Matrizes e Determinantes
1. (IME 1998-1999) Determine uma matriz
não singular P que satisfaça à equação
matricial
⎡6 0 ⎤
P-1 A = ⎢
⎥,
⎣0 −1⎦
⎡1 2⎤
onde A = ⎢
⎥.
⎣5 4⎦
2. (IME 2002-2003) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se
que A3 = k A, prove que a matriz A + I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n.
3. (IME 1990-1991) Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2 x 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 x 2.
4. (IME 1987-1988) Sejam A, B e C matrizes 5 x 5, com elementos reais. Denotando-se por At a matriz transposta de A,
a) Mostre que se AAt = 0, então A = 0
b) Mostre que se BAAt = CAAt então BA = CA.
⎡3 1⎤
⎢4 4⎥
⎡1
⎥
⎢
⎢
e
B=
5. (IME 2006-2007) Considere as matrizes A= ⎢
⎥
⎢⎣0
⎢1 3⎥
⎢⎣ 4 4 ⎥⎦
Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An.
0⎤
1 ⎥ , e seja P uma matriz inversível tal que B= P-1 AP.
2 ⎥⎦
6. (IME 2001-2002) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa.
Considerando esta definição, determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e
α é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.
⎡cos(nα) − sen(nα) 0⎤
[R] = ⎢⎢sen(nα) cos(nα) 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0
1⎥⎦
7. (IME 1999-2000) Calcule o determinante:
1 1 1 1 1
1 3 1 1 1
1
1
1
1
1 1 5 1 1
1
1
D= 1 1 1 7 1 1
1
1 1 1 1 9
1
1
1 1 1 1 1 11
1
1 1 1 1 1
1 13
8. (IME 1992-1993) Determine o valor de x para que:
x
x
2
x+2
4
0
6
10
x2
0
4x
4
x
4
10
x−2
=0
9. (IME 1989-1990) Calcule o determinante da matriz n x n que possui zeros na diagonal principal e todos os outros
elementos iguais a 1.
10. (IME 2005-2006) Seja Dn = det(An), onde
⎡ 2 −1 0 0
⎢− 1 2 − 1 0
⎢
⎢ 0 −1 2 −1
An = ⎢
⎢ ... ... ... ...
⎢0 0 0 0
⎢
⎣⎢ 0 0 0 0
... 0 0 ⎤
... 0 0 ⎥⎥
... 0 0 ⎥
⎥
... ... ... ⎥
... 2 − 1⎥
⎥
... − 1 2 ⎦⎥
Determine Dn em função de n(n ∈, n ≥ 1).
11. (IME 2003-2004) Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5.
1
0
−1
1
0
−1
0
0
0
0
1
−1
log 2 ( n − 1) log 2 (n + 1) log 2 (n − 1) log 2 ( n − 1)
12. (IME 1993-1994) Um aluno, ao inverter a matriz
⎡1 a b ⎤
⎢
⎥
A = ⎢0 c d ⎥ = a ij , 1 ≤ i, j ≤ 3 cometeu um engano, e considerou o elemento a 13
⎢
⎥
⎢⎣4 e f ⎥⎦
invertendo a matriz
⎡1 a b⎤
⎢
⎥
B = ⎢0 c d ⎥ = b ij .Com esse engano o aluno encontrou
⎢
⎥
⎢⎣3 e f ⎥⎦
0 − 1 / 2⎤
⎡ 5/ 2
⎢
⎥
−1 ⎥ .
B −1 = ⎢ 3
1
⎢
⎥
⎢⎣− 3 / 2 0 1 / 2 ⎥⎦
[ ]
[ ]
Determinar A −1 .
igual a 3, de forma que acabou
13. (IME 2008-2009) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma:
• os elementos da linha i da coluna n são da forma
⎛ n ⎞
⎟⎟ ;
ain = ⎜⎜
⎝ n − i + 1⎠
• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, aij = 1 para i – j = 1;
• todos os demais elementos são nulos.
Sendo I a matriz identidade de ordem n e det(M) o determinante de uma matriz M, encontre as raízes da equação det(x . I –
A) = 0.
14. (IME 2004-2005) Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1.
⎛ b2 + 1
b
0
0
⎜
2
⎜ b
b +1
b
0
⎜
2
+
0
b
b
1
b
⎜
⎜ 0
0
b
b2 + 1
⎜
...
...
...
⎜ ....
⎜ 0
0
0
0
⎜
⎜ 0
0
0
0
⎝
....
0
0 ⎞⎟
....
0
0 ⎟
⎟
....
0
0 ⎟
⎟
....
⎟
....
...
... ⎟
.... b 2 + 1
b ⎟
⎟
2
....
b
b + 1⎟⎠
15. (IME 1991-1992) Calcule o valor do determinante abaixo:
m+x
m
m m+x
m m+x
M
M
M
M
m
m
m
M
M
m
Dn =
m
m
m..........m
m..........m
m..........m
MO
M
M O M
m
m+x
16. (IME 1988-1989) Calcule o determinante da matriz
⎡a 2
⎢
⎢b 2
⎢
⎢c2
⎢
⎢ 2
⎣d
(a + 1) 2
( a + 2) 2
(b + 1) 2
( b + 2) 2
(c + 1) 2
(c + 2) 2
(d + 1) 2
( d + 2) 2
(a + 3) 2 ⎤
⎥
(b + 3) 2 ⎥
⎥
(c + 3) 2 ⎥
⎥
⎥
(d + 3) 2 ⎦
17. (IME 1986-1987) Sejam
⎛a
⎜
⎜c
A= ⎜
e
⎜
⎜g
⎝
b⎞
⎟
d⎟
e B=
f⎟
⎟
h ⎟⎠
⎛ i j l m⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝n o p q ⎠
Duas matrizes de elementos inteiros.Verifique se a matriz AB é inversível.
18. (IME 1983-1984) Seja D o determinante da matrix A = [aij ] de ordem n, tal que aij = i – j . Mostre que:
D = (–1)n–1 : (n – 1):2n–2
19. (IME 1982-1983) Seja um determinante definido por ∆1 = ⎟ 1 ⎟ e
1 1
1 1 ...
− 1 2 0 0 ...
0 − 1 2 0 ...
∆n =
0 0 − 1 2 ...
0
0
0
⎛1
⎞
− 2⎟
⎜
6
⎟
1- ⎜
⎜ 5 − 4⎟
⎜
⎟
⎝6
⎠
23- λ I 2 , ∀ λ ∈ C
4n
⎛1⎞
5- ⎜ ⎟ , n ∈ IN *
⎝2⎠
67- 46.080
4⎫
⎧
8- S = ⎨ − 2, 0, ⎬
7⎭
⎩
910- n+1
11- S = { 3 }
⎛ 5 0 −1 ⎞
⎜
⎟
12- ⎜ 8 1 − 2 ⎟
⎜− 4 0 1 ⎟
⎝
⎠
13- S = { − 1 }
14-
b 2n + 2 − 1
b 2 −1
15- x n + mn x n −1
16- 0
1718a ) ∆ n = 2 n −1 + ∆ n −1
19b) ∆ n = 2 n − 1
1
0
0
0
0 ... − 1 2
a) Pede-se a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre ∆n e ∆n–1).
b) Calcule a expressão de ∆n em função de n.
Gabarito:
1
0
0
0