Exercícios de Matemática
Progressão Aritmética
1) (UNICAMP-2009) Um casal convidou seis amigos para
assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro,
descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram
numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a
poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da
mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e
assim por diante.
a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com
numeração consecutiva de uma mesma fila e que os
ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de
poltronas vizinhas?
b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a
segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a
terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim
sucessivamente até a última fila. Determine o número de
cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a
sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144
cadeiras, calcule o valor de n.
2) (VUNESP-2009) Um viveiro clandestino com quase
trezentos pássaros foi encontrado por autoridades
ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um
cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de
modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no
segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por
diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia?
a) 55.
b) 43.
c) 33.
d) 32.
e) 30.
3) (UFSCar-2009) Uma partícula se move ao longo do
primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal a partir
do ponto (0, 0), conforme indica o gráfico a seguir.
d) 27 horas.
e) 19 horas e meia.
4) (PASUSP-2009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou
várias propriedades dos chamados números figurados,
como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros
cinco números triangulares são:
O número triangular T é a soma dos n números naturais de
1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n
pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro
termo com o último é igual à do segundo termo com o
penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode
ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e
multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número
de termos da sequência.
Pode-se utilizar a noção de números triangulares para
resolver o problema dos apertos de mão, segundo o qual, se
em uma festa todos se cumprimentam uma única vez, o
número de apertos de mão é um número triangular. Se
forem dados 78 apertos de mão em uma festa, em que todos
os presentes se cumprimentem uma única vez, com um
aperto de mão, quantas pessoas haverá na festa?
a) 10
b) 13
c) 16
d) 19
e) 22
5) (PASUSP-2009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou
várias propriedades dos chamados números figurados,
como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros
cinco números triangulares são:
O número triangular T é a soma dos n números naturais de
1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n
pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro
termo com o último é igual à do segundo termo com o
penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode
ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e
multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número
de termos da sequência.
Mantido o mesmo padrão de movimento, a partícula
atingirá o ponto (50, 50), a partir do início do
deslocamento, em exatas
a) 42 horas e meia.
b) 38 horas.
c) 36 horas e meia.
1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
O nono número triangular T9 é:
a) 66
b) 55
c) 45
d) 36
e) 28
6) (FUVEST-2008) Um polinômio de grau 3 possui três
raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam
uma progressão aritmética em que a soma dos termos é
9) (UFSCar-2008) Sejam as seqüências (75, a2, a3, a4, ....) e
(25, b2, b3, b4, ....) duas progressões aritméticas de mesma
razão. Se a100 + b100 = 496, então
9
. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o
5
24
quadrado da menor raiz é
.
5
a)
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do
polinômio é 5, determine
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
c)
igual a
7) (UNIFESP-2008) “Números triangulares” são números
que podem ser representados por pontos arranjados na
forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1
como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir
os primeiros números triangulares.
b)
d)
e)
a100
é igual a
b100
273
223
269
219
247
187
258
191
236
171
10) (UNIFESP-2007) As medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados formam uma progressão
aritmética em que o primeiro termo é a1 e a razão é r > 0.
a) Se a1  25º e se r  10º, obtenha o valor máximo possível
para n nas condições enunciadas.
b) Se o maior ângulo mede 160º e a razão é igual a 5º,
obtenha o único valor possível para n.
Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T 1 = 1,
T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que T n
satisfaz a relação Tn = Tn-1 + n, para n = 2,3,4,..., pode-se
deduzir que T100 é igual a
a) 5.050.
b) 4.950.
c) 2.187.
d) 1.458.
e) 729.
8) (UFSCar-2008) Observe o padrão de formação das figuras
numeradas.
a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são formadas,
respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de área 1cm2,
calcule a área da figura 10 da seqüência indicada.
b) Seja x o número da figura x, e f(x) o número de
quadrados de 1cm2 que compõem essa mesma figura. Em
relação à função f, determine sua lei de formação e seus
conjuntos domínio e imagem.
2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
11) (UNIFESP-2007) Entre os primeiros mil números inteiros
positivos, quantos são divisíveis pelos números 2, 3, 4 e 5?
a) 60.
b) 30.
c) 20.
d) 16.
e) 15.
12) (Mack-2007) Observe a disposição, abaixo, da
seqüência dos números naturais ímpares.
1ª linha  1
2ª linha  3,5
3ª linha  7,9,11
4ª linha  13,15,17,19
5ª linha  21,23,25,27,29
........... .........................
O quarto termo da vigésima linha é
a) 395
b) 371
c) 387
d) 401
e) 399
13) (FUVEST-2007) Em uma progressão aritmética a1, a2, ...,
an, ... a soma dos n primeiros termos é dada por S n = b.n2 +
n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7,
determine
a) Mostre que a seqüência (P1, P2, ... , Pn,...) é uma
progressão aritmética, determinando seu termo geral, em
função de n, e sua razão.
b) Considere a seqüência (B1, B2, ... , Bn ,...), definida por
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.
b) o 20º termo da progressão.
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.
14) (VUNESP-2007) Um fazendeiro plantou 3960 árvores
em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação
foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro
mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r)
árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando
no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior.
Sabendo- se que ao término do décimo quinto mês do início
do plantio ainda restavam 2160 árvores para serem
plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês
foi:
a) 50.
b) 75.
c) 100
d) 150.
e) 165.
An
P
Bn = n . Calcule B1, B2 e B3. Calcule, também, a soma
dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B 1 + B2 +
... + B40.
17) (ESPM-2006) De 1995 a 2004, a população de uma
cidade vem aumentando anualmente em progressão
aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de
habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se
concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade
aumentou em:
a) 200%
b) 180%
c) 160%
d) 100%
e) 80%
15) (UNIFESP-2006) Se os primeiros quatro termos de uma
progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente
d
é
b
igual a
1
4
a)
1
b) 3
c) 2.
1
d) 3
e) 5.
16) (Vunesp-2006) Considere a figura ao lado, onde estão
sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3,
OX4Z4Y4, ... , OXnZnYn, ... , n  1, formados por pequenos
segmentos medindo 1cm cada um. Sejam An e Pn a área e o
perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado.
3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
18) (Vunesp-2006) A figura mostra duas semi-retas, r e s,
de mesmo vértice V, formando um ângulo de 60°. Os
pontos A r e B s são arbitrários, diferentes de V.
a) Explique por que os ângulos do triângulo AVB estão em
progressão aritmética.
b) Se os lados de um triângulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm,
mostre que seus ângulos estão em progressão aritmética.
19) (Mack-2006) Num encontro de dirigentes esportivos, foi
aprovada a realização de um torneio A de futebol, que
aconteceu, pela primeira vez, 2 anos depois, e,
posteriormente, a cada 9 anos. No mesmo encontro, foi
aprovada a realização de um torneio B, que ocorreu pela
primeira vez somente 9 anos depois, acontecendo, a cada 7
anos. Dessa forma, a partir da aprovação, os dois torneios
ocorreram, pela primeira vez no mesmo ano, após
a) 50 anos.
b) 55 anos.
c) 58 anos.
d) 60 anos.
e) 65 anos.
20) (Mack-2006) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida
do maior cateto, a área do triângulo é
4b 2
a) 3
3b 2
b) 2
c) 4b2
3b 2
d) 8
e) b2
21) (UFPB-2006) Uma escada foi feita com 210 blocos
cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros,
formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha
apenas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e
assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura
ao lado.
c) é possível que existam 11 páginas ímpares em que se
iniciaram dois capítulos.
d) a soma dos número das páginas em que se inicia algum
capítulo é certamente maior do que 2000.
e) em todas as páginas cujo número é um primo menor do
que 100 se inicia um capítulo.
24) (Mack-2005) A soma de todos os termos, que são
1 3 5 7 
 , , , ,...
4 4 4 4 
menores que 12, da P.A. 
é:
a) 120.
b) 144.
c) 150.
d) 160.
e) 140.
25) (UERJ-2005) A figura acima apresenta 25 retângulos.
Observe que quatro desses retângulos contêm números e
um deles, a letra n.
n
65
130
75
0
A quantidade de degraus dessa escada é:
a) 50
b) 40
c) 30
d) 20
e) 10
22) (UFC-2006) Seja f uma função polinomial de primeiro
grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real.
Sabendo-se que 2, 5, 8, ..., 44 é uma progressão aritmética
de razão 3, o valor numérico de
f(2) + f(5) + f(8) + ... + f(44) é:
a) 1020
b) 1065
c) 1110
d) 1185
e) 1260
23) (IBMEC-2005) Certo autor escreveu um livro com 60
capítulos em 100 páginas, enumeradas de 1 a 100. Em todas
as páginas ímpares inicia-se pelo menos um capítulo. É
correto afirmar que
a) nenhum capítulo iniciou em uma página par.
b) há pelo menos uma página ímpar em que dois capítulos
são iniciados.
4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números
inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada
coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco
termos.
Calcule:
a) a soma dos elementos da quarta linha da figura;
b) o número que deve ser escrito no lugar de n.
26) (Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os
finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma
distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do
que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que
caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o
período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um
total de 243750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.
27) (Vunesp-2005) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada
uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da
inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o
número de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria
cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu
a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O
número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado
de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse
atingida pela primeira vez, foi:
a) 15.
b) 16.
c) 17.
d) 18.
e) 26.
28) (Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os
finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma
distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do
que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que
caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o
período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um
total de 243750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.
29) (FMTM-2005) Em um jogo, por cada bola retirada de
uma urna (sem reposição) um apostador deve pagar da
seguinte forma: R$ 1,00 pela primeira bola retirada, R$
1,20 pela segunda, R$ 1,40 pela terceira, R$ 1,60 pela
quarta, e assim sucessivamente. Sabe-se que, de início, a
urna contém bolas numeradas de 1 a 100, e que o jogo se
encerra com o pagamento de um prêmio quando o
apostador retirar a primeira bola contendo um número
múltiplo de 7. Nas condições do jogo, o valor máximo, em
R$, despendido pelo apostador até obter o prêmio é
a) 32,20.
b) 187,20.
c) 598,60.
d) 815,10.
e) 835,20.
30) (Mack-2005) A caixa d’água reserva de um edifício, que
tem capacidade para 25000 litros, contém, em um
determinado dia, 9600 litros. Contrata-se uma empresa para
fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia
seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante,
aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O
número de dias necessários para que a caixa atinja a sua
capacidade total é:
a) 11
b) 13
c) 14
d) 12
e) 10
31) (Mack-2005) No primeiro semestre deste ano, a
produção de uma fábrica de aparelhos celulares aumentou,
mês a mês, de uma quantidade fixa. Em janeiro, foram
produzidas 18000 unidades e em junho, 78000. Se a fábrica
exporta 30% de sua produção mensal, o total de aparelhos
celulares exportados nos meses de março e abril foi:
a) 32400
b) 30600
5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
c) 24500
d) 26200
e) 28800
32) (ITA-2005) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética
infinita tal que
n
a
3k
= n 2 + .n2, para n  IN*
Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
k 1
33) (PUC-SP-2005) Considere as seqüências (1, 4, 7, 10, ...,
67) e (8, 12, 16, 20, ..., 104). O número de termos comuns a
essas duas progressões é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
34) (Unicamp-2005) A ANATEL determina que as
emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de 87,9 a
107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre
emissoras com freqüências vizinhas. A cada emissora,
identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é
um número natural que começa em 200. Desta forma, à
emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz corresponde o
canal 200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz,
corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se:
a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma
região], respeitando-se o intervalo de freqüências permitido
pela ANATEL? Qual o número do canal com maior
freqüência?
b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo
das rádios comunitárias. Qual a freqüência do canal 285,
supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas?
35) (UNIFESP-2004) A primeira figura representa um
retângulo de 100cm por 50cm, com uma escada E 1
contendo 50 degraus de 1cm de largura por 1cm de altura.
O ponto A indica a extremidade inferior da escada E 1.
Pretende-se ampliar a largura dos degraus de E1, de forma a
obter uma nova escada, E2, contendo também 50 degraus,
todos de mesma largura e tendo como extremidade inferior
o ponto B, conforme figura. Na nova escada, E 2, a altura
dos degraus será mantida, igual a 1cm A área da região
sombreada, sob a escada E2, conforme a segunda figura,
será:
b) 238.
c) 237.
d) 233.
e) 232.
39) (FGV-2004) Seja a seqüência (a1, a2, a3, … an, …) tal
que an = log10n-1,
em que n  N*.
100
a
O valor de
a) 4 950
b) 4 850
c) 5 050
d) 4 750
e) 4 650
a) 2.050cm2.
b) 2.500cm2.
c) 2.550cm2.
d) 2.750cm2.
e) 5.000cm2.
36) (ITA-2004) Considere um polígono convexo de nove
lados, em que as medidas de seus ângulos internos
constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º.
Então, seu maior ângulo mede, em graus,
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
37) (UFC-2004) Uma progressão aritmética é tal que a soma
n2
dos n primeiros termos é 2 , para todo inteiro positivo n.
Determine a progressão.
38) (Vunesp-2004) Num laboratório, foi feito um estudo
sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de
um minuto do início das observações, existia 1 elemento na
população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por
diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as
populações do vírus
(representado por um círculo) ao final de cada um dos
quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de
desenvolvimento da população, o número de vírus no final
de 1 hora era de:
a) 241.
6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
n 1
n
é:
40) (UFSCar-2004) Um determinado corpo celeste é visível
da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela
última vez no ano de 1968. De acordo com o calendário
atualmente em uso, o primeiro ano da era Cristã em que
esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi o
ano
a) 15.
b) 19.
c) 23.
d) 27.
e) 31.
41) (Fuvest-2004) Um número racional r tem representação
decimal da forma r = a1a2,a3 onde 1  a1  9, 0  a2  9, 0 
a3  9. Supondo-se que:
» a parte inteira de r é o quádruplo de a3 ,
» a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,
» a2 é divisível por 3,
então 3 a vale:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9
42) (Fatec-2003) Um auditório foi construído de acordo
com o esquema abaixo:
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a
mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para
assistir a um evento e todas comparecerem,
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
b) 550 S < 750
c) 750 
d) 950S < 1150
e) S 
48) (Unifesp-2003) A soma dos termos que são números
primos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n +
2, para n natural, variando de 1 a 5, é
43) (Vunesp-2003) Sabendo-se que (X, 3, Y, Z, 24), nesta
ordem, constituem uma P.A. de razão r,
a) escreva X, Y e Z em função de r;
b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.
a) 10.
b) 16.
c) 28.
d) 33.
e) 36.
44) (Fatec-2003) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos
termos de uma progressão aritmética de razão 4.
Se a área desse triângulo é de 96 cm2, o perímetro desse
triângulo, em centímetros, é
49) (Unicamp-2003) Considere o conjunto S = {n  IN: 20
 n  500}.
a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?
b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a
probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?
a) 52
b) 48
c) 42
d) 38
e) 36
50) (Fuvest-2003) a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e
1000?
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?
45) (Fatec-2003) Dois viajantes partem juntos, a pé, de uma
cidade A para uma cidade B, por uma mesma estrada. O
primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundo anda 10
quilômetros no primeiro dia e daí acelera o passo, em meio
quilômetro a cada dia que segue.
Nessas condições, é verdade que o segundo
o
a) alcançará o primeiro no 9 dia.
b) alcançará o primeiro no 5o dia.
c) nunca alcançará o primeiro.
d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.
e) alcançará o primeiro no 11o dia.
46) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão
geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o
número de termos n desta progressão, em função de A, B e
q.
b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros
em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada
parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas
parcelas são necessárias para pagar a dívida?
51) (UFC-2003) A soma dos 15 primeiros termos de uma
Progressão Aritmética é 150. O 8o termo desta P.A. é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
60
 (2j  1)
52) (FGV-2003) a) calcule j1
.
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica
2


1, x , x ,...


2 4

.
53) (Mack-2002) Os múltiplos de 7, existentes entre 20 e
508, são em número de:
a) 72
b) 70
c) 68
d) 67
e) 69
47) (PUC-PR-2003) A soma S de todos os números naturais
de dois algarismos que divididos pelo número 5 dão resto
igual a 2 é tal que:
54) (OMU-2002) Considere as seqüências Sn = 12 + 22 + ...
+ n2 e Tn = 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1).
a) S < 550
Calcule S4, T4 e T4 - S4.
Ache n tal que Tn - Sn = 210.
7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
3 2 2
2 1
a 
3
6
2
55) (UECE-2002) Se 2
e
são,
respectivamente, o segundo e terceiro termos de uma
progressão geométrica, então o seu primeiro termo, a1 , é
igual a:
a 
a) 1,5
b) 1,4
c) 1,3
d) 1,2
56) (UFC-2002) Uma seqüência de números reais é dita uma
progressão aritmética de segunda ordem quando a
seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos
for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na
qual se encontra parte de uma progressão aritmética de
segunda ordem.
a) (0, 5, 12, 21, 23)
b) (6, 8, 15, 27, 44)
c) (-3, 0, 4, 5, 8)
d) (7, 3, 2, 0, -1)
e) (2, 4, 8, 20, 30)
57) (UFSCar-2002) Uma função f é definida recursivamente
5f(n)  2
f(n  1) 
5
como
. Sendo f(1) = 5, o valor de f(101)
é
a) 45.
b) 50.
c) 55.
d) 60.
e) 65.
58) (UFSCar-2002) A soma dos cinco primeiros termos de
uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a
razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo
dessa seqüência vale
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
59) (UFPR-2002) Considere um conjunto de circunferências
cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a
progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito
dessas circunferências, é correto afirmar:
O total de circunferências é 130.
O comprimento da maior dessas circunferências é 15
vezes o comprimento da menor.
- As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em
milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão
aritmética de razão 2.
8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
A soma dos comprimentos de todas as
circunferências, em centímetros, é 2227.
60) (Emescam-2002) Se em uma PA de 7 termos, de razão
K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto e o sexto termos,
qual será a razão da PA definida a partir da seqüência
restante?
a) K
b) 2K
c) 0,5K
d) 3K
e) 5K
61) (UniAra-2001) A média de pontos obtidos em um teste
de seleção par a candidatos a emprego em uma empresa
tem diminuído de maneira constante. A média do teste
aplicado em 1994 foi 252 pontos, enquanto que em 1999 foi
apenas 197 pontos. Nestas condições a média de pontos em
2.001 será:
a) 185 pontos
b) 176 pontos
c) 186 pontos
d) 182 pontos
e) 175 pontos
62) (Vunesp-2001) Numa cerimônia de formatura de uma
faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de
modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira
fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por
diante, constituindo uma progressão aritmética. O número
de formandos na cerimônia é
a) 400.
b) 410.
c) 420.
d) 800.
e) 840.
63) (Fuvest-2000) Sejam a, b, c três números estritamente
positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo
ABC, cujos vértices são A = (–a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0),
é igual a b, então o valor de b é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
64) (Vunesp-1999) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo formam uma progressão aritmética crescente de
razão r.
a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem
crescente, são 3r, 4r e 5r.
b) Se a área do triângulo for 48, calcule r.
65) (UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um
supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de
uma mesma reta.
depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00 ,
no terceiro mês foi de R$ 20,00 e assim por diante,
depositando a cada mês R$ 5,00 a mais do que havia
depositado no mês anterior. Feito o 24° depósito, o total
depositado por ele era:
a)
b)
c)
d)
e)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na
promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50
b) 5,00
c) 5,50
d) 6,00
66) (UERJ-1998) Geraldo contraiu uma dívida que deveria
ser paga em prestações mensais e iguais de R$ 500,00 cada
uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de
correção monetária. Um mês após contrair essa dívida,
Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada
uma das demais prestações seria sempre igual ao da
anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais,
sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser
liquidada na metade do tempo inicialmente previsto.
a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente
previsto, t > 2 e t - 2 como um divisor par de 2000,
2000
demonstre que K = t  2 .
b) Se a dívida de Geraldo for igual a R$ 9000,00, calcule o
valor da constante K.
R$1.630,00
R$1.620,00
R$1.615,00
R$1.610,00
R$1.600,00
69) (Fuvest-1998) 500 moedas são distribuídas entre três
pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira:
A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C
seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas
suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte,
então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu?
(Deixe explícito como você obteve a resposta.)
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
70) (Fuvest-1998) A soma das frações irredutíveis,
positivas, menores do que 10, de denominador 4, é:
a) 10
b) 20
c) 60
d) 80
e) 100
71) (UFRJ-1998) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua
inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de
construção de castelo de cartas.
Ele vai montar um castelo na forma de um prisma
triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se
tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal,
excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma
mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três
níveis.
67) (Vunesp-1998) Imagine os números inteiros não
negativos formando a seguinte tabela:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...
...
...
a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por
quê?
b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?
68) (Uneb-1998) Um pai fez depósitos mensais na
caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o
9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis.
Determine o número de cartas que ele vai utilizar.
72) (Fatec-1997) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de
modo que a seqüência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma
progressão aritmética, tem-se a3 igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
79) (UFBA-1996) Em um paralelepípedo retângulo P, a
altura h, a diagonal da base d e a diagonal D são, nessa
ordem, os termos consecutivos de uma progressão
aritmética de razão r =1. Sendo a base do paralelepípedo P
um quadrado, pode-se afirmar:
(01)
(02)
73) (Unicamp-1997) Em uma agência bancária cinco caixas
atendem os clientes em fila única. Suponha que o
atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos
e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo
em que o caixa 2 o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim
sucessivamente.
a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente
da fila?
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será
iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo
cliente?
74) (UFSE-1997) No mês de maio de 1996, uma pessoa
colocou R$ 100,00 em sua caderneta de poupança e, todos
os meses, vem fazendo depósitos, cada mês colocando R$
20,00 a mais do que no mês anterior. Dessa forma, ao
efetuar o 14o depósito, terá depositado a quantia total de:
a) R$ 280,00
b) R$ 380,00
c) R$ 1 610,00
d) R$ 3 220,00
e) R$ 3 240,00
75) (Fuvest-1997) Do conjunto de todos os números
naturais n, n  200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em
seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que
permanecem no conjunto.
76) (Unaerp-1996) A soma dos 10 primeiros termos de uma
progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é
258, então, o 1o termo e a razão são respectivamente:
a) 3 e 5.
b) 5 e 3.
c) 3 e -5.
d) -5 e 3.
e) 6 e 5.
77) (UFC-1996) Os lados de um triângulo retângulo estão
em progressão aritmética. Determine a tangente do menor
ângulo agudo deste triângulo.
78) (UFC-1996) Considere a seqüência (an), na qual o
produto a1.a2. ... .an=2n.n!
Determine a soma a1 + a2 + ... +a8.
10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
h.d.D = 60 cm3
O volume de P é V = 16 cm2
(04)
A área total de P é S = 4(4+3 2 ) cm2
(08)
A área do círculo inscrito na base de P é S = 2
cm2
(16)
O perímetro do triângulo cujos lados coincidem
com h, d, D é p =12cm
A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas
80) (FGV-1995) Para todo n natural não nulo, sejam as
seqüências
(3, 5, 7, 9, ..., an, ...)
(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)
(c1, c2, c3, ..., cn, ...)
com cn = an + bn. Nessas condições, c20 é igual a:
a) 25
b) 37
c) 101
d) 119
e) 149
81) (Fatec-1995) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg,
deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma
dieta alimentar resulte em um emagrecimento de
exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa
alcançará seu objetivo ao fim de:
a) 67 semanas.
b) 68 semanas.
c) 69 semanas.
d) 70 semanas.
e) 71 semanas.
82) (Unirio-1995) Dado um triângulo retângulo cujos
catetos medem 2cm, construímos um segundo triângulo
retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa
do primeiro e o outro cateto mede 2cm. Construímos um
terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2cm e o
outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se
continuarmos a construir triângulos sempre da mesma
forma, a hipotenusa do 15o triângulo medirá:
a) 15cm.
b) 15 2 cm.
c) 14cm.
d) 8cm.
e) 8 2 cm.
83) (Unirio-1995) Os lados de um triângulo retângulo estão
em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro
mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede:
a) 17cm
b) 19cm
c) 20cm
d) 23cm
e) 27cm
84) (Unitau-1995) Um triângulo retângulo tem seus lados c,
b, e a em uma progressão aritmética crescente, então
podemos dizer que sua razão r é igual a:
a) 2c.
b) c/3.
c) a/4.
d) b.
e) a - 2b.
85) (Fuvest-1995) Em uma progressão aritmética de termos
positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, 11 a . O
quarto termo desta P.A. é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
86) (UEL-1994) Uma progressão aritmética de n termos tem
razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os
de ordem par formarão uma progressão:
a) aritmética de razão 2
b) aritmética de razão 6
c) aritmética de razão 9
d) geométrica de razão 3
e) geométrica de razão 6
87) (UFPB-1993) Qual a quantidade de múltiplos de 3 no
intervalo [3455, 3740] ?
88) (Olimpíada de Matemática Argentina-1988) Dados os
números 7 e 15 determinar um terceiro número positivo tal
que, ao se efetuar de todas as maneiras possíveis a soma de
dois quaisquer deles multiplicada pelo restante se obtenham
três números em progressão aritmética. Indique todas as
soluções.
89) (UFPB-1982) A soma dos 3 primeiros termos de uma
sucessão, onde a1 = 2 e an+1 = an + 3 para todo n  1, é:
a) 11
11 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
90) (UFPB-1977) O termo médio de uma progressão
aritmética de 5 termos, cuja soma vale 25, é:
a) -3
b) -1
c) 1
d) 3
e) 5
91) (UFRS-0) Para p e q inteiros e positivos, a soma dos 100
primeiros múltiplos de p é A e a soma dos 100 primeiros
múltiplos de q é B. O valor de (A+B) é:
a) 200pq
b) 200(p+q)
c) 500(p+q)
d) 5050(p+q)
e) 505pq
92) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c
estejam, simultaneamente em progressão aritmética e
progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a+c = 2b
c) a + c =b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Gabarito
1) a) 1/4 (25%)
b) 9 filas.
2) Alternativa: C
3) Alternativa: A
16) a) cada novo quadrado tem 4 segmentos a mais, de
forma que a seqüência é uma PA de razão 4, e termo geral
Pn = 4 + (n-1).4 = 4n
1 1 3
1
4
2
4
4
b)
; ; ; ... (PA de razão )
S40 = 205.
17) Alternativa: A
4) Alternativa: B
5) Alternativa: C
  7 3 13 
, , 

 5 5 5
 73
b)
5
6) a)
7) Alternativa: A
8) a) A área é 221cm2.
b) f(x) = 2x2 + 2x + 1, x ∈ IN*
Domínio:
D = IN*
Conjunto imagem:
Im = {5, 13, 25, …, 2x2 + 2x + 1, …}, x ∈ IN*
18) a) Como 60° é um dos ângulos, a soma dos outros dois
( e , por exemplo) é 120º. Assim, 60º é a média
aritmética entre  e , e então a seqüência (, 60°,  ) é
uma progressão aritmética.
b) Usando a lei dos cossenos, se  for o ângulo oposto ao
1
lado que mede 7, temos que cos = 2 e portanto  = 60º.
Assim, do exposto no item (a) podemos afirmar que os
ângulos estão em PA.
19) Alternativa: E
20) Alternativa: D
21) Alternativa: D
9) Alternativa: A
22) Alternativa: B
10) a) n = 8
23) Alternativa: D
b) n = 9
24) Alternativa: B
11) Alternativa: D
12) Alternativa: C
13) a) b =
b) a20 =
6
12
er=
5
5
239
5
c) S20 = 500
14) Alternativa: A
15) Alternativa: D
12 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
25) a) Soma dos elementos da 4ª linha = 5.75 = 375
b)
n
65
2x
y
130
x
z
75
0
65  x

130  2x  4r  r  2

 y  2x  65  x  65  3x

2
2
Na 3ª linha
x  75
z
2
Na 4ª linha
 2y  65  z
Na 2ª coluna
65  3x  65 
x  75
2
x = 15
35) Alternativa: C
6075
9010
5
45
65
30
55
15
0
36) Alternativa: E
1 3 5
1
37) PA( 2 , 2 , 2 , ...) com a1 = 2 e razão r = 1.
38) Alternativa: C
n = 105
39) Alternativa: A
40) Alternativa: A
26) a) 750 metros
b) 22500 metros
41) Alternativa: E
Se a aparte inteira de r é o quádruplo de a3, então 10a1 + a2
= 4.a3. Considerando que a1, a2,a3 estão em PA, então 2a2 =
a1 + a3. Isolando a3 na 2a equação e substituindo na 1a,
temos que a2 = 2a1. Então, a2 é par, e, conforme o
enunciado, divisível por 3. Assim, a2 = 6 e a3 = 9.
27) Alternativa: B
28) a) 750 metros
b) 22500 metros
42) Alternativa: C
43) a) X = 3 - r; (ou 24 - 4r)
Y = 3 + r (ou 24 - 2r)
Z = 3 + 2r (ou 24 - r)
b) r = 7, X = -4, Y = 10 e Z = 17.
29) Alternativa: E
30) Alternativa: A
31) Alternativa: E
32) O primeiro termo é
2 -

2
, e a razão é
3
3
.
44) Alternativa: B
(N.do.E.: não é necessário fornecer a área do triângulo para
que seja resolvido esse exercício.)
45) Alternativa: A
33) Alternativa: A
34) EXPECTATIIVA DE RESPOSTA DA BANCA
ELABORADORA DA UNICAMP
a) Intervalo [fechado] de freqüências: [87,9; 107,9].
Amplitude: 20 MHz. Este intervalo deve ser dividido em
20/0,2 = 100 sub-intervalos
e, portanto, 101 pontos de divisão, com uma emissora em
cada ponto.
Resposta: São 101 emissoras e o canal de maior freqüência
é o canal 300.
b) A freqüência do canal 200 é de 87,9 MHz,
a freqüência do canal 201 é de 87,9 + 0,2 = 88,1 MHz,
a freqüência do canal 202 é de 87,9 + 2.0,2 = 88,3 MHz,
................................................................................................
.........
a freqüência do canal 285 é de 87,9+85.0,2=87,9+17=104,9
MHz
Resposta: A freqüência do canal 285 é de 104,9 MHz.
13 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
46) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja,
supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 +
B
log q
.
A
b) 25 parcelas.
47) Alternativa: D
S = 12 + 17 + ... + 97 = 981
48) Alternativa: D
49) a) os múltiplos de 3 e de 7 são múltiplos de 21: são 23
múltiplos
b) são (500 – 19 = 481) 481 números no espaço amostral;
desses, 160 são múltiplos de 3; 69 são múltiplos de 7 e 23
são múltiplos comuns de 3 e 7, ou seja, temos (160 + 69 –
23 = 206) 206 números no evento pedido.
206
Assim, P =
481
Com a mudança em t prestações  valor total = 500 + 500
t

  1K
2
 =
+ K + 500 + 2K + 500 + 3K+ ... + 500 + 
(t  2)K 

 250 
.t
8 

50) a) 100
b) 100 + 60 - 20 = 140
51) Alternativa: A
52) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600
b) 
2000
Igualando os totais, obtemos: K = t  2
2000
b) 500t = 9000  t = 18, então K = 18  2 = 125
x 19
219
53) Alternativa: B
54) a) S4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. T 4 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40.
T4 - S4 = 10.
Tn  S n 
n
n
i1
i1
 (i  1)i  i 2   i 
n(n  1)
2
2
b)
. Assim n +
n - 420 = 0, logo (n - 20)(n + 21) = 0, assim n = 20.
55) Alternativa: A
56) Resposta: B
Construindo as seqüências das diferenças obtemos
a) (5, 7, 9, 2)
b) (2, 7 12, 17)
c) ( 3, 4, 1, 3)
d) (-4, -1, -2, -1)
e) (2, 4, 12, 10)
Apenas (2, 7, 12, 17) representa uma parte de uma
progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8,
15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem.
57) Alternativa: A
58) Alternativa: A
59) F – F – V – V
60) Alternativa: D
61) Alternativa: E
62) Alternativa: A
63) Alternativa: E
64) a) Sejam os lados a PA (x-r, x e x+r). Então, (x+r)2 = x2
+ (x-r)2  4xr = x2  x = 4r ou x=0 (não convém). Para x
= 4r, a PA fica (3r, 4r, 5r). cqd.
b) r = 8
67) a) 2ª linha
b) 107ª coluna
Observe que:
» Os números da 1ª linha da tabela são múltiplos de 3;
» Os números da 2ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais
1;
» Os números da 3ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais
2;
» 319 = 3.106 + 1.
Portanto, o 319 se encontra na 2ª linha (o resto da divisão
por 3 é igual a 1) e na 107ª coluna
(existem 106 colunas antes do número 319).
68) Alternativa: B
69) a) B recebeu as 4 moedas restantes.
b) A: 176
B: 159
C: 165
70) Alternativa: E
71) 2420 cartas
72) Alternativa: B
73) a) no caixa 3
b) após 39 minutos: o caixa 3 atenderá o cliente 3, 8, 13, 18,
..., 63, 68. Na PA (3, 8, 13, ...68) o termo 68 é o 14 o. Assim,
antes dele houveram 13 clientes, e 13.3 = 39 min.
74) Alternativa: D
75) S = 20100 - 4100 - 3366 + 630 = 13264
76) Alternativa: B
65) Alternativa: A
66) a) Dívida original em t prestações  valor total = 500t
14 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
77) tg  =
3
4
78) a1=2, a2=4, a3=6,....a8=16, portanto a soma a1+...+a8 =
72
79) V - F - F - V - V  1 + 8 + 16 = 25
80) Alternativa: C
81) Alternativa: D
82) Alternativa: D
83) Alternativa: B
84) Alternativa: B
85) Alternativa: B
86) Alternativa: B
87) 95 múltiplos
88) Seja x o terceiro número, temos então seis
possibilidades:
1) 22x  7(x + 15)  15(x + 7), então a razão, calculando a
diferença entre os últimos termos, seria 8x, por outro lado,
calculando entre os dois primeiros, seria 105 - 15x, logo
105 - 15x = 8x, e x = 105/23.
2) 7(x + 15)  22x  15(x + 7), então por um lado a razão
deveria ser 105 - 7x, e por outro 15x - 105, assim 105 - 7x =
15x - 105, então x = 105/11.
3) 7(x + 15)  15(x + 7)  22x, então teríamos pelo mesmo
argumento 7x - 105 = 8x, logo x = -105, que não convém.
89) Alternativa: E
90) Alternativa: E
91) Alternativa: D
A = p+2p+3p+4p+...+100p = p(1+2+3+...+100) =
(1 100).100
2
p = 5005p
B = q+2q+3q+4q+…+100q = q(1+2+3+…+100) = 5005q
A+B = 5005(p+q)
92) Alternativa: D
15 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br