Análise e Projeto de Algoritmos
Prof. Eduardo Barrére
[email protected]
www.barrere.ufjf.br
www.ufjf.br/pgcc
www.dcc.ufjf.br
A Disciplina ....

Lecionada por dois professores:

Eduardo Barrére

Foco principal: Análise de Algoritmos ( 30 pontos)


Prova de 30 pontos, provavelmente 07/11
Raul Fonseca

Foco principal: Projeto de Algoritmos (70 pontos)
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Primeira parte ....

Ementa abordada:
 Conceitos básicos.
 Dominação assintótica.
 Problemas P, NP, NPCompleto e NP-Difícil.
 Classes de problemas.
“Culpado” pela Análise de
Algoritmos: Donald. E. Knuth
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Bibliografia
The Design And Analysis Of Computer Algorithms
AHO, ALFRED V.
ADDISON WESLEY
ISBN: 0201000296
1ª Edição - 1974
Algoritmos - Teoria e Pratica
STEIN, CLIFFORD, LEISERSON, CHARLES E., RIVEST, RONALD L.,
CORMEN, THOMAS H.
CAMPUS
ISBN: 8535209263
1ª Edição - 2002
Introduction To Algorithms
LEISERSON, CHARLES E., RIVEST, RONALD L., CORMEN, THOMAS H.
MIT PRESS.
ISBN: 0262033844.
3ª Edição - 2009
Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms
Wegener, Ingo
Springer
2005
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Bibliografia
http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Performance_Introduction
http://www.eng.unt.edu/ian/books/free/lnoa.pdf
Complexidade De Algoritmos (Coleção: LIVROS DIDATICOS UFRGS, V.13)
TOSCANI, LAIRA VIEIRA, VELOSO, PAULO A.S.
BOOKMAN. ISBN: 8577803503. 2ª Edição - 2008
Art Of Computer Programming 3 Vols
KNUTH, DONALD ERVIN
ADDISON WESLEY. ISBN: 0201485419. 2ª Edição - 1998
Algoritmos e heuristicas: desenvolvimento e avaliacao de performance
Campello, Ruy Eduardo, Maculan, Nelson
EDUFF. 1994
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Bibliografia
Analysis Of Algorithms: An Active Learning Approach
MCCONNELL, JEFFREY
JONES AND BARTLETT. ISBN: 0763707821. 2007
Algorithm Design
GOODRICH, MICHAEL T., TAMASSIA, R.
IE-WILEY. ISBN: 0471383651. 1ª Edição - 2001
Algorithms and Complexity
Herbert S. Wilf
A K Peters. 2 ª Edição – 2002. ISBN: 9781568811789
Mathematics For The Analysis Of Algorithms
GREENE, DANIEL H., KNUTH, DONALD E.
SPRINGER VERLAG NY. ISBN: 0817647287. 3ª Edição - 2008
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Conceitos....

O que é um algortimo?



Tudo pode ser “resolvido” por um algoritmo?


Entrada -> processamento (sequencia finita) -> saída
Formado por regras não ambiguas!
(computabilidade)
Tudo que é resolvido por um algoritmo é
aceitável?

Complexidade: simplificadamente, a quantidade de
trabalho requerido para solucionar o problema
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Aquecendo....
Compare e critique as duas proposições a seguir:

Proposição 1: "O candidato estará eleito se
obtiver metade mais um dos votos válidos".

Proposição 2: "O candidato estará eleito se
obtiver mais da metade dos votos válidos".
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Aquecendo....
Cada um dos algoritmos abaixo recebe um inteiro positivo e devolve outro inteiro
positivo. Os dois algoritmos são equivalentes: devolvem o mesmo número se
receberem um mesmo n.
Soma-Quadrados-A (n)
1.x←0
2 . para j crescendo de 1 até n faça
3. x←x+j·j
4 . devolva x

Soma-Quadrados-B (n)
1 . x ← n · (n+1) · (2n+1)
2 . x ← x/6
3 . devolva x
Digamos que uma operação aritmética é uma adição, subtração, multiplicação
ou divisão. Quantas operações aritméticas o primeiro algoritmo faz? Quantas
operações aritméticas o segundo algoritmo faz? Qual dos dois algoritmos é
mais eficiente?
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Então...
“Uma base sólida de conhecimento e técnica de
algoritmos é uma das características que separa
o programador experiente do aprendiz. Com a
moderna tecnologia de computação, você pode
realizar algumas tarefas sem saber muito sobre
algoritmos, mas com um boa base em
algoritmos você pode fazer muito, muito mais.”
Cormen, Leiserson, Rivest, Stein
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Aquecendo....
Mostre que, para qualquer número inteiro
positivo n tem-se (n−1)/2 ≤ piso(n/2) ≤ n/2

piso(x)

O único inteiro i tal que i ≤ x < i+1. A notação correta
para piso(x) é:
└x┘
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Prova Matemática
Uma prova matemática é uma argumentação precisa que
procura convencer o leitor de que uma certa proposição,
previamente enunciada, está correta.
É uma sequência de afirmações organizada da seguinte
maneira: cada afirmação é consequência simples das
afirmações anteriores e das hipóteses da proposição em
discussão; a última afirmação é a proposição que se deseja
provar.
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Prova Matemática

Considere a configuração do jogo Campo
Minado. Cada posição do tabuleiro é
especificada por suas coordenadas.
Assim, por exemplo, o extremo superior
esquerdo do tabuleiro tem
coordenadas (1,1) e o cruzamento da
primeira linha com a segunda coluna tem
coordenadas (1,2).

PROPOSIÇÃO: A posição (1,2) da
configuração acima não contém bomba.
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Prova Matemática


PROPOSIÇÃO: A posição (1,2) da configuração acima não
contém bomba.
PROVA, por contradição:
Suponha, por um momento, que há uma bomba em
(1,2).
■
A posição (2,3) é vizinha de duas bombas e há uma
bomba em (3,4); logo, as posições (2,2) e (3,2) não
têm bomba alguma.
■
Portanto, o "3" na posição (3,3) garante que há uma
bomba em (4,2).
■
Agora, o "2" na posição (5,3) garante que não há
bomba em (5,2) nem em (6,2). Mas isso é
inconsistente com o "3" na posição (6,3).
■
Esta contradição mostra que (1,2) não pode conter
bomba.
■
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Algoritmo
Estratégia:
 especificar (definir propriedades)
 arquitetura (algoritmo e estruturas de dados)
 Analise de complexidade (tempo de execução e
memória)
 implementar (numa linguagem de programação)
 testar (submeter entradas e verificar
observância das propriedades especificadas)
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Complexidade (aperitivo...)

Tipos de Complexidade

Espacial


Este tipo de complexidade representa, por exemplo,
o espaço de memória usado para executar o
algoritmo.
Temporal

Este tipo de complexidade é o mais usado podendo
dividir-se em dois grupos:


Tempo (real) necessário à execução do algoritmo.
(como podemos medir?)
Número de instruções necessárias à execução.
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Análise de Algoritmos
Para avaliar e comparar o desempenho de dois algoritmos:
 executar ambos (muitas vezes) para ver qual é mais rápido fornece
indicações sobre o desempenho e informação sobre como efetuar
uma análise mais profunda.

Que dados usar?
 dados reais: verdadeira medida do custo de execução
 dados aleatórios: assegura-nos que as experiências testam o
algoritmo e não apenas os dados específicos


dados perversos: mostram que o algoritmo funciona com qualquer
tipo de dados


Caso médio
Pior caso!
dados benéficos:

Melhor caso
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Análise de Algoritmos

A análise precisa é uma tarefa complicada:






algoritmo é implementado numa dada linguagem
linguagem é compilada e programa é executado num dado
computador
difícil prever tempos de execução de cada instruções e antever
otimizações
muitos algoritmos são "sensíveis" aos dados de entrada
muitos algoritmos não são bem compreendidos
Para prever o tempo de execução de um programa:

apenas é necessário um pequeno conjunto de ferramentas
matemáticas
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Analise de Algoritmos

Medidas de Análise


Devem ser independentes da tecnologia
(hardware/software)
Modelos Matemáticos simplificados baseados nos
fatores relevantes:

Tempo de Execução
Uma função que relaciona o tempo de execução com o tamanho de
entrada:
t = F(n)



Conjunto de operações a serem executadas.
Custo associado à execução de cada operação.
Ocupação de Espaço em Memória
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Complexidade

Exemplo
Sejam 5 algoritmos A1 a A5 para resolver um mesmo problema, de
complexidades diferentes. (Supomos que uma operação leva 1 ms para ser
efetuada.)
Tk(n) é a complexidade ou seja o número de operações que o algoritmo efetua
para n entradas


n
16
32
512
A1
A2
T1(n)= n
T2(n)=nlog n
0.016s
0.032s
0.512s
0.064s
0.16s
9s
A3
T3
(n)=n2
0.256s
1s
4m22s
A4
T4
(n)=n3
4s
33s
1 Dia 13h
A5
T5(n)=2n
1m4s
46 Dias
10137 Séculos
tempo necessário para o algoritmo em função de n entradas
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Operações primitivas







Atribuição de valores a variáveis
Chamadas de métodos
Operações aritméticas
Comparação de dois números
Acesso a elemento de um array
Seguir uma referência de objeto (acesso a objeto)
Retorno de um método
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Exemplo de Análise de Algoritmo 1
arrayMax(A, n):
Entrada: array A com n>=1 elementos inteiros
Saida: o maior elemento em A
tmpMax <- A[0]
for i<-1 to n-1 do
if tmpMax < A[i] then
tmpMax <- A[i]
return tmpMax
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Exemplo de Análise de Algoritmo 1
código
custo
vezes
tmpMax <- A[0]
c1
1
for i <- 1 to n-1 do
c2
n
c3
n-1
c4
n-1
c5
1
if tmpMax < A[i] then
tmpMax <- A[i]
return tmpMax
T∗(n) = c1*1+ c2*n + c3*(n-1) + c5 * 1 (melhor caso)
T∗(n) = c1+ n*c2 + n*c3 – c3 + c5
se considerarmos os custos iguais, teremos:
T∗(n) = c+ n*c + n*c – c + c = 2n*c + c ( = 2n + 1 para c=1)
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Exemplo de Análise de Algoritmo 1
código
custo
vezes
tmpMax <- A[0]
c1
1
for i <- 1 to n-1 do
c2
n
c3
n-1
c4
n-1
c5
1
if tmpMax < A[i] then
tmpMax <- A[i]
return tmpMax
T∗(n) = c1*1+ c2*n + c3*(n-1) + c4*(n-1) + c5 * 1 (pior caso)
T∗(n) = c1+ n*c2 + n*c3 – c3 + n*c4 – c4 + c5
se considerarmos os custos iguais, teremos:
T∗(n) = c+ n*c + n*c – c + n*c – c + c = 3n*c ( = 3n para c=1)
T∗(n) ≤ t(I) ≤ T*(n)
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Observações sobre consumo de tempo:








estimar consumo do algoritmo, independente do
computador
despreze constantes multiplicativas: 10 n é o mesmo
que n
consumo de tempo é diferente para cada instância do
problema
agrupe instâncias por “tamanho”
o conceito de tamanho de uma instância
muitas instâncias têm o mesmo tamanho
consumo de tempo no pior caso
consumo de tempo no melhor caso
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Exemplo de Análise de Algoritmo 2

Rearranjar um vetor em ordem crescente

A[1 . . n] é crescente se A[1] ≤ · · · ≤ A[n]
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Exemplo de Análise de Algoritmo 2
ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, n)
1 para j ← 2 até n faça
2 chave ← A[j]
3 i←j−1
4 enquanto i ≥ 1 e A[i] > chave faça
5
A[i+1] ← A[i]
6
i←i−1
7 A[i+1] ← chave
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Exemplo de Análise de Algoritmo 2
O algoritmo faz o que prometeu?

Invariante: no início de cada iteração, A[1 . . j−1] é crescente

Se vale na última iteração, o algoritmo está correto!
ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, n)
1 para j ← 2 até (*) faça
2 chave ← A[j]
3 i←j−1
4 enquanto i ≥ 1 e A[i] > chave faça
5
A[i+1] ← A[i]
6
i←i−1
7 A[i+1] ← chave


vale na primeira iteração
se vale em uma iteração, vale na seguinte
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Exemplo de Análise de Algoritmo 2
Quanto tempo consome?
 Suponha 1 unidade de tempo por linha
ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, n)
1 para j ← 2 até n faça
2 chave ← A[j]
3 i←j−1
4 enquanto i ≥ 1 e A[i] > chave faça
5
A[i+1] ← A[i]
6
i←i−1
7 A[i+1] ← chave
Linha
1
2
3
4
5
6
7
total de unidades de tempo
= n
= n−1
= n−1
≤ 2+3+· · ·+n = (n − 1)(n+2)/2
≤ 1+2+· · ·+(n−1) = n(n − 1)/2
≤ 1+2+· · ·+(n−1) = n(n − 1)/2
= n−1
total ≤ 3/2n2 + 7/2n − 4 unidades de tempo
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Exemplo de Análise de Algoritmo 3
Encontrar a soma dos elementos positivos de um vetor
A[1 . . n]
Uma instância do problema: Encontrar a soma dos elementos positivos
do vetor (20; -30; 15; -10; 30; -20; -30; 30)
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Exemplo de Análise de Algoritmo 3
SOMAPOSITIVOS (A; n)
1 s=0
2 para i = 1 até n faça
3
se A[i] > 0
4
então s = s + A[i]
5 devolva s
O algoritmo está correto?
 testes só podem mostrar que
o algoritmo está errado (????)
 análise pode provar que o
algoritmo está correto.
O algoritmo está correto!
 Invariante: no começo de cada iteração
 s é a soma dos positivos de A[1 .. i-1]
No fim,s é a soma dos positivos de A[1 .. n].
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Exemplo de Análise de Algoritmo 3
Algoritmo
recursivo
SOMAPOS (A;n)
1 se n = 0
2
então devolva 0
3
senão s = SOMAPOS (A; n - 1)
4 se A[n] > 0
5
então devolva s + A[n]
6
senão devolva s
T(n) : consumo de tempo no pior caso
 recorrência: T(n) = T(n - 1) + const
 T(n) = ?
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Exemplo de Análise de Algoritmo 3
Observações sobre algoritmos recursivos
 Problemas com estrutura recursiva:


cada instância do problema contém uma instância
menor do mesmo problema
Algoritmo recursivo:


se a instância em questão é pequena resolva-a
diretamente
Senão: reduza-a a uma instância menor do mesmo
problema encontre solução S da instância menor use
S para construir solução da instância original
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Análise: Crescimento de Funções

O tempo de execução geralmente dependente de um
único parâmetro N




ordem de um polinômio
tamanho de um arquivo a ser processado, ordenado, etc
ou medida abstrata do tamanho do problema a considerar
(usualmente relacionado com o número de dados a processar)
Quando há mais de um parâmetro


procura-se exprimir todos os parâmetros em função de um só
faz-se uma análise em separado para cada parâmetro
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Análise: Crescimento de Funções

Os Algoritmos têm tempo de execução proporcional a

1 - muitas instruções são executadas uma só vez ou poucas
vezes (se isto for verdade para todo o programa diz-se que o
seu tempo de execução é constante)

Log N - tempo de execução é logarítmico (cresce ligeiramente
à medida que N cresce) (quando N duplica log N aumenta mas
muito pouco; apenas duplica quando N aumenta para N2)

N - tempo de execução é linear (típico quando algum
processamento é feito para cada dado de entrada) (situação
ótima quando é necessário processar N dados de entrada) (ou
produzir N dados na saída)
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Análise: Crescimento de Funções

N log N - típico quando se reduz um problema em
subproblemas, se resolve estes separadamente e se combinam
as soluções (se N é 1 milhão N log N é perto de 20 milhões)

N2 - tempo de execução quadrático (típico quando é preciso
processar todos os pares de dados de entrada) (prático apenas
em pequenos problemas, ex: produto matriz - vetor)

N3 - tempo de execução cúbico (para N = 100, N3 = 1 milhão,
ex: produto de matrizes)

2N - tempo de execução exponencial (provavelmente de pouca
aplicação prática; típico em soluções de força bruta) (para N =
20, 2N = 1 milhão; N duplica, tempo passa a ser o quadrado)
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