POTENCIAL ELÉTRICO
Seção 30-2 Energia Potencial Elétrica
1. No modelo de quarks das partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks: dois quarks "up", cada um tendo carga +(2/3)e,
e um quark "down", tendo carga -(I/3)e. Suponha que os três quarks
sejam eqüidistantes. Considere essa distância como 1,32 X IO"15 me
calcule (a) a energia potencial da interação dos dois quarks "up" e (b)
a energia potencial elétrica total do sistema.
2. Deduza uma expressão para o trabalho necessário para um agente
externo reunir quatro cargas como indica a Fig. 25. O lado doquadrado tem comprimento a.
3. Uma década antes de Einstein publicar sua teoria da relatividade,
J. J. Thomson imaginou que o elétron poderia ser constituído de
pequenas partes, que sua massa seria devida à interação elétrica
dessas partes e que a energia seria igual a mc2. Faça uma estimativa
grosseira da massa do elétron, do seguinte modo: suponha que o
elétron seja composto de três partes idênticas que foram trazidas
do infinito e colocadas nos vértices de um triângulo equilátero cujos lados são iguais ao raio clássico do elétron, 2,82 X IO-15 m. (a)
Encontre a energia potencial elétrica total desta configuração, (b)
Divida por c2 e compare seu resultado com a massa aceita do elétron (9,11 X IO-31 kg). O resultado se torna mais preciso se forem
consideradas mais de três partes. Hoje, o elétron é concebido como
uma partícula simples, indivisível.
4. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o
valor da distância x tal que a energia potencial elétrica do sistema
seja nula.
25,5 nC
®
p
17,2 nC
14,6 cm
®
>j-s
- 1 9 , 2 nC
@
x
3-j
Fig. 26 Problema 4.
5. A Fig. 27 mostra uma representação idealizada de um núcleo de 238U
(Z = 92) prestes a sofrer uma fissão. Calcule (a) a força repulsiva
atuante em cada fragmento e (b) a energia potencial elétrica mútua
dos dois fragmentos. Suponha que os fragmentos sejam esféricos,
tenham o mesmo raio e possuam a mesma carga, tocando-se em um
ponto apenas, sem se deformarem. O raio do núcleo de 238U inicialmente era de 8,0 fm. Suponha que a matéria que constitui o núcleo
tenha densidade constante.
Seção 30-3 Potencial Elétrico
6. Duas superfícies condutoras planas e paralelas, afastadas entre si
de d = 1,0 cm, estão a uma diferença de potencial AVde 10,3 kV.
Um elétron é projetado de uma das placas diretamente sobre a segunda. Qual a velocidade inicial do elétron se ele atingir o repouso
no exato momento em que alcança a superfície da segunda placa?
Ignore os efeitos relativísticos.
7. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos
extremos da descarga é de cerca de 1,0 X IO9 V e a quantidade de
carga transferida é de cerca de 30 C. (a) Quanta energia é liberada?
(b) Se toda essa energia pudesse ser usada para acelerar um automóvel de 1.200 kg, a partir do repouso, qual seria sua velocidade
final? (c) Se a energia pudesse ser usada para derreter gelo, quanto
gelo seria derretido a 0°C?
8. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma
descarga elétrica durante uma tempestade é de 1,23 X IO9 V. De
quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se mova
entre esses pontos? Dê a sua resposta em (a) joules e (b) elétronvolts.
9. (a) Através de que diferença de potencial um elétron precisa "cair",
de acordo com a mecânica newtoniana, para adquirir uma velocidade ti igual à velocidade c da luz? (b) A mecânica newtoniana falha
quando v - » c. Desse modo, usando a expressão relativística correta para a energia cinética (veja Eq. 27 do Cap. 21), isto é,
1
K=mc2
LVi
-(v/c)2
- 1
no lugar da expressão newtoniana K = (1 /2)mtf, determine a velocidade que o elétron adquire ao "cair" através da diferença de potencial calculada em (a). Expresse essa velocidade como fração da
velocidade da luz.
10. Um elétron é projetado com velocidade inicial de 3,44 X IO5 m/s
diretamente sobre um próton que está em repouso. Se o elétron estava inicialmente a grande distância do próton, a que distância deste a velocidade intantânea do elétron será igual ao dobro de seu valor
iniciai?
11. Uma partícula de carga q é mantida em uma posição fixa em um
ponto F e uma segunda partícula de massa m, tendo a mesma carga
q, é inicialmente mantida em repouso à distância r, de P. A segunda partícula é então liberada, sendo repelida pela primeira. Determine sua velocidade no instante em que ela estiver à distância r, de
P. Suponha q = 3,1 /xC. m = 18 mg, r, = 0,90 mm e r2 = 2,5 mm.
14. No retângulo mostrado na Fig. 28, os lados têm comprimentos
de 5,0 cm e 15,0 cm, respectivamente, e as cargas valem qí =
- 5 , 0 n-Ctq2 = + 2 , 0 i±C. (a) Quais os potenciais elétricos nos
vértices A e BI (b) Quanto trabalho externo é necessário para
mover uma terceira carga ç 3 = + 3,0
de B para A ao longo
da diagonal do retângulo? (c) Neste processo, o trabalho externo
é convertido em energia potencial eletrostática ou vice-versa? Explique.
15. Trêsoargas de + 122 mC cada uma são colocadas nos vértices
de um triângulo equilátero de 1,72 m de lado. Se for fornecida
energia à razão de 831 W, quantos dias serão necessários para
mover uma das cargas para o meio da linha que liga as outras
duas?
Seção 30-4 Cálculo do Potencial a Partir do Campo
16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga a - 0,12 /jlC/
m2. A que distância estão as superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 48 V?
17. Duas grandes placas condutoras paralelas estão distantes 12,0 cm
uma da outra e têm cargas iguais mas opostas em suas superfícies
internas. Um elétron colocado a meia distância entre as placas sofre a ação de uma força de módulo 3,90 X 10 -15 N. (a) Encontre o
campo elétrico na posição do elétron. (b) Qual a diferença de potencial entre as placas?
18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um
campo elétrico de 1,92 X 105 N/C é mantido entre duas placas separadas por 1,50 cm. Encontre a diferença de potencial entre as
placas.
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j
j
A
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B
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Problema ] 4.
20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R,
cuja densidade de carga é uniforme, tem direção radial e seu módulo é
3'
sendo q a carga total na esfera e r a distância ao centro desta, (a)
Determine o potencial V(r) dentro da esfera, considerando V = 0
em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto
na superfície e outro no centro da esfera? Se q for positiva, que ponto
possui o maior potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r
do centro, sendo r < R . é dado por
2
v_q(3R
-n)
g/re^3
'
B®
onde o zero do poiencial foi arbitrado em r — «>. Por que este resuilado difere do que foi apresentado no item iá)':
29. Um campo elétrico de aproximadamente 100 V/m é freqüentemente
observado na proximidade da superfície terrestre. Se esse campo
fosse o mesmo sobre toda a superfície, qual seria o potencial elétrico de um ponto dela? Veja Exemplo 6.
Seção 30-6 Potencial Devido a um Conjunto de Cargas Pontuais
30. A molécula de amónia NH3 tem momento dipolo elétrico permanente igual a 1,47 D, onde D é a unidade debye, que vale 3,34 X
10~30 C • m. Calcule o potencial elétrico devido a uma molécula de
amónia em um ponto distante 52,0 nm do dipolo, ao longo do seu
eixo.
31. (a) Considerando a Fig. 31, calcule uma expressão para V, - V*,,.
(b) Seu resultado leva à resposta esperada quando d = 0? Quando
a = 0? Quando q = 0?
+q
A
B
-q
Fig. 31 Problema 31.
32. Na Fig. 32, localize os pontos, se existirem, (a) onde V = 0 e (b)
onde E = 0. Considere somente pontos no eixo.
@
+2 a
A
q
(a)
23. Uma carga pontual tem q = + 1,16 C. Considere o ponto A, distante 2,06 m, e o ponto oposto 5, distante 1,17 m, como na Fig. 29a.
(a) Encontre a diferença de potencial VA - V„. (b) Repita para os
pontos A e B localizados como na Fig. 29b.
27. Um gota esférica de água, com carga de 32,0 pC, tem potencial de
512 V na sua superfície, (a) Qual o raio da gota? (b) Se duas dessas
gotas, com a mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para formar
uma única gota, também esférica, qual o potencial na superfície
dessa nova gota'7
e
©
*B
J
i
(b)
Fig. 29 Problema 23.
33. Uma carga pontual qx = + 6e está fixada na origem de um sistema
de coordenadas retangular, e uma segunda carga pontual q2 = -1 Oe
está fixada em x = 9,60 nm, y = 0. O lugar geométrico dê todos os
pontos do plano xy onde V = 0 é um círculo centrado no eixo x,
como mostra a Fig. 33. Encontre (a) o ponto xe no centro do círculo
e (b) o raio R do círculo, (c) A eqüipotencial V = 5V também é um
círculo?
/
1
\
34. Duas cargas q — + 2,13 /xC estão fixas no espaço à distância d =
1,96 cm urna da outra, como indica a Fig. 34. (a) Qual o potencial
elétrico no ponto C? (b) Você traz lentamente uma terceira carga Q
= + 1,91 /jíC desde o infinito até C. Quanto trabalho você precisa
realizar? (c) Qual a energia potencial U da configuração, quando a
terceira carga for colocada?
\
*c
91
1
<72
Fig. 33 Problema 33.
C
35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r) para pontos no eixo vertical, considerando r> d,é dado por
V=
R
4?re„ r
{Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista como a soma
de uma carga isolada e um dipolo.)
Seção 30-7 O Potencial Elétrico de Distribuições Contínuas de
Cargas
36. A Fig. 36 mostra, vista da borda, uma lâmina "infinita" com densidade de carga positiva cr. (a) Quanto trabalho é realizado pelo campo
elétrico da lâmina quando uma pequena carga de prova positiva qQ
é movida desde sua posição inicial na lâmina até a posição final localizada à distância z da placa? (b) Use o resultado de (a) para
mostrar que o potencial elétrico de uma lâmina infinita de carga pode
ser escrito como
V=V0-(c/2t0)z,
®
<è
<7
q
Fig. 34 Problema 34.
@+<7
-@+<7
sendo V0 o potencial na superfície da lâmina.
37. Uma carga elétrica de - 9 , 1 2 nC está uniformemente distribuída ao
longo de um anel de raio 1,48 m localizado no plano yz, com seu
centro na origem. Uma partícula tendo carga de -5,93 pC está localizada em x = 3,07 m, y = 0. Calcule o trabalho realizado por
uma agente externo ao mover essa carga pontual até a origem.
38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel
circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por unidade de área) é
dada por a = k/r\ onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por
Q ía + bs
8nen \ ab >
Fig. 35 Problema 35.
Seção 30-8 Superfícies
Equipotenciais
39. Duas linhas de cargas são paralelas ao eixo Uma, com carga por
unidade de comprimento +À, está à distância a, à direita do eixo.
A outra, com carga por unidade de comprimento - A, é simétrica
da anterior, em relação ao eixo (as linhas e o eixo z pertencem ao
mesmo plano). Esboce algumas superfícies equipotenciais.
40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94 X I O"19 J sobre um elétron no campo ilustrado na Fig. 37, para mover o elétron desde A
até 5, ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de potencial elétrico (a) V„ - V„ (b) Vt. ~ Vt e (c) Vc - V',/?
41. Considere uma carga pontual com q = 1,5 X 10 s C. (a) Qual o
raio de uma superfície eqüipotencial que tenha potencial de 30 V?
(b) As superfícies cujos potenciais diferem por um valor constante
(1,0 V por exemplo) são igualmente espaçadas?
Linhas de
campo
elétrico
Eqüipotenciais
Fiji. 37 Problema 40.
Seção 30-9 Cálculo do Campo a Partir do Potencial
44. Suponha que o potencial elétrico varie ao longo do eixo x, como
mostra o gráfico da Fig. 40. Determine, entre os intervalos mostrados, aqueles nos quais Ex tem {a) seu maior valor absoluto e (b) seu
menor valor absoluto, (c) Faça o gráfico Ex = / ( x ) . (Ignore o comportamento nos pontos Finais dos intervalos.)
Fig. 40 Problema 44.
45. Duas grandes placas metálicas paralelas estão distantes 1.48 cm uma
da outra e possuem cargas iguais e opostas em suas faces internas.
A placa negativa é ligada à terra e seu potencial passa a ser zero. Se
o potencial no ponto médio entre as placas for de +5,52 V, qual o
campo elétrico nessa região?
46. Deduza, a partir da Eq. 25, uma expressão para E nos pontos do eixo
de um anel uniformemente carregado.
49. O potencial elétrico V no espaço entre as placas de uma válvula a
vácuo, hoje obsoleta, é dado por V = 1.530x2, onde Vé medido em
volts quando x, a distância a partir de uma das placas, está em metros. Calcule o módulo e o sentido do campo elétrico em x = 1.28
cm.
50. Uma carga por unidade de comprimento A é distribuída uniformemente ao longo de um segmento linear de comprimento L. (a) Determine o potencial no ponto P, à distância y de uma extremidade
do segmento carregado e na mesma linha que ele, considerando o
potencial no infinito (veja a Fig. 41). (b) Use o resultado de (a) para
calcular a componente ao longo de y do campo elétrico em P. (c)
Determine a componente do campo elétrico em F na direção perpendicular ao segmento.
—*P
y
Fig. 41 Problema 50.
51. Em um bastão fmo de comprimento L, que está sobre o eixo x, com
uma extremidade na origem (x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por A = Icx,
sendo k uma constante, (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine Vno ponto F do eixo y. (b) Determine
a componente vertical Ev do campo elétrico em F, utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto, (c) Por que a componente horizontal Ex do campo elétrico em F não pode ser encontrada usando o resultado de («)? (d) A que distância do bastão, ao longo do eixo v, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade esquerda do bastão?
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L
Fig. 42 Problema 51.
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