ANÁLISE DE EXTREMOS DE ONDA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
COPPE
PROGRAMA DE ENGENHARIA OCEÂNICA
Ricardo Martins Campos
Introdução
Teoria de Valores Extremos (TVE) :
finanças, hidrologia, meteorologia, engenharia oceânica
A TVE é o ramo da probabilidade que estuda o comportamento
estocástico dos extremos associados a um conjunto de variáveis
aleatórias com distribuição comum. Analisa a cauda da
distribuição.
Log-normal, Weibull, Gumbel, Fréchet
modelos estatísticos, baseados em máximos coletados em blocos
ou excessos acima de um limiar.
Ajuste a: todos os dados, máximos anuais ou mensais, valores
acima de um limiar.
Peaks Over Threshold (POT): mais moderna e confiável para a
solução de problemas de extrapolação
Proposto para: processos estocásticos que podem ser
considerados aproximadamente estacionários ou divididos em
partes estacionárias.
Distribuição generalizada de Pareto (GPD) para os excessos
acima de um limiar (u)
variáveis independentes e indenticamente distribuídas (iid)
“excedentes” ou “excessos” os Xi tais que Xi > u , e Nu o número
de eventos acima de u
Y1 ,Y2 , ...,YNu são os valores Xi − u
0
Nu também é uma variável aleatória e é função (decrescente) de u
EMBRECHTS et al. (1997) formula o caso para o qual o modelo
estatístico é proposto:
◦ Os excessos iid acima de um limiar u se aproximam da
distribuição de Poisson;
◦ Excessos acima de u são independentes e possuem uma GPD;
◦ Excessos acima de u são independentes uns dos outros no
tempo;
Evento A é considerado independente de outro evento B se a
probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B,
isto é: P(A) = P(A/B) , ou P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Função de autocorrelação. Ou identificar o ciclone de maior
duração e estabelecer uma janela temporal, assegurando que não
mais que um valor de Hs é utilizado para cada sistema
meteorológico gerador.
Número de pontos da cauda
Distribuição da GPD para a cauda
Parâmetro de forma
Parâmetro de escala
Número de eventos da série
Cálculo dos parâmetros de forma e escala por 4 estimadores: ML, MOM, PWM e PKD.
Escolha do limiar
Pequenas mudanças de u resultam em variações nos parâmetros
ξ e β calculados pelos estimadores
gráfico da média dos excessos acima do limar ( “Mean Excess
Plot”, MEP)
Analisar o MEP empírico, procurando um limiar u em que, a partir
dele, seja possível ajustar “aproximadamente” uma reta
Monitoramento do número de excessos Nu
Quando u é muito alto Nu se torna pequeno e a variância dos
parâmetros de forma e escala muito grande, perdendo qualidade
no ajuste da GPD
Se u é demasiadamente baixo os estimadores resultam em viés
nos parâmetros, perdendo também a característica de linearidade
do MEP
A situação ideal é aquela de menor valor de u em que ainda é
possível aproximar o gráfico de MEP acima de u como uma reta
2) Procurar uma região no gráfico ξ X u de estabilidade, em que ξ
não dê grandes saltos
3) Testes entre a modelagem estatística (ajuste da GPD) e os
dados, ou seja, variar u em busca do melhor ajuste entre empírico
e modelado.
Valor de retorno
Valor extremo ou valor de retorno (onda centenária etc):
rv são resultados da extrapolação da GPD para períodos de
retorno longos. Inversa da CDF
O procedimento, porém, considera o número de excessos nos
nanos constante ao longo de todo o pr de interesse.
Ondas: variações em diversas escalas na ocorrência de eventos
extremos, o qual pode inferir valores errôneos de ne no cálculo
do vr
Prática - Metodologia
Wafo – Matlab
Plotar os gráficos, histogramas e tabelas com valores máximos,
mínimos, médias, desvios padrão e tamanhos totais (n) de cada
série
Determinar uma região que contenha u: decidir qual estimador se
comporta melhor nesse intervalo e fixar o limiar para o posterior
ajuste da GPD:
1. MEP: determinar um intervalo que contenha o limiar.
2. Observa-se ao longo de todo o processo os gráficos de Nu versus u, e %Nu
versus u, com atenção sobre a região em torno de 10 e 15 %.
3. Plotagem do gráfico ξ X u calculado por todos os estimadores (PWM, PKD,
MOM e ML). Aqui o interesse é buscar uma região de estabilidade de ξ e ao
mesmo tempo comparar o comportamento entre eles.
4. Análise do gráfico de correlação entre empírico e modeladoem função do
limiar para os quatro estimadores, ajudando na escolha daquele que mais se
adequa à região do limiar a ser escolhido e fornecendo indícios adicionais
para a decisão de u.
5. Estudo da variância dos parâmetros de forma e escala em função do limiar,
com determinação final do estimador a ser usado e análise da variância para
os candidatos a limiar.
6. Após a decisão do estimador, plota-se novamente ξ X u , agora com
intervalo de confiança, para ajudar na decisão final de u.
7. Construção do gráfico dos valores extremos rv em função do limiar para
períodos de retorno de 5, 20, 50 e 100 anos para ajuste fino do limiar final.
Intervalo de confiança de 95%
Análise de extremos – WW3 86 a 05
Investigação adicional sobre ne .
possíveis tendências de aumento ou diminuição de ocorrência de
grandes ondulações
ajuste linear do gráfico: coeficiente angular da reta de tendência igual a
-0,06.
Meteorologia dos extremos
Meteorologia dos extremos
Ferramentas: PLEDS, campos de vento e pressão, figuras e tabelas do programa.
Definição do sistema sinótico gerador :
Análise visual
Resultados do programa.
Eventos extremos registrados pelo ondógrafo (Hs > 4,572):
Meteorologia dos extremos
Extremos registrados pelo WAVEWATCH (Hs > 3,775):
17 (57%) são gerados por ciclones, 12 (40%) por anticiclones e 1 (3%)
por cavado;
Dos ciclones: 10 (59%) ocorreram no outono enquanto
7 (41%) no inverno;
Primevara e verão com alturas menores, geradas por anticiclones.
Outono: muitos extremos (ciclones e anticiclones)
Inverno: grande maioria gerados por ciclones.
Meteorologia dos extremos
Registrado pelo ondógrafo: 25 de agosto de 1992, Hs=6,47 metros
Meteorologia dos extremos
Registrado pelo ondógrafo: 27 de junho de 1994, Hs=5,35 metros
Meteorologia dos extremos
Registrado pelo WAVEWATCH (anticiclone): 25 de maio de 1993, Hs=6,37 metros
Meteorologia dos extremos
Todas as trajetórias
Outono
Inverno
Meteorologia dos extremos
Outono:
→ Ciclones em grande número;
→ Próximos ao Rio de Janeiro (maior ocorrência em RG1 seguido de RG2);
→ Ondas com Dp maior (~238°) e Tp relativamente menor (média de 11,1 s):
Inverno:
→ Ciclones ocorrem com frequência;
→ Mais intensos e relativamente mais distantes do Rio de Janeiro (maior
ocorrência em RG2 e outras áreas);
→ Ondas com Dp menor (~220°) e Tp maior (~13 s);
→ Estação prioritariamente de ciclones (88%) e situação de MAU TEMPO com
ondas de S/SW que perduram por mais tempo.
Análise de extremos – Ciclones e Anticiclones
Ciclones / WAVEWATCH
n
157
u
4,237
Nu
12
Análise de extremos – Ciclones e Anticiclones
Ciclones / WAVEWATCH
Análise de extremos – Ciclones e Anticiclones
Resultado em conjunto das análises.
Forma semelhante entre bóia e ww3geral;
Taxa de crescimento de rv menor em ww3anticiclones.
O modelo conseguiu captar a
evolução dos eventos e fazer uma
boa estimativa dos valores de retorno;
Os valores absolutos finais respondem
à forte subestimação da energia das
ondas;
Analisados os viés médios entre o
ondógrafo e o modelo para casos de
ciclones e anticiclones, variando
também o limiar
Análise de extremos – Ciclones e Anticiclones
Resultados finais:
Proximidade entre os valores de
retorno da série de Hs da bóia e
ww3ciclones, com apenas
algumas diferenças na forma;
Os resultados do modelo para
ciclones, vistos na tabela, se
mostram dentro do intervalo de
confiança dos valores de retorno
do ondógrafo;
Anticiclones geram extremos com
alturas significativas
relativamente menores.
Conclusões
Série do ondógrafo:
n pequeno torna mais incerta a fixação do limiar, coloca em risco
os critérios de aplicação da POT e é responsável pelo aumento
da variância dos estimadores, resultando em intervalos de
confiança dos valores de retorno com maior amplitude;
Benefícios da modelagem:
n é maior, facilitando e melhorando a fixação do limiar, diminuindo
a variância e a amplitude do intervalo de confiança.
A aplicação da POT em sistemas sinóticos específicos aumenta a
qualidade da estimativa dos extremos, entretanto depende de
séries com longas durações.
Conclusões
As maiores ondulações que atingem a Bacia de Campos são
aquelas oriundas de sudoeste, com Tp acima de 11 segundos,
geradas por ciclones (inverno e outono).
As características mais importantes dos ciclones que geram
as maiores ondas na Bacia de Campos são o posicionamento
e intensidade;
Praticamente todos os ciclones que geraram os extremos apresentaram-se
acima de 40°S (RG1 e RG2).
Aqueles mais ao norte mostraram maiores alturas significativas na Bacia de
Campos, com Dp superiores (SW) e Tp menores. Todas as faixas de frequência
(PLEDS) apresentam bastante energia;
Os ciclones mais ao sul, em sua maioria, geram extremos com Hs menores na
Bacia de Campos, Dp inferiores (S/SW) e Tp maiores. Manutenção do evento
ocorre por mais tempo (igual ou superior a 3 dias) com energia preferencialmente
nas baixas frequências.
Trabalhos Futuros
Avaliação do WAVEWATCH por faixa de frequência
(PLEDSWW3), analisando situações de ciclones e anticiclones,
variando a severidade;
Caracterização do clima de ondas e análise de extremos
associados a sistemas sinóticos específicos em outras regiões do
Brasil (sul e nordeste);
Análise multivariada de extremos de onda e nível do mar no sul e
sudeste do Brasil;
Influência de eventos meteorológicos de baixa frequência (El
Ninõ, Oscilação Antártica etc) nos extremos de onda no Atlântico
Sul;
Aplicação da PLEDSWW3 operacional.
OBRIGADO
Ressaca na orla de Copacabana – Inverno de 1919. Fonte: www.fotolog.terra.com.br/luizd:765
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A INFLUÊNCIA DA ATIVIDADE DE MESO