Objetivos
• Definir equilíbrio estático em um fluido.
Fenômenos de Transporte
• Estabelecer a variação de pressão em um fluido
em repouso.
Estática dos Fluidos – I
• Calcular forças em superfícies planas e curvas e
o empuxo hidrostático.
Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio
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Introdução
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Introdução
• A Estática dos fluidos estuda o fluido em
duas possíveis condições:
• Nas duas situações não ocorrem tensões
de cisalhamento, pois não há movimento
relativo entre as camadas.
– Em repouso.
– Em movimento como se fosse um corpo
rígido.
• Portanto, somente há tensões normais.
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Pressão em um Ponto
Situações de Estática dos Fluidos
y
Pressão em um ponto é a força
compreensiva normal infinitesimal,
dividida pela área infinitesimal
Sobre a qual ela age nesse ponto.
p.δs
a
Ω
px.δy
θ
x
Líquido em repouso
Aceleração linear
py.δx
Rotação uniforme
ρ.g.dV
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• Seja um volume infinitesimal
com uma profundidade unitária
em formato de cunha.
• Os catetos valem dx e dy.
• A hipotenusa vale ds
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1
Pressão em um Ponto
y
Pressão em um Ponto
y
• Sabemos que as forças em x e
y devem somar zero.
∑F
∑F
p.δs
px.δy
• Concluímos que:
x
=0
y
=0
p.δs
px.δy
θ
θ
• Construindo as equações
verificamos que:
x
py.δx
x
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• A pressão é uma função
escalar.
py.δx
P = Px = Py
ρ.g.dV
• A pressão em um ponto de
um fluido em repouso
independe da direção.
ρ.g.dV
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Variação de Pressão
Discussão I
Fluido Incompressível
(− ∇p )⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
• Consideremos novamente um elemento
infinitesimal de fluido.
dy
Como a pressão varia de um ponto para
outro dentro de um fluido estático
incompressível?
• Para o equilíbrio deste elemento, temos:
dz
dx
− γ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz + (− ∇p ) ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0
• Resultando em:
∂P
=0
∂x
∂P
=0
∂y
∂P
= −γ
∂z
−γ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
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Variação de Pressão
Exemplo 1
Fluido Incompressível
Variação da pressão em um fluido em repouso
(− ∇p )⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
• A pressão irá variar apenas em Z. Logo:
∂P
= −γ
∂z
dy
dz
dx
∂P = −γ ⋅ ∂z
• A pressão atmosférica é dada como 680 mmHg em um
ponto de uma montanha.
• Integrando da superfície livre até um
nível z, teremos:
patm
∫
• Converta isso para kPa e metros de coluna d’água.
zo
∫
∂P = − γ ⋅ ∂z
p
• Calcule também a diminuição de pressão em razão de
um aumento de 500 m na elevação, partindo de 2000 m
de elevação, assumindo a densidade constante.
z
• Para γ constante:
−γ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
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p − patm = γ ⋅ ( z − z o )
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2
Exemplo 2
Variação da pressão em um fluido em repouso
• A água escoa nas tubulações A e B.
• Óleo com densidade relativa 0,8, enche as partes
superiores do tubo manométrico em forma de U
invertido.
• As partes inferiores são preenchidas com mercúrio
(densidade relativa 13,6).
• Determinar a diferença de pressões, PA – PB, em lbf/in².
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Variação de Pressão
Discussão II
Fluido Compressível
Se estivermos falando de um fluido
compressível, ou seja, que muda sua
densidade conforme a pressão,
temperatura,etc., como calcular a variação
da pressão?
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• Caso o peso específico varie, precisamos
determinar como a pressão varia.
• Vamos considerar gases perfeitos e;
• Examinaremos dois casos:
– 1º. Caso: Gás perfeito isotérmico
– 2º. Caso: Temperatura varia linearmente com a
elevação.
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Variação de Pressão
Variação de Pressão
Fluido Compressível – Gás isotérmico
Fluido Compressível – Temperatura varia linearmente
Sabemos que:
∂z = −
1
⋅g =γ
v
p ⋅ v = po ⋅ vo = cte
ρ
=
po
ρo
∂z = −
po
∂p
ρo ⋅ p g
Realizando a Integração:
Para um gás com temperatura
constante:
p
∂p
ρ⋅g
p
zo
po
∫ ∂z = ∫
Usando a definição de pressão no
ponto:
∂p = − ρ ⋅ g ⋅ ∂z
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pg
=γ
RT
Realizando a Integração:
e
T = To + Kz
Derivando T em relação a z, temos:
p ∂p
− o
ρo ⋅ p g
dz =
 p 
po

z − zo =
⋅ ln
ρ o ⋅ g  po 
= cte
∂p = −γ ⋅ ∂z
z
Sabemos que:
dT
K
Usando a definição de pressão no
ponto:
∂p
g ∂T
=−
⋅
p
KR T
 (z − z o )

p = po ⋅ exp −
⋅ g ⋅ ρ o 
po


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p
∫
po
T
∂p
g ∂T
= −
⋅
p
KR T
∫
To
Temos:
 p 
T
g
=
ln 
⋅ ln o

T
 p o  KR
g
 To  KR

p = p o ⋅ 

 To + KZ 
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3
Exemplo 3
Referências
Variação da pressão em um fluido compressível
• Admitindo que na atmosfera prevaleçam condições
isotérmicas, calcular a pressão e a massa específica a
2.000 m de altitude, se, ao nível do mar, p = 105 Pa abs
e ρ = 1,24 kg/m³.
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•
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
•
FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed.
Rio de Janeiro: Ed. Guanabara, 1988.
•
POTTER, M.C.;SCOTT, E. P. Ciências Térmicas: Termodinâmica,
mecânica dos fluidos e transmissão de calor. São Paulo:Thomson
Learning, 2007.
•
STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 1982.
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