (εt +h ) = yt + δH. h =1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 7 / 61 Tendência estocástica com drift e ruı́do É possı́vel generalizar o modelo de passeio aleatório adicionando um ruı́do a ele. É o passeio aleatório com ruı́do: t yt = y0 + ∑ εi + η t , i =1 em que {η t } é um ruı́do branco; ε t ⊥ η t −j . Pode-se, com isso, encontrar que: 4yt = εt + 4η t . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 8 / 61 Tendência estocástica com drift e ruı́do Importância: ser I (1) com uma correlação menor do que naquele passeio aleatório puro, em razão da presença de σ2η : t ∑ εi + η t Var (yt ) = Var ! = tσ2 + σ2η ; i =1 t Cov (yt , yt −s ) = E ∑ εi + η t i =1 ρs José Fajardo (FGV-EBAPE) = ! t −j ∑ ε s + η t −j ! = (t − j ) σ 2 ; s =1 (t − j ) σ 2 r h i < 2 2 2 2 tσ + ση (t − j ) σ + ση Processos Não Estacionários r j 1− . t Setembro 2011 9 / 61 Tendências: Figura: Séries temporais com tendência. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 10 / 61 Tendência geral mais componente irregular O modelo mais geral possı́vel inclui tendência determinı́stica e estocástica e resı́duos que seguem um processo ARMA (p, q ). O modelo é chamado de tendência geral mais componente irregular: t yt = δt + y0 + ∑ εi + ψ (L) η t . (1) i =1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 11 / 61 REMOVENDO A TENDÊNCIA No modelo com tendência estocástica, basta diferenciá-lo, inclusive se houver tendência determinı́stica: 4yt = δ + εt + ψ (L) 4η t . Se yt for integrado de ordem d, toma-se a d-ésima diferença. Porém, como estimar uma série cuja tendência é determinı́stica? 1 Estime por mı́nimos quadrados ordinários: yt = δ0 + δ1 t + δ2 t 2 + · · · + δn t n + et , 2 em que et = ψ (L) εt , e obtenha os resı́duos estimados: b et . Estime o modelo ARMA (p, q ) a partir dos resı́duos estimados. Para determinar n, use testes t, F ou AIC /BIC . Em geral, estima-se o modelo com um n máximo, nmax . Se o teste t sobre δnmax não é rejeitado, retira-se t n e estima-se o modelo até t n−1 , repetindo o teste. Procede-se assim até rejeitar que δn−i = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 12 / 61 REMOVENDO A TENDÊNCIA É proibido diferenciar uma série que é tendência estacionária, porque isso adiciona ruı́do à série original. É proibido estimar uma série que é tendência estocástica usando tendência determinı́stica, porque isso não elimina a tendência estocástica. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 13 / 61 REGRESSÃO ESPÚRIA A necessidade de definir variável explicada e explicativa torna-se muito importante na presença de raiz unitária. Podem-se encontrar relações econométricas entre duas ou mais variáveis econômicas sem qualquer relação de causalidade entre uma e outra por puro acaso. Por exemplo, a regressão de uma variável I (1) com outra I (1) obtida independentemente gera alto R 2 e significante t-estatı́stico. Contudo, o resultado é sem significado. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 14 / 61 REGRESSÃO ESPÚRIA Considere a seguinte experiência. Gere duas séries I (1) independentemente uma da outra e regrida uma contra a outra. Qual resultado você obtém? Em 75% das vezes, parecer-lhe-á que elas são correlacionadas. Suponha: yt zt = yt −1 + εy ,t ; = zt −1 + εz,t . A Figura 2 mostra duas séries geradas independentemente uma da outra, como no modelo anterior. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 15 / 61 REGRESSÃO ESPÚRIA Regrida yt contra zt : yt = α + βzt + et . Nas simulações com 300 observações, com a amostra entre 201 e 300, obteve-se o seguinte resultado: yt = −6, 37 − 0, 770zt + et , R 2 = 0, 30, (1,544) (0,142) em que o desvio padrão está entre parênteses. Conclusão: cuidado com a regressão que se faz. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 16 / 61 DICKEY-FULLER Considere o seguinte modelo: yt = φyt −1 + εt . Tendência: estimar esse modelo e usar um teste convencional de t sobre φ, tendo como hipótese nula H0 : φ = 1. Alternativamente, poder-se-ia alterar o teste subtraindo yt −1 de ambos os lados: 4yt = (φ − 1) yt −1 + εt = αyt −1 + εt , (2) em que se define α ≡ φ − 1. Assim, H0 : φ = 1 é equivalente a H0 : α = 0. Problema: sob a nula, a distribuição do teste não é convencional, ou seja, não é igual à distribuição t estatı́stica, pois yt não é estacionário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 17 / 61 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo Visualização: 1 Gere uma seqüência de erros normais com esperança nula e variância σ2 , {εt }, com T + n observações; 2 Gere a seqüência {yt } sob a hipótese nula de raiz unitária, dado y0 ; 3 Estime a equação (2) usando as T últimas realizações e armazene o valor da estatı́stica t; 4 Retorne ao item (1) S vezes (em geral, S ≥ 10.000); 5 Faça o gráfico da distribuição da estatı́stica t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 18 / 61 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo A Figura 3 mostra o historgrama empı́rico dessa estatı́stica em que T = 100, n = 50, S = 10.000 e y0 = 0. Figura: Distribuição da estatı́stica t − student sob H0 : φ = 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 19 / 61 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo A média da estatı́stica t não é zero. Em 10% das vezes, a estatı́stica t < −1, 60; em 5%, t < −1, 95; e em 1%, t < −2, 60. Ou seja, o uso da estatı́stica t olhando para a tabela convencional implicaria cometer o erro do tipo I1 com muito mais freqüência. 1 rejeitar a nula quando ela verdadeira José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 20 / 61 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo Dickey and Fuller (1979),“Distribution of the estimator for autoregressive time series with a unit root.” J. of the American Statistical Association. Recalcularam o valor da estatı́stica t, esta se altera, conforme se define a equação de regressão e segundo o tamanho da amostra: 4yt = αyt −1 + εt → τ; 4yt = µ + αyt −1 + εt → τ µ ; 4yt = µ + δt + αyt −1 + εt → τ τ . Sob H0 : α = 0, as três estatı́sticas associadas foram obtidas por meio de simulações de Monte Carlo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 21 / 61 DICKEY-FULLER Como calcular a estatı́stica do teste de Dickey e Fuller? 1 Supondo T + 1 observações, {yt }T t =0 , faça OLS e subtraia 1 do parâmetro φ, para proceder ao teste sob H0 : α = 0: b α= 2 Calcule a variância amostral: S2 = 3 ∑T t =1 yt −1 yt − 1. 2 ∑T t = 1 yt − 1 T 1 αyt −1 )2 . (4yt − b ∑ T − 1 t =1 Calcule o desvio padrão do coeficiente b α, s (b α ): s (b α) = q 4 S Obtenha o valor calculado da estatı́stica t: b α b τ= . s (b α) José Fajardo (FGV-EBAPE) . 2 ∑T t = 1 yt − 1 Processos Não Estacionários Setembro 2011 22 / 61 DICKEY-FULLER AUMENTADO Problema do teste anterior: o erro é um ruı́do branco. Será? Suponha que yt seja um processo auto-regressivo de ordem p, com raiz unitária: yt = µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 yt −p +1 + φp yt −p + εt . Como testar esse modelo para raiz unitária? Idéia: estimar o modelo com as variáveis auto-regressivas. Forma de corrigir o desvio do valor correto da estatı́stica, ou seja, trata-se de encontrar os desvios de yt em relação à sua ”média”, para deslocar a distribuição de α em direção a zero, caso a hipótese nula seja verdadeira. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 23 / 61 DICKEY-FULLER AUMENTADO Adicione e subtraia φp yt −p +1 à equação anterior: yt = µ + φ 1 yt − 1 + · · · + φ p − 1 yt − p + 1 + φ p yt − p + +φp yt −p +1 − φp yt −p +1 + εt = = µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 + φp yt −p +1 − φp 4yt −p +1 + εt . Utilizando o mesmo procedimento, desta vez com φp −1 + φp yt −p +2 : yt = µ + φ1 yt −1 + · · · + φp −1 + φp yt −p +2 − φp −1 + φp yt −p +2 + + φp −1 + φp yt −p +1 − φp 4yt −p +1 + εt = µ + φ1 yt −1 + · · · + + φ p − 2 + φ p − 1 + φ p yt − p + 2 − φp −1 + φp 4yt −p +2 − φp 4yt −p +1 + εt . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 24 / 61 DICKEY-FULLER AUMENTADO Repetindo isso p vezes, obtém-se ao final: p −1 4yt = µ + αyt −1 + ∑ λ i 4 yt − i + ε t , i =1 em que α = − (1 − ∑pi=1 φi ) ; λi = − ∑jp=−i1 φj +1 . O teste então pode ser feito, usando os mesmo valores crı́ticos encontrados por Dickey e Fuller. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 25 / 61 DICKEY-FULLER AUMENTADO E se o modelo for ainda mais complexo, com termos de médias móveis, o que fazer? Mesmo procedimento no caso de um ARIMA (m, 1, n ) , j que sempre se pode transformar um MA (q ) num AR (∞). Como estimar um modelo de infinitas defasagens? Provou-se que um modelo ARIMA (m, 1, n ) pode ser bem aproximado 1 por um ARIMA (p, 1, 0), em que p ≤ T 3 (Ver Said and Dickey, 1984). Experimentos de Monte Carlo mostraram que o valor da estatı́stica t permanece inalterado. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 26 / 61 DICKEY-FULLER AUMENTADO Como escolher a ordem p para executar o teste de raiz unitária? Para definir p, existem duas possibilidades equivalentes. 1 2 Acrescentar o número de defasagens suficientes para encontrar resı́duos que sejam isentos de autocorrelação. Fixar um pmax relativamente alto. Em seguida, estimar o modelo por mı́nimos quadrados ordinários para pmax , pmax − 1, ..., 0 e coletar os valores de algum dos critérios de informação como Hannan-Quinn, Schwarz ou Akaike, ou utilizando testes estatı́sticos convencionais até que se rejeite a hipótese nula, usando como nı́vel de significância 20%. Como definir o pmax ? Critério proposto por Schwert (1989): " 1 # T 4 , pmax = int 12 × 100 em que int (x ) é a parte inteira de x. Uma série com 100 observações teria um pmax de 12 defasagens. Outra série com 200 observações teria 14 defasagens, no máximo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 27 / 61 DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER O teste de Dickey e Fuller pode ser feito conjuntamente para dois ou três coeficientes. Considere as seguintes especificações: p 4yt = αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt ; i =1 p 4yt = µ + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt ; i =1 p 4yt = µ + δt + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt . i =1 Dickey e Fuller (1981) calcularam estatı́sticas F para testes conjuntos, chamando-as de Φi , i = 1, 2, 3, com distribuições não convencionais. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 28 / 61 DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER As hipóteses a testar são: H 0 : α = µ = 0 → Φ1 ; H0 : α = δ = µ = 0 → Φ 2 ; H0 : α = δ = 0 → Φ 3 . Essas estatı́sticas são construı́das da mesma forma que os testes convencionais: bε0bεrestrita − bε0bεnão restrita /r Φi = , bε0bεnão restrita / (T − k ) em que r é o número de restrições, igual a 2 ou 3; T é o número de observações; k é o número de parâmetros estimados no modelo não restrito. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 29 / 61 PHILLIPS-PERRON Usar um modelo auto-regressivo gera perda de graus de liberdade. Talvez fosse melhor um teste especificado independentemente das ordens p e q do modelo. Phillips e Perron (1988) usam essa idéia e propõem uma correção não paramétrica ao teste de Dickey e Fuller, gerando uma estatı́stica consistente mesmo que haja variáveis defasadas dependentes e correlação serial nos erros. As equações estimadas e os testes designados são idênticos aos de Dickey e Fuller. A interpretação também é análoga. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 30 / 61 PHILLIPS-PERRON Possibilidades com as respectivas estatı́sticas associadas: 4yt = αyt −1 + ut → zt , 4yt = µ + αyt −1 + ut → zt,µ , 4yt = µ + δt + αyt −1 + ut → zt,τ , em que ut é um processo estacionário. Phillips e Perron (1988) também definem testes diretamente sobre os coeficientes do modelo, em vez de usar a estatı́stica t, como anteriormente. Eles chamaram tais testes de zα . A correção, zt,µ , empregada por Phillips e Perron para τ µ é seqüencialmente estimada da seguinte forma, dado y0 : Estime as seguintes médias: y = ∑T t =1 yt T , y −1 Estime o parâmetro de maior interesse: b α= José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários ∑T t =1 yt −1 ; T T ∑t =1 (yt −1 −y −1 )(yt −y ) 2 ∑T t =1 (yt −1 −y −1 ) = Setembro 2011 − 1; 31 / 61 PHILLIPS-PERRON b = y − (b Estime a constante ou drift: µ α + 1 ) y −1 ; Estime a variância populacional da regressão: 2 T T 2 b2 = ∑t =T1 ubt = ∑t =1 (4yt −Tµb−bαyt −1 ) ; σ Calcule o desvio padrão do parâmetro de interesse: s (b α) = √ Tσb 2 ; ∑t =1 yt −1 Calcule a estatı́stica de Dickey e Fuller: b τµ = b α ; s (b α) Estime a variância delongoprazo, HAC: j T b2 + T2 ∑M b υ2 = σ bt u bt −j ; j =1 ω M +1 ∑ t =j +1 u Calcule a estatı́sticade Phillips e Perron: 2 2 b b b υ − σ σ 1 √ b zt,µ = b τ µ bυ − 2 . T 2 b υ José Fajardo (FGV-EBAPE) T −2 ∑t =1 yt −1 Processos Não Estacionários Setembro 2011 32 / 61 Variância de longo prazo O termo υ2 é a variância de longo prazo, em que estão incluı́das todas as autocovariâncias do processo ut : T T −1 ut ut −j T j =0 t =j +1 ∑ ∑ T →∞ υ2 = lim Não existem infinitas observações para calcular ∑j∞=−∞ γj , logo trunca-se j em algum ponto. A opção −T a T não é boa, pois quanto mais distante a autocovariância, menos informação ela produz em troca de muito mais ruı́do É necessário calcular ∑M lim M j =−M γj , em que T → 0. Como M,T →∞ γj = γ−j , pode-se escrever: M ∑ j =−M José Fajardo (FGV-EBAPE) M γj = γ0 + 2 ∑ γj . Processos Não Estacionários j =1 Setembro 2011 33 / 61 Variância de longo prazo Para o cálculo amostral, estima-se: M ∑ j =−M bj = γ bt2 2 ∑T t =1 u + T T M T ∑ ∑ j =1 t =j +1 u bt u bt −j . Por razões de amostras finitas, é preciso ponderar as observações mais distantes das observações mais recentes. Essa ponderação é dada pela função ω M j+1 , ou função janela: 1 − |z | , se |z | < 1; Bartlett: ω (z ) = 0, se |z | ≥ 1. 1 2 3 1 − 6z + 6z , se 0 ≤ z ≤ 2 ; Parzen: ω (z ) = 2 (1 − z )3 , se 12 ≤ z ≤ 1; 0, caso contrário. " # sen 6π 3 6π 5 z Quadrática : ω (z ) = − cos z . 2 6π 6π 5 z 5 z 5 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 34 / 61 Variância de longo prazo Perron (1990) recomenda o uso da janela de Parzen, embora grande parte dos trabalhos empı́ricos ainda use a janela de Bartlett. Não é trivial definir que valor M deveria ser. Critério de Newey-West (1994) ou Andrews (1991). Definida a janela, procede-se à correção não paramétrica definida pela 2 2 b b υ σ 1 √ −2−σbT 2 . estatı́stica b zt,µ . Multiplique b τ µ por bυ e subtraia 2 b υ T ∑t =1 yt −1 2 2 √ −bυ 2−σbT 2 é subtraı́do para centrar a distribuição O termo 21 b υ T ∑ t = 1 yt − 1 b σ b υ é de zt em zero. O termo distribuição do teste. José Fajardo (FGV-EBAPE) multiplicado para corrigir a amplitude de Processos Não Estacionários Setembro 2011 35 / 61 Estratégia de teste 1 2 3 4 5 Estime 4yt = µ + δt + αyt −1 + ut e teste H0 : α = 0 × H1 : α < 0. Se rejeitar a hipótese nula, não é necessário avançar. α 0 α 0 Teste: H0 : = × H1 : 6= , usando a δ 0 δ 0 estatı́stica Φ3 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H0 , há raiz unitária. α 0 α 0 Se não rejeitar H0 , teste: δ = 0 × H1 : δ 6= 0 µ 0 µ 0 usando Φ2 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H0 , teste para raiz unitária usando a estatı́stica zt . Se rejeitar H0 ,teste sem tendência α 0 α 0 = × H1 : 6= usando a estatı́stica Φ1 de µ 0 µ 0 Phillips e Perron. Se rejeitar H0 , teste usando a estatı́stica zt,µ . Se não rejeitar H0 usando Φ1 , teste usando a estatı́stica zt . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 36 / 61 KPSS Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin (1992) Teste de Dickey e Fuller: baixo poder = o teste não consegue rejeitar a nula para uma infinidade de séries importantes. Hipóteses: H0 : yt ∼ I (0) (estacionariedade ) contra H1 : yt ∼ I (1): Assuma que yt xt = xt + ut , = xt − 1 + υ t Onde υt ∼ i.i.d (0, σ2 ) e ut um processo estacionario. Idéia: testar a variância de passeio aleatório xt . Se essa variância for nula, o processo é estacionário: H0 : σ2υ = 0 × H1 : σ2υ > 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 37 / 61 KPSS Pode-se acrescentar uma tendência determinı́stica ao modelo da seguinte forma: xt ∆yt = xt −1 + δ + υt = δ + υt + ∆ut . Logo: var (∆yt ) ≡ γ0 = σ2υ + 2σ2u ; γ1 = −σ2u =⇒ ρ1 = − γj José Fajardo (FGV-EBAPE) σ2u ; σ2υ + 2σ2u = 0, j̇ > 1. Processos Não Estacionários Setembro 2011 38 / 61 KPSS Considere yt = µ + δt + xt + ut , com xt = xt −1 + υt e defina et ≡ xt + ut . 1 Estime yt = µ + δt + et e obtenha: b −b b et = yt − µ δt. 2 Defina a soma parcial dos resı́duos como: t St = ∑ bej . j =1 3 O teste KPSS é dado por: T KPSS 2 b υ José Fajardo (FGV-EBAPE) = = S2 ∑ T 2tbυ2 , t =1 et2 ∑T t =1 b T 2 + T M ∑ω j =1 Processos Não Estacionários j M +1 T ∑ t =j +1 b et b et −j Setembro 2011 39 / 61 KPSS Se yt é estacionário, então St será I (1) e o numerador do KPSS é um estimador da variância de St que, por sua vez, tem um limite assintótico. O termo no denominador assegura que a distribuição é livre de ruı́dos. Se, por outro lado, yt é I (1), o numerador vai crescer sem limites, o que faz a estatı́stica se tornar bastante grande. O poder do KPSS é muito baixo se o modelo se trata de um ARIMA (p, 1, 1). José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 40 / 61 ERS: Elliot, Rothemberg and Stock (1996) Qual é o problema de poder? Quando α → 1, mas α < 1, o teste comete o erro do tipo II: não rejeita a nula, quando ela é falsa. Suponha: et = dt + ut ; ut = αut −1 + et ; = ψ (L) εt ; dt = yt N ∑ δn t n ≡ δ0 xt . n =0 Perron e Ng relatam que o teste ADF tem um poder de 25, 8% quando δn = 0 e α = 0, 95, T = 200. Isto é, em 74, 2% das simulações do modelo, o teste ADF não rejeitou a nula, quando ela era falsa. A mesma tabela mostra que o poder aumenta para 92, 5% quando α = 0, 85. Elliot, Rothemberg e Stock argumentam que o poder do teste pode ser aumentado se termos determinı́sticos forem expurgados da regressão. Eles denominaram este teste de DF-GLS. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 41 / 61 ERS a b Dada uma seqüência qualquer observada {yt }T t =0 , defina a nova seqüência: y0α , ytα ≡ (y0 , (1 − αL) yt ) , t = 1, 2, . . . , T , para algum α ≡ 1 − Tc ; Encontre b δ (α) que minimiza a seguinte função: i0 h i h δ (α)0 xtα ytα − b δ (α)0 xtα ; L (α) = min ytα − b {δn (α)}N n =0 c Em seguida, obtenha a série com os termos determinı́sticos expurgados, em que o sobrescrito d representa detrended: ytd ≡ yt − b δ ( α ) 0 xt ; d Proceda ao teste de Dickey-Fuller usando a nova seqüência: p 4ytd = αytd−1 + ∑ λi 4ytd−i + εt . (3) i =1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 42 / 61 ERS Como ytd é livre de termos determinı́sticos, é desnecessário incluir constante ou tendência, sendo c dado por: 7, se N = 0; c= 13, 5, se N = 1. O valor de c decorre de experimentos de Monte Carlo, de forma a maximizar o poder do teste α = 1 contra α = α, quando se fixa o poder em 50%. A intuição do teste é que o poder vai aumentar conforme α se distancie de α. Na prática, o valor de c fixado para um poder de 50% funciona bem para faixas de poder que variam de 25% a 95%. Resultado: o poder do teste ADF aumenta, passando de 10% para 26%, quando α = 0, 95 e φ1 = 0, 5, e para 95%, quando α passa a 0, 70. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 43 / 61 ERS: Point Optimal 1 2 Obtenha os resı́duos da regressão 4yt = dt + αyt −1 + ∑pi=1 λi 4yt −i + εt,p ; Calcule a variância amostral desses resı́duos: b2p = σ bε2t,p ; ∑ t =p +1 T − p T p 3 b (1) ≡ ∑ λ bi : Calcule a variância de longo prazo em que λ i =1 υ2AR = h 4 b2p σ b (1) 1−λ i2 , Calcule a estatı́stica PT , ajustada pela correlação serial dos resı́duos: PT = José Fajardo (FGV-EBAPE) L (α) − αL (1) . υ2AR Processos Não Estacionários Setembro 2011 44 / 61 ERS: Point Optimal Se a série for integrada, a diferenciação gerará uma série de variância pequena se α = 1, porém o valor de L (α 6= 1) será grande. Logo, PT é grande e não se rejeita a hipótese nula. Se a série for estacionária, a diferenciação da série em L (α = 1) será estacionária, e o mesmo acontecerá com L (α 6= 1). Os valores serão baixos e, conseqüentemente, PT terá um valor baixo. Portanto, se PTcalculado < PTcrı́tico , rejeita-se a nula de raiz unitária. Uma variante do teste é usar como variância de longo prazo o estimador: 2 b υ 2 b + = σ T 2 M ∑ω j =1 j M +1 T ∑ t =j +1 b et b et −j ; et2 ∑T t =1 b , T b −b = yt − µ δt. b2 = σ b et José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 45 / 61 NG E PERRON O teste de raiz unitária tem problema de tamanho, quando θ → −1: yt (1 − φL) yt = φyt −1 + εt + θεt −1 = (1 + θL) εt . Se θ estiver próximo de −0, 9, a rejeição da hipótese nula é muito mais freqüente do que se desejaria, em razão das distorções de tamanho. Ng e Perron relatam que o tamanho do teste DF-GLS quando θ = −0, 8, T = 100 é de 62, 4%, enquanto o ideal seria de 5% ou 10%. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 46 / 61 NG E PERRON A Figura 4 mostra duas séries simuladas com os mesmos erros. Porém, a série que flutua ao redor de zero foi calculada com θ = −0, 8. Figura: Passeios aleatórios com diferentes médias móveis. Embora as duas séries sejam integradas, é difı́cil reconhecer isso José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 47 / 61 NG E PERRON Perron e Ng (1996) propõem os M testes, “Modificados”, em que alguma eventual tendência já foi expurgada : 2 yT 2 T − υAR T α − 1)2 ; Mzα = = zα + (b 2 2 ∑T 2 t =1 yt −1 T2 s 2 1 ∑T t = 1 yt − 1 Mzt = Mzα × MSB = zt + α − 1)2 ; (b 2 υ2AR s 2 ∑T t = 1 yt − 1 MSB = T 2 υ2AR c2 T d c d 2 T 2 ∑t =1 yt −2 1 − T (yT ) , quando N = 0; υAR MPTGLS = T c2 d − 1−c y d 2 y T 2 ∑t =1 t −1 T ( T ) , quando N = 1. υ2 AR José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 48 / 61 CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA Assim como as demais regras de decisão para raiz unitária, se o valor calculado dessa estatı́stica for menor que o valor crı́tico, rejeita-se a hipótese de raiz unitária. Os testes são sensı́veis ao tamanho da defasagem auto-regressiva p. Por exemplo, Ng e Perron mostram por simulações de Monte Carlo que o tamanho do teste DF-GLS com uma amostra de 250 observações, H = 0 e θ = −0, 8, reduz-se de 98, 5%, quando p = 0, para 9, 9%, quando p = 10. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 49 / 61 CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA Foi preciso desenvolver uma técnica dependente da amostra para selecionar a defasagem ótima. Critério de Informação Modified AIC - MAIC Modified BIC - MBIC Modified HQ - MHQ Definição b2 + (n + τ ) T2 ln σ b2 + (n + τ ) lnTT ln σ 2 b + (n + τ ) T2 ln ln T . ln σ em que n é o número de parâmetros estimados na regressão 3; 2 bε2t,p (ytd−1 ) b2p = ∑T τ=b α2 ∑T ; σ 2 t =pmax +1 t = p + 1 T − pmax . max b σ p Observe aqui que bε2t,p é calculado a partir da regressão p 4yt = dt + αyt −1 + ∑ λi 4yt −i + εt,p , i =1 em que p é fixado otimamente. Ng e Perron recomendam que se use o método MAIC. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 50 / 61 EXEMPLO Considere agora o exemplo da série de inflação, usando a janela espectral GLS-detrended AR com constante, com M = 12, definido pelo critério AIC modificado. Então, tem-se: IPCA Valor Calculado Valores Crı́ticos 1% 5% 10% GLS Mzα,µ GSL Mzt,µ MSB GLS MPTGLS −1, 138 −13, 800 −8, 100 −5, 700 −0, 593 −2, 580 −1, 980 −1, 620 0, 521 0, 174 0, 233 0, 275 15, 967 1, 780 3, 170 4, 450 Nesse caso, não se rejeita. O resultado do teste é invariante a outras especificações de janela, ou cálculo paramétrico da variância de longo prazo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 51 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Maneira mais direta: usar variáveis dummies para captá-las: p 4 yt = µ t + ∑ λ i 4 yt − i + 1 + ε t , i =1 µt = α0 + α1 D1t + α2 D2t + α3 D3t + αyt −1 + δt. Experimentos de Monte Carlo demonstram que a distribuição do teste sobre α não se altera na presença de sazonalidade determinı́stica, mesmo na presença de tendência temporal, t. Sendo impossı́vel usar dummies e havendo raiz unitária sazonal, suponha dados trimestrais, de modo que: ( 1 − φ 1 L ) ( 1 + φ 2 L ) ( 1 − i φ 3 L ) ( 1 + i φ 4 L ) yt = ε t . Se houver raiz unitária sazonal, então φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1, 4 gerando 1 − L . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 52 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Possibilidades: a Se φ1 = 1, yt é o tı́pico caso de um passeio aleatório, testado como já sabido; b Se φ2 = 1, a seqüência tende a se replicar a cada seis meses, portanto há uma raiz unitária semi-anual, já que a solução homogênea é: yt + yt −1 = 0. Por exemplo, se yt = 1, yt +1 = −1, yt +2 = 1, . . . c Se φ3 = 1 ou φ4 = 1, a seqüência tem uma raiz unitária de ciclo anual. Para ver isso, suponha yt = 1, então yt +1 = i, yt +2 = i 2 = −1, yt +3 = −i, yt +4 = 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 53 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Para entender o teste, expanda (1 − φ1 L) (1 + φ2 L) (1 − i φ3 L) (1 + i φ4 L) por Taylor em torno de φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1. (1 − φ1 L) (1 + φ2 L) (1 − i φ3 L) (1 + i φ4 L) yt = εt ' [ 1 − L4 − L 1 + L + L2 + L3 (φ1 − 1) +L 1 − L + L2 − L3 (φ2 − 1) − iL 1 − L2 (1 + iL) (φ3 − 1) + +iL 1 − L2 (1 − iL) (φ4 − 1)]yt Definindo αj ≡ φj − 1, para todo j = 1, 2, 3, 4, e notando que i (1 + iL) = i − L e i (1 − iL) = i + L, pode-se escrever: 1 − L4 yt = α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 + + 1 − L2 [α3 (i − L) − α4 (i + L)] yt −1 + εt . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 54 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Ou seja: 1 − L4 yt = α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 + + 1 − L2 [i (α3 − α4 ) − (α3 + α4 ) L] yt −1 + εt . Definindo 2α3 = α6 − i α5 e 2α4 = α6 + i α5 , tem-se que (α3 − α4 ) i = α5 e (α3 + α4 ) = α6 . Disso resulta que: 1 − L4 yt = α1 1 + L + L2 + L3 yt −1 − α2 1 − L + L2 − L3 yt −1 + + 1 − L2 (α5 − α6 L) yt −1 + εt . José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 55 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS 1 Com base nessas derivações, monte séries auxiliares: xt −1 = yt −1 + yt −2 + yt −3 + yt −4 ; zt −1 = yt −1 − yt −2 + yt −3 − yt −4 ; mt −1 = yt −1 − yt −3 . 2 Estime a regressão aumentada de Dickey e Fuller: 1 − L4 yt = µt + α1 xt −1 − α2 zt −1 + α5 mt −1 p −α6 mt −2 + ∑ λi 1 − L4 4yt −i + εt . i =1 3 Se não se rejeita α1 = 0, existe raiz unitária não sazonal. Se não se rejeita α2 = 0, existe uma raiz unitária semestral. Se não se rejeita o teste F conjunto que α5 = α6 = 0, de modo que o valor calculado seja menor do que o valor crı́tico, há sazonalidade anual. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 56 / 61 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Tabela: Valores Assintóticos para o Teste de Raiz Unitária Sazonal H0 : Regressores/T µt = 0 µt = α0 µt = α0 + ∑3i =1 αi Dit µt = α0 + δt µt = α0 + ∑3i =1 αi Dit + δt α1 = 0 100 200 −1.97 −1.94 −2.88 −2.87 −2.95 −2.91 −3.47 −3.44 −3.53 −3.49 α2 = 0 100 200 −1.92 −1.95 −1.95 −1.92 −2.94 −2.89 −1.94 −1.95 −2.94 −2.91 α5 = α6 = 0 100 200 3.12 3.16 3.08 3.12 6.57 6.61 2.98 3.07 6.60 6.57 Fonte: Tabelas 1A e 1B de Hyllleberg, et alli (1990). É preciso consultar as tabelas originais para outras amostragens. As hipóteses anteriores não são conjuntamente excludentes. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 57 / 61 MÚLTIPLAS RAÍZES 3 raı́zes Defina um número máximo de raı́zes e teste do número maior de raı́zes para o número menor, conforme procedimento de Dickey e Pantula (1987) - DP. Imagine 3 raı́zes unitárias na série yt . Teste se há raiz unitária procedendo à seguinte regressão: ∆3 yt = α3 ∆2 yt −1 + ut , em que ut = ψ (L) εt , sendo εt ∼ i.i.d. 0, σ2 . H0 : α3 = 0 ⇐⇒ ∃ 3 raı́zes unitárias contra a alternativa: H1 : α3 < 0 ⇐⇒ ∃ menos de 3 raı́zes unitárias. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 58 / 61 MÚLTIPLAS RAÍZES 2 raı́zes Se a hipótese nula for rejeitada, proceder à seguinte regressão: ∆3 yt = α2 ∆yt −1 + α3 ∆2 yt −1 + ut . (4) A hipótese nula de 2 raı́zes unitárias equivale a H0 : α2 = 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ 2 raı́zes unitárias contra H1 : α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ menos de 2 raı́zes unitárias. Estime a equação (4) e use os valores crı́ticos para testar se há duas raı́zes unitárias. Se não houver rejeitação da nula, conclua que há duas raı́zes unitárias. Do contrário, continue o procedimento para testar se há uma raiz unitária. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 59 / 61 MÚLTIPLAS RAÍZES 1 raiz ∆3 yt = α1 yt −1 + α2 ∆yt −1 + α3 ∆2 yt −1 + ut . A hipótese nula de 1 raiz unitária equivale à seguinte hipótese: H0 : α1 = 0 ∧ α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ ∃ 1 raiz unitária contra a alternativa: H1 : α1 < 0 ∧ α2 < 0 ∧ α3 < 0 ⇐⇒ @ raiz unitária. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 60 / 61 MÚLTIPLAS RAÍZES d raı́zes Admita que há d raı́zes unitárias. Estime: ∆d yt = αd ∆d −1 yt −1 + ut . Se não se rejeita a nula, yt é I (d ). Rejeitando-se, procede-se à regressão: ∆d yt = αd −1 ∆d −2 + αd ∆d −1 yt −1 + ut . Se não se rejeita a nula H0 : αd −1 = 0 ∧ αd < 0, conclui-se que há (d − 1) raı́zes unitárias. Se αd −1 e αd são ambos estatisticamente diferentes de zero, o passo é seguinte é testar: ∆d yt = αd −2 ∆d −3 yt −1 + αd −1 ∆d −2 yt −1 + αd ∆d −1 yt −1 + ut . e assim sucessivamente até. ∆d yt = α1 yt −1 + α2 ∆yt −1 + · · · + αd −1 ∆d −2 yt −1 + αd ∆d −1 yt −1 + ut . Se há uma raiz explosiva, a diferenciação pode não ser suficiente para estacionarizar a série. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro 2011 61 / 61