MATEMÁTICA FORMULÁRIO sen cos tg 30o 45o 60o 1 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1) an = a1+ (n-1) . r 10) Vparalelepípedo = a.b.c ⎛ a + an ⎞ 2) Sn = ⎜ 1 ⎟. n ⎝ 2 ⎠ 11) Vcubo = a 3 3) an = a1 . qn –1 12) Vcone = n a1 .(q − 1) 4) Sn = 5) S = q −1 a1 1− q 6) Anp = n! (n − p)! 13) dA,B= AB . h 3 ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 14) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 15) Aesfera = 4.π.r2 7) Pn = n! 16) Alateral cone = π.r.g n! α! β! n! 9) Cnp = p! (n − p)! 17) Atrapézio = (B + b) ⋅ h α ,β 8) P n = 2 Questão 21 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 2 3 01. Dividindo-se 2 3 por 2 2 obtém-se 1. 02. Os astrônomos usam o termo ano-luz para representar a distância percorrida pela luz em um ano. Se a velocidade da luz é de 3,0 × 105 km/s e um ano tem aproximadamente 3,2 × 107 segundos, então a distância em quilômetros da estrela Próxima Centauri, que está aproximadamente a 4 anos-luz de distância da Terra, é 3,84 × 1013. 04. Para Pitágoras e seus discípulos um número é perfeito se a soma dos divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número. Portanto, segundo o critério dos pitagóricos, o número 28 não é perfeito. 08. Uma grandeza x (x>0) varia de forma inversamente proporcional ao quadrado da grandeza y (y>0). Se para x = 16 temos y = 3, então para x = 4 temos y = 12. 2 do preço do quilo do pão doce. Se para 3 comprar 4 quilos de pão salgado e 6 quilos de pão doce você vai gastar R$ 26,00, então o 16. Numa padaria, o quilo do pão salgado custa quilo do pão salgado custa R$ 6,00. 32. Ana tem ao todo 15 notas, sendo essas notas de 1 real, 5 reais e 10 reais, totalizando 100 reais. Se Ana tem pelo menos uma nota de cada tipo, então Ana possui 5 notas de 1 real. 64. Se Lucas pesa 70 kg e senta a 1,1 m do centro de apoio de uma gangorra, então Sofia, que pesa 55 kg, deverá sentar a 1,4 m do centro para que a gangorra fique em equilíbrio. Gabarito: 98 (02+32+64) Número de acertos: 603 (8,78%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil A questão compreende sete proposições, que envolvem conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e sua aplicação em situações-problema, como potências e suas propriedades, notação científica, divisores de um número natural, grandezas diretamente e inversamente proporcionais e sistemas de equações do primeiro grau. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixa (apenas 8,78%), com um espalhamento correlato distribuído entre várias respostas. Esta foi a segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. É surpreendente o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com conhecimentos básicos e fundamentais de temas que, além de bastante explorados no Ensino Fundamental, são também utilizados ao longo do Ensino Médio e aplicados em situações reais, como comprar pão e brincar de gangorra. Além da resposta correta - 98 (02+32+64) -, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 32 – 6,66%; 33 (01+32) – 4,60%; 36 (04+32) – 4,50%; 96 – (32+64) 4,38%; 34 (02+32) – 4,28%; 66 (02+64) – 3,51%; 37 (01+04+32) – 3,42%. Como podese observar mais uma vez, na dúvida os candidatos optam pelo acerto parcial, como pode-se verificar através dos índices das respostas 32, 34, 66 e 96. A proposição correta, 32, obteve 58,62% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras respostas das quais fazia parte, como pode-se observar acima. Talvez o bom índice obtido por esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, sistemas de equações do primeiro grau, é explorado desde a sexta série do Ensino Fundamental, além do fato de que o candidato poderia resolver a situação-problema proposta pelo método da tentativa e erro. Esperava-se ainda, um índice superior aos 41,16% obtidos pela proposição 64, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas que é a proporcionalidade, em particular a aplicação da regra de três em situações de proporcionalidade inversa. A situação-problema desta proposição poderia também ser resolvida aplicando-se os conhecimentos de Física do Ensino Médio, mais especificamente aqueles relativos ao equilíbrio estático dos corpos. Outra forma, ainda, de o candidato intuir a veracidade ou não da proposição é o fato de que a gangorra está presente em praticamente todos os parques de diversão e qualquer criança que já brincou em uma gangorra com seus colegas de diferentes pesos sabe que a criança mais pesada deve aproximar-se (sentar mais próxima) do pivô para que a gangorra esteja em equilíbrio. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foram a consideração das proposições 01 e 04 como corretas, com 37,59% e 32,59% da preferência dos candidatos, respectivamente. Provavelmente, a maioria dos ( ) 2 candidatos que assinalou a proposição 01 como correta considerou que: 23 = 23 = 26 e que 2 ( ) 3 22 = 22 = 26 , o que implica 23 : 22 = 1. Mas os resultados são diferentes: 23 = 29 e 22 = 28 , o 3 2 2 3 3 2 3 que leva a 23 : 22 = 2. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 04 como correta não tenha dado a devida atenção ao fato de que um número é perfeito se a soma dos divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número, o que se verificava para o número 28 (28 = 1+2+4+7+14). Ou, talvez ao determinar os divisores de 28, tenham esquecido de considerar o número 1, que é divisor de todos os números, e assim julgaram equivocadamente a proposição como correta, isto é, o número 28 não é perfeito. Questão 22 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00, uma comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele. Total de salários em reais 2200 2000 1800 1600 • 1400 1200 1000 • 800 600 400 • 200 • • 0 • • 6000 12000 18000 Total de vendas em reais Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês. 02. Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x. x x ⎛ ⎞ 04. Em Química, o pH é definido por: pH = log ⎜ 1+ ⎟ , onde [H+] é a concentração de ⎜[H ] ⎟ ⎝ ⎠ hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja -4 -1 concentração hidrogeniônica é 2 × 10 molL , o pH é igual a 4,3. Considere: log 2 = 0,30. 08. Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a decoradora havia planejado decorar era 12. 16. Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa situação vivenciada por Bento. Tempo Posição Gabarito: 18 (02+16) Número de acertos: 2276 (33,25%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: interpretação gráfica e aplicação da função polinomial do primeiro grau, áreas de figuras planas, aplicação dos logaritmos decimais e suas propriedades na área de Química para a determinação do pH, aplicação da equação do segundo grau, interpretação de gráficos de movimento. Esta foi a terceira questão da prova a ter o maior índice de acerto. A proposição 02 foi a proposição correta que teve o segundo maior índice de preferência dos candidatos: 75,12%. Ela foi responsável pelos índices das respostas: 02 – 10,94%; 06 (02+04) – 5,40%; 10 (02+08) – 4,24%; 18 (02+16) – 33,25% e 22 (02+04+16) – 9,93%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição deva-se à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado com o auxílio do formulário ( B + b).h (10 − x + x).10 fazendo: Atrapézio = ⇒ Atrapézio = ⇒ Atrapézio = 50cm2 . Portanto, a área da parte 2 2 colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x . Nesta questão também fica evidente, no quadro de freqüência de respostas da prova, a preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode observar através dos índices das respostas 02 – 10,94% e 16 – 6,16%. A proposição incorreta 04 obteve 29,68% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,56%, 5,40%, 3,05% e 9,93% para as respostas 04, 06 (02+04), 20 (04+16) e 22 (02+04+16), respectivamente. Provavelmente a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta até tenha substituído, na expressão dada, a concentração hidrogênica H + por 2 × 10−4 e aplicado as propriedades dos logaritmos, obtendo 1 ⎛ ⎞ pH = log⎜ ⇒ pH = log 2−1.104 ⇒ pH = log(2−1 ) + log(104 ) , mas não deu a devida atenção −4 ⎟ ⎝ 2.10 ⎠ aos sinais e fez pH = log(2) + 4 log(10) ⇒ pH = 0,30 + 4 = 4,30 ao invés de pH = − log(2) + 4 log(10) ⇒ pH = −0,30 + 4 = 3,70 . A proposição incorreta 08 obteve 19,94% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,47%, 4,24% e 2,86% para as respostas 08, 10 (02+08) e 26 (02+08+16), respectivamente. É surpreendente o fato de que quase 20% dos candidatos consideraram esta proposição como correta, já que a sua veracidade, ou não, podia ser facilmente verificada utilizando-se os próprios dados fornecidos no enunciado da proposição. ( ) ( ) Questão 23 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A tabela abaixo mostra a relação entre a posição de uma figura e a quantidade de elementos que ela possui: Posição Número de elementos 1 4 2 7 3 10 4 13 5 16 Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-se afirmar que na centésima posição haverá uma figura com 301 elementos. 02. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética de razão dois. Se o perímetro do triângulo é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 19 cm. 04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto para consumo de metade da massa radioativa dessa substância. Se após 2 horas a massa desta substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial da amostra era de 64 g. 08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a doze badaladas e a cada meia hora bate uma badalada. O número de badaladas que esse relógio dá em um dia é 179. 16. Na seqüência de triângulos eqüiláteros, representada nas figuras a seguir, cada novo triângulo eqüilátero tem seus vértices nos pontos médios dos lados do triângulo eqüilátero que o antecede. Se a área do primeiro triângulo eqüilátero é A e supondo que essa seqüência continue indefinidamente, então a soma de todas as áreas dos triângulos assim 5A obtidas é . 4 32. A soma das raízes da equação x3 – 12x2 + 44x – 48 = 0, sabendo-se que estão em progressão aritmética, é 12. Gabarito: 33 (01 + 32) Número de acertos: 1159 (16,89%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: médio Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre progressões aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema e na determinação das raízes de uma equação polinomial. A proposição 01 trata de um tema muito explorado no Ensino Médio e nos vestibulares, que é a identificação de regularidades e a aplicação do termo geral de uma progressão aritmética. A proposição 32 poderia ser resolvida calculando-se as raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo-se a soma entre elas, ou aplicando as relações de Girard e verificando diretamente que a soma das raízes é 12. Estas duas proposições obtiveram 65,55% e 46,70% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 01 – 16,99%; 32 – 5,17% e 33 (01+32) – 16,89%. O fato de os candidatos concentrarem suas respostas em 01 e 32 vem, novamente, reforçar a tese de que eles, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição incorreta 04 obteve 27,54% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices obtidos pelas respostas: 04 – 2,97%; 05 (01+04) – 5,87% e 37 (01+04+32) – 3,85%. Talvez os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito equivocadamente o cálculo a seguir: 2h = 120 min = 6 × 20 min ⇒ (2 g ) 6 = 64 g . Questão 24 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade de ela parar na cor branca 1 é . Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que 12 são fronteiras comuns. 02. Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma “cara” e um número menor que 4 é de 25%. 04. Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960. 08. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040. 16. O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa abaixo usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24. SP PR SC RS Gabarito: 10 (02 + 08) Número de acertos: 1005 (14,68%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do estudo de Probabilidade e Análise Combinatória, como: determinar a probabilidade de um evento e aplicar na resolução de situações-problema os conceitos de arranjo simples e combinação simples. Além da resposta correta 10 (02+08), com 14,68%, outras três respostas predominaram no quadro de freqüência, que são: 02 – 21,51%; 08 – 8,96%; 16 – 8,04% e 18 (02+16) – 6,44%. Como pode-se observar, a resposta 02 superou inclusive o índice da resposta correta da questão. Este fato vem a reforçar a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 02 e 08. A proposição incorreta 16 obteve 34,83% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices das respostas 16 e 18 (02+16), destacados acima. É provável que os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito, simplesmente, P4 = 4!⇒ P4 = 24 sem, no entanto, levar em consideração o fato de que Santa Catarina só pode ser pintada de verde ou vermelho. Questão 25 A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas. PREÇO BOM – ELETRODOMÉSTICOS Se comprar um Forno de Microondas e um Refrigerador, você só pagará R$ 1.490,00 Se comprar um Refrigerador e um Fogão, você só pagará R$ 1.750,00 Se comprar um Fogão e um Forno de Microondas, você só pagará R$ 840,00 Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. Gabarito: 29 (questão aberta) Número de acertos: 3406 (50,34%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: fácil A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: equações e sistemas de equações lineares. Esta foi a questão mais fácil da prova toda, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas: 50,34%. Cabe registrar, também, que não houve outras respostas com porcentagens de freqüência em destaque para esta questão. Por outro lado, sobressai o fato de que os outros quase 50% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com esses tópicos que são introduzidos no Ensino Fundamental e aprofundados no Ensino Médio. Tratase de uma situação-problema que faz parte do cotidiano dos candidatos, ou seja, analisar ofertas e promoções das lojas e supermercados. Questão 26 As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do ⎛π ⎞ nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen ⎜ t ⎟ , em que t é o ⎝ 12 ⎠ tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m. 02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h. 04. O período de variação da altura da maré é de 24 h. 08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas. Gabarito: 12 (04+08) Número de acertos: 786 (11,52%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil A questão envolve conhecimentos de trigonometria, em particular o estudo da função seno. Apenas 11,52% dos candidatos responderam corretamente, com um espalhamento correlato, distribuído entre várias respostas. Listando-se as respostas pela ordem decrescente das preferências, têm-se: 04 – 9,16%; 10 (02+08) – 8,94%; 08 – 8,35%; 11 (01+02+08) – 7,81%; 09 (01+08) – 6,92%; 06 (02+04) – 6,90%; 02 – 6,80%; 05 (01+04) – 6,70%; 03 (01+02) – 6,52%; 01 – 5,20%; 15 (01+02+04+08) – 4,13%; 07 (01+02+04) – 3,81%; 14 (02+04+08) – 3,34% e 13 (01+04+08) – 3,00%. Como pode-se observar, a grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 01 e 02 como corretas, as quais obtiveram, respectivamente, 43,86% e 48,06% da preferência dos candidatos. As proposições 01 e 02 foram as duas proposições incorretas da prova com o maior índice de preferência dos candidatos. Talvez, da mesma forma como os índices foram tão próximos, também o raciocínio feito pelos candidatos para verificar a veracidade ou não das duas proposições tenha sido muito próximo, já que ambas estavam relacionadas. É provável que a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 01 como correta tenha considerado, equivocadamente, o conjunto imagem da função seno como sendo de [0,1] ao invés de [− 1,1] e ⎛π ⎞ assim fizeram h(t ) = 8 + 4sen⎜ ⋅ t ⎟ ⇒ h(t ) = 8 + 4(0) ⇒ h(t ) = 8 . Isto talvez tenha contribuído para ⎝ 12 ⎠ que os candidatos assinalassem também como correta a proposição 02 ao fazer, de forma ⎛π ⎞ equivocada, sem prestar a devida atenção ao estudo da função seno: sen⎜ ⋅ t ⎟ = 0 ⇒ t = 12 . ⎝ 12 ⎠ As proposições corretas 04 e 08 obtiveram 48,33% e 53,83% da preferência dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar, cada uma das proposições corretas da questão, separadamente, obteve um bom índice da preferência dos candidatos, mas o problema foi a combinação de ambas, realizada por um número muito reduzido de candidatos, o que implicou um baixo índice de acerto total da questão. Questão 27 ⎡ 0 x 1⎤ ⎢ ⎥ Considere as matrizes: A = ⎢ y − 1 0 ⎥ , B = ⎢1 z 0⎥ ⎣ ⎦ no conjunto dos números reais. ⎡− 1 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y 0⎥ e C = ⎢ 1 x⎥ ⎣ ⎦ ⎡7 ⎢ ⎢− 6 ⎢2 ⎣ 2⎤ ⎥ 3⎥ , onde x, y e z variam z ⎥⎦ Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). ⎡ 64 ⎤ ⎢ ⎥ 01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = ⎢- 69 ⎥ . ⎢ 20 ⎥ ⎣ ⎦ 02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1. ⎡1 t 04. A matriz transposta de B é B = ⎢ ⎣x y − 1⎤ ⎥. 0 1⎦ 08. Se A.B = C, então x + y + z = 5. Gabarito: 03 (01+02) Número de acertos: 582 (8,54%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil A questão trata do estudo de matrizes, seus tipos mais freqüentes, suas operações e a aplicação das propriedades dessas operações. Somente 8,54% dos candidatos apontaram como corretas apenas as proposições 01 e 02, que obtiveram 34,31% e 49,11% da preferência dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar foi muito baixo o índice de acerto nesta questão, tendo em vista que o tópico de matrizes além de ser bastante explorado no Ensino Médio, é considerado muito fácil pelos alunos. Essa foi a questão da prova que teve o menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil. Ao analisar o quadro de freqüência de respostas observa-se, além da resposta correta, um espalhamento correlato, distribuído entre várias respostas que são, em ordem decrescente de preferência: 02 – 17,74%; 04 – 15,25%; 08 – 9,14%; 01 – 8,88%; 10 (02+08) – 7,81%; 06 (02+04) – 7,50%; 09 (01+08) – 5,68%; 12 (04+08) – 4,65%; 05 (01+04) – 3,83% e 11 (01+02+08) – 3,01%. Novamente, percebe-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 01 e 02. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como corretas, as quais obtiveram 37,82% e 35,29% da preferência dos candidatos, respectivamente. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 04 como verdadeira não tenham refletido a respeito do significado da palavra ordenadamente na definição da matriz transposta de uma matriz dada: seja A uma matriz m × n . Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At ) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A . No caso da proposição 08, bastaria o candidato realizar o produto das matrizes A e B , a seguir igualar a matriz C para obter diretamente os valores de x, y e z e, finalmente, verificar que x + y + z ≠ 5. Questão 28 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A lenda do altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, conta a história da duplicação do volume desse altar, exigida pelo oráculo da cidade de Delfos para acabar com a peste que assolava Atenas. Para cumprir a ordem, basta fazer como os habitantes de Atenas: dobrar as medidas dos lados do altar. 02. Um cone, cuja superfície lateral é construída com um semicírculo de raio r, é semelhante a outro cone cuja superfície lateral é formada por um quarto de círculo de mesmo raio r. 04. Se uma esfera está inscrita num cubo de 4 cm de aresta, então a área da superfície esférica é igual a 16π cm2. 08. Um paralelepípedo reto, de base retangular, tem uma de suas arestas da base medindo 3 cm a mais do que a altura do sólido, e a outra aresta da base mede 5 cm a mais do que essa altura. Se o volume do sólido é de 144 cm3, então sua altura mede 2 cm. 16. Se um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares, então esse poliedro tem 7 vértices. Gabarito: 20 (04+16) Número de acertos: 807 (11,78%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil A questão compreende cinco proposições, que envolvem conhecimentos de geometria espacial e equações algébricas, tendo como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar os dois temas. O resultado obtido ficou muito aquém do esperado, pois apenas 11,78% dos candidatos responderam corretamente à questão. Além da resposta correta, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, a saber: 02 – 5,05%; 04 – 18,53%; 05 (01+04) – 5,33%; 06 (02+04) – 9,56%; 16 – 4,57% e 22 (02+04+16) – 4,96%. Esses resultados reforçam a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, 04 e 16, que obtiveram, respectivamente, 67,51% e 38,83% da preferência dos candidatos. A proposição 04 era, talvez, uma das mais fáceis da prova toda, podendo ser resolvida, simplesmente, por verificação dos dados do enunciado na fórmula da área da esfera, como a seguir: 2 Aesfera = 4 ⋅ π ⋅ (2) ⇒ Aesfera = 16π . A grande responsável pela concentração nas respostas 02, 06 (02+04) e 22 (02+04+16), foi a consideração da proposição 02 como correta, que obteve 37,67% da preferência dos candidatos. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta tenha sido impulsionada por suas concepções espontâneas de semelhança geométrica, considerando que todos os cones são semelhantes, assim não percebendo que tanto a altura como a base dos dois cones considerados na proposição são diferentes. Questão 29 Os praguicidas, também denominados pesticidas, defensivos agrícolas ou agrotóxicos, são substâncias que, aplicadas à lavoura, permitem matar seres que podem prejudicá-la. No entanto, esses produtos apresentam desvantagens pois, devido a sua grande estabilidade no meio ambiente, sua velocidade de decomposição natural é muito lenta. Muitos insetos se tornaram resistentes a esses produtos e grandes quantidades foram utilizadas para combater um número cada vez maior de espécies. Suponha que em um laboratório foi pesquisada a eficiência do DDT (dicloro-difeniltricloroetano) no combate a uma determinada população de insetos. O gráfico abaixo representa a população de insetos em função do tempo t, em dias, durante o período da experiência. f(t) 1500 1400 1300 • 1200 1100 1000 • 900 800 700 600 500 400 300 200 100 • 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A função que descreve a relação entre a população de insetos e o tempo é f(t) = − t 2 + 30t + 1000 . 02. O número inicial da população de insetos é de 1200 insetos. 04. A população de insetos cresce somente até o décimo dia. 08. No vigésimo dia de experiência a população de insetos é igual à população inicial. 16. A população de insetos foi exterminada em 50 dias. Gabarito: 17 (01+16) Número de acertos: 2603 (37,98%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: médio A questão tinha como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de analisar e interpretar gráficos de funções polinomiais do segundo grau. Nesta questão, além da resposta correta, destaca-se apenas a resposta 16, com índice de 39,15%. O fato de o índice da resposta 16 ser superior ao da resposta correta vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos preferem não arriscar: na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição 16 foi a proposição correta da prova que teve o maior índice de preferência dos candidatos, 91,79%, pois tratavase de uma leitura direta no gráfico indicado. Esta foi a segunda questão mais fácil da prova toda, obtendo o segundo maior índice de acerto entre as respostas corretas: 37,98%. Por outro lado, cabe destacar o fato de que quase 54% dos candidatos tiveram dificuldades de verificar a veracidade ou não da proposição 01, isto é, de fazer a passagem da representação gráfica para a representação analítica, o que significa que não se apropriaram de forma efetiva do estudo da função polinomial do segundo grau. Questão 30 O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou toda a sua vida às artes gráficas, criou uma grande série de litografias impregnadas de geometrismo, figurativismo e ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo sugestivo problemas matemáticos e geométricos em seus edifícios inacabados ou em suas fabulações caracterizadas por uma relação impressionante entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e Águia), julho de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular ABCDEF com lado medindo 6 unidades de comprimento. y 12 11 D E 10 9 8 7 3 3 6 F 5 • C 4 3 2 1 B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A equação da reta que contém o segmento AF é 3x + y − 3 3 = 0 . 02. A área do hexágono da figura, em unidades de área, é 9 3 . 04. A equação da mediatriz do segmento AF é 2 3x − 2y = 0 . 08. A equação da circunferência circunscrita ao hexágono da figura é x 2 + y 2 − 12x − 6 3 y + 27 = 0 . 16. O apótema do hexágono da figura mede Gabarito: 09 (01+08) Número de acertos: 769 (11,28%) Grau de dificuldade previsto: difícil 3 3 unidades de comprimento. 2 Grau de dificuldade obtido: difícil A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do estudo da geometria plana e da geometria analítica, como: determinar a equação da reta que passa por dois pontos; calcular a área de figuras planas; determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta; determinar a equação da reta quando são conhecidos um ponto e a declividade da reta; aplicar as condições de paralelismo e perpendicularismo; determinar a equação da circunferência conhecidos o centro e o raio e determinar o apótema de polígonos regulares. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi baixo, apenas 11,28% apontaram como corretas apenas as proposições 01 e 08, que obtiveram, respectivamente, 43,97% e 46,45% da preferência dos candidatos. Além da resposta correta 09 (01+08), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 08 – 9,30%; 01 – 8,07%; 16 – 7,93%; 18 (02+16) – 6,72%; 02 – 5,81%; 17 (01+16) – 3,61%; 24 (08+16) – 3,49% e 25 (01+08+16) – 3,12%. Como pode-se observar, mais uma vez, na dúvida, os candidatos optaram pelo acerto parcial. Esperava-se um índice superior aos 43,97% obtidos pela proposição 01, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas da geometria analítica, que é determinar a equação da reta que passa por dois pontos. Para resolver a proposição, isto é, determinar corretamente a equação da reta que liga os pontos A e F, bastava ao candidato aplicar a condição de alinhamento de três pontos. Mas se ele quisesse apenas verificar a sua veracidade ou não, era só substituir as coordenadas do ponto A e do ponto F na equação da reta dada para ver que elas satisfazem à equação dada. Da mesma forma, espera-se um índice superior ao obtido pela proposição 08, por tratar-se também de um dos tópicos muito explorados no Ensino Médio, que é determinar a equação da circunferência, conhecidos o centro e o raio. Para resolver a proposição bastava o candidato identificar o centro ( C 6,3 3 ) e o raio da circunferência ( r = 6 ) a partir da figura dada, e substituir na fórmula da equação da circunferência fornecida no formulário ficando com: ( (x − 6)2 + (y − 3 ) ) 3 = (6 ) ⇒ x 2 + y 2 − 12 x − 6 3 y + 27 = 0 . A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 02 e 16 como corretas, com 32,36% e 42,42% da preferência dos candidatos, respectivamente. Em ambos os casos, é surpreendente o fato de os candidatos tomarem estas proposições como corretas. No caso da proposição 02 era só o candidato utilizar a informação de que o lado do hexágono regular media 6 unidades de comprimento, calcular a área do triângulo eqüilátero ABO e multiplicar por ⎛ l2 ⋅ 3 ⎞ ⎛ (6 )2 . 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6, obtendo: Ahexágono = 6 ⋅ ⎜ ⎟ ⇒ Ahexágono = 6 ⋅ ⎜ 4 ⎟ ⇒ Ahexágono = 54 3 . Finalmente, no caso 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ da proposição 16, bastava o candidato observar a figura dada e aplicar a definição de apótema para identificá-lo diretamente na figura ( a = 3 3 ) ou calculá-lo a partir da relação a= 2 2 l⋅ 3 6⋅ 3 ⇒a= ⇒a=3 3. 2 2