COLÉGIO ADVENTISTA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO
NOME DO ALUNO ___________________________________________________________________________N°_________
DISCIPLINA: Matemática
BIMESTRE: 3º
DATA:
CURSO: Ensino Médio
ANO: 3º A / B
PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada
Parte IV – Matriz e Determinante
1.(Unirio) Dada a matriz representada na figura
adiante
4.(Uff) Determine o(s) valor(es) de x para que a matriz
Determine o valor de A-¢ + A - I‚.
não admita inversa.
2. (Unirio) Seja a matriz mostrada na figura a seguir
Sabendo-se que A =At, calcule o determinante da matriz
A - 2A + I£(3).
3.(Uerj) Considere a matriz A:
A = (aÖŒ) é quadrada de ordem 5 em que
5.(Ufpe) Seja M uma matriz 2×2 invertível tal que Det
M-¢=1/96, onde M-¢ é a matriz inversa de M. Determine
o valor de Det M.
6.(Ufv) Dada a matriz mostrada na figura adiante
aÖŒ = 1, se x é par e aÖŒ = -1, se x é ímpar
determine:
Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da
matriz A.
a) A£
3.(Ufes) Considere a matriz mostrada na figura a seguir
b) A . A-1
c) 2A + 3A
Determine A3.
7.(Unesp) Seja A=[a‹Œ] a matriz real 2 x 2 definida por
a‹Œ=1 se i´j e a‹Œ= -1 se i>j. Calcule A-¢.
8. (Ufsc) Considere as matrizes A e B a seguir e
n=det(AB). Calcule 7¾.
matéria basta fazer a média aritmética de suas médias
bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos
representem as médias anuais de Cláudio, na mesma
ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa
matriz por:
9.(Fgv) Observe que
13.(Fei) Se as matrizes A= (a‹Œ) e B= (b‹Œ) estão assim
definidas:
10.(Uel) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2.
Se I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidade e
nula, de ordem 2, é verdade que
a) A + B · B + A
ýa‹Œ = 1 se i = j
b) ( A . B ) . C = A . ( B . C )
ÿa‹Œ = 0 se i · j
þ
c) A . B = 0 Ì A = 0 ou B = 0
d) A . B = B . A
ýb‹Œ = 1 se i + j = 4
e) A . I = I
þ
ÿb‹Œ = 0 se i + j · 4
11.(Unioeste) O valor de "a" para o qual o determinante
adiante se anula é:
onde 1 ´ 1,j ´ 3, então a matriz A + B é:
12.(Cesgranrio) Cláudio anotou suas médias bimestrais
de matemática, português, ciências e estudos sociais em
uma tabela com quatro linhas e quatro colunas,
formando uma matriz, como mostra a figura. Sabe-se
que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso,
isto é, para calcular a média anual do aluno em cada
14.(Fei) Dadas as matrizes A e B, a matriz de x de 2•
ordem que é solução da equação matricial Ax+B = 0,
onde 0 representa a matriz nula de ordem 2 é:
17.(Ita) Sejam A e B matrizes reais 3×3. Se tr(A) denota
a soma dos elementos da diagonal principal de A,
considere as afirmações:
[(I)] tr(A )=tr(A)
[(II)] Se A é inversível, então tr(A)·0.
[(III)] tr(A+—B)=tr(A)+—tr(B), para todo — Æ R.
Temos que:
15.(Fei) Considere as matrizes A e B.
a) todas as afirmações são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas.
c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
Se a inversa da matriz A é a matriz B então:
a) a = 0 ou b = 0
d) apenas a afirmação (II) é falsa.
e) apenas a afirmação (III) é falsa.
b) ab = 1
c) ab = 1/2
18.(Mackenzie) Considere as matrizes A e B a seguir.
d) a = 0 e b = 0
e) a + b = 1/2
Se a Æ IR, então a matriz A.B:
a) é inversível somente se a = 0.
16.(Fuvest) O determinante da inversa da matriz a seguir
é:
b) é inversível somente se a = 1.
c) é inversível somente se a = 2.
d) é inversível qualquer que seja a.
e) nunca é inversível, qualquer que seja a.
19.(Puccamp) Os números reais x, y e z que satisfazem a
equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua
soma é igual a
a) - 52/5
b) - 48/5
c) - 5/48
d) 5/52
e) 5/48
a) - 3
b) - 2
c) - 1
d) 2
e) 3
23.(Uel) Sobre as sentenças:
20.(Uece) Sejam as matrizes
I. O produto de matrizes AƒÖ‚ . B‚ց é uma matriz 3x1.
II. O produto de matrizes A…Ö„ . B…Ö‚ é uma matriz 4x2.
III. O produto de matrizes A‚Öƒ . BƒÖ‚ é uma matriz
quadrada 2x2.
sendo M a matriz transposta de M, então n£ + n.q é
igual a:
a) 6
b) 9
c) 12
d) 18
e) 21
21.(Uel) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x
4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que
a) p = 5 e q = 5
é verdade que
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.
24.(Uel) Uma matriz quadrada A se diz ANTISIMÉTRICA se A =-At. Nessas condições, se a matriz A
mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica,
então x+y+z é igual a
b) p = 4 e q = 5
c) p = 3 e q = 5
a)
b)
c)
d)
e)
d) p = 3 e q = 4
e) p = 3 e q = 3
22.(Uel) Considere as matrizes M e M£ representadas a
seguir. Conclui-se que o número real a pode ser
25.(Uel) A soma de todos os elementos da inversa da
matriz M mostrada na figura é igual a
a) 2Ë3
b) 2Ë2
c) 2
d) - Ë2
e) - Ë3
3
1
0
-1
-3
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
26. (Uff) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua
transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
(04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A.B
é igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz
B.
(08) det(3 . A) = det(B)
(16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
Soma (
)
e) todos os elementos iguais a zero.
27. (Ufpr) Considere a matriz A = [a‹Œ], de ordem 4x4,
cujos elementos são mostrado a seguir. a‹Œ=
29.(Ufrn) Dada a matriz M mostrada na figura adiante
podemos afirmar que
ý1, se i · j
þ
ÿ0, se i = j
É correto afirmar que:
01) Na matriz A, o elemento a‚ƒ é igual ao elemento aƒ‚.
02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são
todos nulos.
30.(Ufrs) A matriz C fornece, em reais, o custo das
porções de arroz, carne e salada usados num restaurante:
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne
e salada usados na composição dos pratos tipo P1•, P‚, Pƒ
desse restaurante:
04) O determinante da matriz A é igual a - 4.
08) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a
matriz -B.
16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz
A+I possui todos os elementos iguais a 1.
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos
pratos P1•, P‚ e Pƒ, está indicada na alternativa
28.(Ufpr) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura
adiante.
É correto afirmar:
(01) B . A = B
(02) Todos os elementos da matriz A + B são números
ímpares.
31.(Ufsc) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma
dos números associados à(s) proposição(ões)
VERDADEIRA(S).
01. Se A é uma matriz de ordem n, então
det(kA)=k¾.detA, kÆR.
02. (A ) . A-¢ = I
04. det (A + B) = det A + det B.
08. Se A é uma matriz de ordem n×m e B é de ordem
m×k, então A+B é uma matriz de ordem n×k.
16. A . B só é possível quando A e B forem matrizes de
mesma ordem.
e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1• e
P‚ vendidos pela loja L1• é 45.
34.(Unirio) Considere as matrizes A, B e C na figura
adiante:
32.(Ufsc) Considere as matrizes, mostradas na figura
adiante:
A adição da transposta de A com o produto de B por C
é:
e determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A matriz A é inversível.
02. (A.B) = B .A , onde A significa a matriz transposta
de A.
04. O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é
a matriz A, é determinado.
08. A + C é a matriz nula de ordem 3.
16. A.C = C.A.
Soma (
)
33.(Unesp) Considere três lojas, L1•, L‚ e Lƒ, e três tipos
de produtos, P1•, P‚ e Pƒ. A matriz a seguir descreve a
quantidade de cada produto vendido por cada loja na
primeira semana de dezembro. Cada elemento a‹Œ da
matriz indica a quantidade do produto P‹ vendido pela
loja LŒ, i, j = 1, 2, 3.
a) impossível de
se efetuar, pois
não existe o
produto de B por
C.
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de
tipos diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da
transposta de A com o produto de B por C.
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2x3.
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x2.
35.(Fei) Sendo x e y respectivamente os determinantes
das matrizes inversíveis:
podemos afirmar que x/y vale:
Analisando a matriz, podemos afirmar que
a) a quantidade de produtos do tipo P‚ vendidos pela loja
L‚ é 11.
b) a quantidade de produtos do tipo P1• vendidos pela
loja Lƒ é 30.
c) a soma das quantidades de produtos do tipo Pƒ
vendidos pelas três lojas é 40.
d) a soma das quantidades de produtos do tipo P1‹
vendidos pelas lojas L‹, i=1,2,3, é 52.
a) -12
b) 12
c) 36
d) -36
e) -1/6
36.(Fei) Para que o determinante da matriz
39.(Pucmg) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu
determinante é det(M)=2. O valor da expressão
det(M)+det(2M)+det(3M) é:
a) 12
seja nulo, o valor de a deve ser:
b) 15
a) 2 ou -2
c) 36
b) 1 ou 3
d) 54
c) -3 ou 5
e) 72
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4
40.(Uff) Considere a matriz
37.(Puccamp) Sejam as matrizes mostradas na figura a
seguir
O determinante da matriz A+B.C é
a) -4
Os valores de k que tornam nulo o determinante da
matriz M - kI, sendo I a matriz identidade, são:
b) -2
c) 0
a) 0 e 4
d) 1
b) 4 e 5
e) 5
c) -3 e 5
38.(Fuvest) Se A é uma matriz 2×2 inversível que
satisfaz A£=2A, então o determinante de A será:
a) 0
b) 1
d) -3 e 4
e) 0 e 5
41.(Ufrs) Sendo A = (a‹Œ)ŠÖŠ uma matriz onde n é igual a
2 e a‹Œ = i£-j, o determinante da matriz A é
a) -3
c) 2
d) 3
b) -1
e) 4
c) 0
d) 1
e) 3
Parte VI – Sistemas
1. (Unisinos 2012) Numa loja, todas as calças têm o mesmo
preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça
diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2
camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3
camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma
calça e uma camisa, respectivamente?
a) 70 e 95.
b) 75 e 90.
c) 80 e 85.
d) 85 e 80.
e) 90 e 75.
comprados 94 L de água, com o custo total de R$65,00 .
Veja na tabela os preços da água por embalagem:
2. (Fuvest 2012) Em uma festa com n pessoas, em um dado
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na
razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde,
55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na
razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de
pessoas presentes inicialmente na festa era igual a
a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135
3. (Acafe 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as
afirmações a seguir.
v  x  y  z  w  0
v  x  y  z  w  0

v  x  y  z  w  0
3v  x  y  z  w  0

2v  2x  3y  2z  aw  0
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I e II são verdadeiras.
b) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação IV é verdadeira.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
4. (Unicamp 2012) Um supermercado vende dois tipos de
cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:
Peso unitário
aproximado (g)
25
200
Preço
(R$)
10,00
6,00
3,00
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde
ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade
de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de:
a) 32
b) 65
c) 77
d) 81
6. (G1 - ifpe 2012) Com a proximidade do final do ano, uma
papelaria quis antecipar as promoções de material didático
para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção
caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:
1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;
2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;
3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.
l. O sistema é homogêneo.
ll. O sistema será possível e indeterminado para qualquer
valor de a.
lll. O sistema não admite a solução trivial.
lV. O sistema será possível e determinado para a  2 .
Tipo de
cebola
Pequena
Grande
Volume da embalagem
(L)
20
10
2
Raio médio
(cm)
2
4
a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e
grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g.
Formule um sistema linear que permita encontrar a
quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela
consumidora e resolva-o para determinar esses
valores.
b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca.
Determine a área de casca correspondente a 600 g de
cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas.
Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem
192π cm2 de área de casca, indique que tipo de cebola
fornece o menor desperdício com cascas.
5. (Uerj 2012) Uma família comprou água mineral em
embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram
Para comparar os preços unitários dessa papelaria com
outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma
caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é:
a) R$ 20,00
b) R$ 18,00
c) R$ 16,00
d) R$ 14,00
e) R$ 12,00
7. (Uel 2012) A tabela a seguir apresenta a capacidade de
geração de energia C, a área inundada A e a razão da
capacidade de geração de energia pela área inundada
E  C/A , de 5 usinas hidrelétricas brasileiras.
Hidrelétrica
Itaipu
Porto Primavera
Serra da Mesa
Sobradinho
Tucuruí
C (MW)
14.000
1.800
1.275
1.050
8.370
2
A (km )
1.350
2.250
1.784
4.214
2.430
2
E (MW/km )
10,4
0,8
0,7
0,2
3,4
O maior valor de E é aquele da usina de Itaipu. O par
ordenado (x, y) do sistema linear
3, 4 0, 2  x  10, 4 
 0, 8 0, 7   y   10, 4 

   

fornece a quantidade de vezes que se deve aumentar o valor
de E nos pares de usinas Tucuruí/Sobradinho e Porto
Primavera/Serra da Mesa para que cada par ordenado tenha
o mesmo valor E de Itaipu.
Com base no enunciado e nos conhecimentos sobre matrizes,
determinantes e sistemas lineares, considere as afirmativas a
seguir.
I. O sistema linear dado tem infinitas soluções.
II. Para que a usina de Sobradinho tenha o mesmo E da usina
de Tucuruí, é necessário que ela aumente 9,7 vezes sua
capacidade de geração de energia.
III. A matriz do sistema linear dado tem determinante não
nulo, portanto a solução do sistema linear é única.
IV. Para que a usina de Porto Primavera tenha o mesmo E da
usina de Itaipu, é necessário que ela aumente 13,0 vezes
sua capacidade de geração de energia.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
b) Somente as afirmativas II e IV são corretas.
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas.
8. (Ufes 2012) Dona Lúcia, preocupada com o longo
tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet
bem como com a sua pouca motivação para estudar em
casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por
ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet
e estudasse em casa, ela lhe daria R$ 20,00; a cada dia
em que ele acessasse a internet, mas, em
compensação, estudasse, ela lhe daria R$ 5,00, e,
finalmente, a cada dia em que Lucas não estudasse, ele
devolveria R$ 15,00.
a) Sabendo que, num período de 30 dias, a quantidade
de dias em que Lucas acessou a internet e estudou
foi igual à soma da quantidade de dias em que ele
não acessou a internet e estudou com a quantidade
de dias em que ele não estudou e que, nesse
período, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$
305,00, calcule a quantidade de dias desse período
em que Lucas não acessou a internet e estudou.
b) Sabendo que, em outro período de 30 dias, Lucas
estudará todos os dias, determine todos os possíveis
valores que ele poderá ganhar nesse período.
9. (Unicamp 2012) As companhias aéreas costumam
estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada
passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de
peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem,
seus limites são considerados em conjunto. Em um
determinado voo, tanto um casal como um senhor que
viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram
obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor
pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x)
e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de
peso que um passageiro pode transportar sem pagar
qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
 2z  60
 x

y  z  60
a) 
3,5x  y
 0

 z  60
 x

y 2z  60
b) 
3,5x  y
 0

 2z
 x

y z
c) 
3,5x  y

 60
 60
 0
 z  60
 x

y 2z  60
d) 
3,5x  y
 0

10. (Ufg 2012) Um fabricante combina cereais, frutas
desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola.
As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na
preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na
tabela a seguir.
Tipo de
granola/ingredientes
Light
Simples
Especial
Cereais
Frutas
Castanhas
80
60
60
10
40
20
10
0
20
O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg
de frutas desidratadas e 2 kg de castanhas. Determine quanto
de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar
exatamente o estoque disponível.
11. (Ufpr 2012) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas
entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$ 3,25. Sabendo
que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das
moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há
nessa bolsa?
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
12. (Espm 2012) Carlinhos possui certa quantidade de
bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao
colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas, mas
quando colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com
apenas 2 bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas
ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse:
a) 36 bolinhas
b) 42 bolinhas
c) 49 bolinhas
d) 55 bolinhas
e) 63 bolinhas
13. (Ufpb 2012) Segundo dados do “World Urbanization
Prospects”, publicados na revista Época de 06 de
Junho de 2011, o percentual da população urbana mundial
em relação à população total, em 1950, era
aproximadamente de 29% e, em 2010, atingiu a marca de
50%. Estima-se que, de acordo com esses dados, o percentual
I(t) da população urbana mundial em relação à população
total, no ano t, para t  1950 , é dado por
I(t)  a(t  1950)  b , onde a e b são constantes reais. Com
base nessas informações, conclui-se que o percentual da
população urbana mundial em relação à população total, em
2050, será, aproximadamente, de:
a) 60%
b) 62%
c) 64%
d) 66%
e) 68%
14. (Ufsc 2011) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) As soluções do sistema homogêneo
 x  3y  2z  0

 x  8y  8z  0 são ternas ordenadas do tipo (a,b,c)
3x  2y  4z  0

com(a+b+c) múltiplo de 11.
a b
 , então det B = 8 para
c d
b
a

B
.
 2a+c 2b+d 
02) Se det A = 8 para A  
04) O valor de x para que os pontos A(3, –5), B(x,9) e C(0,2)
sejam colineares é 3.
08) Se A,B,C săo matrizes inversíveis, entăo


1
1


1
  AC   .B  C.
 AB

2
5


 14 -5 
1
t 2
16) Se A  
 então (A  A  A )  
.
1 3 
 -25 9 
15. (Ufrgs 2011) Rasgou-se uma das fichas onde foram
registrados o consumo e a despesa correspondente de
três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo.
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os
sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é
a) R$5,50 .
b) R$6,00
c) R$6,40 .
d) R$7,00
e) R$7,20 .
16. (Unicamp 2011) Recentemente, um órgão
governamental de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009,
cerca de 5,2 milhões de brasileiros saíram da condição de
indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros
deixaram a condição de pobreza. Observe que a faixa de
pobreza inclui os indigentes.
O gráfico a seguir mostra os percentuais da população
brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e
2009.
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009,
resolvendo um sistema linear, verifica-se que
a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões,
em 2006, para 13,3 milhões, em 2009.
b) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009.
c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas
faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 28%
da população.
17. (Pucsp 2011) Vítor e Valentina possuem uma caderneta
de poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de
certa quantia para, numa mesma data, aplicar nessa
caderneta, considere as seguintes afirmações:
- se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta parte da
quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará;
- se apenas Valentina depositar nessa caderneta a metade da
quantia que tem, o seu saldo triplicará;
- se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas
frações das quantias que têm, mencionadas nos itens
anteriores, o saldo será acrescido de R$4947,00 .
Nessas condições, se nessa data não foi feito qualquer saque
de tal conta, é correto afirmar que
a) Valentina tem R$6590,00 .
b) Vítor tem R$5498,00 .
c) Vítor tem R$260,00 a mais que Valentina.
d) o saldo inicial da caderneta era R$1649,00 .
e) o saldo inicial da caderneta era R$1554,00 .
18. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas
iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagandose 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada
parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00,
respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se
que o valor de n é igual a
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
19. (Ufu 2011) Por causa de hábitos alimentares
inadequados, um cardiologista nota que os seus pacientes
com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de
medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que Pedro,
Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias bem
distintas e que utilizam um mesmo hipertensivo em
comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg,
Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente,
Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três
consomem 130 comprimidos, totalizando 780 miligramas da
droga.
Com base nestas informações, é correto afirmar que Márcia,
mensalmente, ingere
a) 50 comprimidos
b) 20 comprimidos
c) 60 comprimidos
d) 30 comprimidos
20. (Upe 2011) Considerando o
5x  3y  4z  3

sistema 15x  9y  8z  6
analise as afirmativas
20x  12y  16z  12

abaixo e conclua.
a) O sistema é impossível.
b) O sistema é possível e indeterminado.
c) O sistema é possível e determinado.
d) O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = -11
e) O sistema admite como solução, para qualquer valor de x a
terna (x, x, 5x)
vender
3
5
dos pastéis que levara e Ana Beatriz dos pastéis
5
8
que levara.
Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana
Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para
Isabela.
Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma
dos algarismos de x é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
21. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz
saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460
pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu
Parte VI – Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
1. (Uel 2012) Para uma apresentação de dança, foram
convidadas 312 bailarinas. Em uma de suas coreografias, elas
se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15
bailarinas. Para cada um dos círculos seguintes, havia K
bailarinas a mais do que no círculo anterior.
Se K 
cos x sen x
 1, quantos círculos havia nesta
sen x cos x
coreografia?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
2. (Ufrgs 2012) A sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., a12)
forma uma progressão aritmética. Sabendo-se que a3 +
3
a10 = 32, o valor da expressão log2 (a1 + a12) é
a) 10.
b) 15.
c) 21.
d) 26.
e) 32.
3. (Fuvest 2012) Considere uma progressão aritmética cujos
três primeiros termos são dados por
a1  1  x, a2  6x, a3  2x2  4 em que x é um número
real.
b) 910
c) 820
d) 980
5. (Uem 2012) João e Pedro decidiram treinar para competir
na Corrida de São Silvestre, mas cada um está fazendo um
treinamento diferente: João está correndo 40 minutos por
dia e consegue percorrer uma distância de 6 km em cada dia;
já Pedro está correndo 30 minutos por dia, do seguinte
modo: no primeiro dia, ele percorreu uma distância de 3 km,
no segundo dia percorreu 3,5 km, no terceiro dia percorreu 4
km, assim sucessivamente até o décimo quinto dia, e reinicia
o processo percorrendo, novamente 3 km. Com essas
informações, assinale o que for correto.
01) A sequência numérica formada pelas velocidades médias
de Pedro, nos quinze primeiros dias de treinamento,
forma uma progressão geométrica.
02) No quarto dia, a velocidade média que Pedro correu foi
igual à velocidade média que João correu.
04) No décimo dia, Pedro percorreu a distância de 7,5 km.
08) A distância total percorrida por Pedro, desde o primeiro
até o décimo terceiro dia, foi a mesma percorrida por
João no mesmo período.
16) A diferença entre as distâncias totais percorridas por
Pedro e João, nos quinze primeiros dias de treinamento,
é maior que 10 km.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão
aritmética correspondente ao menor valor de x
encontrado no item a).
6. (Espm 2012) A figura abaixo mostra uma série de painéis
formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em uma
moldura de ladrilhos escuros.
4. (Acafe 2012) Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias
coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro
recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa
produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença
de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420
itens, e que em outubro a produção foi de 1.120 itens.
Desta forma, pode-se concluir que o número de itens
produzidos em agosto de 2010 foi:
a) 1.040
Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros excede o
número de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade
total de ladrilhos desse painel é igual a:
a) 126
b) 172
c) 156
d) 224
e) 138
d) n n2  2n  1.
7. (Unicamp 2012) Uma curva em formato espiral,
composta por arcos de circunferência, pode ser
construída a partir de dois pontos A e B, que se
alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua
vez, são semicircunferências que concordam
sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra
a figura abaixo, na qual supomos que a distância entre
A e B mede 1 cm.
10. (Upf 2012) Num laboratório está sendo realizado um
estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A
seguinte sequência de figuras representa os três primeiros
minutos da reprodução do vírus (representado por um
triângulo).
e) n n2  2n  2.
Supondo que se mantém constante o ritmo de
desenvolvimento da população de vírus, qual o número de
vírus após uma hora?
a) 140
b) 180
c) 178
d) 240
e) 537
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos
primeiros 20 arcos de circunferência.
8. (Fgv 2012) Um poço de petróleo que produz 100 barris de
petróleo bruto por mês se esgotará em 1 ano. Em cada mês,
o preço se mantém constante e é dado por
f(x)  69,8  0,2x dólares por barril, em que x  1
representa o 1º mês, x  2 o 2º mês, e assim por diante.
Qual será a receita total proporcionada pelo poço, até se
esgotar?
9. (Insper 2012) Na sequência de quadrados representada na
figura abaixo, o lado do primeiro quadrado mede 1. A partir
do segundo, a medida do lado de cada quadrado supera em 1
unidade a medida do lado do quadrado anterior.
A distância do ponto O, vértice do primeiro quadrado, até o
ponto Vn , vértice do n-ésimo quadrado, ambos indicados na
figura, é
n 2
n  2n  5.
a)
2
n 2
n  2n  9.
b)
2
n 2
n  4n  3.
c)
2
11. (Uftm 2012) Seja a sequência de conjuntos de inteiros
consecutivos dada por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...,
na qual cada conjunto, a partir do segundo, contém um
elemento a mais do que o anterior.
a) O 21.º conjunto dessa sequência tem como menor
elemento o número 211. Calcule a soma de todos os
elementos desse conjunto.
b) Calcule a soma de todos os elementos do 100.º conjunto
dessa sequência.
12. (Ulbra 2012) João percebeu que, ao abrir a torneira
ligada ao reservatório de água, por 5 minutos, o volume
diminuía para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois
de 20 minutos com a torneira aberta, o volume do
3
reservatório era de 0,12 m . Qual é a capacidade total da
caixa d’água?
a) 15 000 litros.
b) 50 000 litros.
c) 30 000 litros.
d) 75 000 litros.
e) 60 000 litros.
13. (Uerj 2012) Um soldado fez n séries de flexões de braço,
cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como
consequência das alterações da contração muscular devidas
ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada
série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o
tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A
primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1
minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições
realizadas nas n séries é igual a:
a) 100
b) 120
c) 140
d) 160
14. (Ufrn 2012) Uma pilha de latas de leite está exposta
num supermercado, em forma de pirâmide de base
triangular, como mostra a figura a seguir.
1 

c) 2  1 
10 
 2 

1 
d) 2  1 

 1010 
1 

e) 2  1 

 29 
16. (Unicamp 2012) Para construir uma curva “floco de
neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três
partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma
rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de
mesmo comprimento dos demais, como o que aparece
tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo
procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal,
como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.
Para montar uma pirâmide semelhante, um promotor de
vendas usou 5 caixas contendo 24 latas em cada uma.
Cada lata mede 15 cm de altura.
Observe que, do topo para a base da pirâmide, a
quantidade de latas é 1, 3, 6 e assim sucessivamente.
a) Essa sequência é uma progressão aritmética?
Justifique
b) Essa sequência é uma progressão geométrica?
Justifique
c) Determine a altura da pirâmide formada pelo promotor de
vendas.
15. (Uel 2012) A figura a seguir representa um modelo plano
do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do
mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e
em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim,
sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação,
dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é
sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva
obtida na sexta figura é igual a
 6! 
a) 
 cm
 4!3! 
 5! 
b) 
 cm
 4!3! 
5
4
c)   cm
3
6
4
d)   cm
3
17. (Ufg 2012) Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a
base de um muro, é formado por uma sequência de 30
triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e
sem sobreposição. A figura a seguir representa os três
primeiros triângulos dessa sequência.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação
é de h1  1 m , qual o comprimento vertical total da raiz, em
metros, até h10 ?
1
1 
1 

2  210 
1
1 
b)  1 

2  29 
a)
Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro
triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base de
cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do
triângulo imediatamente à sua esquerda.
Dado: 1130  1,745  1031
Com base no exposto,
a) qual é o comprimento do muro?
b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar os
triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende
2
10 m por litro?
Observando nas figuras que o número de barras é função do
número de setores triangulares, qual é o número N de barras
para n setores triangulares?
18. (Ufrgs 2012) Na figura abaixo, ABCD é um
quadrado e os triângulos sombreados são triângulos
semelhantes tais que as alturas correspondentes
1
formam uma progressão geométrica de razão .
2
c) N  3n2  2n para n 1
a) N  3  2n1 para n  1
b) N  3n para n 1
d) N  3  2(n2  1) para n 1
e) N  1  2n para n 1
20. (Unicamp simulado 2011) Considere a sucessão de
figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada
por um conjunto de palitos de fósforo.
Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos
perímetros dos quatro triângulos sombreados é
9
a) .
8
11
b)
.
8
13
c)
.
8
15
d)
.
8
17
e)
.
8
19. (Uel 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas
de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo
de melhor suportar cargas concentradas.
Suponha que essas figuras representam os três primeiros
termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei
de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários
para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao
mesmo tempo é igual a
a) 200.
b) 1000.
c) 2000.
d) 10000.
21. (Uff 2011) Ao se fazer um exame histórico da presença
africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os
indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia,
sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam
essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes
recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo
da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas
menores.”
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores
triangulares com as respectivas quantidades de barras de
mesmo comprimento.
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão
acima a quantidade de
115
a)
pães.
3
55
b)
pães.
6
c) 20 pães.
65
pães.
6
e) 35 pães.
d)
22. (Ufrgs 2011) O quociente entre o último e o primeiro
termo de uma sequência de números é 1.000. Os
logaritmos decimais dos termos dessa sequência
formam uma progressão aritmética
1
de razão .
2
Então, o número de termos da sequência é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
23. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado
apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos
cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma
camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de
ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas
de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir,
que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a
figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza
contém
26. (Enem 2011) O número mensal de passagens de uma
determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000
passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse
padrão de crescimento se mantém para os meses
subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em
julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000
d) 42 000
e) 48 000
27. (Unifesp 2011) Progressão aritmética é uma sequência de
números tal que a diferença entre cada um desses termos (a
partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa
diferença constante é chamada “razão da progressão
aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão
r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos
termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos
termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja positiva?
28. (Mackenzie 2011) A média aritmética de 20 números em
progressão aritmética é 40. Retirados o primeiro e o último
termos da progressão, a média aritmética dos restantes será
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
29. (Fgv 2011) a) Determine o quarto termo da sequência
(a1, a2, a3, , an, ) dada por:
an  2an1  1 e a1  1, com n  1.
a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
24. (Fgv 2011) Seja  a1,a2 ,a3 ,... uma sequência com as
seguintes propriedades:
I. a1  1 .
II. a2n  n  an , para qualquer n inteiro positivo.
III. a2n1  2 , para qualquer n inteiro positivo.
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século
dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou
madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste
em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das
duas hastes vazias, mas seguindo as regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de
movimentos necessários para transferi-la é 3.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de a 2 50 .
25. (Mackenzie 2011) Em uma sequência numérica, a soma
2
dos n primeiros termos é 3n + 2, com n natural não nulo. O
oitavo termo da sequência é
a) 36
b) 39
c) 41
d) 43
e) 45
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre
de 3 anéis no menor número possível de movimentos.
b) 511
c) 512
d) 1023
e) 1024
c) O menor número de movimentos an para transferir uma
torre de n anéis, n  1, , satisfaz a relação:
an  1  2(an1  1). Qual é o menor número de
movimentos necessários para transferir uma torre com 6
anéis?
30. (Ufpr 2011) Atribui-se ao matemático De Moivre uma
lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As
condições da previsão estão dentro de uma narrativa que
modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por
exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e
assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou
que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior.
Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8
horas, quanto tempo levará para que ele durma 24 horas
seguidas, não mais acordando?
31. (Uesc 2011) Dois cidadãos, C1 e C2 , devem a uma
instituição financeira R$14580,00 e R$12460,00 ,
respectivamente. Após uma negociação dessa dívida, os
valores foram parcelados de modo que C1 deverá pagar
prestações mensais de R$480,00 e C2 deverá pagar
prestações mensais de R$390,00 . Se ambos começarem a
pagar hoje, o saldo devedor de C1 ficará menor do que o de
C2 em
a) dez meses.
b) um ano.
c) um ano e três meses.
d) um ano e meio.
e) dois anos.
32. (Espcex (Aman) 2011) Um menino, de posse de uma
porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de
xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na
segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na
quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os
grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele
preenchia a décima casa. A partir dessas informações,
podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz
que o menino utilizou na brincadeira é
a) 480
33. (Unesp 2011) Após o nascimento do filho, o pai
comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma
caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$
4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do
depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai
recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o
21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de
depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024,
o montante total dos depósitos, em reais, feitos em
caderneta de poupança foi de
a) 42.947,50.
b) 49.142,00.
c) 57.330,00.
d) 85.995,00.
e) 114.660,00.
34. (Ufrgs 2011) Três números formam uma progressão
geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do
terceiro número, obteremos uma progressão aritmética
cuja soma dos termos é
a) 16.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 26.
35. (Uel 2011) Você tem um dinheiro a receber em
pagamentos mensais. Se você recebesse R$ 100,00 no
primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você
recebesse R$ 150,00 a mais do que no pagamento
anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. Porém,
se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a
partir do segundo pagamento, você recebesse o dobro do
que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos
receberia todo o dinheiro?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
1
4
e
são inseridos três meios
20
5
geométricos. Se a P.G. formada é oscilante, assinale o que for
correto.
01) A sua razão é um número negativo.
02) O termo médio é um número positivo.
a
1
04) 4  .
a2 4
36. (Uepg 2011) Entre
08) a1  a2  a3 
3
.
5
16) a4  0.
37. (Unesp 2011) Divide-se, inicialmente, um quadrado de
lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se
dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-
se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão,
para os quadrados restantes, n vezes.
Observe o processo para as duas primeiras divisões:
Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do
quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados
removidos, quando n cresce indefinidamente?
38. (Fgv 2011) A sequência de termos positivos (a 1, a2, a3,...
an, ...) é uma progressão geométrica de razão igual a q .
Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga2 , loga3 , ...
logan ...) é:
a) Uma progressão aritmética de razão q .
b) Uma progressão geométrica de razão q .
c) Uma progressão aritmética de razão log q .
d) Uma progressão geométrica de razão log q .
e) Uma progressão aritmética de razão (loga1 - logq ).
39. (Ifsp 2011) Observe a sequência de figuras
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os
pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o
quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento
indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados
2
sombreados dessa sequência é igual a 64 2 cm . A área do
quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em
centímetros quadrados, é igual a
a)
2
.
16
2
.
4
c) 2.
d) 4 2.
e) 8 2.
b)
40. (Uesc 2011) Um colégio promoveu uma Olimpíada
Interna de Matemática cuja prova consistiu de dez questões,
numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em
qualquer ordem e que foram pontuadas de acordo com as
seguintes regras:
a) a cada questão não resolvida, resolvida de forma
parcial ou totalmente incorreta foi atribuído valor 0;
b) à resolução correta da questão um foi atribuído o
valor 1;
c) à resolução correta da questão dois foi atribuído o
valor 2;
d) à resolução correta da questão três foi atribuído o
valor 4;
e) à resolução correta da questão quatro foi atribuído o
valor 8, e assim sucessivamente, até a questão dez.
Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da
Olimpíada que obteve um total de 213 pontos resolveu
corretamente
a) seis questões, das quais apenas uma é de numeração
ímpar.
b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par.
c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração
ímpar.
d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par.
e) três questões de numeração par e três questões de
numeração ímpar.
41. (Mackenzie 2010) Se cos 15º, cos(a) e cos 75º formam,
nessa ordem, uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é
a)
2
3
b)
6
3
3
4
6
d)
4
2
e)
4
c)
42. (Uepg 2010) Numa estrada existem dois telefones
instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248.
Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se
entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.
Nessas condições, assinale o que for correto.
01) A distância entre cada telefone será de 35 km.
02) Haverá um telefone no km 108.
04) Se um motorista está no km 165, a menor distância que
ele terá que percorrer para encontrar um telefone será
de 13 km.
08) No km 73 não haverá telefone.
43. (Unemat 2010) Dado uma PA cujo a1 é o quádruplo de
sua razão e a20 é igual a 69, sua razão será:
a) 2
b) 6
c) 4
d) 5
e) 3
44. (Uerj 2010) Duas empresas, A e B, farão doações mensais
a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em reais,
dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros
meses de 2010.
Empres
as
janeiro
A
12.000,
00
fevereir
o
11.400,
00
março
abril
maio
10.800,
00
10.200,
00
9.600,
00
B
300,00
600,00
900,00
1.200,0
0
1.500,
00
A diferença entre os valores depositados pelas empresas
entre dois meses subsequentes será mantida constante ao
longo de um determinado período.
Determine o mês e o ano desse período em que o valor
mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B.
45. (Ita 2010) Considere a matriz
a1 a2
A   0 a4
 0 0
a3 
a5   M3x3 ( ),
a6 
48. (G1 - cftmg 2010) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo estão em progressão aritmética de razão 3.
Portanto, a soma das medidas desse triângulo é
a) 9
b) 18
c) 30
d) 36
49. (Enem 2ª aplicação 2010) O trabalho em empresas de
exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas.
Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas
empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a
quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de
um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras
cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
em que a4 = 10, det A = – 1000 e a1, a2, a3, a4, a5 e a6 formam,
nesta ordem, uma progressão aritmética de razão
a
d > 0. Pode-se afirmar que 1 é igual a
d
a) – 4.
b) – 3.
c) – 2.
d) – 1.
e) 1.
46. (Fgv 2010) A soma dos 100 primeiros termos de uma
progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos
seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o
segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem,
é
–4
a) 10 .
–3
b) 10 .
–2
c) 10 .
–1
d) 10 .
e) 1.
47. (Enem 2ª aplicação 2010) Nos últimos anos, a corrida de
rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como
hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente,
afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e
mental, além de ser um esporte que não exige um alto
investimento financeiro.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua
resposta:
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas.
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas.
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas.
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da
quantidade de estrelas necessária?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
50. (Enem 2010) Uma professora realizou uma atividade com
seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar
figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A
quantidade de canudos (C) de cada figura depende da
quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A
estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28
abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário,
correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500
metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico
cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor
atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de
treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar
o treinamento estipulado corretamente em dias
consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de
treino só poderá ser executado em, exatamente,
a) 12 dias.
b) 13 dias.
c) 14 dias.
d) 15 dias.
e) 16 dias.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função
da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q
b) C = 3Q + 1
c) C = 4Q – 1
d) C = Q + 3
e) C = 4Q – 2
51. (Unicamp 2010) Dois sites de relacionamento desejam
aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera
conseguir 100 novos integrantes em um período de uma
semana e dobrar o número de novos participantes a cada
semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos
na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim
por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que
conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a
cada semana subsequente, aumentará o número de
internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos
membros entrarão no site B na primeira semana, 200
entrarão na segunda, 300 na terceira etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6
semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6
semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos
10000 membros?
52. (Ita 2010) A progressão geométrica infinita (a1, a2, ..., an,
...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita (aI, a6,
..., a5n+1, ...) tem soma 8 e a progressão infinita (a5, a10, ..., a5n,
...) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (a1,
a2, ..., an, ...).
53. (Fgv 2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno
brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora
mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números
ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos,
deixando a professora impressionada. A resposta correta
encontrada por Carlos foi:
a) 512.000
b) 780.324
c) 1.000.000
d) 1.210.020
e) 2.048.000
Divirtam-se!