Sianis e Sistemas
2º Semestre 2009/2010
Exercícios de Espaços Vectoriais de Sinais
João Sanches ([email protected])
Espaços Métricos
•
Uma métrica é uma função utilizada para medir a distância entre os elementos do
espaço de sinais. Para que uma função d ( x, y ) seja uma métrica é necessário que
satisfaça as seguintes propriedades para todos os elementos x e y do espaço
o d ( x, y ) = d ( y , x )
o d ( x, y ) ≥ 0
o d ( x, y ) = 0 se e só se x = y
o para todos os sinais (vectores) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )
•
Distância entre dois sinais
o A distância Euclidiana entre dois sinais discretos de comprimento N é a
seguinte:
d ( x, y ) =
N
∑ ( x(i) − y (i))
2
i =1
o No caso de sinais contínuos, definidos no intervalo [a, b] , a distância
Euclidiana define-se da seguinte forma
b
d ( x, y ) =
∫ ( x(t ) − y (t )) dt
2
a
Produto Interno de sinais
•
b
Sinais Contínuos definidos no intervalo [a b] :
x, y = ∫ x(t ) y* (t )dt
a
•
N
x, y = ∑ x(i ) y * (i )
Sinais Discretos de comprimento N:
i =1
•
O produto interno é uma função que satisfaz as seguintes propriedades:
*
o x, y = y, x em que ()* denota a operação de conjugação.
o ax, y = a x, y para todos os escalares a ∈ R
o
x + y , z = x, z + y , z
o
x, x > 0 se x ≠ 0 e x, x = 0 se e só se x = 0
•
Dois sinais dizem-se ortogonais se o seu produto interno é nulo, x, y = 0
•
O produto interno induz a seguinte norma: x =
•
A distância Euclidiana pode ser obtida através da norma induzida pelo produto
interno. Sejam os sinais x e y , contínuos ou discretos, e seja e = x − y o sinal
x, x
diferença. A distância Euclidiana entre os sinais x e y pode ser calculada através da
norma do sinal de erro, isto é,
•
d 2 ( x, y ) = e = x − y =
x − y, x − y
O co-seno do ângulo entre dois vectores genéricos u e v : cosθ =
u, v
u v
Exercícios
1. Distância entre sinais
a. Calcule a distância Euclidiana entre os seguintes sinais discretos:
y = [0 1 − 1 1]
i. x = [1 2 0 − 1]
y = [1 − 1 1 − 1]
ii. x = [1 2 3 4]
n
⎛1⎞
−n
iii. x(n) = ⎜ ⎟ u (n)
y (n) = (3) u (n)
⎝2⎠
b. Qual é a distância Euclidiana entre os seguintes sinais:
i. x(t ) = sin(t ) y (t ) = cos(t ) definidos no intervalo [− π , π ]
ii. x(t ) = t
y (t ) = e −t no intervalo [0,1] .
c. Usando o produto interno,
i. Calcule a norma do sinal discreto x(n) = [1 2 − 1 3].
2
ii. Calcule a norma do sinal contínuo x(t ) = e −2t
iii. Calcule a norma do sinal x(t ) = cos(ωt ) definido no intervalo
[− π ,π ] .
d. Qual é a distância Euclidiana entre os seguintes sinais no intervalo [0,1] :
x(t ) = t
2
y (t ) = t 2
e. Calcule o ângulo
i. Entre os sinais vectores da alínea d)
ii. Entre os sinais x(t ) = sin(t ) y (t ) = cos(t ) , definidos no intervalo
[− π ,π ] .
2
2. Considere os vectores e1 , e2 e x representados na figura
1
e1
ao lado.
0
-1
a. Sabendo que x = ae1 + be2 , é uma combinação
-2
0
1
2
3
linear dos sinais e1 e e2 calcule os coeficientes a e
2
b através de um sistema linear de duas equações.
1
e2
b. Verifique se os sinais e1 e e2 são ortogonais.
0
-1
c. Calcule os produtos internos x, e1 e x, e2 .
-2
0
1
2
3
Como é que estes valores se relacionam com os
4
obtidos em a)?
2
d. Calcule o ângulo entre os vectores e1 e e2 e entre
x0
-2
os vectores e1 e x .
-4
0
1
2
3
e. Calcule a energia dos sinais e1 , e2 e x .
4
5
4
5
4
5
3. Dados dois sinais, x e y , é possível calcular o sinal projecção de x em y fazendo
x, y
y
proj y x = x, y
=
y
2
y, y
y
O sinal(vector) obtido corresponde à componente de x que está alinhada com y .
a. Calcule a projecção de x = [1 0 2 1] no sinal y = [1 − 1 1 1]
b. Dois sinais dizem-se ortogonais se o seu produto interno é nulo e portanto,
se a projecção de cada um deles no outro é também nula. Verifique se os
seguintes sinais são ou não ortogonais
i. x = [1 0 − 1 1] , y = [1 0 1 0]
ii. x = [1 − 1 1 − 1] , y = [1 1 − 1 − 1]
iii. x = cos(t ) , y = sin(t ) no intervalo [− π , π ] .
⎛ 2πk ⎞
⎛ 2πl ⎞
iv. x(n) = exp⎜ j
n ⎟ , y (n) = exp⎜ j
n ⎟ para N , k e l inteiros,
⎝ N ⎠
⎝ N ⎠
0 ≤ n < N e k ≠ l . E se k = l ?
4. Seja a seguinte base de um espaço de sinais
T
e1 = [1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1]
e2 = [1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1]
T
e3 = [1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1]
T
e seja y = [6 2 4 0 0 - 4 - 2 - 6]
a. Esta base é ortonormada?
b. Calcule os coeficientes c1 , c2 e c3 tal que
y = c1e1 + c2e2 + c3e3
(1)
Nota: Calcule o produto interno de y , à esquerda e à direita de (1) para os
três vectores da base. Construa uma equação matricial que lhe permita
calcular o vector de coeficientes.
T
c. Repita a alínea anterior para y = [6 2 4 1 0 - 4 - 2 - 6] e calcule o
vector ε = z − y , em que z = c1e1 + c2e2 + c3e3 . Como explica que este vector
não seja nulo?
d. Calcule o produto interno z , y − z . Dê uma explicação geométrica para
este resultado.
e. Qual é o ângulo entre os vectores z e y − z .
f. Formule este problema como um problema de optimização,
2
Cˆ = arg min y − AC
T
C
em que C = [c1 c2 c3 ] é o vector a estimar. Defina a matriz A e deduza a
forma fechada da solução em notação matricial. Resolva-o com os dados da
alínea a) e b) e compare os resultados.
T