RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013
DA FUVEST-FASE 2.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Fase 2, segundo dia
Q 13.
O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de
acordo com a expressão N(t) = N0 e-λt , sendo No o número de átomos deste isótopo em t = 0 e λ a
constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log10 N em função de t, obtido em um
estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável
(99m Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
A partir do gráfico, determine
a) o valor de log10 N0 ;
b) o número N0 de átomos radioativos de 99 mTc ;
c) a meia-vida (T1/2) do 99 mTc.
Note e adote:
A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de
átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade.
log102 = 0,3; log105 = 0,7
RESOLUÇÃO:
a) A partir do gráfico, log10 N0 = 6,0
b) Se log10 N0 = 6,0 ⇒ N0 =10 6
c) N(t) = N0 /2 ⇒ log N(t) =log (N0 /2) ⇒ N(t) = log 500000 = log5 +log105 = 0,7 + 5 = 5,7.
Analisando o gráfico vê-se que N(t) = 5,7 para t = 6 horas.
Q 15.
Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500m, a
altitude do pico B é de 800m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900m. Na
figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente,
os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a
20m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir
do pico A ao pico B?
RESOLUÇÃO:
a) Os triângulos ATD e ABC são semelhantes, então,
x 900
=
⇒ x = 60 .
20 300
RESPOSTA: O deslocamento horizontal é de 60m.
b) Para determinar aa distância do ponto A ao ponto B, aplica-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo ABC: d = 3002 + 900 2 = 900000 = 300 10m .
O teleférico se deslocando com velocidade constante de 1,5m/s, gasta para ir do pico A ao pico B:
t=
300 10m
= 200 10s.
1,5m/s
RESPOSTA: 200 10s
Fase 2, terceiro dia
M.01
Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de
R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor
contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos
trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?
RESOLUÇÃO:
Considere-se como x o número inicial dos trabalhadores.
10800
reais.
Cada trabalhador deveria receber
x
10800
reais.
x −3
Se o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do
combinado no acordo original, tem-se a equação:
10800 10800
18
18
=
+ 600 ⇒
= + 1 ⇒ 18x = 18x − 54 + x 2 − 3x ⇒
x −3
x
x −3 x
Como três desistiram do trabalho, ficaram x – 3 trabalhadores e cada um recebeu
x 2 − 3x − 54 = 0 x = 9 ou x = −6 (não convém).
RESPOSTA:
a) Realizaram o serviço (9 – 3) = 6 trabalhadores.
b) Cada um deles recebeu (10800 : 6) = 1800 reais.
M.02
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido
antihorário.
A partir de cada vértice atingido ao longo do
percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido,
construindo-se um segmento de mesmo comprimento que
esse lado. As extremidades dos prolongamentos são
denotadas por A´, B´, C´ e D´, de modo que os novos
segmentos sejam, então, AA', BB', CC' e DD' . Dado que
AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e
B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB´C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.
RESOLUÇÃO:
a) A área do paralelogramo ABCD é igual a AB × DE
= 4 × 3 = 12u.a.
b) BB’=AB = 4, C’H = 6 e SBB'C' =
c) Sendo
4×6
= 12u.a.
2
A' DD' ≅ BB' C' e CC' D' ≅ A' AB' , a área de A’B’C’D’ é igual
S = S ABCD + 2 × SBB'C' + 2 × S A' AB' = 12 + 24 +
UVEST 2013 PROVA 3
M.03
2×8×3
= 36 + 24 = 60u.a.
2
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se
movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na
figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a
articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois
braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem
comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado
momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e
a
distância de O a P2é 2 10 . Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao
plano do chão, determine
a) o seno e o cosseno do ângulo P2ÔQ entre a reta OP2 e o plano do chão;
b) a medida do ângulo OP̂1P2 entre os braços do guindaste;
c) o seno do ângulo P1ÔQ entre o braço OP1 e o plano do chão.
RESOLUÇÃO:
a) No triângulo retângulo P2OQ, OQ = 40 − 4 = 6 .
2
10
6
3 10
=
e cos(P2 ÔQ)=
=
10
2 10 10
2 10
3 10
10
RESPOSTA: sen(P2ÔQ)
=
e cos(P2ÔQ)=
10
10
sen(P2ÔQ)=
b) Com o cálculo da medida do lado OQ conclui-se que os triângulos P2OQ e P2OP1 são congruentes,
logo o ângulo OPˆ1P2 mede 90°.
RESPOSTA: 90°
c) O ângulo P1ÔQ = 2(P2ÔQ), então, sen(P1ÔQ) = 2 sen(P1ÔQ) . cos(P1ÔQ) ⇒
10 3 10 3
×
= .
10
10
5
3
RESPOSTA: sen(P1ÔQ) = .
5
sen(P1ÔQ) = 2 ×
M.04
Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de
territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de
lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas
condições seguintes forem satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
RESOLUÇÃO:
Como Sócrates está jogando com três dados honestos, o número de eventos possíveis é n(E) = 63 = 216.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5 as ocorrências prováveis para Sócrates conquistar o território em
jogo é:
1)
2)
6
6
6
6
6 Número de possibilidades: 1.
1, 2, 3, 4 ou 5
3!
Número de possibilidades: 1.1.5. = 5.3 = 15 .
2!
Total de possibilidades prováveis: 16.
16
2
A probabilidade pedida é:
=
216 27
RESPOSTA:
2
.
27
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo é:
1)
2)
6
6
6
6
3)
6
5
6 Número de possibilidades: 1.
1, 2, 3, 4 ou 5
3!
Número de possibilidades: 1.1.5. = 5.3 = 15 .
2!
1, 2, 3 ou 4
Número de possibilidades: 1.1.4.3!= 24 .
4)
6
5
5
Número de possibilidades:
3!
=3.
2!
Total de possibilidades prováveis: 43.
43
A probabilidade pedida é:
216
RESPOSTA:
43
216
M.05
No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD
= 3 e AE = 4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale
AQ?
RESOLUÇÃO:
a) A área do triângulo ABD é
AB × AD 2 × 3
=
=3
2
2
RESPOSTA: 3u.a.
b) O volume do tetraedro ABDE é
1
1
× SABD×AE = × 3 × 4 = 4
3
3
RESPOSTA: 4u.v.
c) Os triângulos ADE, ABD e ABE são retângulos.
DE = 16 + 9 = 5 , BD = 4 + 9 = 13 e BE = 4 + 16 = 20 = 2 5 .
h 2 = BE 2 − EI 2
No triângulo BDE tem-se: 
Fazendo EI=x:
h 2 = BD2 − DI 2
h 2 =


h 2 =
( 20 ) − x
( 13 ) − (5 − x )
SBDE =
2
2
2
2

244
20 − x 2 = 13 − 25 + 10 x − x 2
h 2 = 9,76
h =
h 2 = BE 2 − EI 2



25
⇒ 10 x = 32
⇒
⇒
976 ⇒ 
2

2 61
 x = 3,2
h =

h = 20 − 10,24
100


 h = 5
1
2 61
×5×
= 61u.a.
2
5
RESPOSTA:
61u.a.
h 2 = BE 2 − EI 2
⇒
 2
h = BD 2 − (ED − x )2
d) Do item b tem-se que o volume do tetraedro ABDE é 4u.v.
Sendo AQ a menor distância do ponto A ao triângulo BDE, então AQ é a
altura do tetraedro ABDE em relação à base BDE. Logo
1
1
12 61
VABDE = × SBDE × AQ ⇒ × 61 × AQ = 4 ⇒ AQ =
.
3
3
61
RESPOSTA: AQ =
12 61
61
M.06
Considere o polinômio p(x) = x4 + 1.
a) Ache todas as raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
RESOLUÇÃO:
a) Raízes de p(x):
x4 + 1 = 0 ⇒ x4 = - 1 ⇒ x4 = cos(π+2kπ) + isen(π+2kπ) ⇒
 π + 2kπ 
 π + 2kπ 
As raízes quartas de x4 são do tipo x = cos
 + isen
, com k ∈[0, 1, 2, 3, 4} ⇒
 4 
 4 
x 0 = cos
π
π
2
2
3π
3π
2
2
+ isen =
+i
, x1 = cos
+ isen
=−
+i
,
4
4
2
2
4
4
2
2
x 2 = cos
5π
5π
2
2
7π
7π
2
2
+ isen
=−
−i
e x 3 = cos
+ isen
=
−i
4
4
2
2
4
4
2
2
RESPOSTA: x 0 =
2
2
2
2
2
2
2
2
+i
, x1 = −
+i
, x2 = −
−i
e x3 =
−i
.
2
2
2
2
2
2
2
2
b) Fazendo a composição de dois trinômios do segundo grau que tenham como raízes duas das raízes de
p(x):
x 0 + x3 =
x1 + x 2 = −
 2
2
2
2
2
2  2
2  1 1
+i
+
−i
= 2 e x 0 × x3 = 
+i
−i
= + =1



2
2
2
2
2  2
2  2 2
 2

2
2 
2
2 
2
2 
2
2  1 1
+i
+ −
−i
= − 2 e x1 × x 2 =  −
+i
−
−i
= + =1





2
2  2
2 
2  2
2  2 2
 2
(
)(
(
)(
)
Logo p(x) = x4 + 1 = x 2 − 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 .
)
RESPOSTA: p(x) = x 2 − 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 .