GRADUAÇÃO FGV − 2005
PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA
PREENCHA AS QUADRÍCULAS ABAIXO:
NOME DO CANDIDATO:
NÚMERO DE INSCRIÇÃO:
−
Assinatura
1 Você receberá do fiscal este caderno com o enunciado de 10 questões, sem repetição ou falha.
2 Cada questão tem um espaço próprio para a sua resolução.
3 No verso de cada folha há espaço destinado para rascunho.
4 O rascunho não será levado em consideração.
5 O tempo disponível para esta prova é de 2 (duas) horas e 30 (trinta) minutos.
QUESTÃO 1
Um ônibus faz a viagem da cidade A até a cidade B, distante 162km de A. Durante o percurso ele faz
paradas, de forma que, do início ao fim da viagem, duas paradas consecutivas tenham sempre a mesma
distância que há do ponto de partida ao local da primeira parada. Sabendo que o ônibus faz uma parada no
quilômetro 90 da estrada e que a distância entre a última parada e a cidade B é idêntica à distância entre
duas paradas consecutivas, qual é o número mínimo de paradas intermediárias que ele pode ter dado?
Solução:
Para que o número de paradas seja mínimo, a distância entre elas deve ser a maior possível. Buscamos
então o maior número que divide exatamente 90 e 162.
O mdc entre 90 = 2•32•5 e 162 = 2•34 é 2•32 = 18.
O ônibus então fez paradas intermediárias nos quilômetros:
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 e 144.
Foram 8 paradas intermediárias.
RESPOSTA:
8
2
QUESTÃO 2
Dois vizinhos tinham, em frente de suas casas, gramados quadrados com área S. O primeiro aumentou 5m
em uma das dimensões do seu gramado e diminuiu 5m na outra, transformando-o em um retângulo.
O segundo manteve a forma quadrada, mas diminuiu em 1m o tamanho do lado. Com essas modificações,
os dois gramados permaneceram com a mesma área. Observe as figuras e calcule o valor de S.
Solução:
Seja x o lado do quadrado original.
devemos ter:
Para que, após as modificações, as áreas permaneçam iguais,
( x − 5)( x + 5) = ( x − 1)2
o que dá x =13.
A área S do quadrado original é x2 = 169.
RESPOSTA:
169m2
3
QUESTÃO 3
Paulo tem um carro novo cujo motor aceita qualquer mistura de gasolina e álcool. Na primeira vez que
abasteceu, mandou colocar no tanque 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina, pagando R$ 90,00.
Na segunda vez, no mesmo posto, pediu para colocar 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina, pagando
R$ 102,00. Suponha que os preços da gasolina e do álcool permaneceram inalterados.
Qual é o preço do litro de álcool nesse posto?
Solução:
Sejam:
x = preço do litro de álcool
y = preço do litro de gasolina
De acordo com os dados do problema, temos o sistema:
10 x + 30y = 90

30 x + 20y = 102
que resolvido dá x = 1,8.
O litro de álcool custa, nesse posto, R$ 1,80.
RESPOSTA:
R$ 1,80
4
QUESTÃO 4
A figura abaixo mostra uma pilha de círculos iguais, com 1cm de raio, arrumados em vários andares no
interior do trapézio (não mostrado integralmente). Os círculos do primeiro andar tangenciam a base menor
do trapézio e os do último andar, a base maior. Se a pilha tiver 20 andares completos, determine:
(A) a quantidade de círculos que foram utilizados;
(B) a altura do trapézio.
Solução:
a) De baixo para cima, o primeiro andar tem 3 bolas; o segundo, 4; o terceiro, 5 e assim por diante. Logo,
o vigésimo termo dessa progressão aritmética é 3 + 19 • 1 = 22. O vigésimo andar tem 22 bolas.
A soma 3 + 4 + 5 + … + 22 é igual a (3 + 22)20 = 250 .
2
b) A distância entre a linha dos centros do primeiro e a do segundo andar é 2
•
3 = 3 , e o mesmo se dá
2
entre dois andares consecutivos.
A distância da base inferior do trapézio à reta dos centros do 1º andar é 1, e a distância da reta dos centros
do 20º andar à base superior é também igual a 1. Assim, a altura do trapézio é 1+ 19 3 + 1 ≅ 34,9 cm.
RESPOSTA:
(A)
250
(B)
34,9cm (ou ainda 35cm)
5
QUESTÃO 5
Sejam A o conjunto dos números naturais de três algarismos e N o conjunto dos números naturais. A função
f : A → N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n.
Para cada uma das afirmativas abaixo, escreva nos parênteses V (para verdadeiro) ou F (para falso) e
justifique sua resposta.
( ) f é crescente.
( ) f é injetora.
( ) Existem exatamente 10 valores de n tais que f(n) = 4.
Solução:
(F)
f é crescente.
Falso. f(199) = 19 e f(200) = 2.
(F)
f é injetora.
Falso. f(101) = f(110)
(V)
Existem exatamente 10 valores de n tais que f(n) = 4.
Verdadeiro. Os valores de n são: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400.
6
QUESTÃO 6
Sejam a e b números reais tais que 4a + b = 90. Determine o valor máximo do produto ab.
Solução:
Seja y = ab.
y = a(90 − 4a) = −4a2 + 90a
2
O valor máximo de y quando a é real é − 90 = 8100 = 506,25
4(−4)
16
RESPOSTA:
506,25
7
QUESTÃO 7
Considere a pirâmide regular reta de vértice P cuja base é o quadrado ABCD. Cada aresta da base mede
4m e cada aresta lateral mede 6m.
(A) Calcule o volume desta pirâmide.
(B) Calcule a distância de A ao ponto médio da aresta PC.
Solução:
Sejam: O o centro do quadrado, M o ponto médio de PC e Q a projeção de M sobre AC.
a) A diagonal AC do quadrado mede 4 2 . Portanto, no triângulo retângulo OPA, temos OP2 = 62 − (2 2)2 = 28 .
Logo, a altura da pirâmide é OP = 2 7 .
O volume da pirâmide é, então:
V = 1 ⋅ 42 ⋅ 2 7 = 32 7 m3.
3
3
b) Devido à semelhança entre os triângulos POC e MQC, MQ é a metade de OP, ou seja, MQ = 7 . Como
Q é médio de OC, então AQ = 3 2 .
Logo, no triângulo retângulo AQM, AM2 = (3 2)2 + ( 7)2 = 18 + 7 = 25.
O segmento AM mede 5.
Respostas: a)
32 7 m3
3
b) 5m
RESPOSTA:
(A)
32 7 m3
3
(B)
5m
8
QUESTÃO 8
Imagine dois números naturais. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma dos seus cubos.
Mostre que D é divisível por 6.
Solução:
Sejam a e b dois números naturais. Pelo enunciado temos:
D = (a + b)3 − (a3 + b3 )
D = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − a3 − b3
D = 3ab(a + b)
Se a é par ou se b é par, D é múltiplo de 6.
Se a e b são ambos ímpares, a + b é par e D é múltiplo de 6.
9
QUESTÃO 9
Considere a seguinte experiência feita em uma escola.
Um pequeno pedaço de ferro é aquecido a 200oC e, em seguida, posto para resfriar no pátio da escola que
está a uma temperatura constante de 20oC. No início deste processo, a temperatura cai rapidamente e
depois, cada vez mais devagar.
O decréscimo da temperatura de um corpo pequeno é explicado pela lei do resfriamento de Newton que diz:
f (t) = a + [ f (0) − a]⋅ e
sendo:
−kt
f (t) a temperatura após t minutos do início do resfriamento;
f (0) a temperatura inicial do objeto;
a a temperatura do meio em que o objeto está resfriando;
k uma constante positiva característica do objeto, no caso, o ferro.
Sabe-se que, após 10 minutos do início do resfriamento, o pedaço de ferro tinha uma temperatura de
140oC.
Que temperatura, aproximadamente, tinha o ferro meia hora após o início do resfriamento?
Solução:
Pelos dados do problema temos: f (t) = 20 + 180e
− kt
.
f(10) = 20 + 180 ⋅ e−10k = 140
180 ⋅ e−10k = 120
e−10k = 2
3
A temperatura meia hora após o início do resfriamento é:
3
f(30) = 20 + 180 ⋅ e−30k = 20 + 180 ⋅  e−10k 

3
 
f(30) = 20 + 180  2 
3

= 20 + 180 ⋅ 8 ≅ 73 graus Celsius
27
RESPOSTA:
73°C
10
Questão 10
Solução:
a) Temos inicialmente que
Então,
G G2
u∗v
G2
u
= a2 + b2
e
G2
v
= c 2 + d2 .
= (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2c 2 + b2d2 − 2abcd + a2d2 + b2c 2 + 2abcd =
= a2(c 2 + d2 ) + b2(c 2 + d2 ) =
G2 G2
= (a2 + b2 )(c 2 + d2 ) = u ⋅ v
Logo,
G G
u∗v
G
G
=u⋅v .
b)
sen(α + β) = senα cosβ + senβ cos α =
= bG ⋅ cG + dG ⋅ aG = adG + Gbc = adG + Gbc = sen θ
u v
v u
u⋅v
u∗v
cos(α + β) = cos α cosβ − senαsenβ =
= aG ⋅ cG − bG ⋅ dG = acG − Gbd = acG − Gbd = cos θ .
u v
u v
u⋅v
u∗v
Logo, θ = α + β .
11