ISSN 0104-8910 CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTASCAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO ESTÁTICA Rubens Penha Cysne Humberto de Athay{le Moreira Julho de 1996 Curso de Matemática para Economistas Capítulo IV Otimizaçio Estática Rubens Penha Cysne Humberto de Athayde Moreira Julho de 1996 Endereço para Contato: Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas Praia de Botafogo 190, 110. andar, Sala 1124 Rio de Janeiro - RJ - Brasil Telefone: 55-21-552-5099 Fax: 55-21-536-9409 e-mail: [email protected] , PREFACIO Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que lhe darão continuidade, na sequência de composição de um livro de matemática para economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio Vargas, da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ. Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que os autores esperam, com a sequência didática que aqui se inicia, trazer alguma contribuição para o assunto. A parte teórica relativa à demonstração do Teorema de Kuhn Tucker aqui apresentada transcreve, com a aquiescência do autor, textos selecionados de "Análise Convexa do Rn." de Mario Henrique Simonsen. CAPÍTUWIV .. , OTIMlZAÇAO ESTATICA 1. Otimização sem restrições Dada I: D ~ 9t, De 9t", diz-se que f apresenta um máximo local no ponto .lo E D quando existe E> O tal que para todo x e D e Ix - xol < e , f (x o) ~ f (x). Se para todo .I E D (e não apenas para aqueles pontos na vizinhança de xo) tem-se /(.10) ~ /(.1) então diz-se que o ponto Xo é ponto de máximo global. M4ximo local estrito é um máximo local no qual se substitui a desigualdade ~ pela desigualdade estrita >, ou seja, .lo é máximo local estrito se existe E> O tal que para todo x com x e D, e O< Ix - Xo < e tem-se f (x o) > f (x). Da mesma forma, máximo global estrito é um máximo global que vale a desigualdade estrita > no lugar da não estrita ~, ou seja, Xo é dito máximo global estrito se para todo x e D,x:# Xo ' f(x o) > f(x) . I . É claro que todo máximo global é máximo local, que todo máximo estrito é um máximo e que as definições acima estendem-se naturalmente aos mínimos, bastando para isto trocar o sentido das desigualdades. No gráfico a seguir, o ponto Xo representa um máximo local estrito (porém não global); Xl um mínimo global não estrito e x 2 um máximo global estrito. Um ponto importante a lembrar é que se x * maximiza. f (x), então x * também maximiza. a+b f(x) quando b>O, e minimiza a + b f (x) quando b<:O. Isto posto, qualquer problema de minimização pode ser considerado como um problema de maximização. Minimizar f(x) é o mesmo que maximizar (-I) (x), definida como -f(x) para todo x no domínio de f. De falO, se .1* resolve o problema de mínimo dej(x) então I(x*) S I(x) para todo x, ou seja, x * maximiza (-I) (x). Esta observação nos permitirá, ao longo de todo este capítulo, tratar apenas do problema de maximização. Passemos agora aos teoremas principais da otimização sem restrição. Teorema 1.1. Dado /:D~ 'J{ diferenciável em a e int D, De 9t D • Se a é um ponto de máximo local de 1 então grad 1 (a) =O (diz-se, neste caso, que a é um ponto crítico de O. 1 Demonstracão: Seja h e 9t D. Como a e int D é um ponto de máximo locaI. para a e 9t suficientemente pequeno temos que f(a+ah) ~ f(a). Portanto f(a +ah) - f(a) --.;...-----:..-~ ~ a O se a>O e f(a+ah)-f(a) ~O a Passando ao limite quando a ~ se a<O O e usando a düerenciabilidade de f em a temos que (grad f(a), h) = O Como h e 9t Dé arbitrário temos que grad f (a) =O. Evidentemente, a condição acima não é suficiente. Considere por exemplo f:9t ~ 9t tal que f (x) = x 3 • Temos que O é um ponto crítico de f, ou seja, é um ponto no qual o seu gradiente (aqui igual à sua derivada) se anula, mas não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo. O ponto O é conhecido como ponto de inflexão. Inspirados neste exemplo, vamos provar um teorema mais específico em dimensão 1: Teorema 1.2. Seja f:1 ~ 9t n vezes diferenciável em a e I, intervalo aberto de 9t, com f(il (x) = O para 1 ~ i < n e I (li) (a):I: O. Se n é par então f possui um mínimo local estrito no ponto a caso f(D) (a) > O e um máximo local estrito caso f(D) (a) < O. Se n é ímpar, então a não é ponto nem de mínimo nem de máximo local. Demons~ão: Pela fórmula de Taylor de ordem n podemos escrever: f(a+h)=f(a)+.!. f(D)(a).hD+r(h), V'a+heJcl,J intervalo aberto contendo a, tal n! . f(a+h)-f(a) f(D)(a) r(h) = + -Dque (*)lim r(h)/h D=0. Logo para h:l:O com a+heJ, h-+O hD n! h • (h) If(D) (a)1 Como l(lI)(a):I: O, 3 J'c J aberto contendo a tal que _r_ < V'a+h eJ' (devido h n! a (*». Suponhamos que n é par. Então o sinal de f(a+h)-f(a) será o sinal de I 1(11) (a) r(h) -=-----'-~+-lI- em J'. Portanto, se f(D)(a) n! h I D > O então f(a+ h) -f(a) > O e f(a+ h)-f(a) < O quando 1(11) (a) < O, V'a + h e J'. Se n for ímpar o sinal de f (a + h) - f(a) em J' dependerá do sinal de h, provando-se assim o aftrmado.• 2 Teorema 1.3. Seja f:D ~ 9t, De 9t aberto, uma função de classe C2 e a e D um ponto crítico de f. Se a forma hessiana de f no ponto a, H(f,a) for: D a) negativa defInida, então a é um ponto de máximo local estrito de f. b) positiva definida, então a é um ponto de mínimo local estrito de f. c) indefinida, então a não é ponto de máximo local nem ponto de mínimo local de f. Demons~ão: a) Como f e C 2 , suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas. Conseqüentemente, se a forma hessiana H é negativa definida no ponto a, ela também é negativa definida em B(a, r) para algum DO. Seja h tal que a+ h e B (a,r). Expandindo f na fórmula do resto de Lagrange (ver capítulo 3) temos para algum a e (0,1), f(a+ h) = f(a) + (grad f(a),h)+ ~ h'H(f ,a+ah)h. Como a+aheB(a,r) segue que ~h'H(f,a+ah)h<O. Sendo a um ponto crítico de f, grad f(a) = O. Conclui-se daí que f(a+h) < f(a), ou seja, que a é um ponto de máximo local estrito de f. b) É análogo ao item (a). c) Pela fórmula de Taylor de ordem 2 temos: h' H(j ,a)h j(a + h) - j(a) = 2 r(h) + r(h) e ~ 1Ih~2 ° = . h' h r(h) Observe que o smal de f(a + h) -f(a) é o mesmo de 1Ih~ H(j ,a) 1Ih~ + 1h12 . ( ). h; ( ) h \ eXlStem ~,hz e B 0,6 taIs que ~II H j ,a ~II > H(J ,a) Como lim é indefinida. h~O ° e ~~; = ° podemos 11"11 ' Dado ô > 0, 2 Ilh;hzl H (j),ah 1h21 < 0, . VISto que escolher h\ e h 2 suficientemente pequeno tais que j(a + ~) > j(a) e j(a + hz) < j(a). Logo a não é ponto nem de mínimo nem de máximo local.• Exemplo 1: Seja f:9t 2 ~9t,f(xl'x2)=x~+x;. Temos :~\ =2x\ e :~ =2x 2 donde se conclui que o único ponto crítico de f ocorre em (0,0). A matriz hessiana de f é dada por [~ ~] que é positiva definida. Segue do teorema 1.3 que (0,0) é ponto de mfuimo local estrito de f. É fácil ver que (0,0) é também um ponto de mínimo global estrito. Mas o teorema 1.3 isoladamente não nos permite chegar a esta conclusão. Para tal, precisaremos do teorema mínimo local-mínimo global a ser apresentado adiante. 3 Temos ! = x 2 e : : = Xl' donde se conclui que o único ponto crítico de f ocorre no ponto I 2 (XI ,X,) =(0,0). Neste ponto, temos a matriz hessiana: H = [~ ~J. que é indefinida Conclui-se pelo teorema 2.3 que o ponto (0,0) não é ponto nem de máximo nem de mínimo def. . ~ Exemplo 3: Seja f:9t 2 -+9t, f(xl'x 2 ) =-3x: -x; +5x I x 2 -7x 2 • Temos ih =-6x I +5x 2 ; I Os pontos críticos de f devem ser achados resolvendo-se o sistema: -6X I +5X2 = O { 5x -2x = 7 I 2 donde se obtém a solução (xl'x 2 ) = (35/13, 42113). A hessiana de f em todo ponto é dada por [-56 _ J. ~ que é indefinida. Segue que o ponto crítico (35/13, 42/ 13) não é ponto nem de máximo nem de mínimo. Teorema IA. (Máximo Local - Máximo Global) Seja f (x) uma função real côncava, definida no subconjunto convexo não vazio D do 9t D • Se Xo e D é um ponto de máximo local de f, então Xo é um ponto de máximo global de f. Demonstra~ão: Se Xo é um ponto de máximo local de D, existe t > O tal que para t com x e D tem-se f(xo)"~ f(x). Seja então y =Xo +h um ponto qualquer de D. Precisamos mostrar que f (xo ) ~ f (y). Se h = O, Y= Xo e tem-se trivialmente f (xo ) ~ f (y). Caso contrário (h;tO), seja z=(l-a}xo+ay, sendo ae(O,l}. Como y=xo+h,z=xo+ah. Pela concavidade da função, f(xo+ah}~(l-a}f(xo}+af(y), ou seja, f(x o +a h} - f(x o} ~ a (f(y) - f(x o Ilx-xoll< »' Ilnhll <t, segue que O~ f(x o +ah} - Tomando-se a;t O, tal que que implica f(x o ) ~ f(y} . • »' o f(x o} ~ a(f(y} - f(x o o teorema anterior nos permite, no caso em que as funções analisadas são côncavas ou convexas, passar dos máximos e mínimos locais para os máximos e mínimos globais (que são os que costumam realmente interessar em economia). Podemos agora reafirmar, relativamente ao primeiro exemplo apresentado nesta seção, que o ponto (O,O) correspondc a um mínimo global da função definida no 9t 2 , f (XI' x 2 ) = x; + x;. De fato, (O,O) é um ponto de mínimo local e, além disso, a função f (XI' x 2 ) = x~ + x; é convexa. Exemplo: Vamos voltar ao exemplo do modelo com incerteza apresentado no capítulo 3. 4 Seja R a riqueza de um indivíduo avesso ao risco (ie., este indivíduo possui uma função utilidade u de classe C2 , estritamente crescente, estritamente côncava em ~+) que pode ser investida em mloteria arriscada ~ = r + ~ (E ~ = r) ou retida. Seja "a" o montante da riqueza investida. A riqueza do indivíduo é dada por: x = (R-a)+a(l+r+E) = R+a(F+E) -- A proporção ótima investida é determinada por: Max os 11 sR Eu(x) - que tem como condição de primeira ordem (supondo um ótimo interior e usando os teoremas l.1 e l.4 deste capítulo): d da E u(.~) d($~Piu(R+a(r+eJ)= - ) ~Pi(r+eJu'(R+a(r +eJ) = E[~u'(R+a~)] =O = da $ - Não é difícil ver que pelo teorema da função implícita a equação E[r u'(R+ar)] =0 determina a em função de R de forma continuamente diferenciável1 (localmente2). Além disso da -Er u" -=-~2 dR o Er u" sinal desta última expressão depende de E r u". Suponha que a medida de aversão absoluta ao risco r. não cresça com a riqueza (o que é razoável economicamente). Para todo valor r de r tal que 7>0 temos r. (R) ~ r. (R + ar) isto é, u" (R + ar) ~ -r. (R)u'(R + ar) ou r u"(R+ar) ~-ra(R)r u'(R+ar). Para todo valor r de r tal que r<O, u"(R+ar)~-r.(R)u'(R+ar) ou r u" (R + ar) ~ -r. (R)r u' (R + ar). A desigualdade acima ocorre para todo r, da qual seguese que Er u"~ -ra (R)Er U'= O pela condição de primeira ordem. Portanto da dR ~ O. Assim se a aversão absoluta ao risco não é crescente com a riqueza temos que a proporção investida na loteria arriscada cresce com o nível de riqueza. . Teorema l.5. Seja De 9t" um conjunto convexo não vazio,f:D ~ 9t uma função côncava e diferenciável em Xo E int (D). Então, para que f passe por um máximo global em Xo é necessário e suficiente que grad f (x o) O. = 1 Observe que u é de classe C 2 e u" < O. 2 No sentido apresentado no teorema da função implícita. 5 Demonstracão: Pelo teorema 1.1, a condição é necessária. Reciprocamente, seja x e D, então x = Xo + h, h e 9{". Seja a e (0,1), então (1- 0.) Xo + a x = Xo + a h, e pela concavidade de f temos que (l-a)f(xo)+aj(x)Sf(xo+ah), ou seja, f(x o +ah)- f(x o ) ~ ». a(f(x) - f(x o f (x o + uh) - f (x o ) e quando f é diferenciável Como df (x o ) = lim dh a-+O ~ (x o) =(grad f(xo),h), ~ temos que a f(x)-f(x o) S lim f(xo+ah)-f(x o) =0, a a~ visto grad f(x o ) = O. Logo f(x) S f(x o)' "i/xe D. Portanto Xo é um ponto de máximo que global.• Este teorema mostra que a condição de primeira ordem é necessária e suficiente para o ótimo de um problema de otimização côncava sem restrições. Vamos enunciar e demonstrar agora o teorema do envelope: embora de aparência simples, o teorema do envelope é um instrumento útil para certas aplicações. Teorema 1.6. Seja f:UxV --+9t diferenciável, Uc9t D , Vc9t m abertos. Suponhamos que para cada a e V exista uma única solução de max f(x,a) de tal forma que x*:V--+9t D xeU represente esta função, suposta diferenciável. Então se g: V--+9t é a função valor ótimo do problema acima, i.e., g(a) = f(x*(a),a) tem-se que g é diferenciável e dg ~. (a) I = df(. x (a),a)" , 1= l, ... ,n. ~. I Demonstração: Observe que como x*(a) é o ótimo do problema max f(x,a) devemos ter xeU pelo teorema 1.1 que df (x*(a),a) = 0, "i/j=l, ... ,n. Pelo teorema da regra da cadeia tem-se dx j dg i- df * dX ~ ar * que g é diferenciável e, para i = 1,2, ... ,m, -(a) = L -(x (a),a) ~ (a)+;- (x (a),a) da. ua· ua· F. I dx.J I I I dg ar (x *(a),a).• sendo x * = (XI• ,.... ,x,,). Logo ;-(a) =;ua· ua· I I Observação: No teorema acima x· não precisa ser diferenciável necessariamente, por exemplo, se x· for Lipschitziana ainda vale o resultado (fica como exercício a demonstração deste fato). 6 Exercícios resolvidos - Seção 1 1) O resultado abaixo é muito útil quando a função f não é diferenciável no ponto de máximo (ou mínimo). Veja a figura a seguir. Seja f:/ ~ 9t,/ c 9t intervalo, contínua e derivável em I-{a}, a e I. Se f'(x) > 0, 'v'x < a e f'(x) < 0, 'v'x > a então a é um ponto de máximo global estrito. ~ ,, Solução: Precisamos do seguinte: Teorema do Valor Médio: Se f: [a,b] ~9t é contínua e derivável em (a,b) então existe ce(a,b) tal que f'(c)=f(b)-f(a). b-a Demonstração: Seja g:[a,b] ~ 9t tal que g(x) = f(x)- (f(b)- f(a» (x-a). Então g é b-a contínua em [a, b] , derivável em (a, b) e g (a) = g (b) = f (a). Se g for constante, o resultado é trivial, já que g'(x)=O, 'v'xe(a,b), neste caso. Caso contrário existe Xo e(a,b) tal que g(xo ) g(a) = g(b). Suponhamos que g(xo) > g(a). Pelo teorema de Weierstrass (da existência de um máximo no domínio de uma função contínua definida num conjunto compacto) existe ce(a,b) tal que g(c)~g(x), 'v'xe[a,b]. Pelo teorema 1.1 deste ., f(b)-f(a) capítulo devemos ter g' (c)= O, ou seja, f (c) = .• b-a Passaremos agora à demonstração do exercício: seja b e I, b a. Se b>a, então pelo teorema * * do valor médio existe ce (a,b) tal que f'(c) = f(b)- f(a) e como f'(c)<O (visto que b-a c> a) temos que f (a) > f (b). Se b < a então, de forma análoga, podemos mostrar que f(a) > f(b). Assim a é ponto de máximo global estrito. 7 2) Considere uma fmna cujo preço de demanda p pelo produto y é dado por: p= { 250- y, se y S 50 400- 4y, se y > 50 o custo da firma é dado por C (y) = X l. Obtenha a produção de lucro máximo e justifique sua resposta. Solução: A função receita é dada por 250Y- y2, se y S50 R(y) = { 400y _4y2, se y > 50 e portanto a função de lucro é -% y2 + 250y, n(y) = R(y) - C(y) = { -9/ 72 7t Y +400 se y S 50 50 y, se Y> max n(y) Assim devemos resolver: É fácil ver que 2 yE 91 é diferenciável para todo y, exceto para y= 50. Derivando 7t para y ~ 50 vem que - 3y + 250, se y S 50 n'(y) = { -9y +400, se y > 50 >O, sey <50 Assim, n'(y) { O 50· < ,sey> Com isto e do fato de 7t ser contínua, tem-se pelo exercício anterior que y de lucro máximo. =50 é a produção 3) Determine os pontos de máximo e de mínimo das seguintes funções e em cada caso diga. se são globais, locais, estritos ou não estritos: ti) f(x,y)=x 3 l (l-x-y) defmidaem 9t~ 8 Solução: i) Como D é aberto, se (x, y) e D for um ponto de máximo (ou mínimo) local então di di dx (x,y) = dy (x,y) = O. Para simplificar a notação, vamos denotar E = E(x,y) = l-x 2 - y2, "í/(x,y) e D. Assim devemos procurar (x,y) e D, tal que: di dx (x,y) = y +x E _1/ 72 =O ~ (x,y) =x+ Y E-~ =O (I) (ll) Observe em primeiro lugar que (0,0) satisfaz estas equações. Este é o único ponto crítico. Com efeito, multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y e subtraindo a primeira da segunda vem: (x 2 -l) E- ill = O com (x, y) e D e, portanto, x = y ou x = - y (pois E > O em D). Se x = y, tomando a primeira equação e substituindo este resultado, em (I) tem-se x(l + E- 1I2 ) = O~ x = y = O (pois I + E-in> O). De forma análoga vemos que x = -y ~ x = y = O visto que 1_E-in < O e isto prova o que foi afIrmado. Vamos estabelecer agora as condições de segunda ordem (no que se segue vamos omitir (x,y»: Portanto H(i ,(0,0» = 1 I que é singular, logo não podemos afirmar nada a priori. O que I I fazer então? Este problema pode ser resolvido de duas formas diferentes: 1° método: Como H(f, (x, y» é positiva semi-definida para todo (x,y)e D, concluiremos quei é convexa em D. Por ser (0,0) o único ponto crítico de i no aberto D, ele deve ser um ponto de mínimo global estrito (veja o teorema 1.4 e observe que -f é côncava; a unicidade "do mínimo é garantida pela unicidade do ponto crítico). Provemos esta afIrmação: 9 E-In + X2 E-312 1+ xy E-312 ] H (!,(x,y» = [ l+xy E-3/2 E-In + y2 E-312 e Hu ( !, (x, y» = E- lI2 + x 2 E-312 > O, 'ti (x, y) e D detH(f ,(x,y» = E-I +(x2 + l)E-2 +x 2 l E-3 -1-x 2 lE-3 -2xyE-X = E-I -1 + (x 2 + y2) E-2 - 2xy E-312 .Como 1- E = x 2 + y2 temos que E-I -1 = E- I (x 2 + y2) > O, 'ti (x,y) e D- {(O,O)} , pois E >O emD. Basta agora verificar que (x 2 + l) E-2 - 2 xy E-X ~ O, isto é, (multiplicando por EX) (x 2 +y2) E-X -2xy ~ O Mas E= l-x 2 _y2 S l~ E-I ~ l~ E-X ~ I ~ (x 2 +y2) E-X -2 xy~ x2 +y2 -2 xy =(X_y)2 ~O. Portanto det H(f, (x,y» > O, 'tI(x, y) e D - {(O, O)} , como queríamos demonstrar. 2° método: É fácil ver que _x 2y2 S (X+y)2, 'ti x,y e 9t ~ _x 2y2 S x2+y2 +2 xy => l-x 2_y2 S x2y2 +2xy+ I = (xy+ 1)2 Se (x, y) e D, ou seja, 1- x 2 - y2 > O. Tem-se que l - l > x 2 então Ixl<l e da mesma Iyl<l. Logo Ixyl<l, donde xy+l>O. Portanto forma (1- x2 _y2rll2 S x y + 1 ~ -1 S xy - (1- x 2 - y2 f/2 , 'tI(x,y)eD. Segue-se daí que 2 f(0,0)=-ISxy-(l-x _ y2)X =f(x,y), 'tI(x,y)eD, ou seja, (0,0) é um ponto mínimo global e é estrito porque (0,0) é o único ponto crítico. ü) Como 9t~ é aberto, os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo local. Seja (x,y) e 9t!+ tal que : Como x (x,y) = 3x 2 l(l- x- y)_x 3 y2 = O * Oe y * O, então 3(1- x - y) - x = O~ 2x = 3y { 2(I-x- y)- y =0 ~ 3-3x-2x-x=0~ x= Yz~ y=.K Portanto (Yz ,J{) é o uruco ponto crítico de ! K = {(x,y) e 9t!;x+ y S I}, sabemos que K é compacto. Tomemos em 9t~ . Seja j: 9t! ~ 9t tal que 10 j (j é a extensão defpara 9t!) que é contínua e portanto contínua quando restrita ao compacto K, e pelo teorema de Weierstrass, j I K assume um máximo e um mínimo. Como ~fr(K) = onde (X,y) =X3y 2(1_X- y) ° ° ° ° fr(K) = {(x,y) e K;x = ou y = ou x+ Y = I}, fi int K > (onde int K == Klfr(K» e (1/2, 1/3) e int K, devemos ter (1/2, 1/3) como ponto de máximo para j IK, pois (1/2, 1/3) é o único ponto crítico de f Iint K e sabemos que o ponto de máximo está em int K ou fr(K), mas !lfr(K) = O. Além disso, ~(9t! - K) S 0, ou seja, (1/2, 1/3) é ponto de máximo global para f e é estrito devido a unicidade do ponto crítico em int K. Portanto (1/2, 1/3) é ponto de máximo global estrito paraf, visto que f = jl9t~. ili) Novamente devemos estabelecer as condições de primeira ordem: àf ( z Y4) - _=e- X dX ( Como ( -2x(x+2y)e-x z Z y 4) e- - Z y 4) - =0 {1-2X(X+2 Y)=0 *0, 2-4l(x+2y)=0 Isto implica que x * (1) (2) ° e y * O. 1 Logo de (1) e (2) temos 2x = 2 4 3 ~ y X = y3 (*). Substituindo este resultado em (1) vem que 2 l + 4 y4 -1 = O. Portanto para determinar os pontos críticos desta função devemos resolver uma equação polinomial de grau 6. Evidentemente não iremos fazer isto, mas mostraremos que existe tal solução e determinaremos o intervalo no qual ela está. Para isto, façamos z = l, assim a equação acima fica 2 Z3 + 4Z2 -1 = O. Seja p: 9t -+ 9t tal que p(z) = 2 Z3 + 4Z2 -1, vamos determinar os pontos críticos desta função: p'(z) = 6z2 +8z= O<=> z = Oou z= ~ ° ° e p"(z) = 12 z+8 logo p" (O) > e p" (-4/3)<.0. Então é um ponto de mínimo local e -4/3 é ponto de máximo local (veja teorema 1.2). Observe que p (-4/3) >O, p(O) < e p (1) > 0, portanto pelo teorema do valor intermediário, existe uma única raiz positiva lo e (0,1) de p (z) e duas raízes negativas. Sejam Yl =.Jz;, e Y2 = ° -.Jz;,. Por (*) temos que Pl = (XI' YI) e P2 = (x2' Y2) são os pontos críticos de f, onde Xi = Y; ,i = 1,2, logo P2 = - PI· Observe que f(-x,-y) = - f(x,y), 'r:I(x,y) e 9t 2 , assim basta provar que (XpYI) é um ponto de máximo global para concluirmos que (x2' Y2) é um ponto de mínimo global. Como 11 ~(_,,2_y'> (x + 2Y)1 S; e-,,2-y' Ixl+ 2e-,,2- y' /y /S; e-,,2 IxI+2/y / e- Y' com lim Ixl e _,..2 = O e lim Iyl e -y' = O (*) IYl-- Ixr.-;;. lim f (X, y) = O. Portanto existe r > O, tal que 1(%,,>1-If(x,y)1 < f(Xl'YI)' 'v'(x,y) ~ B(O,r) = {(x,y) E 9t 2; x 2 + y2 < r 2} (observe que 2 2 f(Xl'YI) > O). Por outro lado f é contÚlua na bola B = B[O,r] = {(x,y) E 9t ; x + y2 S; r 2} compacta, e pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em B, além disso (Xl' YI) E B. Portanto (Xl' YI) deve ser este ponto por ser o único ponto crítico de f em B (O, r) no qual f assume um valor positivo. Por nosso raciocínio vê-se claramente que (Xl'YI) é um ponto de máximo global estrito. segue-se que (iv) Os pontos críticos de f devem satisfazer a seguinte equação f'(x) = 12x2 + IOx = O, ou seja, XI = O e X2 = -5/6 são os únicos pontos críticos de f. Como f" (x) = 24x + 10 tem-se que f"(O)=l0>0 -5/6 é lim f(x) X~+- um =+00 e f"{-5/6) = -10<0. Logo O é um ponto de mínimo local estrito e ponto e de máximo lim f(x) X~- local estrito. Ambos não são globais pois =-00. 12 Exerácios propostos I) O teorema máximo local máximo global apresentado no texto foi enunciado para máximos não estritos e concavidade não estrita. Examine a veracidade das seguintes afirmativas (prove se verdadeira, e dê um contra exemplo, se falsa). a) Máximo local estrito + concavidade (estrita ou não estrita) ~ máximo global estrito. b) Máximo local (estrito ou não estrito) + concavidade estrita ~ máximo global estrito. c) Se uma função estritamente côncava apresenta um máximo local, pode se garantir que ele é, ao mesmo tempo, máximo local estrite e máximo global estrito. 2) Ache os pontos críticos das funções abaixo, classificando-os quando for o caso, como ponto de máximo (estrito, não estrito, local, global) ou mínimo (idem). b)f (x)=2x+2/x (x*O) c) f (x) = (x-lO)' 3) Dada a função lucro L: 9t+ ~ 9t, L (q) = R (q) - C(q), sendo R a receita e C o custo, estipule condições suficientes para que o ponto q* seja um ponto: a) de máximo local estrito; b) de máximo global não estrito. 4) Dada a função custo total C: 9t+ ~ 9t, C (q) e a função custo total médio M(q) = C (q)/q mostre que o ponto no qual o custo médio se iguala ao custo marginal representa um ponto crítico de M (q). Pode-se, então, afirmar que se o custo médio atinge um máximo ou mínimo, ele se iguala ao custo marginal? E se a função custo for definida no intervalo 9t+ - {O}? 5) Um jornal cobra anúncios classificados retangulares, cobrando 10 unidades monetárias por centímetro de perúnetro. Qual a maior área que se pode conseguir no jornal, pagando se 1000 unidades monetárias? Qual o formato ideal do anúncio, neste caso? 6) Repita o exercício 2 para as funções abaixo: a)f(xl'x2 ) = x; +XI X2 +7x; +8 b) f(X I ,X2 ) = i tt -7 Xl +8 XI X2 c) f(xl'x 2 ,x3 ) = 7 x; +6xI x 2 + 15 X2 X3 -7 x 3 7) Uma firma vende dois produtos ql e q2, obtendo a receita R(q .. q2)' Sua função custo é 2 C(qpq2) e a função lucro, definida no 9t , é dada por L (qpq2) = R(qpq2)-C (qpq2)' Pode-se afirmar, com certeza, que no ponto de lucro máximo (se houver) a receita marginal da venda de cada produto se igualará ao respectivo custo marginal? 13 8) Uma firma vende o mesmo produto em dois mercados diferentes, obtendo as receitas RI(ql) no primeiro mercado e ~(q2) no segundo mercado. O seu custo de produção é dado e a função lucro, definida no 9t:', é dada por por C(ql +q2) L(ql'q2) = RI (ql)+ RI (q2) - C(ql +q2)' Mostre que se o preço em cada mercado depende apenas da quantidade vendida neste mercado, o preço deverá ser mais elevado no mercado mais inelástico (daí o fato de a revendedora da Avon aumentar os preços de seus produtos quando entra em casas mais luxuosas). 9) Uma caixa de cinema, conhecendo a solução do exercício 8 anterior, e tentando imitar a revendedora da Avon, resolveu cobrar os ingressos mais caros das pessoas mais bem vestidas. Mesmo admitindo que as pessoas mais bem vestidas fossem realmente menos sensíveis a variações de preços (mais inelásticas), o fato é que o procedimento adotado reduziu significativamente o lucro do cinema. Justifique econômica e matematicamente, a partir do exercício 8, este fato observado. 10) Uma firma emprega mão de obra N ao custo W e capital K ao custo r. Sua função de produção é dada por Q (K, N) = KCJN~,O<a+fi<l, a~Oef3~O. Estabeleça condições suficientes para máximo da função lucro defmida no 9t:'. 11) Demonstre: Seja f:D~9t, Dc9t D um conjunto aberto e! uma função duas vezes diferenciável em D. Então para que x* e D seja ponto de máximo local estrito de f é suficiente que a) grad f(x*) = O b) 3e > O tal que para todo x' comO< Ix' -x 1< e tenha-se h'H(f, x') h < O para todo h e 9t D - {O}. 12) Mostre que se !:D c 9t" ~ 9t é côncava e diferenciável, D convexo não vazio, então para que ! (x) passe por um máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que (grad f(xo)'x-xo)~ O para todo x e C. 13) Diz-se que um ponto pertencente ao domínio de uma função diferenciável é estacionário com f se ele é crítico. Seja F uma transformação monótona crescente de uma função U. diferenciável. Verdadeiro ou falso, justifique formalmente: a) x· é um ponto estacionário de F se, e somente se é um ponto estacionário de f. b) x· é máximo de F no conjunto S se, e somente se x· é um máximo de fno conjunto S. c) Se f é côncavo, então x· é um máximo global de f se, e somente se x· é um ponto estacionário de f. 14) Maximize F(x,y,t)= e1xX y~ - wx - ry com respeito as variáveis x e y. O que ocorre com o ponto de ótimo quando: 14 a) t se eleva? b) r se eleva? Suponha que w>O e r>O. 15) Resolva o seguinte problema de otimização s.a. c, + K'+l = f(K,) K, onde u(x) KN+l =0). =..r; e f(x) t = O, ... ,N ~O =ax, a constante (sugestão: mostre inicialmente que no ótimo 16) Demonstre o teorema 1.3 supondo apenas que f é duas vezes diferenciável em a: 17) O que acontece com o teorema 1.4 se a função f for quase côncava? 15 2. Otimização com restrições Diz-se que N é uma hiperfície de classe C t (k ~ 1) em 9t D+1 se N é localmente o gráfico de uma função real de n variáveis com derivadas parciais contínuas até a ordem k definida em um aberto. Em outras palavras, N é uma hiperfície de classe ck se dado p e N, existe r> O tal que B(p,r)nN é o gráfico de uma função !:A ~ 9t de classe C t , sendo A um conjunto aberto de 9t D • Quando n = 1, diz-se que a hiperfície N é uma curva e quando n =2, utiliza- se o nome superfície. Os desenhos a seguir apresentam dois subconjuntos de 9t 2 , o primeiro satisfazendo à defInição anterior, e o segundo não: lé curva) (não é curva) Dada uma hiperfície N c 9t +1 define-se o espaço vetorial tangente a N no ponto p e N (Tp N) como o conjunto dos vetores Â'(O), onde Â: (-e,e) ~ N é uma função diferenciável em O tal que MO) = p. Uma função desse tipo dizemos ser um caminho em N diferenciável em O e que passa por p no instante O (por diferenciável em O queremos dizer que l..(t)=(1.. 1(t), ... ,1..8+1(t» com l..i:(-E,E)~9t é diferenciável em O, "í/ i=l, ... ,n+l). D Demonstra-se sem dificuldade que Tp N é um subespaço vetorial de dimensão n em 9t diagrama a seguir ilustra o caso em que n = 1. D 1 + • O 16 Seja f:A ~ 9t, A C 9t Daberto, diferenciável Diz-se que c e 9t é um valor regular de f se para todo- x e A, tal que f (x) = c tem-se que grad f(x):F; O. Denotaremos r-I(c)={x e A; f (x) = c}. Observação: se f: A c 9tD+I~ 9t, é de classe Clt, A aberto em 9t D+I e c é valor regular de f então f-I (c) é uma hiperffcie de classe Clt (isto é uma conseqüência imediata do teorema da função implícita). Teorema 2.1. Seja N = <p-1 (c), sendo c um valor regular de cp: A ~ 9t, A aberto em 9t D+I ,cp de classe C K (K ~ 1). Então, para todo p e N, TpN é o conjunto dos vetores em 9t D+I que são perpendiculares a grad cp (p). Demonstração: Seja v e TpN, então existe Â.: (-e, e) ~ N diferenciável em O tal que Â.(O)=p e Â.'(O)=v. Logo (cpoÂ.)(t)=c, 'v'te (-e,e), pois N=cp-I(C). Portanto, derivando esta última expressão para t = O e aplicando a regra da cadeia, teremos que (grad <p(p), Â.'(O») = O, isto é, (grad cp(p), v) = O, o que é o mesmo que dizer que grad <p(p) é perpendicular a v. Provamos então que todo vetor em TpN é perpendicular a grad cp(p), ou seja, que TpN está contido no conjunto dos vetores perpendiculares ao grad cp(p). Como tanto TpN como o conjunto de vetores perpendiculares a grad cp(p) são espaços vetoriais n dimensionais (visto que grad cp (p) :F; O), e como o primeiro está contido no segundo, segue, por um argumento geral de Álgebra Linear3 que ambos são iguais .• Exemplo: Seja f: 9t 2 ~ 9t tal que f (XI ,x 2 ) = x~ +X; Temos que grad f(x I ,x 2 ) = 2(x I ,x 2 ). Assim grad f (XI ,x 2 ):F; (O, O) se, e somente se (XI ,x 2 ) :F; (O, O). Neste caso, todo c > O é valor regular de f uma vez que f (XI ,x 2 ) = O se, e somente se (XI ,x 2 ) = (0,0). Segue que c = O é valor crítico de f e c<O é valor regular de f, visto que f-I (c) = 0 para todo c < O e a definição de valor regular inclui este caso. Seja então c > O e N c = {(XI ,x2 ) e 9t 2 ; f (XI ,x2 ) = c}. O leitor mais atento observará que Nc é precisamente a circunferência de centro em zero e raio ~ em 9t 2 • Dado P = (XI' x 2 ) e N c' pelo teorema 2 2.1, Tp N c = {(Vi'VJe 9t ;(grad f(Xi'X2),(VpV2))=0}={(vi'vJe9t2;xlvl +X2V2 =O} que é a reta em 9t 2 que passa pela origem e é ortogonal à direção (x p x 2 ). O diagrama abaixo ilustra este exemplo. 3 Se dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão e um está contido no outro, então eles são iguais. 17 o leitor deve observar que, embora pensemos em termos ilustrativos o espaço vetorial tangente "passando" no ponto de tangência, ele na verdade "passa" na origem. Vamos agora definir o conceito de ponto crítico (ou estacionário) de uma função Sejam N c 9t D+1 uma hiperffcie de classe diferenciável restrita a uma hiperfície. C k (k ~ 1) e f: U ~ 9t uma função diferenciável, U c 9t D+1 aberto. Caracterizamos na primeira seção deste capítulo os pontos críticos de f como aqueles x e U tais que grad f(x) =0, ou equivalentemente, os pontos x e U, tais que :v (x) = O, "if v e 9t D+1• Suponha que N cU hiperfície de classe C K (K ~ 1). Então podemos pensar na restrição flN e definir os pontos críticos de flN como os pontos x e N que satisfazem (foÃ)' (O) = O para todo caminho Ã: (-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que MO) = x, isto é, pela regra da cadeia ~~ (x) = O para todo Vê TxN, ou seja, (grad f(x), v) = O, 'Vv e TxN e isto é o mesmo que dizer que grad f(x) é perpendicular a TxN. Observe que todo ponto crítico de f quando pertence a N é ponto crítico de flN. Mas a recíproca é falsa em geral. (Dê um contra-exemplo). Teorema 2.2. Sejam f:U c 9t n +1 ~ 9t diferenciável, U aberto e N c U uma hiperfície de classe C t • Se p e N é um ponto de máximo ou mínimo local para flN, então p é um ponto crítico de flN . • Demonstrª&ão: Seja Ã:(-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que Á(O) = p. Temos que fOÁ: (-e,e) ~ 9t tem um máximo (ou mínimo) local em O e, portanto, (foÂ.)' (O) = O o que implica, pela arbitrariedade do caminho acima, que p é ponto crítico de flN .• Uma observação importante é que quando a hiperfície N é compacta, pelo teorema de Weierstrass e devido ao fato de f ser contÚlua (visto que f é diferenciável) tem-se que flN assume um máximo e um mínimo que serão pontos críticos pelo teorema anterior. Teorema 2.3. (Teorema do Multiplicador de Lagrange com uma restrição) Sejam f:U ~ 9t de classe C t (k ~ 1), U C 9t +1 aberto e N = cp-I (c) hiperfície contida em U, onde t fI': U ~ 9t é de classe C e c e 9t é valor regular de cp. Então um ponto p e N é um ponto crítico de flN se, e somente se existe à e 9t tal que grad f(p) = à grad cp(p). D 18 Demom~ão: Pelo teorema 2.1 grad cp (p) é perpendicular a TpN. Por outro lado, pelo que vimos anteriormente p é ponto crítico de flN se, e somente se grad f(p) é perpendicular a TpN. Como Tp N c 9t D+1 é um subespaço de dimemão n e grad cp (p) '* 0, devemos ter grad f(p) =  grad cp (p) para algum  e 9t .• Na verdade, podemos demomtrar um teorema de multiplicador de Lagrange mais geral, no sentido que ao invés de uma restrição, temos várias restrições. De forma mais precisa, seja f:U -+ 9t uma função diferenciável num aberto U C 9t D+ m e N =cp-I (c) contido em U, imagem inversa de um valor c e 9t m por uma aplicação qr.U -+ 9t'" de classe Ci:. Suponhamos que c seja regular, isto é, para todo xe N,{grad CPI(X) , ... ,gradCPm(x)} é linearmente independente4, onde CPj: U-+9t é a i-ésima função coordenada de cp, i = 1,... ,m. Temos que N é uma superfície de dimemão n em 9tm+D (no sentido do teorema da função implícita). De forma análoga ao que demomtramos no teorema 2.1 este conjunto formará uma base de TpN.l = {v e 9tD+m;v é ortogonal a Tp N}. Podemos defuúr a noção de ponto crítico de flN de forma análoga ao que fizemos no caso de uma restrição e concluir: Teorema 2.4. (Teorema de Multiplicador de Lagrange com várias restrições) Sob as mesmas hipóteses acima, p e N é um ponto crítico da restrição flN se, e somente se existem ÂI , ... , Â", e 9t tais que grad f(p) = ÂI grad CPI (p) + ... + Âm grad CPm (p). o teorema de multiplicador de Lagrange é muito útil quando se desejam determinar as condições de primeira ordem de um problema de maximização com restrições sob a forma de igualdades. Pelo teorema 2.2, sabemos que os candidatos a ponto ótimo devem ser pontos críticos. o teorema do multiplicador de Lagrange (com várias restrições) garante que o ponto com n+ m equações crítico satisfaz a um sistema (gradf(x) = Â,. grad lI'l(X)+...+Â". grad lI'",(x» mais m equações (cp (x) c). Assim temos = um sistema em n + 2m incognitas (x,Â), onde x = (xl ... ,x"+,,,) e  = ( 1, ••• ,Âm) e as n + 2m equações acima. De uma forma sucinta, podemos definir a função lagrangiana (ou o Lagrangiano) L:Ux9t m -+ 9t (x,Â) -+ f(x) - (Â,cP(x») e àL V'i=l, ... ,n+me àÂ. (x,Â) =0, àL as condições do teorema 2.4 ficam ~(x,Â) =0, uX j V'j = l, ... ,m. J Observe que a defmição de regularidade anteriormente apresentada é um caso particular desta mais geraI. que inttoduzimos agora. 4 19 Por exemplo consideremos o problema típico do consumidor: dada u:9t!~ 9t função de utilidade, c a renda do indivíduo, p e o vetor de preços. Suponhamos que o indivíduo gaste toda sua renda. Então queremos: 9t:.. max U(x) xe 9t" • (p,x) = c Se o ótimo deste problema pertence a 9t:+ e U for diferenciável em 9t:. devemos ter pelo teorema de multiplicador de Lagrange que ~U (x·) =ÀPj, i = I, ... ,n, para algum aX·I À e 9t, onde x· é o ponto de ótimo. outra equação (aqui, m = I). x e 9t:.. e  e 9t. Em adição, sabemos que (p,x) = c, que representa a Este sistema determina, em geral, os valores de Condições de Se~unda Ordem na Maximiza&ão Condicionada Consideremos o problema simples max f(xl'x 2) sujeito à restrição g(xl'x 2) = O. X.'X2 Neste caso, a condição de segunda ordem utiliza a matriz hessiana da função Lagrangeana com respeito ao vetor ~ = (x Jt X 2)' A condição de suficiência para que o ponto (x; ,x;) seja um máximo local estrito do problema condicionado é que, neste ponto, Essa condição requer que a matriz hessiana seja negativa definida para qualquer variação, no domínio da função f, numa direção tangente à superfície de nível gerada pela restrição g(x1 ,x2 ) = O, a partir do ponto (x~ ,x;). Na prática, a condição de segunda ordem é obtida calculando-se os hessianos orlados. No problema anterior, a condição para máximo local estrito será obtida se o determinante da matriz O H 2 = gl g2 gl h l1 g2 h l2 h 21 hn FUNDAÇAo GETÚLIO VARGAS Biblioteca Máno Henriq:.Je S:rT1W".~.:.n for maior que zero. Analogamente, a condição suficiente para mínimo local estrito é que tal detenninante seja menor que zero. Quando a função apresenta mais de duas variáveis, outros determinantes (menores principais do hessiano orlado) precisam também ter os seus sinais avaliados, de fonna a obterse a condição de suficiência para o máximo ou mínimo local estrito do problema considerado. Tomemos o caso geral de maximizar f(xl'x 2, ... ,x D ) com a restrição g(Xl'X 2, ... ,X D ) . Definimos então os detenninantes H2 = gl ° gl h ll g2 h 21 g2 h l2 ' hn H3 ° = gl gl h ll g2 h l2 g3 h l3 g2 h 21 hn h23 g3 h 31 h32 h33 Agora, para garantir-se o máximo local estrito devemos ter H 2 >0,H 3 <0, ... ,(_I)D H D>0, ou seja, os detenninantes dos menores principais da matriz hessiana orlada devem alterar os seus sinais. Analogamente, a condição de suficiência para mínimo local estrito é que H 2 < 0, H3 < O, ... , H D < 0, ou seja, todos os menores principais devem ter sinal negativo. Para o caso de m restrições, com m >1, a condição de segunda ordem se altera. A este respeito o leitor pode consultar Chiang(1974), Varian (Segunda Edição - 1984) ou Brandão (1982). Muitas vezes a verificação da condição de segunda ordem não é efetuada em economia, pelo fato de se trabalhar com funções objetivo côncavas. Neste caso, para que Xo pertencente ao interior do conjunto de definição da função seja um ponto de máximo global é necessário e suficiente que ele seja um ponto crítico. Quando se toma uma função do tipo f (x I ' x 2 ) = Xl x 2 ' este resultado não se aplica, devido ao fato da função f não ser côncava. Ocorre, entretanto, que este resultado pode ser estendido a uma classe mais abrangente de funções, chamadas de indiretamente côncavas. A definição destas funções já foi apresentada no Capítulo 3: Definição: (Função Indiretamente Côncava) Seja h(r) uma função monótona crescente. Então F(x) é dita indiretamente côncava se ela pode ser escrita sob a fonna F(x) = h{t(x»), sendo f(x) uma função côncava. É claro que toda função côncava é indiretamente côncava. Vale também que toda função indiretamente côncava é quase côncava (mas não a recíproca - veja o contra-exemplo apresentado no capítulo 3). Uma função indiretamente côncava é transfonnada monótona crescente de uma função côncava, que por sua vez é quase côncava. Como as transfonnadas monótonas crescentes preservam a quase concavidade, segue que as funções indiretamente côncavas são sempre quase côncavas. 21 Teorema 2.5. Para funções indiretamente côncavas F(x) = h(f(x», sendo h diferenciável com h'(r) > O para todo r no domínio de h e f(x) uma função côncava diferenciável definida num aberto U c 9t D , valem os seguintes resultados: a) Xo é ponto crítico de F se, e somente se x o' é ponto crítico de f; b) Xo é o máximo de F em U se, e somente se x o' é o máximo de f em U. c) Xo é um máximo global de F se e somente se x o' é um ponto crítico de F. Observação: Observe que apenas a propriedade c utiliza a concavidade de f(x). Demonstra&ão: a) Basta lembrar que, pela regra da cadeia, aF() = h ,(r) -;ai () Xo -;- Xo oX j oX j para b) Decorre do fato de que f( xo) ~ . 1= 1,2, ... ,n, e que por hipótese h'(r) > O, "ir. f( x) para todo x numa vizinhança de Xo se, e somente se h(/(xo)) ~ h(/(x») , ou seja, se, e somente se F(xo)~ F(x). c) Segue de b que Xo é um ponto de máximo global de F se, e somente se Xo é um ponto de máximo global de f; como f é côncava, Xo será um máximo global de f se e somente se Xo for um ponto crítico de f. Dado (a), isto ocorrerá se e somente se Xo for também um ponto crítico de F. • Deve-se observar que este resultado se aplica também ao caso da maximização (ou minimização) condicionada, quando a restrição g(x) = O é gerada por uma função afim (ou seja, com g(ax t +(l-a)x 2 ) =ag(x t )+(l-a)g(x 2 ) para ae [0,1] e xl' x 2 pertencentes ao domínio de g). A necessidade de se ter uma restrição g deste tipo decorre de se precisar assegurar, no teorema anterior, que o domínio de ~N seja convexo. Este fato é muitas vezes útil na maximização condicionada em problemas de economia devido ao fato das restrições serem do tipo (p, x) = renda. Assim, por exemplo, na maximização de U(x, y) = xy sujeito à restrição Pxx + Pyy = R, a aplicação do teorema anterior nos garante que o ponto crítico obtido em ~!+ com a ajuda do respectivo Lagrangeano, é um ponto de máximo. De fato, U:~~ -7 ~ com U(x,y) = xy é.a transformada monótona crescente da função côncava u:~!+ -7~, u(x,y) = (xy»{, pela função h:~++ -7~, h(x) = x , cuja derivada é sempre diferente de zero em todos os pontos do seu domínio. Ou seja, U é indiretamente côncava, e pelo teorema anterior (que podemos aplicar pelo fato da função de restrição ser uma função afim) o seu ponto crítico é um ponto de máximo global. 4 22 Exerádos resolvidos: 1) Suponha que um consumidor tem uma função utilidade da forma u:9t!. ~ 9t tal que U(XI'~) = In Xl + lox2 , sendo (x, ,x2) o vetor de bens de consumo. Se p, e P2 são os preços destes bens, respectivamente, e m é a renda do consumidor que é gasta totalmente, determine as quantidades ótimas a serem consumidas. Solução: O problema básico consiste em max In x, + In x2 s.a PIXI + P2X2 = m Seja L(x, ,x 2,J.. ) = In x, + In x 2 +  (m - p, x, - P2X2) a função defmida em 9t!. x 9t conhecida como Lagrangiano associada ao problema anterior. É fácil ver que as condições do teorema de Lagrange são equivalentes a onde U = 9t!., f == u e cp: 9t!. ~ 9t tal que, cp(xl'x2 ) = m - p,x, - P2X2 observe que O é valor regular de cp já que grad cp(x"x2) = (-P,,-P2) (0,0) e cp-I (O) correspondem aos pontos de 9t!. que estão sob a restrição m =p,x, + P2X2. * As duas primeiras equações implicam que p,x; = P2 x;. Logo pela última equação, 2p,x; = m, isto é, x; = ~ p, e de forma análoga x; = ~ P2 . Em termos econômicos, x; e x; determinados acima são a solução do problema proposto e temos que são as demandas marshallianas. Como U é uma função indiretamente côncava, o teorema 2.5 nos assegura que (x~ ,x;) corresponde a um máximo de ulcp-' (O). 2) Determine os pontos críticos da função f:9t D x 9t D~ 9t, f(x,y) = (x,y) restrita à esfera unitária ~X~2 + IlyW = I e mostre como daí se obtém a desigualdade de Schwarz, onde D < x,y >= LXiYi e Ilx~2 =< X,X >,X = (x, ... ,x D) e Y= (Y ..... YD). i=l Solução: Seja cp: 9t Dx 9t D~ 9t tal que cp(x,y) = IIxl12 +IIYI12-1. Como cp-'(O) é uma hiperfície compacta (é a esfera unitária) e f é contínua, temos que a restrição 11q>-' (O) assume um máximo e um mínimo. Além disso, * grad cp (x,y) (0,0), 'V(x,y) e cp-'(O), isto é, cp-I (O) é hiperfície regular de classe C" e f é de classe C" também. Logo os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos e pelo teorema de Lagrange, eles devem satisfazer às 2n+ 1 equações (aqui escritas sob a forma vetorial) 23 y=2Âx. x = 2Ây para algum  e 5Jt . W2 +lyl2 = 1 Logo y=4Â?y ou x=4Â.2x e como x~Oouy~O (visto que IxI2+lyI2=1) temos que 1 Â. = Portanto o conjunto de pontos críticos é dado por ±'2. {(x,x);xe5Jt"ellxll= ~ }u{(x,-x);xe5Jt" e 1Ix1= ~} que é uma hiperfície de dimensão n -1 em 5Jt2D = 5JtD X 5JtD (por exemplo, se n =1 consistirá de quatro pontos que são superfícies de dimensão O em 5Jt2 ). Portanto, os valores máximo e mínimo de flcp-I (O) são, respectivamente, Dados ..fi x,y e 5JtD - {O} x ..fi y) 1 f (211x11' 2 ~y~ s 2" temos que ..fi x ..fi y J (211x11' 21Y~ e li' -I (O) e 1/2 e -1/2. portanto o que implica que 1< x,y >1 S Ilxll ~YII, 'ri x,y e 5JtD - {O}. 24 Exercícios propostos: 1) Utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange, mostre os pontos críticos das funções abaixo restritas à superfície N e identifique os pontos de máximo e mínimo relativos: a) f:~? -+9ttalquef(x,y)=ax+by,a*O, b*O e N=g-1(1), onde 2 2 g: 9t -+ 9t é dada por g(x,y) = x + l. b) f:9t 2 -+ 9t tal quef(x,y) = x+ y e N = g-1(1), onde g: 9t 2 -+ 9t é dada por g(x,y) = xy. c) f:5Jt? -+9ttalquef(x,y)=x 2 +l e N=g-1(1), onde g:9t 2 -+9t é dada por g(x,y) = y_x 2 • d) f:9t 3 -+ 9t tal que f(x,y,z) = x.y.z e N = {(x,y,z) e 9t~;x+ y+ z = c}. 2 2 2) Em quais pontos da curva ~+L= I a função f(x,y) =xy assume seus valores máximo 8 2 e mínimo? 3) Se u(x) é uma função utilidade definida sobre n bens x = (xl' ... 'x,,) e 9t: como u (x) = X~' ••. x:· ,onde L" ai < 1 , qual é a proporção da sua renda que o consumidor gastará i=1 em cada bem? 4) Demonstre o teorema 2.4. 5) Diz-se que uma função de utilidade U:Xc9t:-+9t, X fechado, é localmente não-saciável U(y) > U(x). Seja se para cada x e X' e todo E> existe ye X tal que IIx-yll<E e U:9t: -+ 9t contÚlua localmente não-saciável, diferenciável. que satisfaz a condição de Inada: lim U'(x) = -00, 'Vi =1, ... , n. Determine em 9t:. as condições necessárias e suficientes ° x..... 0 para o ótimo do problema típico do consumidor com preços e renda estritamente positivas. 6) Demonstre que o plano tangente a uma hiperfície em 9t é um espaço vetorial de dimensão n. 7) Checar as condições de segunda ordem dos seguintes problemas: 3x 2 -2xy+ y2 x 2 +2l-z2 (a) max (b) max (c) max lOx+7y s.a xy=-2 s.a x+y=l s.a A x a yf3 e =100, x3 =y -z-1 A, a, f3 > ° 8) Utilize o teorema de multiplicador de Lagrange para mostrar que, para c >O, Nc é o conjunto de pontos críticos de fi N c no exemplo 1. 9) No exercício 1, calcule os planos tangentes em alguns pontos das hiperfícies indicadas em cada item. 25 10) Seja / (XI ,X2 ) = PIXI + P2X2 /-1 (c) = {(Xl'X 2 ) e 9t 2 ;PI X I definida 9t 2 e c e 9t. em O conjunto + P2 X 2 = c} é uma curva de classe C k : a) se PI ;t Oe P2 = O?; b) se PI;t Oe /12 ;t O? e c) se PI = Oe P2 = O? Qual o formato desta curva nos casos possíveis? e o formato do espaço vetorial tangente? Pode-se dizer que , para (Pl'P2);t (0,0), todo c e 9t é um valor regular de f? 11) Considere o seguinte problema: Min X2 +y2 s.a. (X-I)3 -l =0 (X,y) e 9t 2 (a) Solucione o problema geometricamente. (b) Por que o Teorema do Multiplicador de Lagrange não pode ser usado neste caso? 12) Seja f:9t~ ~ 9t função de classe C 2 com forma hessiana negativa definida em todo ponto. Considere o problema: onde p, W I ' W 2 são constantes positivas. (a) Quais são as condição de primeira ordem para ponto de máximo de F? condições são suficientes para este caso? (b) Mostre que XI pode ser colocado no ótimo como função de w I e w 2 e que Estas aX I < O -a wI (sugestão: utilize o Teorema da função Implícita) (c) Suponha que seja adicionada ao problema a seguinte restrição:x 2 = b, onde b e 9t++. aX aW I I Encontre o novo Óumo e mostre que - · 13) Sejam F:9t:' ~ 9t, f:9t:' ~ 9t++ e tn· - sem res çao < - aX1 -a tn° - . W I com res çao g:9t++ ~ 9t funções de classe Cio Considere o seguinte problema de otimização: 26 N Min L F{x(k), u(k), k) 1:=0 s.a. x(o) = Xo x{k+l)=/(x{k),k), k =O, ... ,N g(x{N + 1) = o Assumindo que a condição de regularidade seja satisfeita, derive as condições necessárias para a solução ótima do problema. o problema acima é chamado de problema de controle ótimo com tempo discreto e horizonte finito onde as variáveis x(k + 1) e u(k) para k =O, ... ,N são chamadas de variáveis de estado e de controle, respectivamente. 27 3. Q Teorema de Kuhn - Tuger· Iniciaremos esta seção revendo alguns conceitos já apresentados, algumas vezes sob uma ótica um pouco diferente, embora equivalente, e introduzindo informações complementares. Sejam Xl ' x 2 dois pontos (vetores) do 9t D • O segmento de extremos defmição, o conjunto dos pontos: Xl e x 2 é, por Seja C um subconjunto do 9t D • Diz-se que C é convexo quando atende à seguinte propriedade: "Se Xl e x 2 pertencem a C, s(x l , x 2 ) está contido em C". A figura 3. La exemplifica um conjunto um conjunto convexo no 9t 2 , a figura 3.1.b um conjunto não convexo. Figura 3.la Figura 3.2a Por extensão de conceito, consideram-se convexos: i) os conjuntos com um único ponto. ü) o conjunto vazio Sejam xl'x 2 , ••• ,x p pontos de 9t D • Uma combinação linear convexa desses pontos é, por definição, um ponto da forma ai XI +a 2 x 2 + ... +a p x p onde a"a 2 , ••• ,a p são reais não negativos tais que ai + a 2 + ...+a p = 1. Seja C I , C 2 dois subconjuntos do 9t definição, o conjunto: D , ai' a 2 números reais. O conjunto ai C I + a 2 C 2 é, por Teorema 3.1: A intersecção de uma família de subconjuntos convexos do 9t subconjunto convexo do 9t Demonstração: Já vista no capítulo anterior (e imediata). D é um D • • A ~ teórica desta terceira seçIo é obtida da traucriçJo de textos seleciollldos, c:om a aquiedDcia do autor, de Amlise Convexa DO R" ,de Mario Hcmique Simonsen. 28 Teorema 3.2: Sejam C I ,C 2 subconjuntos convexos do 9t", ai ,a2 números reais. Então ai C I + a 2C 2 é convexo. Demonstração: Simples verificação. Com efeito, sejam y = alx l +a2x 2 e y' = alx~ +a 2x; dois pontos de ai C I + a 2C 2. No caso, XI' x~ pertencem a C I e x 2' x; pertencem a C2. Seja (1- a) y + ay' um ponto do segmento de extremidades y e y', o que implica OS aS 1. Então: (l-a) y+ay' = (l-a) (ai XI +a2x 2)+ a(a l x~ +a 2x;) = =al«(l-a)x I +ax~)+a2«(l-a)x2 +ax;). Como C I e C2 são convexos, (l-a)x I +ax~ E C I ' (l-a)x 2 +ax; E C 2. Logo, Teorema 3.3: Para que um subconjunto C do 9t D seja convexo é necessário e suficiente que toda combinação linear convexa de elementos de C pertença a C. Demonstração: a) a condição é necessária. Trata-se de provar que se Xi' X2, ... , x p pertencem ao convexo C e se a .. a 2, ... ,a p são reais não negativos de soma 1, então x = alxl +~X2+...+apxp E C. Procedamos por indução finita. Para p = 1 o teorema se verifica trivialmente. Suponhamos que ele seja válido para combinações lineares convexas de p - 1 elementos de C e seja Se OS ai < 1, façamos: a l-a I ap l-a I 2 b 2 =--, ... b p = - - Então x' = b 2 x 2 + ... +b p x p ' pela hlp6tese de indução, sendo uma combinação linear convexa de p -1 elementos de C, pertence a C. Note-se agora que: ou seja, um ponto do segmento de extremidades convexo C, X pertence a C; XI e x'. Como XI e x' pertencem ao b) a condição é suficiente: com efeito, o segmento de extremidades conjunto das combinações lineares de XI e X 2 • XI e X2 é o 29 Diz-se que um subconjunto K do 9t D é um cone quando x e K implicar ax e K para todo real nãg negativo a. É imediato pela definição. que a origem (isto é o vetor O) pertence a qualquer cone. A figura 3.2 ilustra um cone convexo. Figura 3.2 Teorema 3.4: Para que K seja um cone convexo é necessário e suficiente que. se pertencem a K. aIx I + a 2 x 2 e K para quaisquer reais não negativos al'a 2 • X I ,X 2 Demonstração: a) a condição é necessária: com efeito. seja K um cone convexo. e xl'x 2 dois de seus pontos. Quaisquer reais não negativos aI e a 2 podem ser expressos na forma: aI = b(1-a) a 2 =ba sendo b ~ O e OS aS!. Como K é convexo. i" = (1- a) XI + a x 2 e K. bi" = aIx I +a 2 x 2 e K. E como K é um cone. b) a condição é suficiente: com efeito. suponhamos que se xl'x 2 pertencerem a K, aIx I +a 2 x 2 pertença a K para quaisquer reais não negativos a p a 2 • Tomando-se O< a < 1. aI = 1- a. a 2 = a. fica provado que K é convexo. Tomando-se XI = x 2 = x. aI = a 2 = b/2. fica provado que se X e K. bx e K para todo real não negativo b. ou seja, que K é um cone. A partir do teorema 3.4. por indução [mita prova-se imediatamente o: Teorema 3.5: Para que K seja um cone .;onvexo é necessário e suficiente que. se xl'x 2 ..... x p pertencerem a K, aIx I +a 2 x 2 + ... +a p x p pertença a K. para quaisquer reais não negativos É imediato também que a intersecção de uma família de cones convexos é um cone convexo. 30 Propriedades Topológicas Teorema 3.6: Seja C um subconjunto convexo do 9t D • Então, seu fecho C é convexo. Demonstração: Seja Xl e x 2 pontos de C e OS; aS; 1. Temos que provar que, para qualquer d > Ocorresponde um elemento de C cuja distância a (1- a)x I + ax 2 seja menor do que d. Com efeito, como Xl' X2 pertencem a C , dado d > O é possível encontrar pontos em C tais que: x~, x; dist (xl'x;) = IX I - x;~ < d dist (x 2,x;) = IX 2 - x;1 < d Como C é convexo, (1- a) x~ + a x; E C. Além disso: dist «l-a) Xl +ax 2, (l-a) X; +ax;) = l(l-a) (Xl -x~) +a(x 2 - X;)~ S; l(l-a) (Xl -x;)I+ la(x 2 -x;)1 = (l-a) IX I -x~11 +allx 2 -x;1 < (l-a)d +ad = d Precisamos agora de três lemas de álgebra linear para demonstrar o teorema 3.7. Seja {Xl'X 2, ... ,xJ uma base do 9t D • Então existe d>O tal que, se dist (Yi'x) < d, (i = 1,2, ... ,n), {Yl'Y2 , ... ,y J também seja uma base do 9t D • Lema 3.1: Demonstração: Basta observar que: i) {Yl'Y2,. .. ,yJ é uma base do 9t D se e somente se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de YI' Y2, ... , YD for diferente de zero; ti) o determinante de uma matriz quadrada é função contínua de seus elementos. Lema 3.2: Seja {Xl'X 2, ... xJ uma base do 9t D , XO = a1x 1+a 2x 2+ ... +a D x D um vetor do 9t D • Então, dado E> O existe d>O tal que, se ~x:-Xjll<d (i=O,I, ... ,n) e x~ = a;x;+a;x;+ ... +a:x:, la:-ajl<E(i=I,2, ... ,n). Demonstração: Pelo lema 1, para d suficientemente pequeno, {x~, ... ,x:} é uma base do 9t D • Isto posto, as coordenadas a;, ... , a: de x~ na base em questão determinam-se pela regra de Cramer, sendo portanto, funções contínuas de x~, x; , ... , x: . Lema 3.3: Seja {el'e2, ... ,eJ os unitários do 9t demais iguais a zero). Seja: D : (a i&ima coordenada de ej é igual a 1, as 31 Defmamos os vetores: V o =-u VI =el-u V2 =e2 -u VD=eD-u Então: i) VO+v I +V 2 + ... +V D=0 ii) VI'V 2 , ••• ,V D é basedo9t D. Demonstração: i) simples verificação; ii) suponhamos alv l +a 2 v 2 + ... +a Dv D=0. O=(al-b)el+... +(a D-b)e D onde: Segue-se que segue-se que ai - b = ~ - b = ... = ali - b = O, já que o conjunto dos unitários é linearmente independente. Pela expressão acima, isso implica: n b=-b n+l o que implica b = O. Segue-se ai =a 2 = ... =a D=0. Logo, VI,V 2 , ••• ,V D é um conjunto linearmente independente fonnado por n vetores do 9t D, ou seja, uma base. Teorema 3.7: Seja C um subconjunto convexo do 9t\ C seu fecho. Suponhamos que yo pertença ao interior de C no 9t D. Então yo pertence a C. Demonstração: Por hipótese, para algum E > O, ~y - yo~ < E implica y e C. Segue-se que existe b > O tal que yo + b Vo, yo + b v I ,. .. , yo + b v D pertencem a C, sendo v o, V1' ••. ' VD os vetores defmidos no lema 3.3. 32 Como C é o fecho de C, segue-se que, para todo d > O existem vetores v~, v~ , ... , v: tais que Yo + bV: E C e tal que: ' ,. 1' )vl"'" V D seja Iv; - vil< d, sendo b > O. Pelos lemas 3.1 e 3.2 podemos escolher d base do mD ~ ; Façamos: 1 bo =----l+a~+ ... +a: b. = l ' a~ , +a,+... +a D I ('1 = 1,... ,n) É imediato que esses coeficientes são todos positivos de soma 1, e que: Segue-se que: Ou seja, Yo é uma combinação linear convexa de pontos de C, e portanto um ponto de C. Note-se que o teorema não vale para conjuntos não convexos. A título de exemplo, suponhamos que C = {x E (0,1); x :# 1/2}. (Figura 3.3). O ponto 1/2 pertence ao interior de C mas não pertence a C. o 112 1 O~----~O~------O Figura 3.3 o Teorema do Vetor à Mínima Distância Teorema 3.8: Seja C um subconjunto convexo fechado do 5JtD; C:# 0, Y um ponto de 5JtD, Então: i) existe um e um único ponto de C à mínima distância de y; 33 ii) para que Z E C seja ponto de C à mínima distância de y é necessário e suficiente que {y-z,x-z):SO para todo x E C. Observação: Uma versão particular deste teorema foi demonstrada no capítulo dois para o caso particular em que o conjunto C é um subespaço vetorial. Demonstração: Necessidade: A existência de um ponto de C à mínima distância de y é garantida pelo fato de C ser fechado. Seja z um ponto de C. Então, para qualquer x de C, e para qualquer O:S a :S 1: já que (1- a) z + a x pertence a C. Ou seja: (y- z,y- z)-2a{y-z,x- z)+a 2 {x- Z,x- z) ~ (y- z,y- z) para qualquer O:S a :S L Daí se segue, em particular que, para O < a< 1: -2 (y- Z,x- z)+a (x- Z,x- z) ~ O Fazendo a tender a zero conclui-se que: (y - z, x - z) :S O. Por essa desigualdade conclui-se que o ponto de C à mínima distância de y é único. Com efeito, suponhamos que z e z' fossem pontos de C à mínima distância de y. Teríamos: {y- z,z' - z):S O ou seja: (z- y,z- z'):S O Do mesmo modo: (y- z', z- z'):S O Somando membro a membro essas duas últimas desigualdades: (z- z',z- z'):S O o que implica z = z' . 34 Suficiência: Suponhamos que z seja um ponto de C tal que: (y-z,x-z)S O para todo x E C. Segue-se que: 2 2 lY-xl = l(y-z)-(x-z)1 = (y-z,y- z)-2(y- z,x-z)+(x- z,x- z) ~ (y-z,y- z)= Iy- zl2 A figura 3.4 ilustra o sentido geométrico do teorema no caso do 9t 2 • Para que z seja o ponto de C à mínima distância de y, é necessário e suficiente que, para qualquer x E C, os vetores y - z e x - z formem entre si ângulo reto ou obtuso. A figura se refere ao caso em que y não pertence a C. No caso de y pertencer a C, o ponto à mínima distância é ~ y, satisfazendo também o teorema. z n--~Y Figura 3.4 Para o caso particular dos cones temos o: Teorema 3.9: Seja K um cone convexo fechado do 9t y um ponto do 9t Então, para que z E K seja o ponto do cone à mínima distância de y é necessário e suficiente que: D D • , i) (y- z,z)= O li) (y-z,x)SO para todo x E K. Demonstração: a) A condi"ão é necessária: Pelo teorema 3.8, (y - z, x - z) S O para todo x E K. Como x = b z E K para t~do b ~ O, segue-se que (b -1) (y - z, z) S O para todo b ~ O. Essa desigualdade valendo tanto para b maior quanto menor do que 1, segue-se que (y - z, z) = O. Se x E K, pelo resultado anterior (y- z,x - z) = (y- z,x) S O. b) A condi"ão é suficiente: As condições i) e li) implicam (y - z, x - z) S O para todo x E K. 35 Hiperplanos e Teoremas de Separação Sejam xo,u vetores do 9t., sendo u~O. O hiperplano H(xo,u) que passa por X o e com normal u é, por defInição, o conjunto: ou seja, o conjunto dos pontos x tais que x são linhas retas, como indicadas na figura 3.5. Xo seja ortogonal a u. No 9t2 os hiperplanos H ( x o ' u) Figura 3.5 Ao hiperplano H(x o, u) associam-se dois semi-espaços, cuja interseção é o próprio hiperplano: i) o semi-espaço H+(xo,u)={x e ü) o semi-espaço 9t"I{x-xo'u)~O} H-(xo,u)={x e 9t"1 {x-xo,u)SO} Os dois teoremas fundamentais de separação, e que serão demonstrados a seguir afirmam que: a) se X o é um ponto fora do conjunto convexo C, então existe um hiperplano passando por X o tal que C se situe num único semi-espaço definido pelo hiperplano (figura 3.6); b) se C 1 e C 2 são conjuntos convexos disjuntos, então existe um hiperplano tal que C 1 esteja contido num dos seus semi-espaços,e C 2 no outro (figura 3.7). 36 H H(Xo,u) Figura 3.6 Figura 3.7 Lema 3.4: Seja C um subconjunto convexo fechado do 9t D ; Yum ponto não pertencente a C. Então existe um hiperplano H (Y. u). passando por y. tal que: ü) 1011 = 1 ü) C esteja contido em H+ (Y. u) Demonstração: Seja z o ponto de C à mínima distância de y. Então pelo teorema 3.8: {y- z.x - z} S O. para todo x e C. Segue-se que: {y-z.x-y}={y-z.x-z+z-y}={y-z.x-z}+{y-z.z-y}<O. para todo x e C. Tomemos: y-z u=-"='-~ ~y-zll segue-se que Ilull = 1 e que: {x-y.u}> O para todo x e C ou seja, C c H+ (Y. u). Lema 3.5: Seja C um subconjunto convexo fechado do 9t y um ponto pertencente à fronteira de C. Então existe um hiperplano H (y. u) passando por y tal que: D ; i) Ilull = 1 ü) C C H+ (y.u) 37 Demonstração: Como y pertence à fronteira de C, é possível tomar uma seqüência y 11 de pontos não pertencentes a C, tais que Y11 convirja para y. Pelo lema 3.4, existirá uma seqüência u lI ' tal que luJ = 1 e: A seqüência u lI ' sendo limitada, admite uma subsequência convergente com limite u, tendo-se lu J = 1 . Por passagem ao limite segue-se que: (X-y,u)~O para todo x e C ou seja: Teorema 3.10: Seja C um subconjunto convexo do 9t y um ponto do 9t não pertencente a 1l 1l ; C. Então existe um hiperplano H (y, u) passando por y tal que: li) CcH+ (y,u) Demonstração: Seja C o fecho de C. Pelo teorema 3.6, C é convexo. Pelo teorema 3.7, se y pertencesse ao interior de C também pertenceria a C. Logo, y ou não pertence a C ou pertence à sua fronteira. Em qualquer dos casos, pelos lemas 3.4 e 3.5, existe um vetor u tal que lull = 1 e: Cc C C H+ (y,u) Teorema 3.11: Seja C l e C 2 dois subconjuntos convexos disjuntos e não vazios do 9t 1l • Então, existe um hiperplano H (y, u), tal que: Demonstração: Seja C = C l -C 2 • Pelo teorema 3.2, C é convexo. Como C = {Xl - x 2 1Xl e Clt X2 e C 2 }, e como C l e C 2 são disjuntos, OE C. Logo, pelo teorema 3.10, existe um hiperplano H (O, u) passando pela origem tal que C = C l - C 2 esteja contido em H+ (O, u). Ou equivalentemente, existe um vetor u tal que Ilu 11 = I e: 38 quaisquer que sejam (Xl -X2'U)~ O,ou equivalentemente {X 2 , u)s (Xl' u) Xl e CI e X2 e C2 • Como C I e C 2 são não vazios, existe: e, conseqüentemente, para quaisquer Xl e CI e X2 e C2 : Façamos y = suo Segue-se que: {Xl {X2 y, u} = {Xl' u}-s ~ 0, para todo Xl e C -y,u}={x 2 ,u}-sSO,para todo x 2 e C2 Os dois teoremas que se seguem são corolários do Teorema 3.11 (teorema de separação). Na análise que se segue, 9t: é o conjunto dos pontos do 9t D com coordenadas todas maiores ou iguais a zero. 9t~ é o conjunto dos pontos do 9t cujas coordenadas são todas positivas. D Teorema 3.12: Seja C um subconjunto convexo do 9t tal que Cfl9t~ = 0 . Então existe um vetor u, tal que u e 9t: ,lIull = 1 e (u, x) S 0, para todo x e C. D Demonstração: Pelo teorema 3.11 existe um vetor u e 9t: tal que ~u II = 1 e (u, x) S (u, y), quaisquer que sejam x e C e y e 9t~. Sejam el'e 2 , ••• ,e D os unitários do 9t D , w =e1 +e 2 + ... +e D • Então, para qualquer b > 0, bw E 9t~. Logo: (u,x) S (u, bw) = b(u, w) para qualquer x e C. Fazendo b tender a zero, segue-se que: (u,x) S ° para qualquer x e C. 39 Seja: I s = sup {( u, x) x e Então, para qualquer vetor y e C} 9t~: (y,u)~s Notemos agora que, para quaisquer a, b positivos ae; + bw e 9t~. Logo: (ae; + bw, u)= a(e;, u}+ b(w, u)~ s Ou seja: (e.,u}~.!a I - ~(w,u) a Fazendo a tender para o infmito, segue-se que: ou seja, que u e 9t: . Funções Côncavas· Revisão do Capítulo m e Resultados Adicionais Seja C um subconjunto convexo não vazio de 9t D • F (x) uma função definida em C com valores no 9t m • Pelo que vimos no capítulo anterior, diz-se que F (x) é côncava quando, quaisquer que sejam Xl e x 2 pertencentes a C e O S a S 1, se tiver: No caso das funções côncavas com valores no conjunto dos reais, a imagem geométrica é a oferecida pela figura 3.8: O gráfico da função ao longo de qualquer segmento em C situa-se acima da secante correspondente. No caso de funções com valores em 9t m , elas serão côncavas se e somente se cada uma de suas coordenadas for uma função côncava. 40 f (x) ~----~------~---------------x Figura 3.8 Verifica-se imediatamente que se FI (x) e F2 (x) são funções côncavas, definidas no subconjunto convexo não vazio C do ~D, e com valores em ~m, a IF.(x)+a 2 F2 (x) é côncava sendo a., a 2 reais não negativos. Uma função G (x) diz-se convexa quando F(x) = -G(x) for côncava. Uma função linear F (x) = Ax, definida no tempo côncava e convexa. ~D e com valores no 9t m é ao mesmo Teorema 3.14: Seja F (x) uma função côncava, definida num subconjunto convexo C do e com valores no ~m. Seja b um vetor do 9t Então o conjunto: ~D D • J={XE CIF(x)~b} é convexo. Demonstração: Veja o teorema 2.2 no capítulo anterior, quando provamos que toda função côncava é quase-côncava. Teorema 3.15: Seja F (x) uma função côncava definida no subconjunto convexo C do 9t e com valores no 9t m • Seja: D z = {Z E 9t"'1 Z $ Então Z é convexo. F(x) para algum x E C} .. \ Observação: Compare esteteorenÍ'a com o exercício 10 da seção 2 do capítulo anterior. 41 Demonstração: Sejam zl' Z2 pontos de Z, e seja OS; a S; l. Então, por hipótese, existem Xl E C e x 2 E C tais que: Zl $ F(x l ) Z2 $ F(x 2 ) Logo: Como (1- a)x l + ax 2 E C, segue-se que ZE Z, ou seja, que Z é convexo. Cuidemos agora de funções côncavas com valores no conjunto dos reais. primeiro teorema fundamental é o que assegura que todo máximo local é um global. Um Teorema 3.16 (Máximo Local - Máximo Global): Seja f (x) uma função real côncava, definida no subconjunto convexo não vazio C do 9t Suponhamos que existe d > O tal que, para todo XE C tal que Ix-xoll<d, se tenha f(x)S;f(x o), sendo XoE C. Então, para qualquer y E C se tem f(y) S; f(x o)' D • Demonstração: Veja a seção 1 deste capítulo. Tratemos agora das funções côncavas diferenciáveis com valores reais. Teorema 3.17: Seja C um subconjunto convexo não vazio do 9t D ; f (x) uma função real côncava e diferenciável definida em C. Então, se Xo E C: para todo X o E C. (No caso, grad f(x o) é o gradiente de f (x) calculado no ponto x o)' Demonstração: Veja na seção 5 do capítulo 3. o sentido geométrico do teorema está ilustrado na figura 3.9: o gráfico de uma função côncava situa-se abaixo (ou pelo menos não acima) da tangente em qualquer de seus pontos. c. ~ 42 fez) __~ Xo Figura 3.9 Teorema 3.18: Seja C um subconjunto convexo não vazio do 9t D f (x) uma função real côncava e diferenciável definida em C; Xo um ponto de C. Então, para que f (x) passe por um máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que: para todo x E ; C. Demonstração: a) A condição é neçessária: Seja x = Xo + h um ponto qualquer de C. Por hipótese, para qualquer O< a < 1: Segue-se que: f(x o + ah) - f(x o) S O a Passando ao limite quando a tende a zero: b) A condição é suficiente: 43 Suponhamos (grad f(xo),x-xo)SO, para todo x e C. Pelo teorema 3.17 resulta f(x) -f(xo) S O para todo x e C, o que significa f (x) assume o seu valor máximo em C no ponto xo' Teorema 3.19: Seja C um conjunto convexo não vazio do 9t D , f (x) uma função real côncava e diferenciável definida em C; XO um ponto pertencente ao interior de C. Então, para que f (x) passe por um máximo do ponto xo' é necessário e suficiente que grad f (x o) = O. Demonstração: D Então, como Xo a) A condição é necessária: Seja y um vetor qualquer do 9t pertence ao interior de C, existe um real positivo À tal que Xo +Ày e C. Pelo teorema 3.18: • ou seja: (grad f (x o)' y) S O para qualquer y e 9t D Isso exige grad f (x o) = O b) A condição é suficiente: f(x) -f(x o) S O, para qualquer x e C. Se grad f(x o) = O, então, pelo teorema 3.17, o Teorema de Kuhn e Tucker Sejam f(x),gl(x), .. ,gm(x) funções reais côncavas definidas num subconjunto convexo não vazio C do 9t Tomemos o problema: D • maximizar f (x) com as restrições gl (x) ~ O, ... ,gm(x) ~ O. Supõe-se que as desigualdades de restrição sejam tais que, para algum ponto y de C todos os gj (y) sejam estritamente positivos. Isto posto, o teorema de Kuhn e Tucker afirma que, para o máximo condicionado de f (x) ocorra no ponto xo' é necessário e suficiente que existam multiplicadores de Lagrange Pi'P2""'P", tais que: i) o máximo em C do lagrangeano F(x)=f(x)+Plgl(x)+"'+Pmgm(x) ocorra no ponto x o; ü) os multiplicadores de Lagrange sejam não negativos; 44 üi) pjgj (x o) = O, (i = 1,... ,m). Isto significa que se gj (x o) > O, isto é, se gj (x) ~ O é uma restrição supérflua no ponto de máximo condicionado xo' então o multiplicador de Lagrange correspondente é igual a zero. Teorema 3.20: (Kuhn, Tucker, Usawa, Gale, Slater). Seja C um subconjunto convexo do 9t D ; f (x), G (x) funções côncavas definidas em C, sendo f (x) com valores reais, G (x) com valores no 9t m. Admitamos que, para algum y e C, se tenha G(y) > O (condição de Slater). Seja Xo um ponto de C tal que G(x o) ~ O. Então, para que G(x) ~ O implique f(x) ~ f(x o) é necessário e suficiente que exista p e 9t:, tal que: f(x o) = f(x o)+ (p,G(x o») ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x e C. Demonstração: a) A cond~ão é necessária: Sejam gl(x), ... ,gm(x) as coordenadas de G (x). Tomemos a função H (x) defInida em C e com valores no 9tm+1 de coordenadas: H(x) = (f(x)- f(XO),gl(X), ... ,glll(x» É imediato que H(x) é uma função côncava. Por outro lado, se implica f(x)~f(xo)' não há ponto x em C onde as coordenadas de H (x) sejam todas positivas. G(x)~O Seja Z= {z e 9tm+llz~ H(x), para algum x e C} Pelo teorema 3.15, Z é convexo. Por outro lado, não há ponto de Z com coordenadas 1 todas positivas, o que implica Zn9t: = 0. Segue-se, pelo teorema 3.12, que existe u = (uo,ul' ... 'u m ) e 9t,:+t. tal que Ilull = 1, e (u,z) ~ O, para todo z e Z. Particularizando para z = H (x): A condição de Slater garante que Uo > O. Com efeito, suponhamos por absurdo uo=O. Teríamos então uIgI(y)+ ... +umgm(Y)~O. Sendo os uj não negativos e os gj(y) positivos, isso implicaria UI = u 2 = ... = um = O, e portanto u = O. Mas isso contradiz o fato de que Ilull = 1. 45 Isso posto, façamos: Pi =UiUo ('1= 1, ... ,m ) m e seja p o vetor do 9l de coordenadas (Pl"" Pm)' É imediato que p e 9l:, e: Provamos assim que: f(x o) ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x EC. Resta provar que f(x o) = f(xo)+(p,G(x o»), ou seja, que (p,G(xo»=O. Com efeito, pela desigualdade acima, tomando x = Xo no segundo membro: Mas como p e G(x o) são não negativos: Logo (p,G(xo»)=O. b) A condi"ão é suficiente Suponhamos que G(x o) ~ O, e que exista um vetor p e 9l: tal que: Então f(x):Sf(xo)-(p,G(x»), para todo xeC. Isto posto, G(x)~O implica (p,G(xo»)~O, e portanto f(x):S f(x o)' Sobre o teorema de Kuhn e Tucker valem as seguintes observações: a) o teorema prova que, se a função côncava f(x), com as restrições côncavas passa por um máximo condicionado no ponto x o' então existem multiplicadores de Langrange não negativos, PI'P2, ... ,Pm' tais que o langrangeano f(X)+Plgl (x)+ .. ·+Pmgm(x), defmido em C, passe por um máximo livre em xo; gl(x)~O, ... ,gm(x)~O, b) a condição (p,G(xo») = O equivale a Plgl (xo)+ ... +Pmgm(x) = O. Como os Pi e os gi(X O) são todos não negativos, isso implica Pigi(XO)=O (i=l, ... ,m). Segue-se que, se gi (x o) > O, então Pi = O; 46 c) o teorema presume que as funções f(X),gl (X), ... ,gm(X) sejam côncavas, e que se verifique a condição de Slater. Não é preciso supor que essas funções sejam diferenciáveis, nem mesmo contínuas; d) a parte complexa do teorema é a demonstração de que a condição é necessária. A prova de suficiência é trivial, independendo das hipóteses de concavidade e da condição de Slater. Não há necessidade de que essas funções obedeçam a qualquer outra restrição. Com efeito, seja C um subconjunto não vazio do 9t D (não necessariamente convexo); f (x) uma função real definida em C; G (x) uma função definida em C, com valores no 9t m; Xo um ponto de C. Admitamos que exista p e 9t: tal que: f(x o) = f(xo)+(p,g(xo»)~ f(x) + (p,G(x»), para todo x e C. Como as coordenadas de p são todos não negativas, é imediato que G(x) ~ O implica f(x) S; f(x o); e) sem a condição de Slater não se pode garantir a existência de multiplicadores de Lagrange nas condições do teorema. Como contra-exemplo, seja C o intervalo [-1,1] no conjunto dos reais, f (x) a função real: f(x) =+.JI-x 2 definida em C. É imediato que f (x) é côncava (figura 3.10). Tomemos agora a desigualdade de restrição: g(x)=x-I~O A condição de Slater não se verifica, pois não há ponto de C onde x-I> O. O máximo de f (x) com a restrição g(x) ~ O obviamente ocorre no ponto x =1, que é o único ponto de C que atende à restrição g(x) = x -1 ~ O. No caso, f(I) = O. É impossível, no entanto, encontrar um multiplicador de Langrange não negativo À tal que se tenha: f(I) = O~ f(x) + Àg(x) = .I:-,JI- x 2 + À(x -1) para todo x e [-1;1] Com efeito, isso exigiria: À(l-x) ~+.JI-x2 para todo xe [-1;1] Dividindo ambos os membros da desigualdade por +~, x ;tI: Â. ~(l- x) ~ +.JI + x para todo x e [-1,1), o que é impossível. 47 f (x) ------~--------------~------------~~------ 1 x Figura 3.10 o teorema de Kuhn e Tucker pode ser representado em termos de ponto de sela. Para m ist,?, defina H:C x 9t:--+9t, tal que H(x,Â.)=f(x)+LÂ.igi(X). Sejam x o eCeÂ. o e9t: i=1 satisfazendo as condições do teorema de Kuhn e Tucker. Logo por este teorema temos que H(x,Â.o) S H(x o,Â.o) S H(xo'Â.), 'Vx e C e 'VÂ. e 9t:, onde a segunda desigualdade decorre do fato que LÂ.Oi gi (xo) = OS LÂ.ig i (x o), visto que Â.i ~ O e gi (x o) ~ O, 'Vi = 1, ... ,m. Vale i..1 i=1 também a recíproca, ou seja, a desigualdade acima implica o teorema de Kuhn e Tucker. Com efeito, a primeira desigualdade nos diz que f(x)+ LÂ.Oi gi (x) S f (xo) + LÂ.Oi gi (x o), 'Vx e C i=1 i=1 e a segunda implica que LÂ.Oi gi(xo)SLÂ.i gi(X O)' 'VÂ.e 9t:. Tomando-se Â.=O, tem-seque LÂ.Oi gi(XO)SO, mas i=1 i=1 i=1 como gj(xo) ~ O e Â. Oi ~ O, 'Vi = 1, ... ,m, segue-se que LÂ.Oi gi(X O) =0. i=1 o Caso em Que as Funções f e I: são Indiretamente CÔncavas e Diferenciáveis Sejam f (x) e g (x) funções indiretamente cÔncavas definidas em um aberto convexo do 9t", tais que f(x} = h l (F(x» e g{x} = h 2 (G(x}), F, G, funções cÔncavas diferenciáveis, h.,h,., funções reais de uma variável real derivável com as derivadas satisfazendo h\ > Oe h'2 > O. Suponha que estejamos diante do problema de maximizar f (x) sujeito a g(x) ~ O e vejamos como obter a solução a partir do teorema de Kuhn e Tucker. Para isto, observe que o problema original Max hl (F(x)) sujeito à restrição h,. (G(x» ~ O, é equivalente ao problema Max F(x) sujeito à restrição G(x)-r ~O, onde r =h2 1(0), visto que F(x) ~ F(y) se, e só. se h l (F(x» ~ h l (F(y», analogamente em relação a G. Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker ao último problema, sabemos que as condições são necessárias e suficientes para a obtenção do máximo x* são dadas pela existência de 11· ~ O tal que: 48 a) O(x*)- r ~ O b) J,l * (O(x*)- r) = O dO dx j àF dx j c) -(x*)+J,l*-(x*)=O, V'i=l, ... ,n. Se tivéssemos aplicado o teorema de Kuhn e Tucker diretamente ao problema original, esquecendo que f (x) e g (x) não são necessariamente côncavas, teríamos concluído que a condições necessárias e suficientes para máximo em x* seriam a existência X ~ O tal que: a') g(x*) ~O b') Â*(g(x*» =0 g c') di (x*)+Â*d (x*) =0 V'i=l, ... ,n. dxi dxi Mostraremos que podemos proceder desta forma. Para isto, basta observar que cada uma das seguintes condições (a), (b) e (c) equivalem, respectivamente, às condições (a'), (b') e (c'). Com efeito, i) Equivalência entre (c) e (c'): sabemos que : . (X·)=h\(F(X·»:' (x·) e I I »e p= h; (O(x » temos que • dO • • dx. (x ) = h'2 (O(x » dx. (x ). Fazendo a= h\ (F(x dg • I A • I dF. • iJG • d F . . iJG(x·) - (x )+Jl - ( x ) =O~ a-ex )+ f3 dX j dX j dX j dX j onde A = <XJ1. I fi (lembre que ~ (G(x·» > O) ü) Equivalência entre (a) e (a') Â: =O~ i J f . . dg - ( x )+ -(*) =0, dX j dX j e (b) e (b'): basta observar que G (x*) = r se, e só se g (x*) = O e ~ O se, e só se J,l. ~ O, sendo Â: = aJ,l· I fi, onde a,fi > O. Â: = O se, e só se J,l. = O, visto que ConcluÚDos que o teorema de Kuhn e Tucker pode também ser aplicado para funções indiretamente côncavas em que as funções monótonas crescentes transformadoras da função côncava original são diferenciáveis (logo, com derivada maior que zero em todos os pontos de seu domínio). 49 Exercidos resolvidos: Seção 3 Solução: f, g: 9t! ~ 9t tais que f (x,y ) = -w IX- W zy e g(x,y) = x+y -k são funções côncavas definidas no convexo 9t!. É fácil ver que existe (x',y')e9t! tal que g(x',y'»O. Queremos encontrar  ~ Oe (xo,Yo) e 9t! tais que g(xo'yo) ~ O, Âg(xo'yo) =0 e (xo,Yo) seja o máximo de F(x,y) = f(x,y) + Âg(x,y). Portanto Â=Ooug(xo'yo)=O, mas se Â=O então f == F e (0,0) é o ponto de máximo o que implica que k deve ser zero. No caso Vamos supor então que k>O. Como alternativo, temos g(.xo,yo) =0. gradF(x,y)=(-wI+Â, -wz+Â), gradF(x,y)=O se, e só se w I =Â=w z. Logo se w I = W z ' qualquer ponto sobre g(x,y) = k é ponto de máximo de f e se w I :F- W z tem-se que o máximo de F é assumido em fr (9t:) e como Xo + Yo = k então Xo = k ou Yo = k, dependendo quem for maior: f(k,O) = -wlk ou f(O,k) = -w 2k. Observe ainda que a solução do problema seria a mesma no caso da restrição sob a forma de igualdade x + y = k. U:9t++ x 9t ~ 9t tal que U(x, y) = log x + y. Maximize U(x,y) sujeito a px + qy S m,x > O, y ~ O, sendo p, q e m constantes positivas. f,gl'g2:9t++x9t~9t tais Solução: Sejam quef(x,y) = logx+ y, gl (x,y) = m- px-qy,gz(x,y) = y. É fácil ver que 9t++ x9t é convexo e que gl' g2 são funções côncavas. Como fi' f 2: 9t++ x 9t ~ 9t definidas por fl(x,y) = logx e f2(X,y) = y são funções côncavas (para verificar que fi é côncava basta calcular a hessiana fi e constatar que ela é positiva semi-definida em todos os pontos) e f = fi + f 2 então f é côncava. Além disso, (m/4p, m/4q) e 9t++ x 9t e 2) Seja g; (;:, ~) >O,i=I,2. Estamos agora em condições para aplicar o teorema de Kuhn e Tucker: queremos determinar (x o,yo)e9t++x9t tal que gi(xo'YO)~O, i=I,2e(x o'Yo) seja um ponto ótimo para F: 9t++ x9t ~ 9t dada por F(x,y) = f(x,y) + ,;,gl (x,y) + ~g2 (x,y) com ÂI,Â2 e 9t+ tais que Âj gj(.xo,yo) = O, i = 1,2. Como F é côncava e diferenciável no aberto 9t++ x9t, (xo,yo)será um ótimo para F se, e somente se grad F (xo,Yo) = O. Logo haverá ponto de máximo se, e somente se existir ponto crítico de F. Desde que F (x,y) = log x + y +ÂI ( m - px - qy) +  2 y devemos ter pelo que vimos acima: ;(xo,YO)=r..--\p=o j (I) dy (xo,Yo) = l-Â,q+~ =0 (2) Observe que com isto ÂI :F- O, pois caso contrário : (x o' Yo) = Ix o :F- O. Assim reduzimos a análise aos seguintes casos: 50 i) 1..1 > O e 1..2 = O. Neste caso, por (2) temos 1..1 = fq > O. Daí e por (1) vem: Como À.lgl (xo,Yo) = Oe 1..1 > O temos que Xo = q/ p > O. PXo + qyo = ri1 o que implica que Yo = m - 1. q Devemos garantir finalmente que somente se m ~ q. Mas o que acontece se m < q? Se m < q, este caso não é aplicável e devemos partir para o caso: Ât (m- PX o -qyo) = O Ü)À.l > O e 1..2 > O. Como { Â..2Yo = O ' m= PXo +qyo { Yo =0 . Por (1) temos 1..1 = Conclusão: Xo = ~ 'fp p Ym, daí e por (2) temos 1..2 = Ym -1. Logo 1..2 > O se, e só se m < q. {(%, % -1) é o ponto ótimo, se m ~ q (~, O) é o ponto ótimo, se m < q 3) Maximizar y = min {xl'x 2 } sujeito a PIX l +P2X2 = R; R,Pl'P2 > O; Xl ~ 0'X 2 ~ O Solução: Seja j:9t! -+9t definida por j(xl'x 2 ) =min {xl'x 2 }. É fácil ver que fé contínua e K = {(xl'~) e 9t! ; Pl~ + P2~ = R} é compacto, logo pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em K. Entretanto não podemos utilizar o teorema de Kuhn - Tucker, pois há uma restrição do tipo igualdade. O que fazer? Podemos substituir a restrição p Xl + q X 2 = R por P Xl +q X 2 ~ R e verificar (utilizando o teorema de Kuhn e Tucker) se o ponto ótimo do novo problema está sob a restrição P Xl +q X 2 = R (o que é bastante razoável uma vez que f é não decrescente em (~~) ou porque f poderia traduzir a utilidade de um consumidor "localmente não-saciável" e neste caso o ponto de ótimo do novo problema seria o ótimo do problema anterior). Vejamos: seja g: 9t! -+ 9t tal que g(xl'x2 ) = R - P Xl -q X 2 • É fácil ver que: i) f e g são funções côncavas. Ü) (O, O) e 9t! e g(O, O) > O (condição de Slater). Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker, queremos encontrar (x~ ,x~) e 9t!, tal que g(x~,x~)~O e (x~,x~) seja ótimo para F(xl'x 2)=f(xl'x 2 )+À.g(xl'x 2 ) defInida em para algum À. ~ O, e além disso À. g(x~ ,x~) = O. 9t: Temos os seguintes casos: (i) À. = O; o que não é possível pois neste caso F == j, sendo assim uma função ··tada em (»2 ilimi ';'''+. 51 À> O; neste caso P X~ + q X~ = R. Como F é diferenciável no aberto A = {(xl'~) e 9t~; Xi * ~}, se (x~ ,x~) e A, então pelas condições de primeira ordem (ü) o o devemos ter grad F(xI ,x2) = O. Mas grad F(x I ,x2) = * {(-Â. pl'l- Â. P2)' se 0< X2 < Xl ':I ':I e (1- A PI ,-A P2)' se O< Xl < X2 portanto grad F(x l ,X 2) O, 'V(X l ,X 2) e A. Logo ou X~ = O ou X~ = O ou X~ = X~. Analisemos estas possibilidades. a) Xlo -_ O ~ X 2o -- R/ / q ~ F( Xlo'X o) -- O 2 b)~=O ~X~=% ~ F(x~,x~)=O c) X~ = X~ ~ X~ = X~ = y<p+q) , visto que . px~ +qx~ = R ~ F(x~ ,x~) = y<p+q). (R R) Destas três possibilidades concluúnos que o ponto ótimo é - - , - - ,cujo valor ótimo p+q p+q é y<p+q). Como o ponto ótimo se encontra na restrição pX I +qx 2 = R, tem-se que ele é o ponto ótimo do problema original. 4) (Intriligator, 1971) Max f(xl'x 2) = -8x~ -IOx; + 12x l x 2 -50x I + 8Ox 2 sujeito a Xl + x 2 S I 8x~ +x; S 2 xl'x 2 ~O Solução: Sejam j,gl'g2:9t!-+9t tais que f(xl'x2)=-8x~-IOx;+12xlx2 -5Ox I +80x 2, gl (xl'x 2) = 1- Xl - x 2 e g2 (xl'x2) = 2-8xt -xi. Fica a cargo do leitor a verificação de que f ,gl e g2 são funções côncavas. Observe também que este problema tem solução visto que é equivalente a maximizar f(xl' x 2) (função contúlUa) no conjunto K = {(xl'x 2) e 9t! ; Xl +x 2 S I e 8x~ + x; S 2}, sendo K = g~I([O,oo])(')g;I([O,oo]), ou seja, K é fechado, pois gl e g2 são contúlUas e definidas no fechado 9t! ' e limitado (como o leitor pode facilmente verificar!), isto é, K é compacto, portanto pelo teorema de Weierstrass f assume um valor máximo em K. A condição de Slater é cumprida para o ponto (0,0) e 9t!. Com isto estamos em condições de aplicar o teorema de Kuhn e Tucker: queremos encontrar (x ~ ,x~) e 9t! com g i (X ~ ,X~) ~ O, i = 1,2, tal que (x~ ,x~) seja ponto ótimo da função F(Xl'X2)=j(Xl'X2)+ÀIgI(Xl'X2)+À2g2(Xl'X2) em 9t! e Àigi(X~,X~)=O i=I,2 para algum ÀI e 9t+ e para algum À2 e 9t+, (pela conclusão acima e pelo próprio teorema de Kuhn - Tucker tal ponto existe). Suponhamos inicialmente que (x~ ,x~) e int 9t! = 9t!.. Como F é côncava, para que (x~ ,x~) seja ótimo é necessário e suficiente que grad F(x~ ,x~) = (0,0). Devemos considerar então os seguintes casos: i) ÀI = À2 = O. Neste caso F == f e grad F(x l , x 2) = (O, O) se, e somente se 52 -SX\ +6r~ = 25 { 3x\ - 5x - -20 2 este caso não é possível. ~(x~,x~) ~ 9t~. Portanto ü) Â.\ > O e Â. 2 = O. Temos que x~ + x~ = I (visto que Â.\g\ (x~ ,x~) = O) e gradF(~,~) = (-16~ + 12~ -50-Â." -20~ + 12x\ +SO-Â.\) = (0,0) <=> {-16X) + 12x2 = 50+ Â, 12x\ - 20x2 = Â, - SO Sejam -16 12 50+Â) I~ D= =176 e Dx= =-40-32Â) <o 12 -20 Â) -SO -2 ~ x~ = (poisÂ)~O) DIo < O, o que é absurdo, i.e., este caso também não é possível. iii) Â.\ = O e Â. 2 > o. Temos que S(x~ y + (x~y = 2 (visto que Â.2g2(X~ ,x~) = O) e grad F(x p x 2 ) = (-16x) + 12x2 -50-16Â. 2 x\,-20x 2 + 12x\ +SO- 2Â. 2 X2 ) = (0,0) <=> {- S(1 + ~)x\ + 6x2 = 25 6x\ - (10+ ~ )x2 = -40 Sejam D = 25 eD = -40 z => x~ = -S(I +  2 ) 6 6 -(10+ 2 ) 6 -(10+ 2) = 8(1 + Â2)(1O+  2 ) - 36 > O (pois  2 ~ O) =-25(10+ 2)+240=-1O-25Â2 <O (pois 2 ~O) DIo < O, o que é absurdo, logo este caso não é possível. iv) Â.\ > O e Â. 2 > O. Temos que x~ + x~ = I e 8(X~)2 + (X~)2 = 2 o2 o o2 o2 o2 o 1±.Jiõ o 1+.Jiõ o 8-.Jiõ +1-2x, +(x 1 ) =2~9(x,) -2(x, ) -l=O~x, = ~XI = ~X2 = - 9 9 9 Observe que O< x~, x~ < I e x~ < 5/9 (verifique!). Assim, f(x~ ,x~) = -8 (X~)2 -lO(x~)2 +12x~x~ -50x~ +80x~ < 12x~x~ +80x~ < 12.+80.5/9 < 12 +80.5/8 = 62 ~8(x,) Concluímos que se (x~, x~) x~ E 91:+ então { x~ =(8 - ~1O) /9 = (1 + ..)10) / 9 Por outro lado se (x ~ ,x~) ~ 91:+ então x~ = Oou x~ = O. Se x~ = O então o problema original reduz-se a maxinúzar -IOx; + 80x 2 sujeito a O~ x 2 ~ I, cujo o ponto ótímo é x~ = I , além disso {{O, I) = 70. Analogamente se x~ = O então o ponto ótimo será (0,0) e f (0,0) = o. Como (O, I) é entre os três pontos possíveis o que oferece maior valor, (O, I) é o ponto ótímo deste problema. 53 Para evitar muitas contas (como no caso acima) é conveniente fazermos o gráfico do conjunto restrição e as curvas de nível da função a ser maximizada a fim de intuirmos qual é o caso em questão. Veja gráfico a seguir: x2 x1 5) (Birchenhall e Grout, 1984) Um consumidor, ao colocar a sua renda m por T + 1 períodos, depara-se com a restrição orçamentária onde Pt é o preço do bem de consumo, C t é o nível de consumo no período t e r é a taxa de juros (r>O). A função utilidade do consumidor é dada por V(C) = ± - t=O U(Ct~ (1+p) U (C t ) é estritamente côncava , p é a taxa de preferência intertemporal onde cada (p > O) e ~ = (Co ,CI' ... ,CT ). Analise a seguinte afirmativa como verdadeira ou falsa, justificando formalmente: Pt l+p O consumo será constante (C t = C t+1 para t = O, ... ,T-l) se, e somente se - = - - para P1+1 l+r t =0,1, ... , T-l . Solução: Vamos supor que, C t > 0, 'Vt = O, ... , T. Se U'(C t ) = 0, 'Vt = O, ... , T então C t = C t+1 para t = 0, ... , T -1, pois U é estritamente côncava e portanto U' é uma função C G(C)=m-± Pt \ e V(C)=± U(Ct~,C»O onde decrescente. Sejam t=O (1 + r) t=O (1 + p) C = (Co,Cp ... ,CT ). Observe que V e G são funções côncavas e que se para cada t,(t=O, ... T) fizermos , (1+r)t m Ct = 2Pt (T+I) temos que G(C') >O, onde 54 , " ~ = (Co ,C\ "",CT , ), ou seja, a condição de Slater é atendida. Podemos assim aplicar o teorema de Kuhn e Tucker para resolver o problema proposto, maximizando V (Ç) + ÂG (Ç para algum  ~ O tal que o ponto ótimo ~o satisfaz G (~O)~O e ÂG«t) = O. ) Temos assim dois casos a considerar: i)  = O. Neste caso a restrição não é relevante e o ponto ótimo CO é tal que gradV(~O)=O, (C:°)=O, 'Vt=O, .. ,T, isto é, U'(C,o)= O, 'Vt=O, .. ,T e isto ou seja, ; t significa, como vimos acima, que C t = Ct+\' t = O, ... , T - 1 . ü)  > O. Pelas condições de Kuhn e Tucker devemos ter ~ PtCt U'(C t ) Pt ~ (1 )t =m e ( .\t -Â( )t =0, 'Vt=O, ... ,T-1. t=O + r 1 + p, 1+ r ,,=(l+r)'t U'(Ct) ,vt \.I =0 , ... , T (1 +p) Pt (l+r)t U'(C t ) = (l+r)t+l U'(Ct+l) \.I =0 T-1 ~ t t I ' vt , ... , (l+p) Pt (l+p) + Pt+l ~A ~ U'(C t ) = (l+r) U'(Ct+l) , Pt (l+p) Pt+l 'Vt = O, ... , T-1. Como U'(Ct)=U'(Ct+J, 'Vt=O, ... ,T-I se, e somente se Ct =C t+1 , 'Vt=O, ... ,T-I (visto que U é estritamente côncava) tem-se que o consumo será constante se, e somente se P, _ I+p ----, t=O, ... , T-I . P'+l 1+7 6) Seja f:C contínua. ~ 9tuma função côncava definida no convexo aberto C c 9t". Prove que f é Solução: Suponhamos que f seja descontínua em Xo E C. Então existe uma seqüência (x k )kEN em C tal que lim x k = Xo e lim f( x k ) = L com L :t: f( xo). Para fixar idéias vamos supor que L> f(x o) (podendo ser L = +00). Seja E"= {(x, t) E9t D+1 ; t ~ f(x)} o epígrafo de f Como f é côncava, temos que E é convexo (veja exercício resolvido da seção 2 do capítulo 3 ). É Iacil ver que P = (xo, f( xo») E fr(E), assim pelo lema 3.5 deste capítulo existe um hiperplano H (p, u) tal que u E9t D +1 ,llull = 1 e E c H+(p,u), isto é, «x,t)-(xo,f(xo»,u)~O, » (x-xo,u)+(t-f(x o 'V(x,t)EE, ou seja, U 2 ~O, onde u=(UI ,U2 ) com UI E9t" e u 2 E 9t. Particularizando esta desigualdade para os pontos (x k , f (x k » E E, tem-se e passando ao limite vem que: 55 e como L - f(x o) > O devemos ter u 2 ~ O. Agora tomando um ponto da forma (xo.1) e E tal que L < f (x o) • chegaremos a conclusão de que u 2 S O. Portanto. ~ = O. Seja agora x=xo+5ej• ie{l •...• n}e 5e9t(onde {ep ...• e.} é a base canônica do ~.). Como C é aberto. se 151 for suficientemente pequeno. x e C. Aplicando a desigualdade agora ao ponto (x. f(x» e E (e usando o fato que ~ =0) temos que 5(ej.uI)~0. Tomando 5 positivo e depois negativo. chegaremos à conclusão de que (ej• UI) = O. Como i e {l•...• n} é arbitrário. teremos que u = O. o que é absurdo. pois = 1. Portanto f é contínua. lul (a) Determine o ponto de C que esteja a menor distância da origem (0.0). (b) Encontre a equação de um hiperplano que separa estritamente o conjunto C da origem. Solução: Como C =. -3,4).1] tem-se que C é convexo. Obviamente (0.0) EC . (a) Devemo~ resolver Min {z.Y} E 91 2 x 2 + y2 s.a. (x+3)2 +(y-4t SI que é equivalente a Max {Z,Y}E9I 2 - x 2 _ y2 s.a. (X+3)2 +(y-4t SI Sejam f:9t 2 -+ 9t e G:9t 2 -+ 9t funções definidas respectivamente por f(x.y) _x 2 _y2 e G(x.y) = 1-(x+ 3)2 -(y _4)2. = É evidente que f e G são funções côncavas. A 2 condição de Slater é satisfeita por (-3. 4)e 9t • visto que G (-3.4)>0. Assim. (x,y) é solução ótima <=> 3Â. e 9t+ tal que: (1) grad f(x,y)+Â.grad G(x,y) = O (2) Â.G(x,y)=O (3) G(x,y)~ O Devemos ter: Â. > O visto que À = O implica que (x, y) = (O, O) por (1), o que não pode ocorrer pelo ítem (a). De (2) temos (x + 3)2 + (y - 4)2 = 1. Logo, (1) ~ -x-Mx+3)=0 -31.. 41.. . Assun { - y - Â.(y - 4) = O ~x=--,y=--. 1+ À 1+ À 56 )2 + (4Â)2 1+  - 4 = 1 - 3 ( 1+  + 3 :. 9 16 (I + Â)2 + (I + Â)2 = 1 => (1 + Â)2 = 25 => Â. = 4 ou Â. = -6 (não interessa). Para Â. = 4 temos -12 x = -5-' Y= • (b)Sejamu=I:.r • p=~ 16 5"'. • (-12 16) Então z = -5-' 5"' é solução ótima. H(u,p)={z={x,y)e9t 2 ;(u,z-p)=0} e É fácil ver que (0,0) e int H_ (u, p). Como C é compacto, o que precisamos mostrar é que (u,z) > (u,p), 'Vz e C. C c intHJ u,p), i.e, Sabemos que: 1z·~2 ~~I-a)z· + azl2 ,'Vz e C e O< a ~ 1 => Iz .12 S Ilz.12 + 2a (z· ,( z- z· ))+ a 2 ~z - Z • ~2 => O~ 2a(z· ,(z - z·)} + a2 1z - z·f Dividindo por a temos: 2(z· ,{z - z·)}+allz - z.~2 ~ O Fazendo a->O temos (z' Logo, Iz·11 > O ,(z-z'))~ O, 'fiz EC "" Iz'~u,(z- ~ - ~ ~ ~ O. => (+- ~ -~)) ~ O"" (u,z) ~ ~ (u,z')+ ~ (u,z') =(u,p}+(u,p) =2(U,p} > (u,p), 'Vz eC. 8) Sejam PI e P2 os preços de duas ações hoje. Suponha que desejamos comprar quantidades de cada ação sujeito a seguinte restrição orçamentária: XI e x2 (I) Considere uma variação esperada nos preços das ações de II I e 112 de hoje para amanhã. Suponha que desejamos obter um lucro esperado de no mínimo $10.000 i.e, (2) Seja V = O'll [ 0'21 0'12] 0'22 a matriz de covariância dos retornos das ações com V definida positiva . o objetivo do investidor é determinar as quantidades ótimas de XI e x 2 sujeito às restrições (2) de tal forma a minimizar a variância de seu portifólio dada por 2 2 2 O'llX + 0'12 X X + 0'22 X 2 (I) e I I 2 57 (1 X2 + 2(1 x x + (1 X2 11 I 12 I 2 22 2 2 s.a. PIXI + P2X2 ::;; 100.000 J.LIX I + ~X2 ~ 10.000 XI ~ O,x2 ~ O Solução: Dev.emos Mil'( {.,,,J que é equivalente a M {.,~ s.a. _((111X~ + 2C112X IX2 + C122 X;) 2 PIXI + PzX2::;; 100.000 J.LI X I + J.LzX 2 ~ 10.000 XI ~O,X2 ~O Sejam f(x p x 2) =- (C111X~ + 2C112 X I X2 + C122 X;)/2 gl(XI,X2) = 100.000- PIXI - P2X2' g2(X p X2) = IJixl + Jlzx2 -10.000, g3(X I,X2) = xi' g4(Xp~) =~. É facil ver que f, gj são funções côncavas em 9t2 para i = 1, 2, 3, 4. Seja G = (gpg2,g3,g4). Condição de Slater: seja K = {(x,y) e 9t 2 ; G(x,y)>O}. Impondo-se condições sobre P2 e J.12 (por exemplo: IOJ.LI > PI,I OJlz > P2) garante-se que int K * 0. J.1 1 'Pi' Suponha que estas condições são verificadas. Temos que (XI ,x2 ) é solução ótima tal que: 4 (1) grad f(X I,X2)+ L ~ grad gi (xpX2) = O i=1 i=I, ... ,4 De (2) para i = 2 temos J.LIX 1+ J.LzX 2 = 10.000. Por outro lado (1) implica - C111XI - C1I2 X 2 - PI~ + J.lJÂ..z + ~ = O { - C1 X - C1 X - P2~ + J.lzÂ..z + Â..4 = O 22 2 12 I ~ {- C111 X1- C112 X2 + J.L1Â..z = O - C122 X2 - C112 X I + J.lzÂ..z = O 58 < l00.000JL1[JL10'22 - JL 20'12] + l00.000JL2[JL 20'1l - JL 10'12] < 100.000 Logo, (Xl ,x2 ) é solução ótima do problema, desde que G12 < h < Gll , uma vez que isto é G22 J.l 2 G12 equivalente a Xi ~ 0, i = 1,2. Geometria do problema: Observação: O que fizemos acima é resultado da observação antecipada da geometria do problema. Assim chegamos à solução do exercício em apenas um caso. 59 Exercídos propostos: 1) Utilize o teorema de Kuhn e Tucker para obter as soluções dos seguintes problemas: b) Maximizar U(x,y) sujeito a pzx+pyySR ex~O,y~O com U(x,y) côncava, pz > O, Py > O e R > O. c) Maximizar R(Q) sujeito a R(Q) - C(Q) ~ I > O, com R(Q) - C(Q) , R(Q) côncavas e R,C funções diferenciáveis para Q ~ O. 2) Sejam Xwoo,x. probabilidades (Xj ~ O, t. J xj = 1 Claude Shannon define a entropia de informação como -LXi log Xi . Mostre que a função entropia é côncava. Encontre condições necessárias e suficientes para que a entropia seja maximizada sob restrições fi (x) ~ O(i = l, ... ,m) se as funções fi são diferenciáveis e côncavas. D 3) Suponha ainda que x ~ O, L Xj = 1. Derive condições para maximizar a entropia de j=l D Shannon se as restrições são lineares L a ij Xj = bi (i = l, ... ,n). j=l 4) Suponha que a função de produção de uma firma é uma função Cobb-Douglas com retornos crescentes de escala q = K~ ~, onde K é capital e L é o trabalho; o preço da produção de uma unidade é 2 unidades monetárias; o custo do capital é 1; e 3 é o salário unitário do trabalho. Resolva o problema de maximização de lucro. f(x,y,z)=max{2x,3 y 2,Z} sujeito a p1x+P2Y+P3zSR,PPP2,P3 e R constantes positivas. 5) Maximize 6) Resolva: (a) Max 14x-x 2 +6y- y2 +7 {zo y} x+yS2 s.a. x +2y S 3 (b) Min 2X2 +2.xy+2l-lOx-lOy {zoy} s.a. X 2 +y 2 S5 3x+y _< 6 60 M~ 6xI -2x~ +2X I X2 -2xi (c) {~.;} .. 3x 1 +4x 2 S6 s.a. -Xl +4xi S2 Xl ~0,X2 ~O ~~ (d) Xl + 2x2 3x~+xisl s.a. x l -8x 2 S-l Xl ~0,X2 ~O 7) Considere o problema: min Xl s.a (Xl -6Y +xi -36S0 (Xl -4Y +(X2 _3)2 -25=0 a) Esboce o gráfico da região viável. b) Mostre que x· = (0,0) é um ponto de múúmo. Observe que não podemos usar o teorema de Kuhn e Tucker diretamente em virtude da condição de Slater, mas podemos resolver o problema em duas etapas: primeiro considere o problema com apenas a segunda restrição e aplique o teorema de Multiplicador de Lagrange; depois tome o lagrangiano desde problema com a primeira restrição e aplique o teorema de Kunh e Tucker. Obtenha os multiplicadores de Lagrange. x c) Seja = (9,3). Mostre que não seja ponto de mínimo local. 8) Considere o problema: x também satisfaz às condições de Kunh e Tucker, embora (X e 9t") max h'x s.a x'x SI onde b :;: O é um vetor dado. Mostre que x· = )1I'bll satisfaz as condições suficientes para otimalidade. 9) (Teorema de Separação de convexos): Suponha que C 1 e C 2 são subconjuntos convexos de 9t D Existe um funcional linear Â.: 9t ~ 9t tal que Â(x) S Â(Y), 'Vx e CI D • Mais ainda, se x e int(CJ ou , 'Vy e C2 • ye int(C 2 ) entã:> Ã.(x) < Ã.{y). 61 Referências Bibliográficas: Arrow, K. I. and A C. 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HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE DEMANDA DE MOEDA - Fernando de Holanda Barbosa - Janeiro de 1993 - 27 pág. (esgotado) 207. REFORMA FINANCEIRA - ASPECTOS GERAIS E ANÁLISE DO PROJETO DA LEI COMPLEMENT AR - Rubens Penha Cysne - fevereiro de 1993 - 37 pág. (esgotado) 208. ABUSO ECONÔMICO E O CASO DA LEI 8.002 - Luiz Guilherme Schymura de Oliveira e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - fevereiro de 1993 - 18 pág. (esgotado) 209. ELEMENTOS DE UMA ESTRATÉGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DA AGRICULTURA BRASILEIRA - Antonio Salazar Pessoa Brandão e Eliseu Alves Fevereiro de 1993 - 370pág. (esgotado) 210. PREVIDÊNCIA SOCIAL PÚBLICA: A EXPERIÊNCIA BRASILEIRA - Hélio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 35 pág - (esgotado) . 211. OS SISTEMAS PREVIDENCIÁRIOS E UMA PROPOSTA PARA A REFORMULACAO DO MODELO BRASILEIRO - Helio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 43 pág. (esgotado) 212. THE INDETERMINATION OF SENIOR (OR THE INDETERMINATION OF WAGNER) AND SCHMOLLER AS A SOCIAL ECONOMIST - Antonio Maria da Silveira - Março de 1993 - 29 pág. (esgotado) 213. NASH EQUILffiRIUM UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY: BREAKING DOWN BACKW ARO INDUCTION (Extensively Revised Version) - James Dow e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Abril de 1993 36 pág. (esgotado) 214. ON THE DIFFERENTIABILITY OF THE CONSUMER DEMAND FUNCTION - Paulo Klinger Monteiro, Mário Rui Páscoa e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Maio de 1993 19 pág. (esgotado) ERSAIOS ECOROMICOS DA EPGE 200. A VISÃO TEÓRICA SOBRE MODELOS PREVIDENCIÁRIOS: O CASO BRASILEIRO Luiz Guilherme Schymura de Oliveira - Outubro de 1992 - 23 pág. (esgotado) 201. mPERINFLAÇÃO: CÂMBIO, MOEDA E ÂNCORAS NOMINAIS - Fernando de Holanda Barbosa - Novembro de 1992 - 10 pág. (esgotado) 202. PREVIDÊNCIA SOCIAL: CIDADANIA E PROVISÃO - Clovis de Faro - Novembro de 1992 - 31 pág. (esgotado) 203. OS BANCOS ESTADUAIS E O DESCONTROLE FISCAL: ALGUNS ASPECTOS Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Armínio Fraga Neto - Novembro de 1992 - 24 pág. (esgotado) 204. TEORIAS ECONÔMICAS: A MEIA-VERDADE TEMPORÁRIA - Antonio Maria da Silveira - Dezembro de 1992 - 36 pág. (esgotado) 205. THE RICAROIAN VICE AND THE INDETERMINATION OF SENIOR - Antonio Maria da Silveira - Dezembro de 1992 - 35 pág. (esgotado) 206. HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE DEMANDA DE MOEDA - Fernando de Holanda Barbosa - Janeiro de 1993 - 27 pág. (esgotado) 207. REFORMA FINANCEIRA - ASPECTOS GERAIS E ANÁLISE DO PROJETO DA LEI COMPLEMENT AR - Rubens Penha Cysne - fevereiro de 1993 - 37 pág. (esgotado) 208. ABUSO ECONÔMICO E O CASO DA LEI 8.002 - Luiz Guilherme Schymura de Oliveira e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - fevereiro de 1993 - 18 pág. (esgotado) 209. ELEMENTOS DE UMA ESTRATÉGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DA AGRICULTURA BRASILEIRA - Antonio Salazar Pessoa Brandão e Eliseu Alves Fevereiro de 1993 - 370pág. (esgotado) 210. PREVIDÊNCIA SOCIAL PÚBLICA: A EXPERIÊNCIA BRASILEIRA - Hélio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 35 pág - (esgotado) . 211. OS SISTEMAS PREVIDENCIÁRIOS E UMA PROPOSTA PARA A REFORMULACAO DO MODELO BRASILEIRO - Helio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 43 pág. (esgotado) 212. THE INDETERMINATION OF SENIOR (OR THE INDETERMINATION OF WAGNER) AND SCHMOLLER AS A SOCIAL ECONOMIST - Antonio Maria da Silveira - Março de 1993 - 29 pág. (esgotado) 213. NASH EQUILffiRIUM UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY: BREAKING DOWN BACKW ARO INDUCTION (Extensively Revised Version) - James Dow e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Abril de 1993 36 pág. (esgotado) 214. ON THE DIFFERENTIABILITY OF THE CONSUMER DEMAND FUNCTION - Paulo Klinger Monteiro, Mário Rui Páscoa e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Maio de 1993 19 pág. (esgotado) 233. COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES - João Victor Issler e Farshid Vahid - Abril de 1994 - 60 pág. 234. BANDAS DE CÂMBIO: TEORIA, EVIDÊNCIA EMPÍRICA E SUA POSSÍVEL APLICAÇÃO NO BRASIL - Aloisio Pessoa de Araújo e Cypriano Lopes Feijó Filho - Abril de 1994 - 98 pág. (esgotado) 235. O HEDGE DA DÍVIDA EXTERNA BRASILEIRA - Aloisio Pessoa de Araújo, Túlio Luz Barbosa. Amélia de Fátima F. Semblano e Maria Haydée Morales - Abril de 1994 - 109 pág. (esgotado) 236. TESTING THE EXTERNALITIES HYPOTHESIS OF ENDOGENOUS GROWTH USING COINTEGRATION - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler - Abril de 1994 - 37 pág. (esgotado) 237. THE BRAZILIAN SOCIAL SECURITY PROGRAM: DIAGNOSIS AND PROPOSAL FOR REFORM - Renato Fragelli; Uriel de Magalhães; Helio Portocarrero e Luiz Guilherme Schymura - Maio de 1994 - 32 pág. 238. REGIMES COMPLEMENTARES DE PREVIDÊNCIA - Hélio de Oliveira Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso, Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Uriel de Magalhães - Maio de 1994 - 106 pág. 239. PUBLIC EXPENDITURES, TAXATION AND WELFARE MEASUREMENT - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 36 pág. 240. A NOTE ON POLICY, THE COMPOSITION OF PUBLIC EXPENDITURES AND ECONOMIC GROWTH - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 40 pág. (esgotado) 241. INFLAÇÃO E O PLANO FHC - Rubens Penha Cysne - Maio de 1994 - 26 pág. (esgotado) 242. INFLATIONARY BIAS AND STATE OWNED FINANCIAL INSTITUTIONS - Walter Novaes Filho e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Junho de 1994 -35 pág. 243. INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO ESTOCÁSTICA - Paulo Klinger Monteiro - Junho de 1994 - 38 pág. (esgotado) 244. PURE ECONOMIC THEORIES: THE TEMPORARY HALF-TRUTH - Antonio M. Silveira - Junho de 1994 - 23 pág. (esgotado) 245. WELFARE COSTS OF INFLATION - THE CASE FOR INTEREST-BEARING MONEY AND EMPIRICAL ESTIMATES FOR BRAZIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens Penha Cysne - Julho de 1994 - 25 pág. (esgotado) 246. INFRAESTRUTURA PÚBLICA, PRODUTIVIDADE E CRESCIMENTO - Pedro Cavalcanti Ferreira - Setembro de 1994 - 25 pág. 247. MACROECONOMIC POLICY AND CREDIBILITY: A COMPARATIVE STUDY OF THE FACTORS AFFECTING BRAZILIAN AND IT ALIAN INFLATION AFTER 1970 Giuseppe Tullio e Mareio Ronci - Outubro de 1994 - 61 pág. (esgotado) 248. INFLATION AND DEBT INDEXATION: THE EQUIV ALENCE OF TWO ALTERNATIVE SCHEMES FOR THE CASE OF PERIODIC PAYMENTS - Clovis de Faro - Outubro de 1994 -18 pág. 3 249. CUSTOS DE BEM ESTAR DA INFLAÇÃO - O CASO COM MOEDA INDEXADA E ESTIMATIVAS EMPÍRICAS PARA O BRASIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens Penha Cysne - Novembro de 1994 - 28 pág. (esgotado) 250. THE ECONOMIST MACl-flAVELLI - Brena P. M. Femandez e Antonio M. Silveira Novembro de 1994 - 15 pág. 251. INFRAESTRUTURA NO BRASIL: ALGUNS FATOS ESTILIZADOS - Pedro Cavalcanti Ferreira - Dezembro de 1994 - 33 pág. (esgotado) 252. ENTREPRENEURIAL RISK AND LABOUR'S SHARE IN OUTPUT - Renato Fragelli Cardoso - Janeiro de 1995 - 22 pág. 253. TRADE OR INVESTMENT ? LOCATION DECISIONS UNDER REGIONAL INTEGRATION - Marco Antonio F.de H. Cavalcanti e Renato G. Flôres Jr. - Janeiro de 1995 - 35 pág. 254. O SISTEMA FINANCEIRO OFICIAL E A QUEDA DAS TRANFERÊNCIAS INFLACIONÁRIAS - Rubens Penha Cysne - Janeiro de 1995 - 32 pág. (esgotado) 255. CONVERGÊNCIA ENTRE A RENDA PER-CAPITA DOS ESTADOS BRASILEIROS Roberto G. Ellery Jr. e Pedro Cavalcanti G. Ferreira - Janeiro 1995 - 42 pág. 256. A COMMENT ON "RATIONAL LEARNING LEAD TO NASH EQUILffiRIUM" BY PROFESSORS EHUD KALAI EHUD EHUR - Alvaro Sandroni e Sergio Ribeiro da Costa Werlang - Fevereiro de 1995 - 10 pág. 257. COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES (revised version) - João Victor Issler e Farshid Vahid - Fevereiro de 1995 - 57 pág. 258. GROWTH, INCREASING RETURNS, AND PUBLlC INFRASTRUCTURE: TIMES SERIES EVIDENCE (revised version) - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler Março de 1995 - 39 pág.(esgotado) 259. POLÍTICA CAMBIAL E O SALDO EM CONTA CORRENTE DO BALANÇO DE PAGAMENTOS - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio Jargas no dia 08 de dezembro de J99~ - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 47 pág. (esgotado) 260. ASPECTOS MACROECONÔMICOS DA ENTRADA DE CAPITAIS - Anais do Seminário 261. realizado lia Fundação Getulio Vargas no dia 08 de dezembro de J99~ - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 48 pág. (esgotado) DIFICULDADES DO SISTEMA BANCÁRIO COM AS RESTRIÇÕES ATUAIS E COMPULSÓRIOS ELE VADOS - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio Jargas no dia 09 de dezembro de J99~ - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 262. 47 pág. (esgotado) POLÍTICA MONETÁRIA: A TRANSIÇÃO DO MODELO ATUAL PARA O MODELO CLÁSSICO - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio largas no dia 09 de dezembro de 263. J99~ - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 54 pág. (esgotado) CITY SIZES AND INDUSTRY CONCENTRATION - Afonso Arinos de Mello Franco Neto - Maio de 1995 - 38 pág. (esgotado) 264. WELF ARE AND FISCAL POLlCY WITH PUBLlC GOODS AND INFRASTRUCTURE (Revised Version) - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1995 - 33 pág. (esgotado) 4 265. PROFIT SHARING WITH HETEROGENEOUS ENTREPRENEURIAL PROWESS Renato Fragelli Cardoso - Julho de 1995 - 36 pág. 266. A DINÂMICA MONETÁRIA DA HIPERlNFLAÇÃO: CAGAN REVISITADO - Fernando de Holanda Barbosa - Agosto de 1995 - 14 pág. 267. A SEDIÇÃO DA ESCOLHA PÚBLICA: 268. REVOLUÇÕES CIENTÍFICAS - Antonio Maria da Silveira - Agosto de 1995 - 24 pág. A PERSPECTIVA DA ESCOLHA PÚBLICA E A TENDÊNCIA INSTITUCIONALISTA DE KNIGHT - Antonio Maria da Silveira - Setembro de 1995 - 28 pág. 269. ON LONG-RUN PRICE COMOVEMENTS BETWEEN PAINTINGS ANO PRINTS - VARIAÇÕES SOBRE O TEMA DE Renato Flôres - Setembro de 1995 - 29 pág. (esgotado) 270. CRESCIMENTO ECONÔMICO, RENDIMENTOS CRESCENTES E CONCORRÊNCIA MONOPOLISTA - Pedro Cavalcanti Ferreira e Roberto Ellery Junior - Outubro de 1995 - 32 pág. (esgotado) 271. POR UMA CIÊNCIA ECONÔMICA Fll..OSOFICAMENTE INFORMADA: A INDETERMINAÇÃO DE SENIOR - Antonio Maria da Silveira - Outubro de 1995 - 25 pág. (esgotado) 272. ESTIMATING THE TERM STRUCTURE OF VOLATILITY ANO FIXED INCOME DERIVATIVE PRICING - Franldin de O. Gonçalves e João Victor Issler - Outubro de 1995 - 23 pág. (esgotado) 273. A MODEL TO ESTIMATE THE US TERM STRUCTURE OF INTEREST RATES Antonio Marcos Duarte Júnior e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Outubro de 1995 - 21 pág. (esgotado) 274. EDUCAÇÃO E INVESTIMENTOS EXTERNOS COMO DETERMINANTES DO CRESCIMENTO A LONGO PRAZO - Gustavo Gonzaga, João Victor Issler e Guilherme Cortella Marone - Novembro de 1995 - 34 pág. (esgotado) 275. DYNAMIC HEDONIC REGRESSIONS: COMPUTATION ANO PROPERTIES - Renato Galvão Flôres Junior e Victor Ginsburgh - Janeiro de 1996 - 21 pág. 276. FUNDAMENTOS DA TEORIA DAS OPÇÕES - Carlos Ivan Simonsen Leal - Fevereiro de 277. 1996 - 38 pág. (esgotado) DETERMINAÇÃO DO PREÇO DE UMA OpçÃO E ARBITRAGEM - Carlos Ivan Simonsen Leal - Fevereiro 1996 - 55 pág. 278. SUST AINED GROWTH, GOVERNMENT EXPENDITURE ANO INFLATION - Pedro Cavalcanti Ferreira - Fevereiro 1996 - 38 pág. 279. REFLEXOS DO PLANO REAL SOBRE O SISTEMA BANCÁRIO BRASILEIRO Rubens Penha Cysne e Sérgio Gustavo Silveira da Costa - Junho 1996 - 23 pág. 280. CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS, CAPÍTULOS I E 11: FUNÇÕES, ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES - Rubens Penha Cysne e Humberto de Athayde Moreira - Junho 1996 - 75 pág. 281. PREVIDÊNCIA COMPLEMENTAR PATROCINADA: VALE A PENA? - Clovis de Faro e Moacyr Fioravante - Junho de 1996 - 23 pág. 5 282. OLlGOPOLISTIC COMPETITION UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY - Hugo Pedro Boire Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Julho de 1996 - 37 pág. 283. CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS - CAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO ESTÁTICA - Julho de 1996 - 71 pág. 000076055 \111"1"1"1"""111""1"1" 1\ 11\ 6