Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 3º Ano
Forma algébrica dos números complexos
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio
Forma Algébrica dos Números Complexos
Números não reais, números
imaginários
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,
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- De fato, não existe solução no conjunto dos
números reais, Mário. Mas sabia que existe um
outro conjunto numérico no qual há solução
para esse problema?
- É o conjunto dos números complexos.
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- Números complexos?????
- Como é isso?????
- Como surgiu esse conjunto???????
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Imagem: Autor desconhecido / Public domain.
Nicollo Tartaglia
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Cardano
Imagem: Autor desconhecido / Public domain.
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Assim, definiram i como um número não
real, chamado de unidade imaginária, tal
que
𝑖² = -1
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Então...
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- Já entendi como vou calcular a raiz quadrada de
um número negativo. Oba!!
- Ficou fácil!
- É só fazer o seguinte:
−121 =
121. (−1) =
121𝑖² =±11𝑖
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- Isso mesmo.
- Meu professor falou que número complexo é
todo número da forma a + bi. a e b são números
reais, e i é a unidade imaginária.
- Essa é a forma algébrica de um número
complexo.
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Na forma algébrica z = a + bi,
• a é a parte real.
• E b é a parte imaginária.
• Assim, em Z = 6 – 3i, temos:
Re (Z) = 6
Im (Z) = - 3
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Imaginário Puro
• O número complexo em que a parte real é
zero é chamado de número imaginário puro.
• Ex: z = 8i
• Re (z) = 0
• Im (z) = 8
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Número Real
O número complexo em que a parte
imaginária é nula é denominado número real.
• Ex: z = 6
• Re (z) = 6
• Im (z) = 0
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O Conjunto dos Números Complexos
Gauss, em 1831, definiu que o Conjunto dos
Números Complexos é um conjunto de pares
ordenados de números reais, para os quais
valem as operações de igualdade, adição e
multiplicação.
Então, podemos afirmar que (a, b) e a + bi são
representações diferentes de um mesmo
número complexo.
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Imagem: Gottlieb Biermann / Domínio Público.
Gauss
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- Mas, vamos com calma. Você é 8ª série, não
precisa colocar a solução no campo dos
complexos. Veja, seu professor pediu que
resolvesse no campo dos reais.
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- Certo. Vou continuar resolvendo as equações
no conjunto dos reais, mas vou contar pra
meus amigos tudo o que aprendi sobre os
números complexos.
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Depois dessa conversa com Mário, Miguel
resolveu revisar os exercícios que seu professor
havia passado, ao ensinar números complexos.
Vamos revisar com ele!
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Forma algébrica
Exemplo 1:
Escreva na forma algébrica ou binomial os
seguintes números complexos:
a) ( -3, -3)
b) ( 2, - 4)
Solução:
a) -3 – 3i
b) 2 – 4i
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Exemplo 2:
Calcule k para que z = (k – 3) + 4i seja imaginário puro.
Solução:
Para z ser imaginário puro, Re (z) = 0 e
Im(z) ≠ 0.
Assim, devemos ter:
Re (z) = k – 3 = 0, ou seja, k = 3.
Im (z) = 4 ≠ 0.
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Exemplo 3:
Calcular k, de modo que z = -3 + (k – 1) i seja um
número real.
Solução:
Sabe-se que z será número real se, e somente
se, Im (z) = 0.
Daí, teremos k – 1 = 0, ou seja, k = 1.
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Exemplo 4:
Identifique a parte real e a parte imaginária de
cada número complexo abaixo:
a) Z = 3 – 8i
Re (z) = 3
Im (z) = - 8
b) Z = - 9 + 33i
Re (z) = - 9 e Im(z) = 33
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Exemplo 5:
Vamos determinar o valor real de x para que o
número complexo z = (8 – x) + (2x -3) i seja um
número imaginário puro.
Solução:
Re (z) = 0, ou seja, 8 – x = 0. Daí, x = 8
Para x = 8, teremos:
Im (z) = 2x – 3 = 2. 8 – 3 = 13 ≠ 0
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Verificando, para x= 8:
Z = ( 8 – 8) + ( 2.8 – 3) i = 0 + 13i = 13 i
13i é número imaginário puro.
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REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume 3. São Paulo:
Ática, 2010.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino Médio. Volume 2. 6.
ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática: Volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.
IEZZI, et al. Matemática: Ciências e Aplicações. Volume 3. São Paulo:
Saraiva, 2010.
Tabela de Imagens
n° do direito da imagem como está ao lado da foto
slide
8
Autor desconhecido / Public domain.
9
Autor desconhecido / Public domain.
20
Gottlieb Biermann / Domínio Público.
link do site onde se conseguiu a informação
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tartaglia- 18/09/2012
Opere-portrait.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jer%C3%B 18/09/2012
4me_Cardan.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedr 18/09/2012
ich_Gauss.jpg