Microeconomia II
Cursos de Economia e de Matemática
Aplicada à Economia e Gestão
AULA 1.3
Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
Isabel Mendes
2007-2008
1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
Na aula 1.1 falou-se ainda dos jogos sequenciais ⇒ os jogadores jogam
sequencialmente, cada um tendo em consideração as acções do jogador
anterior. Os jogadores, antes de jogar, observam as jogadas anteriores e só
depois tomam a decisão. São, portanto, jogos dinâmicos.
Os jogos dinâmicos são representados numa árvore finita onde:
¾ os nós representam os jogadores e os pagamentos;
¾ um conjunto de informação é um conjunto de nós de um jogador;
¾ os ramos que saem de cada um dos nós representam as estratégias dos
jogadores;
¾ uma acção ou movimento é uma escolha simples que o jogador faz no
decorrer do jogo; a árvore permite mostrar a sequência das acções;
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
¾ uma estratégia é um plano de acção compreensivo que prescreve uma
acção ao jogador em todas as situações de escolha possíveis ou, então, “ uma
estratégia é uma função que associa com cada conjunto de informação uma das
alternativas que sai desse conjunto “ (Shubik 1981).
As estratégias podem ser puras ou mistas:
- estratégias puras: associam a cada conjunto de informação uma das
alternativas básicas que sai do conjunto (só trabalhamos com estas
em Micro II);
- estratégias mistas: associa com cada ponto de decisão uma distribuição
de probabilidade sobre as alternativas básicas.
A dimensão do conjunto de estratégias de cada jogador vai depender da
ordem dos movimentos e da estrutura dos conjuntos de informação.
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
¾um sub – jogo é uma parte de um jogo constituída por um conjunto de nós e
ramos que descendem unicamente de um único nó; um subjogo é um “jogo
remanescente” que parte de uma posição de informação perfeita (um único nó) e
que, no seu decorrer, preserva essa informação perfeita.
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
1. Árvore de jogo sequencial dinâmico com informação perfeita:
Um jogo sequencial dinâmico com informação perfeita é um jogo em que cada jogador
conhece exactamente as acções que foram jogadas anteriormente, ou seja, em que
cada conjunto de informação de cada jogador é composto de apenas um nó ⇒
cada jogador age sequencialmente sem decisões simultâneas.
JOG B
b1
a1
b2
JOG A
a2
JOG B
b1
b2
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(α11,β11)
(α12,β12)
(α21,β21)
(α22,β22)
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
“Ficha do jogo”:
¾ dois jogadores (nós iniciais);
¾ cada jogador dispõe de duas estratégias (ramos que saem de cada um dos
nós representativos dos jogadores);
¾ a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais
os jogadores manifestam as suas preferências(nós finais);
¾ o jogo tem três conjuntos de informação cada um deles composto de
apenas um nó:
- o conjunto de informação do primeiro jogador (nó vermelho);
- dois conjuntos de informação para o jogador dois (representados
respectivamente por cada um dos nós verdes).
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
“Ficha do jogo” (continuação):
¾ O jogador A dispõe de duas estratégias (a1 e a2); o jogador B dispõe de
2x2 = 4 estratégias (a1:b1; a1:b2; a2:b1; a2: b2);
¾ O jogo é composto de 3 sub-jogos:
- o subjogo que desce a partir do 1º nó A (este subjogo é,
evidentemente, idêntico ao jogo na sua totalidade ⇒ todos os jogos são
sub-jogos de si próprios);
- os dois subjogos que descem dos dois nós B’s verdes.
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
Jogo Sequencial Dinâmico na Forma Estratégica:
Um jogo sequencial dinâmico é tradicionalmente apresentado na forma de uma árvore.
Mas também pode ser representado na forma estratégica:
EXEMPLO:
J
L
S
S
S
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L
J
(2, 2)
(-1, -1)
L
(-1, -1)
S
(1, 1)
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
A forma estratégica do jogo sequencial é dada pela seguinte matriz:
J
(L,L)
L
S
S
(L,S)
(S,L)
(S,S)
(2, 2)
(2, 2)
(-1, -1)
(-1, -1)
(-1, -1)
(1, 1)
(-1, -1)
(1, 1)
(L; L,L) lê-se: se S escolher L
J escolhe L se S escolher L e
J volta a escolher L se S escolher S
(S; L,L) lê-se: se S escolher S
J escolhe L se S escolher L e
J volta a escolher L se S escolher S
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
2. Árvore de jogo sequencial dinâmico com informação imperfeita:
Um jogo sequencial dinâmico com informação imperfeita é um jogo em que:
2.1
No caso extremo, nenhum jogador distingue exactamente as acções
dos outros (caso do jogo simultâneo representado na forma extensiva).
2.2 Nem todos os jogadores conhecem exactamente as acções que foram
jogadas anteriormente (caso misto em que um jogador distingue as acções
mas o outro pode não distinguir, por exemplo).
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2.1 Árvore de jogo com informação imperfeita = jogo simultâneo
representado na forma extensiva
EXEMPLO:
1º) jogo do Dilema do Prisioneiro (jogo simultâneo na forma normal)
Preso B
Cooperar Denunciar
Cooperar
-1, -1
-10, 0
Denunciar
0, -10
-8 -8
Preso A
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2.1 Árvore de jogo com informação imperfeita :jogo simultâneo
representado na forma extensiva (continuação)
EXEMPLO:
2º) jogo do Dilema do Prisioneiro (jogo simultâneo na forma extensiva)
Preso B
Coopera
Denuncia
Preso A
Coopera
Denuncia
Preso B
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Coopera
Denuncia
A linha oval que envolve
os nós verdes significa
que ambos os nós
(-10, 0) pertencem ao mesmo
conjunto de informação ⇒
(0, -10)
nestes nós os jogadores
não se apercebem das
(-8, -8) escolhas anteriores
(-1, -1)
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : jogo simultâneo
representado na forma extensiva (continuação)
“Ficha do jogo”:
¾ dois jogadores (nós iniciais);
¾ cada jogador dispõe de duas estratégias (ramos que saem de cada um dos
nós representativos dos jogadores);
¾ a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais
os jogadores manifestam as suas preferências (nós finais);
¾ o jogo tem 2 conjuntos de informação:
- um conjunto de informação do primeiro jogador com um nó (nó
vermelho);
- um conjunto de informação para o jogador dois com dois nós (linha oval);
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : jogo simultâneo
representado na forma extensiva (continuação)
“Ficha do jogo” (continuação):
¾ O jogador A dispõe de duas estratégias (Cooperar e Denunciar); o jogador
B dispõe de 2 estratégias também (Cooperar; Denunciar);
¾ Este jogo é composto por apenas um subjogo – o próprio jogo.
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2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : situação intermédia entre
o caso 1. e o caso 2.1
R1
1
2
B1
3
3
A
2
1
B2
R3
R4
1
2
R5
3
B3
1
2
3
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R2
R6
R7
R8
R9
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“Ficha do jogo”:
¾ dois jogadores (nós iniciais);
¾ cada jogador dispõe de três estratégias (ramos que saem de cada um dos
nós representativos dos jogadores);
¾ a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais os
jogadores manifestam as suas preferências (nós finais R1, …,R9);
¾ o jogo tem 3 conjuntos de informação:
- um conjunto de informação A do primeiro jogador com um nó (nó
vermelho);
- dois conjuntos de informação para o jogador B: um conjunto com um nó
(B3); e outro conjunto com dois nós (oval com os nós B1 e B2) ⇒ B
distingue B3 de B1 e B2 mas não distingue entre B1 e B2;
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1.3 Jogos na Forma Extensiva – informação num jogo
“Ficha do jogo” (continuação):
¾ O jogador A dispõe de três estratégias (1,2 e 3); o jogador B dispõe de
3x3=9 estratégias;
¾
O jogo tem apenas dois subjogos: o subjogo como um todo (ou seja a
totalidade do jogo) iniciado no nó inicial A e o subjogo iniciado no nó B3.
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