ISSN 0104-8910
CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTASCAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO ESTÁTICA
Rubens Penha Cysne
Humberto de Athay{le Moreira
Julho de 1996
Curso de Matemática para Economistas
Capítulo IV
Otimizaçio Estática
Rubens Penha Cysne
Humberto de Athayde Moreira
Julho de 1996
Endereço para Contato:
Escola de Pós Graduação em Economia da
Fundação Getulio Vargas
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Rio de Janeiro - RJ - Brasil
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Fax:
55-21-536-9409
e-mail:
rubenS@sede.fgvrj.br
,
PREFACIO
Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que
lhe darão continuidade, na sequência de composição de um livro de matemática para
economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras
de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio Vargas,
da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ.
Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos
abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que
os autores esperam, com a sequência didática que aqui se inicia, trazer alguma
contribuição para o assunto.
A parte teórica relativa à demonstração do Teorema de Kuhn Tucker aqui
apresentada transcreve, com a aquiescência do autor, textos selecionados de "Análise
Convexa do Rn." de Mario Henrique Simonsen.
CAPÍTUWIV
.. ,
OTIMlZAÇAO ESTATICA
1. Otimização sem restrições
Dada I: D ~ 9t, De 9t", diz-se que f apresenta um máximo local no ponto
.lo E D quando existe E> O tal que para todo x e D e Ix - xol < e , f (x o) ~ f (x). Se para
todo .I E D (e não apenas para aqueles pontos na vizinhança de xo) tem-se /(.10) ~ /(.1) então
diz-se que o ponto Xo é ponto de máximo global.
M4ximo local estrito é um máximo local no qual se substitui a desigualdade ~ pela
desigualdade estrita >, ou seja, .lo é máximo local estrito se existe E> O tal que para todo x
com x e D, e O< Ix - Xo < e tem-se f (x o) > f (x). Da mesma forma, máximo global estrito é
um máximo global que vale a desigualdade estrita > no lugar da não estrita ~, ou seja, Xo é
dito máximo global estrito se para todo x e D,x:# Xo ' f(x o) > f(x) .
I
.
É claro que todo máximo global é máximo local, que todo máximo estrito é um
máximo e que as definições acima estendem-se naturalmente aos mínimos, bastando para isto
trocar o sentido das desigualdades. No gráfico a seguir, o ponto Xo representa um máximo
local estrito (porém não global); Xl um mínimo global não estrito e x 2 um máximo global
estrito.
Um ponto importante a lembrar é que se x * maximiza. f (x), então x * também
maximiza. a+b f(x) quando b>O, e minimiza a + b f (x) quando b<:O. Isto posto, qualquer
problema de minimização pode ser considerado como um problema de maximização.
Minimizar f(x) é o mesmo que maximizar (-I) (x), definida como -f(x) para todo x no
domínio de f. De falO, se .1* resolve o problema de mínimo dej(x) então I(x*) S I(x) para
todo x, ou seja, x * maximiza (-I) (x). Esta observação nos permitirá, ao longo de todo este
capítulo, tratar apenas do problema de maximização.
Passemos agora aos teoremas principais da otimização sem restrição.
Teorema 1.1. Dado /:D~ 'J{ diferenciável em a e int D, De 9t D • Se a é um ponto de
máximo local de 1 então grad 1 (a) =O (diz-se, neste caso, que a é um ponto crítico de O.
1
Demonstracão: Seja h e 9t D. Como a e int D é um ponto de máximo locaI. para a e 9t
suficientemente pequeno temos que f(a+ah) ~ f(a). Portanto
f(a +ah) - f(a)
--.;...-----:..-~ ~
a
O
se a>O
e
f(a+ah)-f(a) ~O
a
Passando ao limite quando a
~
se a<O
O e usando a düerenciabilidade de f em a temos que
(grad f(a), h) = O
Como h e 9t Dé arbitrário temos que grad f (a) =O.
Evidentemente, a condição acima não é suficiente. Considere por exemplo f:9t ~ 9t
tal que f (x) = x 3 • Temos que O é um ponto crítico de f, ou seja, é um ponto no qual o seu
gradiente (aqui igual à sua derivada) se anula, mas não é nem ponto de máximo nem ponto de
mínimo. O ponto O é conhecido como ponto de inflexão. Inspirados neste exemplo, vamos
provar um teorema mais específico em dimensão 1:
Teorema 1.2. Seja f:1 ~ 9t n vezes diferenciável em a e I, intervalo aberto de 9t, com
f(il (x) = O para 1 ~ i < n e I (li) (a):I: O. Se n é par então f possui um mínimo local estrito no
ponto a caso f(D) (a) > O e um máximo local estrito caso f(D) (a) < O. Se n é ímpar, então a não
é ponto nem de mínimo nem de máximo local.
Demons~ão:
Pela fórmula de Taylor de ordem n podemos escrever:
f(a+h)=f(a)+.!. f(D)(a).hD+r(h), V'a+heJcl,J intervalo aberto contendo a, tal
n!
.
f(a+h)-f(a) f(D)(a) r(h)
=
+ -Dque (*)lim r(h)/h D=0. Logo para h:l:O com a+heJ,
h-+O
hD
n!
h
•
(h)
If(D) (a)1
Como l(lI)(a):I: O, 3 J'c J aberto contendo a tal que _r_ <
V'a+h eJ' (devido
h
n!
a (*». Suponhamos que n é par. Então o sinal de f(a+h)-f(a) será o sinal de
I
1(11)
(a)
r(h)
-=-----'-~+-lI- em J'. Portanto, se f(D)(a)
n!
h
I
D
> O então f(a+ h) -f(a) > O e f(a+ h)-f(a) < O
quando 1(11) (a) < O, V'a + h e J'. Se n for ímpar o sinal de f (a + h) - f(a) em J' dependerá
do sinal de h, provando-se assim o aftrmado.•
2
Teorema 1.3. Seja f:D ~ 9t, De 9t aberto, uma função de classe C2 e a e D um ponto
crítico de f. Se a forma hessiana de f no ponto a, H(f,a) for:
D
a) negativa defInida, então a é um ponto de máximo local estrito de f.
b) positiva definida, então a é um ponto de mínimo local estrito de f.
c) indefinida, então a não é ponto de máximo local nem ponto de mínimo local de f.
Demons~ão: a) Como f e C 2 , suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.
Conseqüentemente, se a forma hessiana H é negativa definida no ponto a, ela também é
negativa definida em B(a, r) para algum DO. Seja h tal que a+ h e B (a,r). Expandindo f na
fórmula do resto de Lagrange (ver capítulo 3) temos para algum a e (0,1),
f(a+ h) = f(a) + (grad f(a),h)+ ~ h'H(f ,a+ah)h.
Como a+aheB(a,r) segue que ~h'H(f,a+ah)h<O. Sendo a um ponto crítico de f,
grad f(a) = O. Conclui-se daí que f(a+h) < f(a), ou seja, que a é um ponto de máximo local
estrito de f.
b) É análogo ao item (a).
c) Pela fórmula de Taylor de ordem 2 temos:
h' H(j ,a)h
j(a + h) - j(a) =
2
r(h)
+ r(h) e ~ 1Ih~2
°
=
.
h'
h
r(h)
Observe que o smal de f(a + h) -f(a) é o mesmo de 1Ih~ H(j ,a) 1Ih~ + 1h12
.
( ).
h; ( ) h \
eXlStem ~,hz e B 0,6 taIs que ~II H j ,a ~II >
H(J ,a)
Como lim
é indefinida.
h~O
°
e
~~;
= ° podemos
11"11
'
Dado ô > 0,
2
Ilh;hzl H (j),ah 1h21
< 0,
.
VISto que
escolher h\ e h 2 suficientemente
pequeno tais que j(a + ~) > j(a) e j(a + hz) < j(a). Logo a não é ponto nem de mínimo
nem de máximo local.•
Exemplo 1: Seja f:9t
2
~9t,f(xl'x2)=x~+x;.
Temos
:~\ =2x\
e
:~ =2x
2
donde se
conclui que o único ponto crítico de f ocorre em (0,0). A matriz hessiana de f é dada por
[~ ~]
que é positiva definida. Segue do teorema 1.3 que (0,0) é ponto de mfuimo local
estrito de f. É fácil ver que (0,0) é também um ponto de mínimo global estrito. Mas o
teorema 1.3 isoladamente não nos permite chegar a esta conclusão. Para tal, precisaremos do
teorema mínimo local-mínimo global a ser apresentado adiante.
3
Temos
!
= x 2 e : : = Xl' donde se conclui que o único ponto crítico de f ocorre no ponto
I
2
(XI ,X,) =(0,0). Neste ponto, temos a matriz hessiana:
H =
[~ ~J.
que é indefinida
Conclui-se pelo teorema 2.3 que o ponto (0,0) não é ponto nem de máximo nem de mínimo
def.
.
~
Exemplo 3: Seja f:9t 2 -+9t, f(xl'x 2 ) =-3x: -x; +5x I x 2 -7x 2 • Temos ih =-6x I +5x 2 ;
I
Os pontos críticos de f devem ser achados resolvendo-se o sistema:
-6X I +5X2 = O
{ 5x -2x = 7
I
2
donde se obtém a solução (xl'x 2 ) = (35/13, 42113). A hessiana de f em todo ponto é dada
por [-56 _
J.
~
que é indefinida. Segue que o ponto crítico (35/13, 42/ 13) não é ponto nem de
máximo nem de mínimo.
Teorema IA. (Máximo Local - Máximo Global) Seja f (x) uma função real côncava, definida
no subconjunto convexo não vazio D do 9t D • Se Xo e D é um ponto de máximo local de f,
então Xo é um ponto de máximo global de f.
Demonstra~ão:
Se Xo é um ponto de máximo local de D, existe t > O tal que para
t com x e D tem-se f(xo)"~ f(x). Seja então y =Xo +h um ponto qualquer de D.
Precisamos mostrar que f (xo ) ~ f (y). Se h = O, Y= Xo e tem-se trivialmente f (xo ) ~ f (y).
Caso contrário (h;tO), seja z=(l-a}xo+ay, sendo
ae(O,l}.
Como
y=xo+h,z=xo+ah. Pela concavidade da função, f(xo+ah}~(l-a}f(xo}+af(y),
ou seja, f(x o +a h} - f(x o} ~ a (f(y) - f(x o
Ilx-xoll<
»'
Ilnhll <t, segue que O~ f(x o +ah} -
Tomando-se a;t O, tal que
que implica f(x o ) ~ f(y} . •
»' o
f(x o} ~ a(f(y} - f(x o
o teorema anterior nos permite, no caso
em que as funções analisadas são côncavas
ou convexas, passar dos máximos e mínimos locais para os máximos e mínimos globais (que
são os que costumam realmente interessar em economia). Podemos agora reafirmar,
relativamente ao primeiro exemplo apresentado nesta seção, que o ponto (O,O) correspondc a
um mínimo global da função definida no 9t 2 , f (XI' x 2 ) = x; + x;. De fato, (O,O) é um ponto
de mínimo local e, além disso, a função f (XI' x 2 ) = x~ + x; é convexa.
Exemplo: Vamos voltar ao exemplo do modelo com incerteza apresentado no capítulo 3.
4
Seja R a riqueza de um indivíduo avesso ao risco (ie., este indivíduo possui uma
função utilidade u de classe C2 , estritamente crescente, estritamente côncava em ~+) que
pode ser investida em mloteria arriscada ~ = r + ~ (E ~ = r) ou retida. Seja "a" o montante
da riqueza investida. A riqueza do indivíduo é dada por:
x = (R-a)+a(l+r+E) = R+a(F+E)
--
A proporção ótima investida é determinada por:
Max
os
11
sR
Eu(x)
-
que tem como condição de primeira ordem (supondo um ótimo interior e usando os teoremas
l.1 e l.4 deste capítulo):
d
da E u(.~)
d($~Piu(R+a(r+eJ)=
- ) ~Pi(r+eJu'(R+a(r +eJ) = E[~u'(R+a~)] =O
= da
$
-
Não é difícil ver que pelo teorema da função implícita a equação E[r u'(R+ar)] =0
determina a em função de R de forma continuamente diferenciável1 (localmente2). Além disso
da
-Er u"
-=-~2
dR
o
Er u"
sinal desta última expressão depende de E r u".
Suponha que a medida de aversão
absoluta ao risco r. não cresça com a riqueza (o que é razoável economicamente). Para todo
valor r de r tal que 7>0 temos r. (R) ~ r. (R + ar) isto é, u" (R + ar) ~ -r. (R)u'(R + ar) ou
r u"(R+ar) ~-ra(R)r u'(R+ar).
Para todo
valor
r
de
r
tal
que
r<O,
u"(R+ar)~-r.(R)u'(R+ar)
ou
r u" (R + ar) ~ -r. (R)r u' (R + ar). A desigualdade acima ocorre para todo r, da qual seguese que Er u"~ -ra (R)Er U'= O pela condição de primeira ordem. Portanto da
dR
~ O.
Assim se a aversão absoluta ao risco não é crescente com a riqueza temos que a
proporção investida na loteria arriscada cresce com o nível de riqueza.
.
Teorema l.5. Seja De 9t" um conjunto convexo não vazio,f:D ~ 9t uma função côncava e
diferenciável em Xo E int (D). Então, para que f passe por um máximo global em Xo é
necessário e suficiente que grad f (x o) O.
=
1
Observe que u é de classe C 2 e u" < O.
2 No sentido apresentado no teorema da função implícita.
5
Demonstracão: Pelo teorema 1.1, a condição é necessária. Reciprocamente, seja x e D, então
x = Xo + h, h e 9{". Seja a e (0,1), então (1- 0.) Xo + a x = Xo + a h, e pela concavidade de f
temos
que
(l-a)f(xo)+aj(x)Sf(xo+ah),
ou
seja,
f(x o +ah)- f(x o )
~
».
a(f(x) - f(x o
f (x o + uh) - f (x o ) e quando f é diferenciável
Como df (x o ) = lim
dh
a-+O
~
(x o) =(grad f(xo),h),
~
temos que
a
f(x)-f(x o) S lim f(xo+ah)-f(x o) =0,
a
a~
visto
grad f(x o ) = O. Logo f(x) S f(x o)' "i/xe D. Portanto Xo é um ponto de máximo
que
global.•
Este teorema mostra que a condição de primeira ordem é necessária e suficiente para o
ótimo de um problema de otimização côncava sem restrições.
Vamos enunciar e demonstrar agora o teorema do envelope: embora de aparência
simples, o teorema do envelope é um instrumento útil para certas aplicações.
Teorema 1.6. Seja f:UxV --+9t diferenciável, Uc9t D , Vc9t m abertos. Suponhamos que
para cada a e V exista uma única solução de max f(x,a) de tal forma que x*:V--+9t
D
xeU
represente esta função, suposta diferenciável. Então se g: V--+9t é a função valor ótimo do
problema acima, i.e., g(a) = f(x*(a),a) tem-se que g é diferenciável e
dg
~. (a)
I
=
df(.
x (a),a)"
, 1= l, ... ,n.
~.
I
Demonstração:
Observe que como x*(a) é o ótimo do problema max f(x,a) devemos ter
xeU
pelo teorema 1.1 que df (x*(a),a) = 0, "i/j=l, ... ,n. Pelo teorema da regra da cadeia tem-se
dx j
dg
i- df *
dX ~
ar *
que g é diferenciável e, para i = 1,2, ... ,m, -(a) = L -(x (a),a) ~ (a)+;- (x (a),a)
da.
ua·
ua·
F. I dx.J
I
I
I
dg
ar (x *(a),a).•
sendo x * = (XI•
,....
,x,,). Logo ;-(a)
=;ua·
ua·
I
I
Observação: No teorema acima x· não precisa ser diferenciável necessariamente, por
exemplo, se x· for Lipschitziana ainda vale o resultado (fica como exercício a demonstração
deste fato).
6
Exercícios resolvidos - Seção 1
1) O resultado abaixo é muito útil quando a função f não é diferenciável no ponto de máximo
(ou mínimo). Veja a figura a seguir. Seja f:/ ~ 9t,/ c 9t intervalo, contínua e derivável em
I-{a}, a e I. Se f'(x) > 0, 'v'x < a e f'(x) < 0, 'v'x > a então a é um ponto de máximo
global estrito.
~
,,
Solução: Precisamos do seguinte:
Teorema do Valor Médio: Se f: [a,b] ~9t é contínua e derivável em (a,b) então existe
ce(a,b) tal que f'(c)=f(b)-f(a).
b-a
Demonstração: Seja g:[a,b] ~ 9t tal que g(x) = f(x)-
(f(b)- f(a» (x-a). Então g é
b-a
contínua em [a, b] , derivável em (a, b) e g (a) = g (b) = f (a). Se g for constante, o resultado
é trivial, já que g'(x)=O, 'v'xe(a,b), neste caso. Caso contrário existe Xo e(a,b) tal que
g(xo ) g(a) = g(b). Suponhamos que g(xo) > g(a). Pelo teorema de Weierstrass (da
existência de um máximo no domínio de uma função contínua definida num conjunto
compacto) existe ce(a,b) tal que g(c)~g(x), 'v'xe[a,b]. Pelo teorema 1.1 deste
.,
f(b)-f(a)
capítulo devemos ter g' (c)= O, ou seja, f (c) =
.•
b-a
Passaremos agora à demonstração do exercício: seja b e I, b a. Se b>a, então pelo teorema
*
*
do valor médio existe ce (a,b) tal que f'(c) = f(b)- f(a) e como f'(c)<O (visto que
b-a
c> a) temos que f (a) > f (b). Se b < a então, de forma análoga, podemos mostrar que
f(a) > f(b). Assim a é ponto de máximo global estrito.
7
2) Considere uma fmna cujo preço de demanda p pelo produto y é dado por:
p= {
250- y, se y S 50
400- 4y, se y > 50
o custo da firma é dado por C (y) = X l. Obtenha a produção de lucro máximo e justifique
sua resposta.
Solução: A função receita é dada por
250Y- y2, se y S50
R(y) = {
400y _4y2, se y > 50
e portanto a função de lucro é
-% y2 + 250y,
n(y) = R(y) - C(y) = { -9/
72
7t
Y
+400
se y S 50
50
y, se Y>
max n(y)
Assim devemos resolver:
É fácil ver que
2
yE 91
é diferenciável para todo y, exceto para y= 50. Derivando
7t para y ~ 50
vem que
- 3y + 250, se y S 50
n'(y) = { -9y +400, se y > 50
>O, sey <50
Assim, n'(y) { O
50·
< ,sey>
Com isto e do fato de 7t ser contínua, tem-se pelo exercício anterior que y
de lucro máximo.
=50 é a produção
3) Determine os pontos de máximo e de mínimo das seguintes funções e em cada caso diga. se
são globais, locais, estritos ou não estritos:
ti) f(x,y)=x
3
l
(l-x-y) defmidaem 9t~
8
Solução:
i) Como D é aberto, se (x, y) e D for um ponto de máximo (ou mínimo) local então
di
di
dx (x,y) = dy
(x,y) = O.
Para
simplificar
a
notação,
vamos
denotar
E = E(x,y) = l-x 2 - y2, "í/(x,y) e D. Assim devemos procurar (x,y) e D, tal que:
di
dx (x,y) = y
+x E
_1/
72
=O
~ (x,y) =x+ Y E-~ =O
(I)
(ll)
Observe em primeiro lugar que (0,0) satisfaz estas equações. Este é o único ponto crítico.
Com efeito, multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y e subtraindo a primeira
da segunda vem: (x 2 -l) E- ill = O com (x, y) e D e, portanto, x = y ou x = - y (pois E > O
em D). Se x = y, tomando a primeira equação e substituindo este resultado, em (I) tem-se
x(l + E- 1I2 ) = O~ x = y = O (pois I + E-in> O). De forma análoga vemos que x = -y ~
x = y = O visto que 1_E-in < O e isto prova o que foi afIrmado.
Vamos estabelecer agora as condições de segunda ordem (no que se segue vamos
omitir (x,y»:
Portanto H(i ,(0,0» =
1 I
que é singular, logo não podemos afirmar nada a priori. O que
I I
fazer então? Este problema pode ser resolvido de duas formas diferentes:
1° método: Como H(f, (x, y» é positiva semi-definida para todo (x,y)e D, concluiremos quei
é convexa em D. Por ser (0,0) o único ponto crítico de i no aberto D, ele deve ser um ponto
de mínimo global estrito (veja o teorema 1.4 e observe que -f é côncava; a unicidade "do
mínimo é garantida pela unicidade do ponto crítico).
Provemos esta afIrmação:
9
E-In + X2 E-312
1+ xy E-312 ]
H (!,(x,y» = [ l+xy E-3/2
E-In + y2 E-312
e
Hu ( !, (x, y» = E- lI2 + x 2 E-312 > O, 'ti (x, y) e D
detH(f ,(x,y» = E-I +(x2 + l)E-2 +x 2 l E-3 -1-x 2 lE-3 -2xyE-X
= E-I -1 + (x 2 + y2) E-2 - 2xy E-312 .Como
1- E = x 2 + y2 temos que E-I -1 = E- I (x 2 + y2) > O, 'ti (x,y) e D- {(O,O)} , pois
E >O
emD.
Basta agora verificar que (x 2 + l) E-2 - 2 xy E-X ~ O, isto é, (multiplicando por
EX) (x 2 +y2) E-X -2xy ~ O
Mas
E= l-x 2 _y2 S l~ E-I ~ l~ E-X ~ I ~ (x 2 +y2) E-X -2 xy~ x2 +y2 -2 xy =(X_y)2 ~O.
Portanto det H(f, (x,y» > O, 'tI(x, y) e D - {(O, O)} , como queríamos demonstrar.
2° método: É fácil ver que
_x 2y2 S (X+y)2, 'ti x,y e 9t ~ _x 2y2 S x2+y2 +2 xy => l-x 2_y2 S x2y2 +2xy+ I = (xy+ 1)2
Se (x, y) e D, ou seja, 1- x 2 - y2 > O. Tem-se que l - l > x 2 então Ixl<l e da mesma
Iyl<l.
Logo
Ixyl<l,
donde
xy+l>O.
Portanto
forma
(1- x2 _y2rll2 S x y + 1 ~ -1 S xy - (1- x 2 - y2 f/2 , 'tI(x,y)eD.
Segue-se daí que
2
f(0,0)=-ISxy-(l-x _ y2)X =f(x,y), 'tI(x,y)eD, ou seja, (0,0) é um ponto mínimo
global e é estrito porque (0,0) é o único ponto crítico.
ü) Como 9t~ é aberto, os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo
local. Seja (x,y) e 9t!+ tal que
:
Como x
(x,y) = 3x 2
l(l- x- y)_x 3 y2 = O
* Oe y * O, então
3(1- x - y) - x = O~ 2x = 3y
{ 2(I-x- y)- y =0
~ 3-3x-2x-x=0~
x= Yz~ y=.K
Portanto (Yz ,J{) é o uruco ponto crítico de !
K = {(x,y) e 9t!;x+ y S I}, sabemos que K é compacto. Tomemos
em
9t~ .
Seja
j: 9t! ~ 9t tal que
10
j
(j é a extensão defpara 9t!) que é contínua e portanto contínua
quando restrita ao compacto K, e pelo teorema de Weierstrass, j I K assume um máximo e
um
mínimo.
Como
~fr(K) =
onde
(X,y) =X3y 2(1_X- y)
°
°
°
°
fr(K) = {(x,y) e K;x = ou y = ou x+ Y = I}, fi int K > (onde int K == Klfr(K»
e
(1/2, 1/3) e int K, devemos ter (1/2, 1/3) como ponto de máximo para j IK, pois (1/2, 1/3)
é o único ponto crítico de f Iint K e sabemos que o ponto de máximo está em
int K ou fr(K), mas !lfr(K) = O. Além disso, ~(9t! - K) S 0, ou seja, (1/2, 1/3) é ponto de
máximo global para
f
e é estrito devido a unicidade do ponto crítico em int K. Portanto
(1/2, 1/3) é ponto de máximo global estrito paraf, visto que
f
= jl9t~.
ili) Novamente devemos estabelecer as condições de primeira ordem:
àf
( z Y4)
-
_=e- X
dX
(
Como
(
-2x(x+2y)e-x
z Z y 4)
e- -
Z y 4)
-
=0
{1-2X(X+2 Y)=0
*0, 2-4l(x+2y)=0
Isto implica que x *
(1)
(2)
°
e y * O.
1
Logo de (1) e (2) temos 2x
=
2
4 3 ~
y
X
= y3 (*). Substituindo este resultado em (1)
vem que 2 l + 4 y4 -1 = O.
Portanto para determinar os pontos críticos desta função devemos resolver uma
equação polinomial de grau 6. Evidentemente não iremos fazer isto, mas mostraremos que
existe tal solução e determinaremos o intervalo no qual ela está. Para isto, façamos z = l,
assim a equação acima fica 2 Z3 + 4Z2 -1 = O. Seja p: 9t -+ 9t tal que p(z) = 2 Z3 + 4Z2 -1,
vamos determinar os pontos críticos desta função:
p'(z) = 6z2 +8z= O<=> z = Oou z= ~
°
°
e p"(z) = 12 z+8 logo p" (O) > e p" (-4/3)<.0. Então
é um ponto de mínimo local e
-4/3 é ponto de máximo local (veja teorema 1.2). Observe que p (-4/3) >O, p(O) < e p (1)
> 0, portanto pelo teorema do valor intermediário, existe uma única raiz positiva lo e (0,1) de
p
(z)
e duas raízes negativas.
Sejam
Yl =.Jz;, e Y2 =
°
-.Jz;,.
Por (*) temos que
Pl = (XI' YI) e P2 = (x2' Y2) são os pontos críticos de f, onde Xi = Y; ,i = 1,2, logo P2 = - PI·
Observe que f(-x,-y) = - f(x,y), 'r:I(x,y) e 9t 2 , assim basta provar que (XpYI) é um
ponto de máximo global para concluirmos que (x2' Y2) é um ponto de mínimo global. Como
11
~(_,,2_y'> (x + 2Y)1 S; e-,,2-y' Ixl+ 2e-,,2- y' /y /S; e-,,2 IxI+2/y / e- Y'
com lim Ixl e _,..2 = O e lim Iyl e -y' = O
(*)
IYl--
Ixr.-;;.
lim f (X, y) = O.
Portanto
existe
r
>
O,
tal
que
1(%,,>1-If(x,y)1 < f(Xl'YI)' 'v'(x,y) ~ B(O,r) = {(x,y) E 9t 2; x 2 + y2 < r 2}
(observe
que
2
2
f(Xl'YI) > O). Por outro lado f é contÚlua na bola B = B[O,r] = {(x,y) E 9t ; x + y2 S; r 2}
compacta, e pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em B, além disso (Xl' YI) E B.
Portanto (Xl' YI) deve ser este ponto por ser o único ponto crítico de f em B (O, r) no qual f
assume um valor positivo. Por nosso raciocínio vê-se claramente que (Xl'YI) é um ponto de
máximo global estrito.
segue-se
que
(iv) Os pontos críticos de f devem satisfazer a seguinte equação f'(x) = 12x2 + IOx = O, ou
seja, XI = O e X2 = -5/6 são os únicos pontos críticos de f. Como f" (x) = 24x + 10 tem-se
que f"(O)=l0>0
-5/6
é
lim f(x)
X~+-
um
=+00
e f"{-5/6) = -10<0. Logo O é um ponto de mínimo local estrito e
ponto
e
de
máximo
lim f(x)
X~-
local
estrito.
Ambos
não
são
globais
pois
=-00.
12
Exerácios propostos
I) O teorema máximo local máximo global apresentado no texto foi enunciado para máximos
não estritos e concavidade não estrita. Examine a veracidade das seguintes afirmativas (prove
se verdadeira, e dê um contra exemplo, se falsa).
a) Máximo local estrito + concavidade (estrita ou não estrita) ~ máximo global estrito.
b) Máximo local (estrito ou não estrito) + concavidade estrita ~ máximo global estrito.
c) Se uma função estritamente côncava apresenta um máximo local, pode se garantir que ele
é, ao mesmo tempo, máximo local estrite e máximo global estrito.
2) Ache os pontos críticos das funções abaixo, classificando-os quando for o caso, como
ponto de máximo (estrito, não estrito, local, global) ou mínimo (idem).
b)f (x)=2x+2/x (x*O)
c)
f
(x) = (x-lO)'
3) Dada a função lucro L: 9t+ ~ 9t, L (q) = R (q) - C(q), sendo R a receita e C o custo,
estipule condições suficientes para que o ponto q* seja um ponto: a) de máximo local estrito;
b) de máximo global não estrito.
4) Dada a função custo total C: 9t+ ~ 9t, C (q) e a função custo total médio M(q) = C (q)/q
mostre que o ponto no qual o custo médio se iguala ao custo marginal representa um ponto
crítico de M (q). Pode-se, então, afirmar que se o custo médio atinge um máximo ou mínimo,
ele se iguala ao custo marginal? E se a função custo for definida no intervalo 9t+ - {O}?
5) Um jornal cobra anúncios classificados retangulares, cobrando 10 unidades monetárias por
centímetro de perúnetro. Qual a maior área que se pode conseguir no jornal, pagando se 1000
unidades monetárias? Qual o formato ideal do anúncio, neste caso?
6) Repita o exercício 2 para as funções abaixo:
a)f(xl'x2 ) = x; +XI X2 +7x; +8
b) f(X I ,X2 ) = i
tt
-7 Xl +8 XI X2
c) f(xl'x 2 ,x3 ) = 7 x; +6xI x 2 + 15 X2 X3 -7 x 3
7) Uma firma vende dois produtos ql e q2, obtendo a receita R(q .. q2)' Sua função custo é
2
C(qpq2) e a função lucro, definida no 9t , é dada por L (qpq2) = R(qpq2)-C (qpq2)'
Pode-se afirmar, com certeza, que no ponto de lucro máximo (se houver) a receita marginal
da venda de cada produto se igualará ao respectivo custo marginal?
13
8) Uma firma vende o mesmo produto em dois mercados diferentes, obtendo as receitas
RI(ql) no primeiro mercado e ~(q2) no segundo mercado. O seu custo de produção é dado
e
a
função
lucro,
definida no
9t:',
é dada por
por
C(ql +q2)
L(ql'q2) = RI (ql)+ RI (q2) - C(ql +q2)' Mostre que se o preço em cada mercado depende
apenas da quantidade vendida neste mercado, o preço deverá ser mais elevado no mercado
mais inelástico (daí o fato de a revendedora da Avon aumentar os preços de seus produtos
quando entra em casas mais luxuosas).
9) Uma caixa de cinema, conhecendo a solução do exercício 8 anterior, e tentando imitar a
revendedora da Avon, resolveu cobrar os ingressos mais caros das pessoas mais bem vestidas.
Mesmo admitindo que as pessoas mais bem vestidas fossem realmente menos sensíveis a
variações de preços (mais inelásticas), o fato é que o procedimento adotado reduziu
significativamente o lucro do cinema. Justifique econômica e matematicamente, a partir do
exercício 8, este fato observado.
10) Uma firma emprega mão de obra N ao custo W e capital K ao custo r. Sua função de
produção é dada por Q (K, N) = KCJN~,O<a+fi<l, a~Oef3~O. Estabeleça condições
suficientes para máximo da função lucro defmida no 9t:'.
11) Demonstre: Seja f:D~9t, Dc9t D um conjunto aberto e! uma função duas vezes
diferenciável em D. Então para que x* e D seja ponto de máximo local estrito de f é
suficiente que
a) grad f(x*) = O
b) 3e > O tal que para todo x' comO< Ix' -x 1< e tenha-se
h'H(f, x') h < O para todo h e 9t
D
-
{O}.
12) Mostre que se !:D c 9t" ~ 9t é côncava e diferenciável, D convexo não vazio, então
para que ! (x) passe por um máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que
(grad f(xo)'x-xo)~ O para todo x e C.
13) Diz-se que um ponto pertencente ao domínio de uma função diferenciável é estacionário
com f
se ele é crítico. Seja F uma transformação monótona crescente de uma função
U.
diferenciável.
Verdadeiro ou falso, justifique formalmente:
a) x· é um ponto estacionário de F se, e somente se é um ponto estacionário de f.
b) x· é máximo de F no conjunto S se, e somente se x· é um máximo de fno conjunto S.
c) Se f é côncavo, então x· é um máximo global de f se, e somente se x· é um ponto
estacionário de f.
14) Maximize F(x,y,t)= e1xX y~ - wx - ry com respeito as variáveis x e y. O que ocorre
com o ponto de ótimo quando:
14
a) t se eleva?
b) r se eleva?
Suponha que w>O e r>O.
15) Resolva o seguinte problema de otimização
s.a. c, + K'+l = f(K,)
K,
onde u(x)
KN+l =0).
=..r;
e f(x)
t = O, ... ,N
~O
=ax, a constante (sugestão:
mostre inicialmente que no ótimo
16) Demonstre o teorema 1.3 supondo apenas que f é duas vezes diferenciável em a:
17) O que acontece com o teorema 1.4 se a função f for quase côncava?
15
2. Otimização com restrições
Diz-se que N é uma hiperfície de classe C t (k ~ 1) em 9t D+1 se N é localmente o
gráfico de uma função real de n variáveis com derivadas parciais contínuas até a ordem k
definida em um aberto. Em outras palavras, N é uma hiperfície de classe ck se dado
p e N, existe r> O tal que B(p,r)nN é o gráfico de uma função !:A ~ 9t de classe C t ,
sendo A um conjunto aberto de 9t D • Quando n = 1, diz-se que a hiperfície N é uma curva e
quando n =2, utiliza- se o nome superfície.
Os desenhos a seguir apresentam dois subconjuntos de 9t 2 , o primeiro satisfazendo à
defInição anterior, e o segundo não:
lé curva)
(não é curva)
Dada uma hiperfície N c 9t +1 define-se o espaço vetorial tangente a N no ponto
p e N (Tp N) como o conjunto dos vetores Â'(O), onde Â: (-e,e) ~ N é uma função
diferenciável em O tal que MO) = p. Uma função desse tipo dizemos ser um caminho em N
diferenciável em O e que passa por p no instante O (por diferenciável em O queremos dizer que
l..(t)=(1.. 1(t), ... ,1..8+1(t» com l..i:(-E,E)~9t é diferenciável em O, "í/ i=l, ... ,n+l).
D
Demonstra-se sem dificuldade que Tp N é um subespaço vetorial de dimensão n em 9t
diagrama a seguir ilustra o caso em que n = 1.
D
1
+ •
O
16
Seja f:A ~ 9t, A C 9t Daberto, diferenciável Diz-se que c e 9t é um valor regular de
f se para todo- x e A, tal que f (x) = c tem-se que grad f(x):F; O. Denotaremos r-I(c)={x e A;
f (x) = c}.
Observação: se f: A c 9tD+I~ 9t, é de classe Clt, A aberto em 9t D+I e c é valor regular de f
então f-I (c) é uma hiperffcie de classe Clt (isto é uma conseqüência imediata do teorema da
função implícita).
Teorema 2.1. Seja N = <p-1 (c), sendo c um valor regular de cp: A ~ 9t, A aberto em 9t D+I ,cp
de classe C K (K ~ 1). Então, para todo p e N, TpN é o conjunto dos vetores em 9t D+I que são
perpendiculares a grad cp (p).
Demonstração: Seja v e TpN, então existe Â.: (-e, e) ~ N diferenciável em O tal que
Â.(O)=p e Â.'(O)=v.
Logo (cpoÂ.)(t)=c, 'v'te (-e,e), pois N=cp-I(C).
Portanto,
derivando esta última expressão para t = O e aplicando a regra da cadeia, teremos que
(grad <p(p), Â.'(O») = O, isto é, (grad cp(p), v) = O, o que é o mesmo que dizer que
grad <p(p) é perpendicular a v. Provamos então que todo vetor em TpN é perpendicular a
grad cp(p), ou seja, que TpN está contido no conjunto dos vetores perpendiculares ao
grad cp(p). Como tanto TpN como o conjunto de vetores perpendiculares a grad cp(p) são espaços vetoriais n dimensionais (visto que grad cp (p) :F; O), e como o primeiro está contido no
segundo, segue, por um argumento geral de Álgebra Linear3 que ambos são iguais .•
Exemplo: Seja f: 9t 2 ~ 9t tal que f (XI ,x 2 ) = x~ +X; Temos que grad f(x I ,x 2 ) = 2(x I ,x 2 ).
Assim grad f (XI ,x 2 ):F; (O, O) se, e somente se (XI ,x 2 ) :F; (O, O). Neste caso, todo c > O é valor
regular de f uma vez que f (XI ,x 2 ) = O se, e somente se
(XI ,x 2 ) = (0,0). Segue que c =
O é valor crítico de f e c<O é valor regular de f, visto que f-I (c) = 0 para todo c < O e a
definição de valor regular
inclui este caso.
Seja então c > O e N c =
{(XI ,x2 ) e 9t
2
;
f
(XI ,x2 ) = c}.
O leitor mais atento observará que Nc é precisamente a
circunferência de centro em zero e raio ~ em 9t 2 • Dado P = (XI' x 2 ) e N c' pelo teorema
2
2.1, Tp N c = {(Vi'VJe 9t ;(grad f(Xi'X2),(VpV2))=0}={(vi'vJe9t2;xlvl +X2V2 =O}
que é a reta em 9t 2 que passa pela origem e é ortogonal à direção (x p x 2 ). O diagrama
abaixo ilustra este exemplo.
3
Se dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão e um está contido no outro, então eles são iguais.
17
o leitor deve observar que, embora pensemos em termos ilustrativos o espaço
vetorial tangente "passando" no ponto de tangência, ele na verdade "passa" na origem.
Vamos agora definir o conceito de ponto crítico (ou estacionário) de uma função
Sejam N c 9t D+1 uma hiperffcie de classe
diferenciável restrita a uma hiperfície.
C k (k ~ 1) e f: U ~ 9t uma função diferenciável, U c 9t D+1 aberto.
Caracterizamos na
primeira seção deste capítulo os pontos críticos de f como aqueles x e U tais que
grad f(x) =0, ou equivalentemente, os pontos x e U, tais que
:v
(x) = O, "if v e 9t D+1•
Suponha que N cU hiperfície de classe C K (K ~ 1). Então podemos pensar na
restrição flN e definir os pontos críticos de flN como os pontos x e N que satisfazem
(foÃ)' (O) = O para todo caminho Ã: (-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que MO) = x, isto é,
pela regra da cadeia
~~ (x) = O para todo Vê TxN, ou seja,
(grad f(x), v) = O, 'Vv e TxN e
isto é o mesmo que dizer que grad f(x) é perpendicular a TxN.
Observe que todo ponto crítico de f quando pertence a N é ponto crítico de flN. Mas
a recíproca é falsa em geral. (Dê um contra-exemplo).
Teorema 2.2. Sejam f:U c 9t n +1 ~ 9t diferenciável, U aberto e N c U uma hiperfície de
classe C t • Se p e N é um ponto de máximo ou mínimo local para flN, então p é um ponto
crítico de flN .
• Demonstrª&ão: Seja Ã:(-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que Á(O) = p. Temos que
fOÁ: (-e,e) ~ 9t tem um máximo (ou mínimo) local em O e, portanto, (foÂ.)' (O) = O o
que implica, pela arbitrariedade do caminho acima, que p é ponto crítico de flN .•
Uma observação importante é que quando a hiperfície N é compacta, pelo teorema de
Weierstrass e devido ao fato de f ser contÚlua (visto que f é diferenciável) tem-se que flN
assume um máximo e um mínimo que serão pontos críticos pelo teorema anterior.
Teorema 2.3. (Teorema do Multiplicador de Lagrange com uma restrição) Sejam f:U ~ 9t
de classe C t (k ~ 1), U C 9t +1 aberto e
N = cp-I (c) hiperfície contida em U, onde
t
fI': U ~ 9t é de classe C e c e 9t é valor regular de cp. Então um ponto p e N é um ponto
crítico de flN se, e somente se existe à e 9t tal que grad f(p) = à grad cp(p).
D
18
Demom~ão: Pelo teorema 2.1
grad cp (p) é perpendicular a TpN. Por outro lado, pelo
que vimos anteriormente p é ponto crítico de flN se, e somente se grad f(p) é perpendicular
a TpN. Como Tp N c 9t D+1 é um subespaço de dimemão n e grad cp (p) '* 0, devemos ter
grad
f(p) = Â
grad cp (p) para algum  e 9t .•
Na verdade, podemos demomtrar um teorema de multiplicador de Lagrange mais
geral, no sentido que ao invés de uma restrição, temos várias restrições. De forma mais
precisa, seja f:U -+ 9t uma função diferenciável num aberto U C 9t D+ m e N =cp-I (c)
contido em U, imagem inversa de um valor c e 9t m por uma aplicação qr.U -+ 9t'" de classe
Ci:. Suponhamos que c seja regular, isto é, para todo xe N,{grad CPI(X) , ... ,gradCPm(x)} é
linearmente independente4, onde CPj: U-+9t é a i-ésima função coordenada de cp, i = 1,... ,m.
Temos que N é uma superfície de dimemão n em 9tm+D (no sentido do teorema da função
implícita). De forma análoga ao que demomtramos no teorema 2.1 este conjunto formará
uma base de TpN.l = {v e 9tD+m;v é ortogonal a Tp N}.
Podemos defuúr a noção de ponto crítico de flN de forma análoga ao que fizemos no
caso de uma restrição e concluir:
Teorema 2.4. (Teorema de Multiplicador de Lagrange com várias restrições) Sob as mesmas
hipóteses acima, p e N é um ponto crítico da restrição flN se, e somente se existem
ÂI , ... , Â", e 9t tais que grad f(p) = ÂI grad CPI (p) + ... + Âm grad CPm (p).
o teorema de multiplicador de Lagrange é muito
útil quando se desejam determinar
as condições de primeira ordem de um problema de maximização com restrições sob a forma
de igualdades. Pelo teorema 2.2, sabemos que os candidatos a ponto ótimo devem ser pontos
críticos.
o
teorema do multiplicador de Lagrange (com várias restrições) garante que o ponto
com
n+ m
equações
crítico
satisfaz
a
um
sistema
(gradf(x) = Â,. grad lI'l(X)+...+Â". grad lI'",(x» mais m equações (cp (x) c). Assim temos
=
um sistema em n + 2m incognitas (x,Â), onde x = (xl ... ,x"+,,,) e  = ( 1, ••• ,Âm) e as n + 2m
equações acima.
De uma forma sucinta, podemos definir a função lagrangiana (ou o Lagrangiano)
L:Ux9t m -+ 9t
(x,Â)
-+ f(x) - (Â,cP(x»)
e
àL
V'i=l, ... ,n+me àÂ. (x,Â) =0,
àL
as condições do teorema 2.4 ficam ~(x,Â) =0,
uX j
V'j = l, ... ,m.
J
Observe que a defmição de regularidade anteriormente apresentada é um caso particular desta mais geraI.
que inttoduzimos agora.
4
19
Por exemplo consideremos o problema típico do consumidor: dada u:9t!~ 9t função
de utilidade, c a renda do indivíduo, p e
o vetor de preços. Suponhamos que o
indivíduo gaste toda sua renda. Então queremos:
9t:..
max U(x)
xe 9t"
•
(p,x) = c
Se o ótimo deste problema pertence a 9t:+ e U for diferenciável em 9t:. devemos
ter pelo teorema de multiplicador de Lagrange que
~U (x·) =ÀPj,
i = I, ... ,n, para algum
aX·I
À e 9t, onde x· é o ponto de ótimo.
outra equação (aqui, m = I).
x e 9t:.. e  e 9t.
Em adição, sabemos que (p,x) = c, que representa a
Este sistema determina, em geral, os valores de
Condições de Se~unda Ordem na Maximiza&ão Condicionada
Consideremos o problema simples max f(xl'x 2) sujeito à restrição g(xl'x 2) = O.
X.'X2
Neste caso, a condição de segunda ordem utiliza a matriz hessiana da função Lagrangeana
com respeito ao vetor ~ = (x Jt X 2)'
A condição de suficiência para que o ponto (x; ,x;) seja um máximo local estrito do
problema condicionado é que, neste ponto,
Essa condição requer que a matriz hessiana seja negativa definida para qualquer
variação, no domínio da função f, numa direção tangente à superfície de nível gerada pela
restrição g(x1 ,x2 ) = O, a partir do ponto (x~ ,x;).
Na prática, a condição de segunda ordem é obtida calculando-se os hessianos orlados.
No problema anterior, a condição para máximo local estrito será obtida se o determinante da
matriz
O
H 2 = gl
g2
gl
h l1
g2
h l2
h 21
hn
FUNDAÇAo GETÚLIO VARGAS
Biblioteca Máno Henriq:.Je S:rT1W".~.:.n
for maior que zero. Analogamente, a condição suficiente para mínimo local estrito é que tal
detenninante seja menor que zero.
Quando a função apresenta mais de duas variáveis, outros determinantes (menores
principais do hessiano orlado) precisam também ter os seus sinais avaliados, de fonna a obterse a condição de suficiência para o máximo ou mínimo local estrito do problema considerado.
Tomemos o caso geral de maximizar f(xl'x 2, ... ,x D ) com a restrição g(Xl'X 2, ... ,X D ) .
Definimos então os detenninantes
H2
= gl
°
gl
h ll
g2
h 21
g2
h l2 '
hn
H3
°
=
gl
gl
h ll
g2
h l2
g3
h l3
g2
h 21
hn
h23
g3
h 31
h32
h33
Agora,
para
garantir-se
o
máximo
local
estrito
devemos
ter
H 2 >0,H 3 <0, ... ,(_I)D H D>0, ou seja, os detenninantes dos menores principais da matriz
hessiana orlada devem alterar os seus sinais. Analogamente, a condição de suficiência para
mínimo local estrito é que H 2 < 0, H3 < O, ... , H D < 0, ou seja, todos os menores principais
devem ter sinal negativo.
Para o caso de m restrições, com m >1, a condição de segunda ordem se altera. A este
respeito o leitor pode consultar Chiang(1974), Varian (Segunda Edição - 1984) ou Brandão
(1982).
Muitas vezes a verificação da condição de segunda ordem não é efetuada em
economia, pelo fato de se trabalhar com funções objetivo côncavas. Neste caso, para que Xo
pertencente ao interior do conjunto de definição da função seja um ponto de máximo global é
necessário e suficiente que ele seja um ponto crítico.
Quando se toma uma função do tipo f (x I ' x 2 ) = Xl x 2 ' este resultado não se aplica,
devido ao fato da função f não ser côncava. Ocorre, entretanto, que este resultado pode ser
estendido a uma classe mais abrangente de funções, chamadas de indiretamente côncavas. A
definição destas funções já foi apresentada no Capítulo 3:
Definição: (Função Indiretamente Côncava) Seja h(r) uma função monótona crescente.
Então F(x) é dita indiretamente côncava se ela pode ser escrita sob a fonna F(x) = h{t(x»),
sendo f(x) uma função côncava.
É claro que toda função côncava é indiretamente côncava. Vale também que toda
função indiretamente côncava é quase côncava (mas não a recíproca - veja o contra-exemplo
apresentado no capítulo 3). Uma função indiretamente côncava é transfonnada monótona
crescente de uma função côncava, que por sua vez é quase côncava. Como as transfonnadas
monótonas crescentes preservam a quase concavidade, segue que as funções indiretamente
côncavas são sempre quase côncavas.
21
Teorema 2.5. Para funções indiretamente côncavas F(x) = h(f(x», sendo h diferenciável com
h'(r) > O para todo r no domínio de h e f(x) uma função côncava diferenciável definida num
aberto U c 9t D , valem os seguintes resultados:
a) Xo é ponto crítico de F se, e somente se x o' é ponto crítico de f;
b) Xo é o máximo de F em U se, e somente se x o' é o máximo de f em U.
c) Xo é um máximo global de F se e somente se x o' é um ponto crítico de F.
Observação: Observe que apenas a propriedade c utiliza a concavidade de f(x).
Demonstra&ão:
a) Basta lembrar que, pela regra da cadeia,
aF() = h ,(r) -;ai ()
Xo
-;- Xo
oX j
oX j
para
b) Decorre do fato de que f( xo)
~
.
1=
1,2, ... ,n, e que por hipótese h'(r) > O, "ir.
f( x) para todo x numa vizinhança de Xo se, e somente se
h(/(xo)) ~ h(/(x») , ou seja, se, e somente se F(xo)~ F(x).
c) Segue de b que Xo é um ponto de máximo global de F se, e somente se Xo é um ponto de
máximo global de f; como f é côncava, Xo será um máximo global de f se e somente se Xo for
um ponto crítico de f. Dado (a), isto ocorrerá se e somente se Xo for também um ponto
crítico de F. •
Deve-se observar que este resultado se aplica também ao caso da maximização (ou
minimização) condicionada, quando a restrição g(x) = O é gerada por uma função afim (ou
seja,
com
g(ax t +(l-a)x 2 ) =ag(x t )+(l-a)g(x 2 )
para ae [0,1] e xl' x 2
pertencentes ao domínio de g). A necessidade de se ter uma restrição g deste tipo decorre de
se precisar assegurar, no teorema anterior, que o domínio de ~N seja convexo.
Este fato é muitas vezes útil na maximização condicionada em problemas de
economia devido ao fato das restrições serem do tipo (p, x) = renda. Assim, por exemplo, na
maximização de U(x, y) = xy sujeito à restrição Pxx + Pyy = R, a aplicação do teorema
anterior nos garante que o ponto crítico obtido em ~!+ com a ajuda do respectivo
Lagrangeano, é um ponto de máximo. De fato, U:~~ -7 ~ com U(x,y) = xy é.a
transformada monótona crescente da função côncava
u:~!+ -7~, u(x,y) = (xy»{, pela
função h:~++ -7~, h(x) = x , cuja derivada é sempre diferente de zero em todos os
pontos do seu domínio. Ou seja, U é indiretamente côncava, e pelo teorema anterior (que
podemos aplicar pelo fato da função de restrição ser uma função afim) o seu ponto crítico é
um ponto de máximo global.
4
22
Exerádos resolvidos:
1) Suponha que um consumidor tem uma função utilidade da forma u:9t!. ~ 9t tal que
U(XI'~) = In Xl + lox2 , sendo (x, ,x2) o vetor de bens de consumo. Se p, e P2 são os preços
destes bens, respectivamente, e m é a renda do consumidor que é gasta totalmente, determine
as quantidades ótimas a serem consumidas.
Solução: O problema básico consiste em
max In x, + In x2
s.a PIXI + P2X2 = m
Seja L(x, ,x 2,J.. ) = In x, + In x 2 + Â (m - p, x, - P2X2) a função defmida em 9t!. x 9t
conhecida como Lagrangiano associada ao problema anterior. É fácil ver que as condições do
teorema de Lagrange são equivalentes a
onde U = 9t!., f == u e cp: 9t!. ~ 9t tal que, cp(xl'x2 ) = m - p,x, - P2X2 observe que O é
valor regular de cp já que grad cp(x"x2) = (-P,,-P2) (0,0) e cp-I (O) correspondem aos
pontos de 9t!. que estão sob a restrição m =p,x, + P2X2.
*
As duas primeiras equações implicam que
p,x; = P2 x;. Logo pela última equação,
2p,x; = m, isto é, x; = ~ p, e de forma análoga x; = ~ P2 .
Em termos econômicos, x; e x; determinados acima são a solução do problema proposto e
temos que
são as demandas marshallianas. Como U é uma função indiretamente côncava, o teorema 2.5
nos assegura que (x~ ,x;) corresponde a um máximo de ulcp-' (O).
2) Determine os pontos críticos da função f:9t D x 9t D~ 9t, f(x,y) = (x,y) restrita à esfera
unitária ~X~2 + IlyW = I e mostre como daí se obtém a desigualdade de Schwarz, onde
D
< x,y >= LXiYi e Ilx~2 =< X,X >,X = (x, ... ,x D) e Y= (Y ..... YD).
i=l
Solução: Seja cp: 9t Dx 9t D~ 9t tal que cp(x,y) = IIxl12 +IIYI12-1.
Como cp-'(O) é uma hiperfície compacta (é a esfera unitária) e f é contínua, temos que a
restrição
11q>-' (O)
assume
um
máximo
e
um
mínimo.
Além
disso,
*
grad cp (x,y) (0,0), 'V(x,y) e cp-'(O), isto é, cp-I (O) é hiperfície regular de classe C" e f é de
classe C" também. Logo os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos e pelo teorema
de Lagrange, eles devem satisfazer às 2n+ 1 equações (aqui escritas sob a forma vetorial)
23
y=2Âx.
x = 2Ây
para algum  e 5Jt .
W2 +lyl2 = 1
Logo y=4Â?y ou x=4Â.2x e como x~Oouy~O (visto que IxI2+lyI2=1) temos que
1
Â. =
Portanto
o
conjunto
de
pontos
críticos
é
dado
por
±'2.
{(x,x);xe5Jt"ellxll=
~ }u{(x,-x);xe5Jt"
e 1Ix1=
~}
que é uma hiperfície de
dimensão n -1 em 5Jt2D = 5JtD X 5JtD (por exemplo, se n =1 consistirá de quatro pontos que
são superfícies de dimensão O em 5Jt2 ).
Portanto, os valores máximo e mínimo de flcp-I (O) são, respectivamente,
Dados
..fi
x,y e 5JtD - {O}
x
..fi
y)
1
f (211x11' 2 ~y~ s 2"
temos
que
..fi x ..fi y J
(211x11' 21Y~ e li'
-I
(O)
e
1/2 e -1/2.
portanto
o que implica que 1< x,y >1 S Ilxll ~YII, 'ri x,y e 5JtD - {O}.
24
Exercícios propostos:
1) Utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange, mostre os pontos críticos das funções
abaixo restritas à superfície N e identifique os pontos de máximo e mínimo relativos:
a)
f:~? -+9ttalquef(x,y)=ax+by,a*O, b*O
e
N=g-1(1),
onde
2
2
g: 9t -+ 9t é dada por g(x,y) = x + l.
b) f:9t 2 -+ 9t tal quef(x,y) = x+ y e N = g-1(1), onde g: 9t 2 -+ 9t é dada por
g(x,y) = xy.
c) f:5Jt? -+9ttalquef(x,y)=x 2 +l e N=g-1(1), onde g:9t 2 -+9t é dada por
g(x,y) = y_x 2 •
d) f:9t 3 -+ 9t tal que f(x,y,z) = x.y.z e N = {(x,y,z) e 9t~;x+ y+ z = c}.
2
2
2) Em quais pontos da curva ~+L= I a função f(x,y) =xy assume seus valores máximo
8
2
e mínimo?
3) Se u(x) é uma função utilidade definida sobre n bens x = (xl' ... 'x,,) e 9t: como
u (x) = X~' ••. x:· ,onde
L" ai < 1 , qual é a proporção da sua renda que o consumidor gastará
i=1
em cada bem?
4) Demonstre o teorema 2.4.
5) Diz-se que uma função de utilidade U:Xc9t:-+9t, X fechado, é localmente não-saciável
U(y) > U(x). Seja
se para cada x e X' e todo E> existe ye X tal que IIx-yll<E e
U:9t: -+ 9t contÚlua localmente não-saciável, diferenciável. que satisfaz a condição de Inada:
lim U'(x) = -00, 'Vi =1, ... , n. Determine em 9t:. as condições necessárias e suficientes
°
x..... 0
para o ótimo do problema típico do consumidor com preços e renda estritamente positivas.
6) Demonstre que o plano tangente a uma hiperfície em 9t é um espaço vetorial de dimensão
n.
7) Checar as condições de segunda ordem dos seguintes problemas:
3x 2 -2xy+ y2
x 2 +2l-z2
(a)
max
(b)
max
(c)
max lOx+7y
s.a
xy=-2
s.a
x+y=l
s.a
A x a yf3
e
=100,
x3
=y -z-1
A, a,
f3 >
°
8) Utilize o teorema de multiplicador de Lagrange para mostrar que, para c >O, Nc é o
conjunto de pontos críticos de fi N c no exemplo 1.
9) No exercício 1, calcule os planos tangentes em alguns pontos das hiperfícies indicadas em
cada item.
25
10)
Seja
/ (XI ,X2 ) = PIXI + P2X2
/-1 (c) = {(Xl'X 2 ) e 9t
2
;PI X I
definida
9t 2 e c e 9t.
em
O
conjunto
+ P2 X 2 = c} é uma curva de classe C k : a) se PI ;t Oe P2 = O?;
b) se PI;t Oe /12 ;t O? e c) se PI = Oe P2 = O? Qual o formato desta curva nos casos
possíveis? e o formato do espaço vetorial tangente?
Pode-se dizer que , para
(Pl'P2);t (0,0), todo c e 9t é um valor regular de f?
11) Considere o seguinte problema:
Min
X2 +y2
s.a. (X-I)3 -l =0
(X,y) e 9t 2
(a) Solucione o problema geometricamente.
(b) Por que o Teorema do Multiplicador de Lagrange não pode ser usado neste caso?
12) Seja f:9t~ ~ 9t função de classe C 2 com forma hessiana negativa definida em todo
ponto. Considere o problema:
onde p, W I ' W 2 são constantes positivas.
(a) Quais são as condição de primeira ordem para ponto de máximo de F?
condições são suficientes para este caso?
(b) Mostre que XI pode ser colocado no ótimo como função de w I e w 2 e que
Estas
aX I < O
-a
wI
(sugestão: utilize o Teorema da função Implícita)
(c) Suponha que seja adicionada ao problema a seguinte restrição:x 2 = b, onde b e 9t++.
aX
aW I
I
Encontre o novo Óumo e mostre que - ·
13) Sejam F:9t:' ~ 9t, f:9t:' ~ 9t++
e
tn· -
sem res çao
<
-
aX1
-a
tn° - .
W I com res
çao
g:9t++ ~ 9t funções de classe Cio
Considere o seguinte problema de otimização:
26
N
Min
L F{x(k), u(k), k)
1:=0
s.a.
x(o) = Xo
x{k+l)=/(x{k),k), k =O, ... ,N
g(x{N + 1) = o
Assumindo que a condição de regularidade seja satisfeita, derive as condições
necessárias para a solução ótima do problema.
o problema acima é chamado de problema de controle ótimo com tempo discreto e
horizonte finito onde as variáveis x(k + 1) e u(k) para k =O, ... ,N são chamadas de variáveis
de estado e de controle, respectivamente.
27
3. Q Teorema de Kuhn - Tuger·
Iniciaremos esta seção revendo alguns conceitos já apresentados, algumas vezes sob
uma ótica um pouco diferente, embora equivalente, e introduzindo informações
complementares.
Sejam Xl ' x 2 dois pontos (vetores) do 9t D • O segmento de extremos
defmição, o conjunto dos pontos:
Xl
e x 2 é, por
Seja C um subconjunto do 9t D • Diz-se que C é convexo quando atende à seguinte
propriedade:
"Se
Xl
e x 2 pertencem a C, s(x l
,
x 2 ) está contido em C".
A figura 3. La exemplifica um conjunto um conjunto convexo no 9t 2 , a figura 3.1.b um
conjunto não convexo.
Figura 3.la
Figura 3.2a
Por extensão de conceito, consideram-se convexos:
i) os conjuntos com um único ponto.
ü) o conjunto vazio
Sejam xl'x 2 , ••• ,x p pontos de 9t D • Uma combinação linear convexa desses pontos é,
por definição, um ponto da forma ai XI +a 2 x 2 + ... +a p x p onde a"a 2 , ••• ,a p são reais não
negativos tais que ai + a 2 + ...+a p = 1.
Seja C I , C 2 dois subconjuntos do 9t
definição, o conjunto:
D
,
ai' a 2 números reais. O conjunto ai C I + a 2 C 2 é, por
Teorema 3.1: A intersecção de uma família de subconjuntos convexos do 9t
subconjunto convexo do 9t
Demonstração: Já vista no capítulo anterior (e imediata).
D
é um
D
•
• A ~ teórica desta terceira seçIo é obtida da traucriçJo de textos seleciollldos, c:om a aquiedDcia do autor, de Amlise Convexa DO R" ,de
Mario Hcmique Simonsen.
28
Teorema 3.2: Sejam C I ,C 2 subconjuntos convexos do 9t", ai ,a2 números reais. Então
ai C I + a 2C 2 é convexo.
Demonstração: Simples verificação. Com efeito, sejam y = alx l +a2x 2 e y' = alx~ +a 2x;
dois pontos de ai C I + a 2C 2. No caso, XI' x~ pertencem a C I e x 2' x; pertencem a C2. Seja
(1- a) y + ay' um ponto do segmento de extremidades y e y', o que implica OS aS 1.
Então:
(l-a) y+ay' = (l-a) (ai XI +a2x 2)+ a(a l x~ +a 2x;) =
=al«(l-a)x I +ax~)+a2«(l-a)x2 +ax;).
Como C I e C2 são convexos,
(l-a)x I
+ax~ E
C I ' (l-a)x 2 +ax;
E
C 2.
Logo,
Teorema 3.3: Para que um subconjunto C do 9t D seja convexo é necessário e suficiente que
toda combinação linear convexa de elementos de C pertença a C.
Demonstração:
a) a condição é necessária. Trata-se de provar que se Xi' X2, ... , x p pertencem ao
convexo C e se a .. a 2, ... ,a p são reais não negativos de soma 1, então
x = alxl +~X2+...+apxp E C. Procedamos por indução finita. Para p = 1 o teorema se
verifica trivialmente. Suponhamos que ele seja válido para combinações lineares convexas de
p - 1 elementos de C e seja
Se OS ai < 1, façamos:
a
l-a I
ap
l-a I
2
b 2 =--,
... b p = - -
Então x' = b 2 x 2 + ... +b p x p ' pela hlp6tese de indução, sendo uma combinação linear
convexa de p -1 elementos de C, pertence a C. Note-se agora que:
ou seja, um ponto do segmento de extremidades
convexo C, X pertence a C;
XI
e x'.
Como
XI
e x' pertencem ao
b) a condição é suficiente: com efeito, o segmento de extremidades
conjunto das combinações lineares de XI e X 2 •
XI
e
X2
é o
29
Diz-se que um subconjunto K do 9t D é um cone quando x e K implicar ax e K para
todo real nãg negativo a. É imediato pela definição. que a origem (isto é o
vetor O)
pertence a qualquer cone. A figura 3.2 ilustra um cone convexo.
Figura 3.2
Teorema 3.4: Para que K seja um cone convexo é necessário e suficiente que. se
pertencem a K. aIx I + a 2 x 2 e K para quaisquer reais não negativos al'a 2 •
X I ,X 2
Demonstração:
a) a condição é necessária: com efeito. seja K um cone convexo. e xl'x 2 dois de seus
pontos. Quaisquer reais não negativos aI e a 2 podem ser expressos na forma:
aI = b(1-a)
a 2 =ba
sendo b ~ O e OS aS!.
Como K é convexo. i" = (1- a) XI + a x 2 e K.
bi" = aIx I +a 2 x 2 e K.
E como K é um cone.
b) a condição é suficiente: com efeito. suponhamos que se xl'x 2 pertencerem a K,
aIx I +a 2 x 2 pertença a K para quaisquer reais não negativos a p a 2 •
Tomando-se
O< a < 1. aI = 1- a. a 2 = a. fica provado que K é convexo.
Tomando-se
XI = x 2 = x. aI = a 2 = b/2. fica provado que se X e K. bx e K para todo real não negativo
b. ou seja, que K é um cone.
A partir do teorema 3.4. por indução [mita prova-se imediatamente o:
Teorema 3.5: Para que K seja um cone .;onvexo é necessário e suficiente que. se xl'x 2 ..... x p
pertencerem a K, aIx I +a 2 x 2 + ... +a p x p pertença a K. para quaisquer reais não negativos
É imediato também que a intersecção de uma família de cones convexos é um cone
convexo.
30
Propriedades Topológicas
Teorema 3.6: Seja C um subconjunto convexo do 9t
D
•
Então, seu fecho C é convexo.
Demonstração: Seja Xl e x 2 pontos de C e OS; aS; 1. Temos que provar que, para qualquer
d > Ocorresponde um elemento de C cuja distância a (1- a)x I + ax 2 seja menor do que d.
Com efeito, como Xl' X2 pertencem a C , dado d > O é possível encontrar pontos
em C tais que:
x~, x;
dist (xl'x;) = IX I - x;~ < d
dist (x 2,x;) = IX 2 - x;1 < d
Como C é convexo, (1- a)
x~
+ a x;
E
C. Além disso:
dist «l-a) Xl +ax 2, (l-a) X; +ax;) = l(l-a) (Xl -x~) +a(x 2 - X;)~ S;
l(l-a) (Xl -x;)I+ la(x 2 -x;)1 = (l-a) IX I -x~11 +allx 2 -x;1 < (l-a)d +ad = d
Precisamos agora de três lemas de álgebra linear para demonstrar o teorema 3.7.
Seja {Xl'X 2, ... ,xJ uma base do 9t D • Então existe d>O tal que, se
dist (Yi'x) < d, (i = 1,2, ... ,n), {Yl'Y2 , ... ,y J também seja uma base do 9t D •
Lema 3.1:
Demonstração: Basta observar que:
i) {Yl'Y2,. .. ,yJ é uma base do 9t D se e somente se o determinante da matriz cujas
colunas são as coordenadas de YI' Y2, ... , YD for diferente de zero;
ti) o determinante de uma matriz quadrada é função contínua de seus elementos.
Lema 3.2: Seja {Xl'X 2, ... xJ uma base do 9t D , XO = a1x 1+a 2x 2+ ... +a D x D um vetor do 9t D •
Então,
dado
E> O
existe
d>O
tal
que,
se
~x:-Xjll<d (i=O,I, ... ,n) e x~ = a;x;+a;x;+ ... +a:x:, la:-ajl<E(i=I,2, ... ,n).
Demonstração: Pelo lema 1, para d suficientemente pequeno, {x~, ... ,x:} é uma base do 9t D •
Isto posto, as coordenadas a;, ... , a: de x~ na base em questão determinam-se pela regra de
Cramer, sendo portanto, funções contínuas de x~, x; , ... , x: .
Lema 3.3: Seja {el'e2, ... ,eJ os unitários do 9t
demais iguais a zero). Seja:
D
:
(a i&ima coordenada de ej é igual a 1, as
31
Defmamos os vetores:
V o =-u
VI =el-u
V2
=e2 -u
VD=eD-u
Então:
i) VO+v I +V 2 + ... +V D=0
ii) VI'V 2 , ••• ,V D é basedo9t D.
Demonstração:
i) simples verificação;
ii) suponhamos
alv l +a 2 v 2 + ... +a Dv D=0.
O=(al-b)el+... +(a D-b)e D onde:
Segue-se
que
segue-se que ai - b = ~ - b = ... = ali - b = O, já que o conjunto dos unitários é linearmente
independente. Pela expressão acima, isso implica:
n
b=-b
n+l
o que implica b = O. Segue-se ai =a 2 = ... =a D=0. Logo, VI,V 2 , ••• ,V D é um conjunto
linearmente independente fonnado por n vetores do 9t D, ou seja, uma base.
Teorema 3.7: Seja C um subconjunto convexo do 9t\ C seu fecho. Suponhamos que yo
pertença ao interior de C no 9t D. Então yo pertence a C.
Demonstração: Por hipótese, para algum E > O, ~y - yo~ < E implica y e C. Segue-se que
existe b > O tal que yo + b Vo, yo + b v I ,. .. , yo + b v D pertencem a C, sendo v o, V1' ••. ' VD os
vetores defmidos no lema 3.3.
32
Como C é o fecho de C, segue-se que, para todo d > O existem vetores v~, v~ , ... , v:
tais que Yo + bV: E C e
tal que:
'
,.
1' )vl"'"
V D seja
Iv; - vil< d, sendo b > O.
Pelos lemas 3.1 e 3.2 podemos escolher d
base do mD
~ ;
Façamos:
1
bo =----l+a~+ ... +a:
b. = l ' a~
,
+a,+... +a D
I
('1 = 1,... ,n)
É imediato que esses coeficientes são todos positivos de soma 1, e que:
Segue-se que:
Ou seja, Yo é uma combinação linear convexa de pontos de C, e portanto um ponto de C.
Note-se que o teorema não vale para conjuntos não convexos. A título de exemplo,
suponhamos que C =
{x E (0,1); x :# 1/2}.
(Figura 3.3). O ponto 1/2 pertence ao interior
de C mas não pertence a C.
o
112
1
O~----~O~------O
Figura 3.3
o Teorema do Vetor à Mínima Distância
Teorema 3.8: Seja C um subconjunto convexo fechado do 5JtD; C:# 0, Y um ponto de 5JtD,
Então:
i) existe um e um único ponto de C à mínima distância de y;
33
ii) para que Z E C seja ponto de C à mínima distância de y é necessário e suficiente
que {y-z,x-z):SO para todo x
E
C.
Observação: Uma versão particular deste teorema foi demonstrada no capítulo dois para o
caso particular em que o conjunto C é um subespaço vetorial.
Demonstração: Necessidade: A existência de um ponto de C à mínima distância de y é
garantida pelo fato de C ser fechado. Seja z um ponto de C. Então, para qualquer x de C, e
para qualquer O:S a :S 1:
já que (1- a) z + a x pertence a C. Ou seja:
(y- z,y- z)-2a{y-z,x- z)+a 2 {x- Z,x- z) ~ (y- z,y- z)
para qualquer O:S a :S L Daí se segue, em particular que, para O < a< 1:
-2 (y- Z,x- z)+a (x- Z,x- z) ~ O
Fazendo a tender a zero conclui-se que:
(y - z, x -
z) :S O.
Por essa desigualdade conclui-se que o ponto de C à mínima distância de y é único. Com
efeito, suponhamos que z e z' fossem pontos de C à mínima distância de y. Teríamos:
{y- z,z' - z):S O
ou seja:
(z- y,z- z'):S O
Do mesmo modo:
(y- z', z- z'):S O
Somando membro a membro essas duas últimas desigualdades:
(z- z',z- z'):S O
o que implica z = z' .
34
Suficiência: Suponhamos que z seja um ponto de C tal que:
(y-z,x-z)S O
para todo x
E
C. Segue-se que:
2
2
lY-xl = l(y-z)-(x-z)1 = (y-z,y- z)-2(y- z,x-z)+(x- z,x- z) ~ (y-z,y- z)= Iy- zl2
A figura 3.4 ilustra o sentido geométrico do teorema no caso do 9t 2 • Para que z seja
o ponto de C à mínima distância de y, é necessário e suficiente que, para qualquer x E C, os
vetores y - z e x - z formem entre si ângulo reto ou obtuso. A figura se refere ao caso em
que y não pertence a C. No caso de y pertencer a C, o ponto à mínima distância é ~ y,
satisfazendo também o teorema.
z
n--~Y
Figura 3.4
Para o caso particular dos cones temos o:
Teorema 3.9: Seja K um cone convexo fechado do 9t y um ponto do 9t Então, para que
z E K seja o ponto do cone à mínima distância de y é necessário e suficiente que:
D
D
•
,
i) (y- z,z)= O
li) (y-z,x)SO para todo x
E
K.
Demonstração:
a) A condi"ão é necessária:
Pelo teorema 3.8, (y - z, x - z) S O para todo x
E
K. Como x = b z
E
K para t~do
b ~ O, segue-se que (b -1) (y - z, z) S O para todo b ~ O. Essa desigualdade valendo tanto
para b maior quanto menor do que 1, segue-se que (y - z, z) = O.
Se x
E
K, pelo resultado anterior (y- z,x - z) = (y- z,x) S O.
b) A condi"ão é suficiente:
As condições i) e li) implicam (y - z, x - z) S O para todo x
E
K.
35
Hiperplanos e Teoremas de Separação
Sejam xo,u vetores do 9t., sendo u~O. O hiperplano H(xo,u) que passa por X o e
com normal u é, por defInição, o conjunto:
ou seja, o conjunto dos pontos x tais que x são linhas retas, como indicadas na figura 3.5.
Xo
seja ortogonal a u. No 9t2 os hiperplanos
H ( x o ' u)
Figura 3.5
Ao hiperplano H(x o, u) associam-se dois semi-espaços, cuja interseção é o próprio
hiperplano:
i) o semi-espaço H+(xo,u)={x e
ü) o semi-espaço
9t"I{x-xo'u)~O}
H-(xo,u)={x e 9t"1 {x-xo,u)SO}
Os dois teoremas fundamentais de separação, e que serão demonstrados a seguir
afirmam que:
a) se X o é um ponto fora do conjunto convexo C, então existe um hiperplano
passando por X o tal que C se situe num único semi-espaço definido pelo hiperplano (figura
3.6);
b) se C 1 e C 2 são conjuntos convexos disjuntos, então existe um hiperplano tal que
C 1 esteja contido num dos seus semi-espaços,e C 2 no outro (figura 3.7).
36
H
H(Xo,u)
Figura 3.6
Figura 3.7
Lema 3.4:
Seja C um subconjunto convexo fechado do 9t D ; Yum ponto não pertencente a C.
Então existe um hiperplano H (Y. u). passando por y. tal que:
ü)
1011 = 1
ü) C esteja contido em H+ (Y. u)
Demonstração: Seja z o ponto de C à mínima distância de y. Então pelo teorema 3.8:
{y- z.x - z} S O. para todo x e C.
Segue-se que:
{y-z.x-y}={y-z.x-z+z-y}={y-z.x-z}+{y-z.z-y}<O. para todo x e C.
Tomemos:
y-z
u=-"='-~
~y-zll
segue-se que Ilull = 1 e que:
{x-y.u}> O para todo x e C
ou seja, C c H+ (Y. u).
Lema 3.5: Seja C um subconjunto convexo fechado do 9t y um ponto pertencente à
fronteira de C. Então existe um hiperplano H (y. u) passando por y tal que:
D
;
i) Ilull = 1
ü) C C H+ (y.u)
37
Demonstração: Como y pertence à fronteira de C, é possível tomar uma seqüência y 11 de
pontos não pertencentes a C, tais que Y11 convirja para y. Pelo lema 3.4, existirá uma
seqüência u lI ' tal que luJ = 1 e:
A seqüência u lI ' sendo limitada, admite uma subsequência convergente com limite u, tendo-se
lu
J = 1 . Por passagem ao limite segue-se que:
(X-y,u)~O para todo x e C
ou seja:
Teorema 3.10: Seja C um subconjunto convexo do 9t y um ponto do 9t não pertencente a
1l
1l
;
C. Então existe um hiperplano H (y, u) passando por y tal que:
li) CcH+ (y,u)
Demonstração: Seja C o fecho de C. Pelo teorema 3.6, C é convexo. Pelo teorema 3.7, se
y pertencesse ao interior de C também pertenceria a C. Logo, y ou não pertence a C ou
pertence à sua fronteira. Em qualquer dos casos, pelos lemas 3.4 e 3.5, existe um vetor u tal
que lull = 1 e:
Cc C C H+ (y,u)
Teorema 3.11: Seja C l e C 2 dois subconjuntos convexos disjuntos e não vazios do 9t
1l
•
Então, existe um hiperplano H (y, u), tal que:
Demonstração:
Seja C = C l -C 2 •
Pelo
teorema 3.2, C é convexo.
Como
C = {Xl - x 2 1Xl e Clt X2 e C 2 }, e como C l e C 2 são disjuntos, OE C. Logo, pelo teorema
3.10, existe um hiperplano H (O, u) passando pela origem tal que C = C l - C 2 esteja contido
em H+ (O, u). Ou equivalentemente, existe um vetor u tal que Ilu 11 = I e:
38
quaisquer que sejam
(Xl
-X2'U)~ O,ou equivalentemente {X 2 , u)s (Xl' u)
Xl
e CI e
X2
e C2 •
Como C I e C 2 são não vazios, existe:
e, conseqüentemente, para quaisquer
Xl
e CI e
X2
e C2 :
Façamos y = suo Segue-se que:
{Xl {X2
y, u} = {Xl' u}-s ~ 0, para todo Xl e C
-y,u}={x 2 ,u}-sSO,para todo x 2 e C2
Os dois teoremas que se seguem são corolários do Teorema 3.11 (teorema de
separação). Na análise que se segue, 9t: é o conjunto dos pontos do 9t D com coordenadas
todas maiores ou iguais a zero. 9t~ é o conjunto dos pontos do 9t cujas coordenadas são
todas positivas.
D
Teorema 3.12: Seja C um subconjunto convexo do 9t tal que Cfl9t~ = 0 . Então existe
um vetor u, tal que u e 9t: ,lIull = 1 e (u, x) S 0, para todo x e C.
D
Demonstração: Pelo teorema 3.11 existe um vetor u e 9t: tal que
~u II = 1 e
(u, x) S (u, y),
quaisquer que sejam x e C e y e 9t~.
Sejam el'e 2 , ••• ,e D os unitários do 9t D , w =e1 +e 2 + ... +e D • Então, para qualquer b >
0, bw E 9t~. Logo:
(u,x) S (u, bw) = b(u, w)
para qualquer x e C. Fazendo b tender a zero, segue-se que:
(u,x) S
°
para qualquer x e C.
39
Seja:
I
s = sup {( u, x) x e
Então, para qualquer vetor y e
C}
9t~:
(y,u)~s
Notemos agora que, para quaisquer a, b positivos ae; + bw e
9t~.
Logo:
(ae; + bw, u)= a(e;, u}+ b(w, u)~ s
Ou seja:
(e.,u}~.!a
I
-
~(w,u)
a
Fazendo a tender para o infmito, segue-se que:
ou seja, que u e 9t: .
Funções Côncavas· Revisão do Capítulo m e Resultados Adicionais
Seja C um subconjunto convexo não vazio de 9t D • F (x) uma função definida em C
com valores no 9t m • Pelo que vimos no capítulo anterior, diz-se que F (x) é côncava quando,
quaisquer que sejam Xl e x 2 pertencentes a C e O S a S 1, se tiver:
No caso das funções côncavas com valores no conjunto dos reais, a imagem
geométrica é a oferecida pela figura 3.8: O gráfico da função ao longo de qualquer segmento
em C situa-se acima da secante correspondente. No caso de funções com valores em 9t m ,
elas serão côncavas se e somente se cada uma de suas coordenadas for uma função côncava.
40
f (x)
~----~------~---------------x
Figura 3.8
Verifica-se imediatamente que se FI (x) e F2 (x) são funções côncavas, definidas no
subconjunto convexo não vazio C do ~D, e com valores em ~m, a IF.(x)+a 2 F2 (x) é côncava
sendo a., a 2 reais não negativos.
Uma função G (x) diz-se convexa quando F(x) = -G(x) for côncava.
Uma função linear F (x) = Ax, definida no
tempo côncava e convexa.
~D
e com valores no 9t m é ao mesmo
Teorema 3.14: Seja F (x) uma função côncava, definida num subconjunto convexo C do
e com valores no ~m. Seja b um vetor do 9t Então o conjunto:
~D
D
•
J={XE CIF(x)~b}
é convexo.
Demonstração: Veja o teorema 2.2 no capítulo anterior, quando provamos que toda função
côncava é quase-côncava.
Teorema 3.15: Seja F (x) uma função côncava definida no subconjunto convexo C do 9t e
com valores no 9t m • Seja:
D
z = {Z E 9t"'1 Z $
Então Z é convexo.
F(x) para algum x E
C}
.. \
Observação: Compare esteteorenÍ'a com o exercício 10 da seção 2 do capítulo anterior.
41
Demonstração: Sejam zl' Z2 pontos de Z, e seja OS; a S; l. Então, por hipótese, existem
Xl E C e x 2 E C tais que:
Zl
$ F(x l )
Z2
$ F(x 2 )
Logo:
Como (1- a)x l + ax 2 E C, segue-se que
ZE
Z, ou seja, que Z é convexo.
Cuidemos agora de funções côncavas com valores no conjunto dos reais.
primeiro teorema fundamental é o que assegura que todo máximo local é um global.
Um
Teorema 3.16 (Máximo Local - Máximo Global): Seja f (x) uma função real côncava,
definida no subconjunto convexo não vazio C do 9t Suponhamos que existe d > O tal que,
para todo XE C tal que Ix-xoll<d, se tenha f(x)S;f(x o), sendo XoE C. Então, para
qualquer y E C se tem f(y) S; f(x o)'
D
•
Demonstração: Veja a seção 1 deste capítulo.
Tratemos agora das funções côncavas diferenciáveis com valores reais.
Teorema 3.17: Seja C um subconjunto convexo não vazio do 9t D ; f (x) uma função real
côncava e diferenciável definida em C. Então, se Xo E C:
para todo X o E C. (No caso, grad f(x o) é o gradiente de f (x) calculado no ponto x o)'
Demonstração: Veja na seção 5 do capítulo 3.
o sentido geométrico do teorema está ilustrado na figura 3.9: o gráfico de uma função
côncava situa-se abaixo (ou pelo menos não acima) da tangente em qualquer de seus pontos.
c.
~
42
fez)
__~
Xo
Figura 3.9
Teorema 3.18: Seja C um subconjunto convexo não vazio do 9t
D
f (x) uma função real
côncava e diferenciável definida em C; Xo um ponto de C. Então, para que f (x) passe por um
máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que:
para todo x
E
;
C.
Demonstração:
a) A condição é neçessária:
Seja x = Xo + h um ponto qualquer de C. Por hipótese, para qualquer O< a < 1:
Segue-se que:
f(x o + ah) - f(x o) S O
a
Passando ao limite quando a tende a zero:
b) A condição é suficiente:
43
Suponhamos (grad f(xo),x-xo)SO, para todo x e C. Pelo teorema 3.17 resulta
f(x) -f(xo) S O para todo x e C, o que significa f (x) assume o seu valor máximo em C no
ponto xo'
Teorema 3.19: Seja C um conjunto convexo não vazio do 9t D , f (x) uma função real côncava
e diferenciável definida em C; XO um ponto pertencente ao interior de C. Então, para que f
(x) passe por um máximo do ponto xo' é necessário e suficiente que grad f (x o) = O.
Demonstração:
D
Então, como Xo
a) A condição é necessária: Seja y um vetor qualquer do 9t
pertence ao interior de C, existe um real positivo À tal que Xo +Ày e C. Pelo teorema 3.18:
•
ou seja:
(grad f (x o)' y) S O para qualquer y e 9t
D
Isso exige grad f (x o) = O
b) A condição é suficiente:
f(x) -f(x o) S O, para qualquer x e C.
Se grad f(x o) = O, então, pelo teorema 3.17,
o Teorema de Kuhn e Tucker
Sejam f(x),gl(x), .. ,gm(x) funções reais côncavas definidas num subconjunto
convexo não vazio C do 9t Tomemos o problema:
D
•
maximizar f (x)
com as restrições gl (x) ~ O, ... ,gm(x) ~ O.
Supõe-se que as desigualdades de restrição sejam tais que, para algum ponto y de C
todos os gj (y) sejam estritamente positivos. Isto posto, o teorema de Kuhn e Tucker afirma
que, para o máximo condicionado de f (x) ocorra no ponto xo' é necessário e suficiente que
existam multiplicadores de Lagrange Pi'P2""'P", tais que:
i) o máximo em C do lagrangeano F(x)=f(x)+Plgl(x)+"'+Pmgm(x) ocorra no
ponto x o;
ü) os multiplicadores de Lagrange sejam não negativos;
44
üi) pjgj (x o) = O, (i = 1,... ,m). Isto significa que se gj (x o) > O, isto é, se gj (x) ~ O é
uma restrição supérflua no ponto de máximo condicionado xo' então o
multiplicador de Lagrange correspondente é igual a zero.
Teorema 3.20: (Kuhn, Tucker, Usawa, Gale, Slater). Seja C um subconjunto convexo do
9t D ; f (x), G (x) funções côncavas definidas em C, sendo f (x) com valores reais, G (x) com
valores no 9t m. Admitamos que, para algum y e C, se tenha G(y) > O (condição de Slater).
Seja Xo um ponto de C tal que G(x o) ~ O. Então, para que G(x) ~ O implique
f(x) ~ f(x o) é necessário e suficiente que exista p e 9t:, tal que:
f(x o) = f(x o)+ (p,G(x o») ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x e C.
Demonstração:
a) A cond~ão é necessária: Sejam gl(x), ... ,gm(x) as coordenadas de G (x).
Tomemos a função H (x) defInida em C e com valores no 9tm+1 de coordenadas:
H(x) = (f(x)- f(XO),gl(X), ... ,glll(x»
É
imediato que H(x) é uma função côncava.
Por outro lado, se
implica f(x)~f(xo)' não há ponto x em C onde as coordenadas de H (x) sejam
todas positivas.
G(x)~O
Seja Z= {z e 9tm+llz~ H(x), para algum x e C}
Pelo teorema 3.15, Z é convexo. Por outro lado, não há ponto de Z com coordenadas
1
todas positivas, o que implica Zn9t: = 0.
Segue-se, pelo teorema 3.12, que existe u = (uo,ul' ... 'u m ) e 9t,:+t. tal que Ilull = 1,
e
(u,z) ~ O, para todo z e Z.
Particularizando para z = H (x):
A condição de Slater garante que Uo > O. Com efeito, suponhamos por absurdo
uo=O. Teríamos então uIgI(y)+ ... +umgm(Y)~O. Sendo os uj não negativos e os gj(y)
positivos, isso implicaria UI = u 2 = ... = um = O, e portanto u = O. Mas isso contradiz o fato de
que
Ilull =
1.
45
Isso posto, façamos:
Pi =UiUo
('1= 1, ... ,m )
m
e seja p o vetor do 9l de coordenadas (Pl"" Pm)' É imediato que p e 9l:, e:
Provamos assim que:
f(x o) ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x EC.
Resta provar que f(x o) = f(xo)+(p,G(x o»), ou seja, que (p,G(xo»=O. Com efeito,
pela desigualdade acima, tomando x = Xo no segundo membro:
Mas como p e G(x o) são não negativos:
Logo (p,G(xo»)=O.
b) A condi"ão é suficiente
Suponhamos que G(x o) ~ O, e que exista um vetor p e 9l: tal que:
Então f(x):Sf(xo)-(p,G(x»), para todo xeC. Isto posto, G(x)~O implica (p,G(xo»)~O,
e portanto f(x):S f(x o)'
Sobre o teorema de Kuhn e Tucker valem as seguintes observações:
a) o teorema prova que, se a função côncava f(x), com as restrições côncavas
passa por um máximo condicionado no ponto x o' então existem
multiplicadores de Langrange não negativos, PI'P2, ... ,Pm' tais que o langrangeano
f(X)+Plgl (x)+ .. ·+Pmgm(x), defmido em C, passe por um máximo livre em xo;
gl(x)~O, ... ,gm(x)~O,
b) a condição (p,G(xo») = O equivale a Plgl (xo)+ ... +Pmgm(x) = O. Como os Pi e os
gi(X O) são todos não negativos, isso implica Pigi(XO)=O (i=l, ... ,m). Segue-se que, se
gi (x o) > O, então Pi = O;
46
c) o teorema presume que as funções f(X),gl (X), ... ,gm(X) sejam côncavas, e que se
verifique a condição de Slater. Não é preciso supor que essas funções sejam diferenciáveis,
nem mesmo contínuas;
d) a parte complexa do teorema é a demonstração de que a condição é necessária. A
prova de suficiência é trivial, independendo das hipóteses de concavidade e da condição de
Slater. Não há necessidade de que essas funções obedeçam a qualquer outra restrição. Com
efeito, seja C um subconjunto não vazio do 9t D (não necessariamente convexo); f (x) uma
função real definida em C; G (x) uma função definida em C, com valores no 9t m; Xo um ponto
de C. Admitamos que exista p e 9t: tal que:
f(x o) = f(xo)+(p,g(xo»)~ f(x) + (p,G(x»), para todo x e C.
Como as coordenadas de p são todos não negativas, é imediato que G(x) ~ O implica
f(x) S; f(x o);
e) sem a condição de Slater não se pode garantir a existência de multiplicadores de
Lagrange nas condições do teorema. Como contra-exemplo, seja C o intervalo [-1,1] no
conjunto dos reais, f (x) a função real:
f(x) =+.JI-x 2
definida em C. É imediato que f (x) é côncava (figura 3.10). Tomemos agora a desigualdade
de restrição:
g(x)=x-I~O
A condição de Slater não se verifica, pois não há ponto de C onde x-I> O. O
máximo de f (x) com a restrição g(x) ~ O obviamente ocorre no ponto x =1, que é o único
ponto de C que atende à restrição g(x) = x -1 ~ O. No caso, f(I) = O.
É impossível, no entanto, encontrar um multiplicador de Langrange não negativo À tal
que se tenha:
f(I) = O~ f(x) + Àg(x) = .I:-,JI- x 2 + À(x -1) para todo x e [-1;1]
Com efeito, isso exigiria:
À(l-x) ~+.JI-x2 para todo xe [-1;1]
Dividindo ambos os membros da desigualdade por +~, x ;tI:
Â. ~(l- x) ~ +.JI + x para todo x e [-1,1), o que é impossível.
47
f (x)
------~--------------~------------~~------
1
x
Figura 3.10
o teorema de Kuhn e Tucker pode ser representado em termos de ponto de sela. Para
m
ist,?, defina H:C x 9t:--+9t, tal que H(x,Â.)=f(x)+LÂ.igi(X). Sejam x o eCeÂ. o e9t:
i=1
satisfazendo as condições do teorema de Kuhn e Tucker. Logo por este teorema temos que
H(x,Â.o) S H(x o,Â.o) S H(xo'Â.), 'Vx e C e 'VÂ. e 9t:, onde a segunda desigualdade decorre
do fato que LÂ.Oi gi (xo) = OS LÂ.ig i (x o), visto que Â.i ~ O e gi (x o) ~ O, 'Vi = 1, ... ,m. Vale
i..1
i=1
também a recíproca, ou seja, a desigualdade acima implica o teorema de Kuhn e Tucker.
Com efeito, a primeira desigualdade nos diz que
f(x)+ LÂ.Oi gi (x) S f (xo) + LÂ.Oi gi (x o), 'Vx e C
i=1
i=1
e
a
segunda
implica
que
LÂ.Oi gi(xo)SLÂ.i gi(X O)' 'VÂ.e 9t:. Tomando-se Â.=O, tem-seque LÂ.Oi gi(XO)SO, mas
i=1
i=1
i=1
como gj(xo) ~ O e Â. Oi
~ O,
'Vi = 1, ... ,m, segue-se que LÂ.Oi gi(X O) =0.
i=1
o Caso em Que as Funções f e I: são Indiretamente CÔncavas e Diferenciáveis
Sejam f (x) e g (x) funções indiretamente cÔncavas definidas em um aberto convexo do
9t", tais que f(x} = h l (F(x» e g{x} = h 2 (G(x}), F, G, funções cÔncavas diferenciáveis, h.,h,.,
funções reais de uma variável real derivável com as derivadas satisfazendo h\ > Oe h'2 > O.
Suponha que estejamos diante do problema de maximizar f (x) sujeito a g(x) ~ O e vejamos
como obter a solução a partir do teorema de Kuhn e Tucker. Para isto, observe que o
problema original Max hl (F(x)) sujeito à restrição h,. (G(x» ~ O, é equivalente ao problema
Max F(x) sujeito à restrição G(x)-r ~O, onde r =h2 1(0), visto que F(x) ~ F(y) se, e só. se
h l (F(x» ~ h l (F(y», analogamente em relação a G.
Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker ao último problema, sabemos que as
condições são necessárias e suficientes para a obtenção do máximo x* são dadas pela
existência de 11· ~ O tal que:
48
a) O(x*)- r ~ O
b) J,l * (O(x*)- r) = O
dO
dx j
àF
dx j
c) -(x*)+J,l*-(x*)=O, V'i=l, ... ,n.
Se tivéssemos aplicado o teorema de Kuhn e Tucker diretamente ao problema original,
esquecendo que f (x) e g (x) não são necessariamente côncavas, teríamos concluído que a
condições necessárias e suficientes para máximo em x* seriam a existência X ~ O tal que:
a') g(x*) ~O
b') Â*(g(x*» =0
g
c') di (x*)+Â*d (x*) =0 V'i=l, ... ,n.
dxi
dxi
Mostraremos que podemos proceder desta forma. Para isto, basta observar que cada
uma das seguintes condições (a), (b) e (c) equivalem, respectivamente, às condições (a'), (b') e
(c'). Com efeito,
i) Equivalência entre (c) e (c'): sabemos que : . (X·)=h\(F(X·»:' (x·) e
I
I
»e p= h; (O(x » temos que
• dO •
•
dx. (x ) = h'2 (O(x » dx. (x ). Fazendo a= h\ (F(x
dg
•
I
A
•
I
dF.
• iJG •
d F . . iJG(x·)
- (x )+Jl - ( x ) =O~ a-ex )+Â f3
dX j
dX j
dX j
dX j
onde A = <XJ1. I fi (lembre que ~ (G(x·» > O)
ü) Equivalência entre (a) e (a')
Â:
=O~
i J f . . dg
- ( x )+Â -(*) =0,
dX j
dX j
e (b) e (b'): basta observar que G (x*) = r se, e só se g
(x*) = O e
~ O se, e só se J,l. ~ O, sendo
Â: = aJ,l· I fi, onde a,fi > O.
Â: = O se,
e só se
J,l. = O, visto que
ConcluÚDos que o teorema de Kuhn e Tucker pode também ser aplicado para funções
indiretamente côncavas em que as funções monótonas crescentes transformadoras da função
côncava original são diferenciáveis (logo, com derivada maior que zero em todos os pontos
de seu domínio).
49
Exercidos resolvidos: Seção 3
Solução: f, g: 9t! ~ 9t tais que f (x,y ) = -w IX- W zy e g(x,y) = x+y -k são funções
côncavas definidas no convexo 9t!. É fácil ver que existe (x',y')e9t! tal que g(x',y'»O.
Queremos encontrar  ~ Oe (xo,Yo) e 9t! tais que g(xo'yo) ~ O, Âg(xo'yo) =0 e (xo,Yo)
seja o máximo de F(x,y) = f(x,y) + Âg(x,y). Portanto Â=Ooug(xo'yo)=O, mas se Â=O
então f == F e (0,0) é o ponto de máximo o que implica que k deve ser zero. No caso
Vamos supor então que
k>O.
Como
alternativo, temos g(.xo,yo) =0.
gradF(x,y)=(-wI+Â, -wz+Â), gradF(x,y)=O se, e só se w I =Â=w z. Logo se
w I = W z ' qualquer ponto sobre g(x,y) = k é ponto de máximo de f e se w I :F- W z tem-se
que o máximo de F é assumido em fr (9t:) e como Xo + Yo = k então Xo = k ou Yo = k,
dependendo quem for maior: f(k,O) = -wlk ou f(O,k) = -w 2k. Observe ainda que a
solução do problema seria a mesma no caso da restrição sob a forma de igualdade x + y = k.
U:9t++ x 9t ~ 9t tal que U(x, y) = log x + y. Maximize
U(x,y) sujeito a
px + qy S m,x > O, y ~ O, sendo p, q e m constantes positivas.
f,gl'g2:9t++x9t~9t
tais
Solução:
Sejam
quef(x,y) = logx+ y, gl (x,y) = m- px-qy,gz(x,y) = y.
É fácil ver que 9t++ x9t é
convexo e que gl' g2 são funções côncavas. Como fi' f 2: 9t++ x 9t ~ 9t definidas por
fl(x,y) = logx e f2(X,y) = y são funções côncavas (para verificar que fi é côncava basta
calcular a hessiana fi e constatar que ela é positiva semi-definida em todos os pontos) e
f = fi + f 2 então f é côncava. Além disso, (m/4p, m/4q) e 9t++ x 9t e
2)
Seja
g;
(;:,
~)
>O,i=I,2.
Estamos agora em condições para aplicar o teorema de Kuhn e Tucker: queremos
determinar (x o,yo)e9t++x9t tal que gi(xo'YO)~O, i=I,2e(x o'Yo) seja um ponto ótimo
para F: 9t++ x9t ~ 9t dada por F(x,y) = f(x,y) + ,;,gl (x,y) + ~g2 (x,y) com ÂI,Â2 e 9t+
tais que Âj gj(.xo,yo) = O, i = 1,2.
Como F é côncava e diferenciável no aberto 9t++ x9t, (xo,yo)será um ótimo para F
se, e somente se grad F (xo,Yo) = O. Logo haverá ponto de máximo se, e somente se existir
ponto crítico de F. Desde que F (x,y) = log x + y +ÂI ( m - px - qy) + Â 2 y devemos ter pelo
que vimos acima:
;(xo,YO)=r..--\p=o
j
(I)
dy (xo,Yo) = l-Â,q+~ =0 (2)
Observe que com isto ÂI :F- O, pois caso contrário : (x o' Yo) =
Ix o :F- O.
Assim reduzimos a
análise aos seguintes casos:
50
i) 1..1 > O e 1..2 = O. Neste caso, por (2) temos 1..1 = fq > O. Daí e por (1) vem:
Como
À.lgl (xo,Yo) = Oe 1..1 > O
temos
que
Xo = q/ p > O.
PXo + qyo = ri1 o que implica que Yo = m - 1.
q
Devemos
garantir
finalmente
que
somente se m ~ q.
Mas o que acontece se m < q? Se m < q, este caso não é aplicável e devemos partir para o
caso:
Ât (m- PX o -qyo) = O
Ü)À.l > O e 1..2 > O. Como { Â..2Yo = O
'
m= PXo +qyo
{ Yo =0
.
Por (1) temos 1..1 =
Conclusão:
Xo =
~
'fp
p
Ym, daí e por (2) temos 1..2 = Ym -1. Logo 1..2 > O se, e só se m < q.
{(%, %
-1) é o ponto ótimo, se m ~ q
(~, O) é o ponto ótimo, se m < q
3) Maximizar y = min {xl'x 2 } sujeito a PIX l +P2X2 = R; R,Pl'P2 > O; Xl ~ 0'X 2 ~ O
Solução: Seja j:9t! -+9t definida por j(xl'x 2 ) =min {xl'x 2 }. É fácil ver que fé contínua e
K = {(xl'~) e 9t! ; Pl~ + P2~ = R} é compacto, logo pelo teorema de Weierstrass f assume
um máximo em K. Entretanto não podemos utilizar o teorema de Kuhn - Tucker, pois há uma
restrição do tipo igualdade. O que fazer? Podemos substituir a restrição p Xl + q X 2 = R por
P Xl +q X 2 ~ R e verificar (utilizando o teorema de Kuhn e Tucker) se o ponto ótimo do novo
problema está sob a restrição P Xl +q X 2 = R (o que é bastante razoável uma vez que f é não
decrescente em (~~) ou porque f poderia traduzir a utilidade de um consumidor "localmente
não-saciável" e neste caso o ponto de ótimo do novo problema seria o ótimo do problema
anterior). Vejamos: seja g: 9t! -+ 9t tal que g(xl'x2 ) = R - P Xl -q X 2 • É fácil ver que:
i) f e g são funções côncavas.
Ü) (O, O) e 9t! e g(O, O) > O (condição de Slater).
Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker, queremos encontrar (x~ ,x~) e 9t!, tal que
g(x~,x~)~O e (x~,x~) seja ótimo para F(xl'x 2)=f(xl'x 2 )+À.g(xl'x 2 ) defInida em
para algum À. ~ O, e além disso À. g(x~ ,x~) = O.
9t:
Temos os seguintes casos:
(i) À. = O; o que não é possível pois neste caso F == j, sendo assim uma função
··tada em (»2
ilimi
';'''+.
51
À> O; neste caso P X~ + q X~ = R. Como F é diferenciável no aberto
A = {(xl'~) e 9t~; Xi * ~}, se (x~ ,x~) e A, então pelas condições de primeira ordem
(ü)
o
o
devemos ter grad F(xI ,x2) = O. Mas grad F(x I ,x2) =
*
{(-Â. pl'l- Â. P2)' se 0< X2 < Xl
':I
':I
e
(1- A PI ,-A P2)' se O< Xl < X2
portanto grad F(x l ,X 2) O, 'V(X l ,X 2) e A. Logo ou X~ = O ou X~ = O ou X~ = X~.
Analisemos estas possibilidades.
a) Xlo -_ O ~ X 2o -- R/
/ q
~
F( Xlo'X o) -- O
2
b)~=O ~X~=% ~ F(x~,x~)=O
c) X~ =
X~ ~ X~ = X~
= y<p+q) , visto que
.
px~ +qx~ = R ~ F(x~ ,x~) = y<p+q).
(R
R)
Destas três possibilidades concluúnos que o ponto ótimo é - - , - - ,cujo valor ótimo
p+q p+q
é y<p+q). Como o ponto ótimo se encontra na restrição pX I +qx 2 = R, tem-se que ele é o
ponto ótimo do problema original.
4) (Intriligator, 1971) Max f(xl'x 2) = -8x~ -IOx; + 12x l x 2 -50x I + 8Ox 2
sujeito a
Xl + x 2 S I
8x~ +x; S 2
xl'x 2 ~O
Solução:
Sejam
j,gl'g2:9t!-+9t
tais
que
f(xl'x2)=-8x~-IOx;+12xlx2
-5Ox I +80x 2, gl (xl'x 2) = 1- Xl - x 2 e g2 (xl'x2) = 2-8xt -xi. Fica a cargo do leitor a
verificação de que f ,gl e g2 são funções côncavas. Observe também que este problema tem
solução visto que é equivalente a maximizar f(xl' x 2) (função contúlUa) no conjunto
K = {(xl'x 2) e 9t! ; Xl +x 2 S I e 8x~ + x; S 2}, sendo K = g~I([O,oo])(')g;I([O,oo]), ou seja,
K é fechado, pois gl e g2 são contúlUas e definidas no fechado 9t! ' e limitado (como o leitor
pode facilmente verificar!), isto é, K é compacto, portanto pelo teorema de Weierstrass f
assume um valor máximo em K. A condição de Slater é cumprida para o ponto (0,0) e 9t!.
Com isto estamos em condições de aplicar o teorema de Kuhn e Tucker: queremos encontrar
(x ~ ,x~) e 9t! com g i (X ~ ,X~) ~ O, i = 1,2, tal que (x~ ,x~) seja ponto ótimo da função
F(Xl'X2)=j(Xl'X2)+ÀIgI(Xl'X2)+À2g2(Xl'X2) em 9t! e Àigi(X~,X~)=O i=I,2 para
algum ÀI e 9t+ e para algum À2 e 9t+, (pela conclusão acima e pelo próprio teorema de Kuhn
- Tucker tal ponto existe).
Suponhamos inicialmente que (x~ ,x~) e int 9t! = 9t!.. Como F é côncava, para que
(x~ ,x~) seja ótimo é necessário e suficiente que grad F(x~ ,x~) = (0,0). Devemos considerar
então os seguintes casos:
i) ÀI = À2 = O. Neste caso F == f e grad F(x l , x 2) = (O, O) se, e somente se
52
-SX\ +6r~ = 25
{ 3x\ - 5x - -20
2
este caso não é possível.
~(x~,x~) ~ 9t~. Portanto
ü) Â.\ > O e Â. 2 = O. Temos que x~ + x~ = I (visto que Â.\g\ (x~ ,x~) = O) e
gradF(~,~) = (-16~ + 12~ -50-Â." -20~ + 12x\ +SO-Â.\) = (0,0)
<=> {-16X) + 12x2 = 50+ Â,
12x\ - 20x2 = Â, - SO
Sejam
-16 12
50+Â)
I~
D=
=176 e Dx=
=-40-32Â) <o
12 -20
Â) -SO -2
~ x~ =
(poisÂ)~O)
DIo < O, o que é absurdo, i.e., este caso também não é possível.
iii) Â.\ = O e Â. 2 > o. Temos que S(x~ y + (x~y = 2 (visto que Â.2g2(X~ ,x~) = O) e
grad F(x p x 2 ) = (-16x) + 12x2 -50-16Â. 2 x\,-20x 2 + 12x\ +SO- 2Â. 2 X2 ) = (0,0)
<=> {- S(1 + ~)x\ + 6x2 = 25
6x\ - (10+ ~ )x2 = -40
Sejam D =
25
eD = -40
z
=> x~ =
-S(I + Â 2 )
6
6
-(10+Â 2 )
6
-(10+Â 2)
= 8(1 + Â2)(1O+  2 ) - 36 > O (pois  2
~
O)
=-25(10+ 2)+240=-1O-25Â2 <O (pois 2 ~O)
DIo < O, o que é absurdo, logo este caso não é possível.
iv) Â.\ > O e Â. 2 > O. Temos que x~ + x~ = I e 8(X~)2 + (X~)2 = 2
o2
o
o2
o2
o2
o 1±.Jiõ
o 1+.Jiõ
o 8-.Jiõ
+1-2x, +(x 1 ) =2~9(x,) -2(x, ) -l=O~x, =
~XI =
~X2 = - 9 9 9
Observe que O< x~, x~ < I e x~ < 5/9 (verifique!). Assim,
f(x~ ,x~) = -8 (X~)2 -lO(x~)2 +12x~x~ -50x~ +80x~ < 12x~x~ +80x~ < 12.+80.5/9 < 12 +80.5/8 = 62
~8(x,)
Concluímos que se (x~, x~)
x~
E
91:+
então
{ x~ =(8 - ~1O) /9
= (1 + ..)10) / 9
Por outro lado se (x ~ ,x~) ~ 91:+ então x~ = Oou x~ = O. Se x~ = O então o problema
original reduz-se a maxinúzar -IOx; + 80x 2 sujeito a O~ x 2 ~ I, cujo o ponto ótímo é x~ = I ,
além disso {{O, I) = 70. Analogamente se x~ = O então o ponto ótimo será (0,0) e f (0,0) = o.
Como (O, I) é entre os três pontos possíveis o que oferece maior valor, (O, I) é o ponto ótímo
deste problema.
53
Para evitar muitas contas (como no caso acima) é conveniente fazermos o gráfico do
conjunto restrição e as curvas de nível da função a ser maximizada a fim de intuirmos qual é o
caso em questão. Veja gráfico a seguir:
x2
x1
5) (Birchenhall e Grout, 1984) Um consumidor, ao colocar a sua renda m por T + 1 períodos,
depara-se com a restrição orçamentária
onde Pt é o preço do bem de consumo, C t é o nível de consumo no período t e r é a taxa de
juros (r>O). A função utilidade do consumidor é dada por V(C) = ±
-
t=O
U(Ct~
(1+p)
U (C t ) é estritamente côncava , p é a taxa de preferência intertemporal
onde cada
(p > O)
e
~ = (Co ,CI' ... ,CT ). Analise a seguinte afirmativa como verdadeira ou falsa, justificando
formalmente:
Pt
l+p
O consumo será constante (C t = C t+1 para t = O, ... ,T-l) se, e somente se - = - - para
P1+1 l+r
t =0,1, ... , T-l .
Solução: Vamos supor que, C t > 0, 'Vt = O, ... , T. Se U'(C t ) = 0, 'Vt = O, ... , T então
C t = C t+1 para t = 0, ... , T -1, pois
U é estritamente côncava e portanto U' é uma função
C
G(C)=m-± Pt \
e V(C)=± U(Ct~,C»O
onde
decrescente.
Sejam
t=O (1 + r)
t=O (1 + p)
C = (Co,Cp ... ,CT ). Observe que V e G são funções côncavas e que se para cada
t,(t=O, ... T)
fizermos
, (1+r)t m
Ct =
2Pt (T+I)
temos
que
G(C')
>O,
onde
54
,
"
~ = (Co ,C\ "",CT
,
),
ou seja, a condição de Slater é atendida. Podemos assim aplicar o
teorema de Kuhn e Tucker para resolver o problema proposto, maximizando V (Ç) + ÂG (Ç
para algum  ~ O tal que o ponto ótimo ~o satisfaz G (~O)~O e ÂG«t)
= O.
)
Temos assim
dois casos a considerar:
i) Â = O. Neste caso a restrição não é relevante e o ponto ótimo CO é tal que
gradV(~O)=O,
(C:°)=O, 'Vt=O, .. ,T, isto é, U'(C,o)= O, 'Vt=O, .. ,T e isto
ou seja, ;
t
significa, como vimos acima, que C t = Ct+\' t = O, ... , T - 1 .
ü) Â > O. Pelas condições de Kuhn e Tucker devemos ter
~ PtCt
U'(C t )
Pt
~ (1
)t =m e (
.\t -Â(
)t =0, 'Vt=O, ... ,T-1.
t=O + r
1 + p,
1+ r
,,=(l+r)'t U'(Ct) ,vt
\.I =0
, ... , T
(1 +p)
Pt
(l+r)t U'(C t ) = (l+r)t+l U'(Ct+l) \.I =0
T-1
~
t
t I ' vt
, ... ,
(l+p)
Pt
(l+p) + Pt+l
~A
~
U'(C t ) = (l+r) U'(Ct+l)
,
Pt
(l+p) Pt+l
'Vt = O, ... , T-1.
Como U'(Ct)=U'(Ct+J, 'Vt=O, ... ,T-I se, e somente se Ct =C t+1 , 'Vt=O, ... ,T-I (visto
que U é estritamente côncava) tem-se que o consumo será constante se, e somente se
P, _ I+p
----,
t=O, ... , T-I .
P'+l 1+7
6) Seja f:C
contínua.
~
9tuma função côncava definida no convexo aberto C c 9t". Prove que f é
Solução: Suponhamos que f seja descontínua em Xo E C. Então existe uma seqüência
(x k )kEN em C tal que lim x k = Xo e lim f( x k ) = L com L :t: f( xo). Para fixar idéias vamos
supor que L> f(x o) (podendo ser L = +00). Seja E"= {(x, t) E9t D+1 ; t ~ f(x)} o epígrafo de
f Como f é côncava, temos que E é convexo (veja exercício resolvido da seção 2 do capítulo
3 ). É Iacil ver que P = (xo, f( xo») E fr(E), assim pelo lema 3.5 deste capítulo existe um
hiperplano H (p, u) tal que u E9t D +1 ,llull = 1 e E c H+(p,u), isto é,
«x,t)-(xo,f(xo»,u)~O,
»
(x-xo,u)+(t-f(x o
'V(x,t)EE, ou seja,
U 2 ~O, onde u=(UI ,U2 ) com
UI
E9t" e u 2 E 9t.
Particularizando esta desigualdade para os pontos (x k , f (x k » E E, tem-se
e passando ao limite vem que:
55
e como L - f(x o) > O devemos ter u 2 ~ O. Agora tomando um ponto da forma (xo.1) e E tal
que L < f (x o) • chegaremos a conclusão de que u 2 S O. Portanto. ~ = O.
Seja agora x=xo+5ej• ie{l •...• n}e 5e9t(onde {ep ...• e.} é a base canônica do ~.).
Como C é aberto. se 151 for suficientemente pequeno. x e C. Aplicando a desigualdade agora
ao ponto (x. f(x» e E (e usando o fato que ~ =0) temos que 5(ej.uI)~0. Tomando 5
positivo e depois negativo. chegaremos à conclusão de que (ej• UI) = O. Como i e {l•...• n} é
arbitrário. teremos que u = O. o que é absurdo. pois
= 1. Portanto f é contínua.
lul
(a) Determine o ponto de C que esteja a menor distância da origem (0.0).
(b) Encontre a equação de um hiperplano que separa estritamente o conjunto C da
origem.
Solução:
Como C =.
-3,4).1] tem-se que C é convexo. Obviamente (0.0) EC .
(a) Devemo~ resolver
Min
{z.Y} E 91 2
x 2 + y2
s.a. (x+3)2 +(y-4t SI
que é equivalente a
Max
{Z,Y}E9I 2
- x 2 _ y2
s.a. (X+3)2 +(y-4t SI
Sejam f:9t 2 -+ 9t e G:9t 2 -+ 9t funções definidas respectivamente por f(x.y)
_x 2 _y2 e G(x.y) = 1-(x+ 3)2
-(y _4)2.
=
É evidente que f e G são funções côncavas. A
2
condição de Slater é satisfeita por (-3. 4)e 9t • visto que G (-3.4)>0.
Assim. (x,y) é solução ótima <=> 3Â. e 9t+ tal que:
(1) grad f(x,y)+Â.grad G(x,y) = O
(2) Â.G(x,y)=O
(3) G(x,y)~ O
Devemos ter: Â. > O visto que À = O implica que (x, y) = (O, O) por (1), o que não pode
ocorrer pelo ítem (a).
De (2) temos (x + 3)2 + (y - 4)2 = 1. Logo,
(1)
~
-x-Mx+3)=0
-31..
41..
.
Assun
{ - y - Â.(y - 4) = O ~x=--,y=--.
1+ À
1+ À
56
)2 + (4Â)2
1+ Â - 4 = 1
- 3Â
( 1+ Â + 3
:.
9
16
(I + Â)2 + (I + Â)2 = 1 => (1 + Â)2 = 25
=> Â. = 4 ou Â. = -6 (não interessa).
Para Â. = 4
temos
-12
x = -5-' Y=
•
(b)Sejamu=I:.r
•
p=~
16
5"'.
•
(-12 16)
Então z = -5-'
5"'
é solução ótima.
H(u,p)={z={x,y)e9t 2 ;(u,z-p)=0}
e
É fácil ver que (0,0) e int H_ (u, p). Como C é compacto, o que precisamos mostrar é que
(u,z) > (u,p), 'Vz e C.
C c intHJ u,p), i.e,
Sabemos que:
1z·~2 ~~I-a)z· + azl2 ,'Vz e C
e O< a ~ 1 =>
Iz .12 S Ilz.12 + 2a (z· ,( z- z· ))+ a 2 ~z - Z • ~2
=> O~ 2a(z· ,(z -
z·)} + a2 1z - z·f
Dividindo por a temos:
2(z· ,{z - z·)}+allz - z.~2 ~ O
Fazendo a->O temos (z'
Logo,
Iz·11 > O
,(z-z'))~ O,
'fiz EC ""
Iz'~u,(z- ~ - ~ ~ ~ O.
=>
(+- ~ -~)) ~
O"" (u,z)
~ ~ (u,z')+ ~ (u,z') =(u,p}+(u,p) =2(U,p} > (u,p),
'Vz eC.
8) Sejam PI e P2 os preços de duas ações hoje. Suponha que desejamos comprar
quantidades de cada ação sujeito a seguinte restrição orçamentária:
XI
e x2
(I)
Considere uma variação esperada nos preços das ações de II I e 112 de hoje para
amanhã. Suponha que desejamos obter um lucro esperado de no mínimo $10.000 i.e,
(2)
Seja V =
O'll
[
0'21
0'12]
0'22
a matriz de covariância dos retornos das ações com V definida positiva
.
o objetivo
do investidor é determinar as quantidades ótimas de XI e x 2 sujeito às restrições
(2) de tal forma a minimizar a variância de seu portifólio dada por
2
2
2
O'llX + 0'12 X X + 0'22 X 2
(I)
e
I
I 2
57
(1 X2 + 2(1 x x + (1 X2
11 I
12 I 2
22 2
2
s.a. PIXI + P2X2 ::;; 100.000
J.LIX I + ~X2 ~ 10.000
XI ~ O,x2 ~ O
Solução: Dev.emos Mil'(
{.,,,J
que é equivalente a
M
{.,~
s.a.
_((111X~ + 2C112X IX2 + C122 X;)
2
PIXI + PzX2::;; 100.000
J.LI X I + J.LzX 2 ~ 10.000
XI ~O,X2 ~O
Sejam
f(x p x 2) =- (C111X~ + 2C112 X I X2 + C122 X;)/2
gl(XI,X2) = 100.000- PIXI - P2X2' g2(X p X2) = IJixl + Jlzx2 -10.000, g3(X I,X2) = xi' g4(Xp~) =~.
É facil ver que f, gj são funções côncavas em
9t2 para i = 1, 2, 3, 4.
Seja G =
(gpg2,g3,g4).
Condição de Slater: seja K = {(x,y) e 9t 2 ; G(x,y)>O}. Impondo-se condições sobre
P2
e J.12 (por exemplo: IOJ.LI > PI,I OJlz > P2) garante-se que int K
* 0.
J.1 1 'Pi'
Suponha que estas
condições são verificadas. Temos que (XI ,x2 ) é solução ótima tal que:
4
(1) grad f(X I,X2)+ L ~ grad gi (xpX2) = O
i=1
i=I, ... ,4
De (2) para i = 2 temos J.LIX 1+ J.LzX 2 = 10.000. Por outro lado (1) implica
- C111XI - C1I2 X 2 - PI~ + J.lJÂ..z + ~ = O
{ - C1 X - C1 X - P2~ + J.lzÂ..z + Â..4 = O
22 2 12 I
~ {- C111 X1- C112 X2 + J.L1Â..z = O
- C122 X2 - C112 X I + J.lzÂ..z = O
58
< l00.000JL1[JL10'22 - JL 20'12] + l00.000JL2[JL 20'1l - JL 10'12] < 100.000
Logo, (Xl ,x2 ) é solução ótima do problema, desde que G12 < h < Gll , uma vez que isto é
G22 J.l 2 G12
equivalente a
Xi ~
0, i = 1,2.
Geometria do problema:
Observação: O que fizemos acima é resultado da observação antecipada da geometria do
problema. Assim chegamos à solução do exercício em apenas um caso.
59
Exercídos propostos:
1) Utilize o teorema de Kuhn e Tucker para obter as soluções dos seguintes problemas:
b) Maximizar U(x,y) sujeito a pzx+pyySR
ex~O,y~O
com
U(x,y)
côncava, pz > O, Py > O e R > O.
c) Maximizar R(Q) sujeito a R(Q) - C(Q) ~ I > O, com R(Q) - C(Q) , R(Q)
côncavas e R,C funções diferenciáveis para Q ~ O.
2) Sejam Xwoo,x. probabilidades
(Xj ~ O,
t. J
xj = 1
Claude Shannon define a entropia de
informação como -LXi log Xi . Mostre que a função entropia é côncava. Encontre
condições necessárias e suficientes para que a entropia seja maximizada sob restrições
fi (x) ~ O(i = l, ... ,m) se as funções fi são diferenciáveis e côncavas.
D
3) Suponha ainda que x ~ O,
L
Xj
= 1. Derive condições para maximizar a entropia de
j=l
D
Shannon se as restrições são lineares
L a ij Xj = bi (i = l, ... ,n).
j=l
4) Suponha que a função de produção de uma firma é uma função Cobb-Douglas com
retornos crescentes de escala q = K~ ~, onde K é capital e L é o trabalho; o preço da
produção de uma unidade é 2 unidades monetárias; o custo do capital é 1; e 3 é o salário
unitário do trabalho. Resolva o problema de maximização de lucro.
f(x,y,z)=max{2x,3 y 2,Z} sujeito a p1x+P2Y+P3zSR,PPP2,P3 e R
constantes positivas.
5) Maximize
6) Resolva:
(a)
Max 14x-x 2 +6y- y2 +7
{zo y}
x+yS2
s.a. x +2y S 3
(b)
Min 2X2 +2.xy+2l-lOx-lOy
{zoy}
s.a.
X
2
+y 2 S5
3x+y _< 6
60
M~ 6xI -2x~ +2X I X2 -2xi
(c)
{~.;} ..
3x 1 +4x 2 S6
s.a. -Xl +4xi S2
Xl ~0,X2 ~O
~~
(d)
Xl
+ 2x2
3x~+xisl
s.a. x l -8x 2 S-l
Xl ~0,X2 ~O
7) Considere o problema:
min
Xl
s.a (Xl -6Y +xi -36S0
(Xl -4Y +(X2
_3)2 -25=0
a) Esboce o gráfico da região viável.
b) Mostre que x· = (0,0) é um ponto de múúmo. Observe que não podemos usar o teorema
de Kuhn e Tucker diretamente em virtude da condição de Slater, mas podemos resolver o
problema em duas etapas: primeiro considere o problema com apenas a segunda restrição e
aplique o teorema de Multiplicador de Lagrange; depois tome o lagrangiano desde problema
com a primeira restrição e aplique o teorema de Kunh e Tucker. Obtenha os multiplicadores
de Lagrange.
x
c) Seja = (9,3). Mostre que
não seja ponto de mínimo local.
8) Considere o problema:
x também satisfaz às condições de Kunh e Tucker, embora
(X e 9t")
max h'x
s.a x'x SI
onde b :;: O é um vetor dado. Mostre que x· = )1I'bll satisfaz as condições suficientes para
otimalidade.
9) (Teorema de Separação de convexos): Suponha que C 1 e C 2 são subconjuntos convexos
de 9t
D
Existe um funcional linear Â.: 9t ~ 9t tal que Â(x) S Â(Y), 'Vx e CI
D
•
Mais ainda, se x e int(CJ
ou
,
'Vy e C2 •
ye int(C 2 ) entã:> Ã.(x) < Ã.{y).
61
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63
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200.
A VISÃO TEÓRICA SOBRE MODELOS PREVIDENCIÁRIOS: O CASO BRASILEIRO Luiz Guilherme Schymura de Oliveira - Outubro de 1992 - 23 pág. (esgotado)
201.
mPERINFLAÇÃO: CÂMBIO, MOEDA E ÂNCORAS NOMINAIS - Fernando de Holanda
Barbosa - Novembro de 1992 - 10 pág. (esgotado)
202.
PREVIDÊNCIA SOCIAL: CIDADANIA E PROVISÃO - Clovis de Faro - Novembro de
1992 - 31 pág. (esgotado)
203.
OS BANCOS ESTADUAIS E O DESCONTROLE FISCAL: ALGUNS ASPECTOS Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Armínio Fraga Neto - Novembro de 1992 - 24 pág.
(esgotado)
204.
TEORIAS ECONÔMICAS: A MEIA-VERDADE TEMPORÁRIA - Antonio Maria da
Silveira - Dezembro de 1992 - 36 pág. (esgotado)
205.
THE RICAROIAN VICE AND THE INDETERMINATION OF SENIOR - Antonio Maria
da Silveira - Dezembro de 1992 - 35 pág. (esgotado)
206.
HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE DEMANDA DE
MOEDA - Fernando de Holanda Barbosa - Janeiro de 1993 - 27 pág. (esgotado)
207.
REFORMA FINANCEIRA - ASPECTOS GERAIS E ANÁLISE DO PROJETO DA LEI
COMPLEMENT AR - Rubens Penha Cysne - fevereiro de 1993 - 37 pág. (esgotado)
208.
ABUSO ECONÔMICO E O CASO DA LEI 8.002 - Luiz Guilherme Schymura de Oliveira e
Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - fevereiro de 1993 - 18 pág. (esgotado)
209.
ELEMENTOS
DE
UMA
ESTRATÉGIA
PARA
O
DESENVOLVIMENTO
DA
AGRICULTURA BRASILEIRA - Antonio Salazar Pessoa Brandão e Eliseu Alves Fevereiro de 1993 - 370pág. (esgotado)
210.
PREVIDÊNCIA
SOCIAL
PÚBLICA:
A
EXPERIÊNCIA
BRASILEIRA -
Hélio
Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e
Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 35 pág - (esgotado) .
211. OS SISTEMAS PREVIDENCIÁRIOS E UMA PROPOSTA PARA A REFORMULACAO
DO MODELO BRASILEIRO - Helio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de
Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 43 pág. (esgotado)
212.
THE
INDETERMINATION OF SENIOR (OR THE INDETERMINATION OF
WAGNER) AND SCHMOLLER AS A SOCIAL ECONOMIST - Antonio Maria da Silveira
- Março de 1993 - 29 pág. (esgotado)
213.
NASH EQUILffiRIUM UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY: BREAKING DOWN
BACKW ARO INDUCTION (Extensively Revised Version) - James Dow e Sérgio Ribeiro da
Costa Werlang - Abril de 1993 36 pág. (esgotado)
214.
ON THE DIFFERENTIABILITY OF THE CONSUMER DEMAND FUNCTION - Paulo
Klinger Monteiro, Mário Rui Páscoa e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Maio de 1993 19 pág. (esgotado)
ERSAIOS ECOROMICOS DA EPGE
200.
A VISÃO TEÓRICA SOBRE MODELOS PREVIDENCIÁRIOS: O CASO BRASILEIRO Luiz Guilherme Schymura de Oliveira - Outubro de 1992 - 23 pág. (esgotado)
201.
mPERINFLAÇÃO: CÂMBIO, MOEDA E ÂNCORAS NOMINAIS - Fernando de Holanda
Barbosa - Novembro de 1992 - 10 pág. (esgotado)
202.
PREVIDÊNCIA SOCIAL: CIDADANIA E PROVISÃO - Clovis de Faro - Novembro de
1992 - 31 pág. (esgotado)
203.
OS BANCOS ESTADUAIS E O DESCONTROLE FISCAL: ALGUNS ASPECTOS Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Armínio Fraga Neto - Novembro de 1992 - 24 pág.
(esgotado)
204.
TEORIAS ECONÔMICAS: A MEIA-VERDADE TEMPORÁRIA - Antonio Maria da
Silveira - Dezembro de 1992 - 36 pág. (esgotado)
205.
THE RICAROIAN VICE AND THE INDETERMINATION OF SENIOR - Antonio Maria
da Silveira - Dezembro de 1992 - 35 pág. (esgotado)
206.
HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE DEMANDA DE
MOEDA - Fernando de Holanda Barbosa - Janeiro de 1993 - 27 pág. (esgotado)
207.
REFORMA FINANCEIRA - ASPECTOS GERAIS E ANÁLISE DO PROJETO DA LEI
COMPLEMENT AR - Rubens Penha Cysne - fevereiro de 1993 - 37 pág. (esgotado)
208.
ABUSO ECONÔMICO E O CASO DA LEI 8.002 - Luiz Guilherme Schymura de Oliveira e
Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - fevereiro de 1993 - 18 pág. (esgotado)
209.
ELEMENTOS
DE
UMA
ESTRATÉGIA
PARA
O
DESENVOLVIMENTO
DA
AGRICULTURA BRASILEIRA - Antonio Salazar Pessoa Brandão e Eliseu Alves Fevereiro de 1993 - 370pág. (esgotado)
210.
PREVIDÊNCIA
SOCIAL
PÚBLICA:
A
EXPERIÊNCIA
BRASILEIRA -
Hélio
Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e
Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 35 pág - (esgotado) .
211. OS SISTEMAS PREVIDENCIÁRIOS E UMA PROPOSTA PARA A REFORMULACAO
DO MODELO BRASILEIRO - Helio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de
Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 43 pág. (esgotado)
212.
THE
INDETERMINATION OF SENIOR (OR THE INDETERMINATION OF
WAGNER) AND SCHMOLLER AS A SOCIAL ECONOMIST - Antonio Maria da Silveira
- Março de 1993 - 29 pág. (esgotado)
213.
NASH EQUILffiRIUM UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY: BREAKING DOWN
BACKW ARO INDUCTION (Extensively Revised Version) - James Dow e Sérgio Ribeiro da
Costa Werlang - Abril de 1993 36 pág. (esgotado)
214.
ON THE DIFFERENTIABILITY OF THE CONSUMER DEMAND FUNCTION - Paulo
Klinger Monteiro, Mário Rui Páscoa e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Maio de 1993 19 pág. (esgotado)
233.
COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES - João Victor Issler e
Farshid Vahid - Abril de 1994 - 60 pág.
234.
BANDAS DE CÂMBIO: TEORIA, EVIDÊNCIA EMPÍRICA E SUA POSSÍVEL
APLICAÇÃO NO BRASIL - Aloisio Pessoa de Araújo e Cypriano Lopes Feijó Filho - Abril
de 1994 - 98 pág. (esgotado)
235.
O HEDGE DA DÍVIDA EXTERNA BRASILEIRA - Aloisio Pessoa de Araújo, Túlio Luz
Barbosa. Amélia de Fátima F. Semblano e Maria Haydée Morales - Abril de 1994 - 109 pág.
(esgotado)
236.
TESTING THE EXTERNALITIES HYPOTHESIS OF ENDOGENOUS GROWTH
USING COINTEGRATION - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler - Abril de 1994
- 37 pág. (esgotado)
237.
THE BRAZILIAN SOCIAL SECURITY PROGRAM: DIAGNOSIS AND PROPOSAL
FOR REFORM - Renato Fragelli; Uriel de Magalhães; Helio Portocarrero e Luiz Guilherme
Schymura - Maio de 1994 - 32 pág.
238.
REGIMES COMPLEMENTARES DE PREVIDÊNCIA - Hélio de Oliveira Portocarrero de
Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso, Sérgio Ribeiro da
Costa Werlang e Uriel de Magalhães - Maio de 1994 - 106 pág.
239.
PUBLIC EXPENDITURES, TAXATION AND WELFARE MEASUREMENT - Pedro
Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 36 pág.
240.
A NOTE ON POLICY, THE COMPOSITION OF PUBLIC EXPENDITURES AND
ECONOMIC GROWTH - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 40 pág. (esgotado)
241.
INFLAÇÃO E O PLANO FHC - Rubens Penha Cysne - Maio de 1994 - 26 pág. (esgotado)
242.
INFLATIONARY BIAS AND STATE OWNED FINANCIAL INSTITUTIONS - Walter
Novaes Filho e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Junho de 1994 -35 pág.
243.
INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO ESTOCÁSTICA - Paulo Klinger Monteiro - Junho de
1994 - 38 pág. (esgotado)
244.
PURE ECONOMIC THEORIES: THE TEMPORARY HALF-TRUTH - Antonio M.
Silveira - Junho de 1994 - 23 pág. (esgotado)
245.
WELFARE COSTS OF INFLATION - THE CASE FOR INTEREST-BEARING MONEY
AND EMPIRICAL ESTIMATES FOR BRAZIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens
Penha Cysne - Julho de 1994 - 25 pág. (esgotado)
246.
INFRAESTRUTURA PÚBLICA, PRODUTIVIDADE E CRESCIMENTO - Pedro
Cavalcanti Ferreira - Setembro de 1994 - 25 pág.
247.
MACROECONOMIC POLICY AND CREDIBILITY: A COMPARATIVE STUDY OF
THE FACTORS AFFECTING BRAZILIAN AND IT ALIAN INFLATION AFTER 1970 Giuseppe Tullio e Mareio Ronci - Outubro de 1994 - 61 pág. (esgotado)
248.
INFLATION
AND
DEBT
INDEXATION:
THE
EQUIV ALENCE
OF
TWO
ALTERNATIVE SCHEMES FOR THE CASE OF PERIODIC PAYMENTS - Clovis de
Faro - Outubro de 1994 -18 pág.
3
249.
CUSTOS DE BEM ESTAR DA INFLAÇÃO - O CASO COM MOEDA INDEXADA E
ESTIMATIVAS EMPÍRICAS PARA O BRASIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens
Penha Cysne - Novembro de 1994 - 28 pág. (esgotado)
250.
THE ECONOMIST MACl-flAVELLI - Brena P. M. Femandez e Antonio M. Silveira Novembro de 1994 - 15 pág.
251.
INFRAESTRUTURA NO BRASIL: ALGUNS FATOS ESTILIZADOS - Pedro Cavalcanti
Ferreira - Dezembro de 1994 - 33 pág. (esgotado)
252.
ENTREPRENEURIAL RISK AND LABOUR'S SHARE IN OUTPUT - Renato Fragelli
Cardoso - Janeiro de 1995 - 22 pág.
253.
TRADE
OR INVESTMENT
? LOCATION DECISIONS
UNDER
REGIONAL
INTEGRATION - Marco Antonio F.de H. Cavalcanti e Renato G. Flôres Jr. - Janeiro de
1995 - 35 pág.
254.
O
SISTEMA FINANCEIRO OFICIAL E
A QUEDA DAS
TRANFERÊNCIAS
INFLACIONÁRIAS - Rubens Penha Cysne - Janeiro de 1995 - 32 pág. (esgotado)
255.
CONVERGÊNCIA ENTRE A RENDA PER-CAPITA DOS ESTADOS BRASILEIROS Roberto G. Ellery Jr. e Pedro Cavalcanti G. Ferreira - Janeiro 1995 - 42 pág.
256.
A COMMENT ON "RATIONAL LEARNING LEAD TO NASH EQUILffiRIUM" BY
PROFESSORS EHUD KALAI EHUD EHUR - Alvaro Sandroni e Sergio Ribeiro da Costa
Werlang - Fevereiro de 1995 - 10 pág.
257.
COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES (revised version) - João
Victor Issler e Farshid Vahid - Fevereiro de 1995 - 57 pág.
258.
GROWTH, INCREASING RETURNS, AND PUBLlC INFRASTRUCTURE: TIMES
SERIES EVIDENCE (revised version) - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler Março de 1995 - 39 pág.(esgotado)
259.
POLÍTICA CAMBIAL E O SALDO EM CONTA CORRENTE DO BALANÇO DE
PAGAMENTOS - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio Jargas no dia 08 de
dezembro de
J99~
- Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 47 pág. (esgotado)
260.
ASPECTOS MACROECONÔMICOS DA ENTRADA DE CAPITAIS - Anais do Seminário
261.
realizado lia Fundação Getulio Vargas no dia 08 de dezembro de J99~ - Rubens Penha
Cysne (editor) - Março de 1995 - 48 pág. (esgotado)
DIFICULDADES DO SISTEMA BANCÁRIO COM AS RESTRIÇÕES ATUAIS E
COMPULSÓRIOS ELE VADOS - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio
Jargas no dia 09 de dezembro de J99~ - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 -
262.
47 pág. (esgotado)
POLÍTICA MONETÁRIA: A TRANSIÇÃO DO MODELO ATUAL PARA O MODELO
CLÁSSICO - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio largas no dia 09 de
dezembro de
263.
J99~ -
Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 54 pág. (esgotado)
CITY SIZES AND INDUSTRY CONCENTRATION - Afonso Arinos de Mello Franco
Neto - Maio de 1995 - 38 pág. (esgotado)
264.
WELF ARE AND FISCAL POLlCY WITH PUBLlC GOODS AND INFRASTRUCTURE
(Revised Version) - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1995 - 33 pág. (esgotado)
4
265.
PROFIT SHARING WITH HETEROGENEOUS ENTREPRENEURIAL PROWESS Renato Fragelli Cardoso - Julho de 1995 - 36 pág.
266.
A DINÂMICA MONETÁRIA DA HIPERlNFLAÇÃO: CAGAN REVISITADO - Fernando
de Holanda Barbosa - Agosto de 1995 - 14 pág.
267.
A SEDIÇÃO DA ESCOLHA PÚBLICA:
268.
REVOLUÇÕES CIENTÍFICAS - Antonio Maria da Silveira - Agosto de 1995 - 24 pág.
A PERSPECTIVA DA ESCOLHA PÚBLICA E A TENDÊNCIA INSTITUCIONALISTA
DE KNIGHT - Antonio Maria da Silveira - Setembro de 1995 - 28 pág.
269.
ON LONG-RUN PRICE COMOVEMENTS BETWEEN PAINTINGS ANO PRINTS -
VARIAÇÕES
SOBRE O TEMA DE
Renato Flôres - Setembro de 1995 - 29 pág. (esgotado)
270.
CRESCIMENTO ECONÔMICO, RENDIMENTOS CRESCENTES E CONCORRÊNCIA
MONOPOLISTA - Pedro Cavalcanti Ferreira e Roberto Ellery Junior - Outubro de 1995 - 32
pág. (esgotado)
271.
POR
UMA
CIÊNCIA
ECONÔMICA
Fll..OSOFICAMENTE
INFORMADA:
A
INDETERMINAÇÃO DE SENIOR - Antonio Maria da Silveira - Outubro de 1995 - 25 pág.
(esgotado)
272.
ESTIMATING THE TERM STRUCTURE OF VOLATILITY ANO FIXED INCOME
DERIVATIVE PRICING - Franldin de O. Gonçalves e João Victor Issler - Outubro de 1995
- 23 pág. (esgotado)
273.
A MODEL TO ESTIMATE THE US TERM STRUCTURE OF INTEREST RATES Antonio Marcos Duarte Júnior e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Outubro de 1995 - 21
pág. (esgotado)
274.
EDUCAÇÃO E INVESTIMENTOS EXTERNOS COMO DETERMINANTES DO
CRESCIMENTO A LONGO PRAZO - Gustavo Gonzaga, João Victor Issler e Guilherme
Cortella Marone - Novembro de 1995 - 34 pág. (esgotado)
275.
DYNAMIC HEDONIC REGRESSIONS: COMPUTATION ANO PROPERTIES - Renato
Galvão Flôres Junior e Victor Ginsburgh - Janeiro de 1996 - 21 pág.
276.
FUNDAMENTOS DA TEORIA DAS OPÇÕES - Carlos Ivan Simonsen Leal - Fevereiro de
277.
1996 - 38 pág. (esgotado)
DETERMINAÇÃO DO PREÇO DE UMA OpçÃO E ARBITRAGEM - Carlos Ivan
Simonsen Leal - Fevereiro 1996 - 55 pág.
278.
SUST AINED GROWTH, GOVERNMENT EXPENDITURE ANO INFLATION - Pedro
Cavalcanti Ferreira - Fevereiro 1996 - 38 pág.
279.
REFLEXOS DO PLANO REAL SOBRE O SISTEMA BANCÁRIO BRASILEIRO Rubens Penha Cysne e Sérgio Gustavo Silveira da Costa - Junho 1996 - 23 pág.
280.
CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS, CAPÍTULOS I E 11: FUNÇÕES,
ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES - Rubens Penha Cysne e Humberto de Athayde
Moreira - Junho 1996 - 75 pág.
281.
PREVIDÊNCIA COMPLEMENTAR PATROCINADA: VALE A PENA? - Clovis de Faro e
Moacyr Fioravante - Junho de 1996 - 23 pág.
5
282.
OLlGOPOLISTIC COMPETITION UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY - Hugo Pedro
Boire Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Julho de 1996 - 37 pág.
283.
CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS - CAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO
ESTÁTICA - Julho de 1996 - 71 pág.
000076055
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6
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CAPÍTULO IV - Sistema de Bibliotecas FGV